CHUYÊN đề i hàm số

GV Ngô KhánhChuyên đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan A Tóm tắt lý thuyết: f có đạo hàm trên khoảng a;b * Cho K là một khoảng, một nữa khoảng hay một đoạn: 3 f , g liên tục & đơn điệu

Trang 1

Luyện thi ĐH môn Toán, năm 2014 GV Ngô Khánh

ÔN LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHẤT LƯỢNG CAO

Giáo viên: Ngô Khánh -

Chuyên đề1:

HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

2013-2014 Học sinh :

Lớp : Luyện thi Đại học môn Toán 2014 Lịch học :

2013-2014

Trang 2

Chuyên đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan

A) Tóm tắt lý thuyết: f có đạo hàm trên khoảng (a;b)

* Cho K là một khoảng, một nữa khoảng hay một đoạn:

3) f , g liên tục & đơn điệu ngược nhau ( hoặc1 hàm đơn điệu, 1 hàm hằng) trên K mà phương trình f(x)=g(x) có nghiệm trên K thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất trên K.

4) f đơn điệu trên K thì với ∀u v K; ∈ :

( ) ( )

f u = f v ⇔ =u v

khi f db/K( ) ( )

B) Phương pháp giải toán:

Bài1: Tìm các khoàng đơn điệu của mỗi hàm số sau:

+

=

−

4) 3 1

1)

1

x x

i y x

Trang 3

− đồng biến trên mỗi khoảng xác định *m< −2.

e) y= − +x3 3x2+3mx−1 nghịch biến trên khoảng (0;+∞) *m≥ −1. (A2013)

Trang 4

Luyện thi ĐH môn Toán, năm 2014 GV Ngô KhánhBài6:Giải và biện luận phương trình:

dat cuc tri tai x

'( ) 0'( )

B) Phương pháp giải toán:

Bài 7 : Tìm cực trị của mỗi hàm số sau:

Trang 5

2

m = ± Bài 11:Tìm a; b để các cực trị của hàm số 5 2 3 2 2 9

3

y= a x + ax − x b+ đều dương và 0

59

Trang 6

a)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực trị

b) Chứng minh phương trình y = 0 luôn có một nghiệm dương

c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để pt y = 0 có 1 nghiệm duy nhất Bài 14: CM với ∀ ∈m R đồ thị hàm số 2 ( 1) 1

cực đại và cực tiểu và khoảng cách giữa 2 điểm đó bằng 20

Bài15:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để:

13

y= − x +mx + có các điểm cực trị nằm về hai phía Ox e) Đồ thị hàm sốy=x3−3mx2+3m3có 2 điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48 (B2012).

f) Đồ thị hàm số y=x4−2(m+1)x2+m2có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh một tam

giác vuông.(A& A1−2012)

g)Đồ thị hàm số y=x4−2mx2+ −m 1 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh một tam giác

có bán kính đường tròn ngoại ngoại tiếp bằng 1.

Trang 7

( ) ;min ( )

( Không cần lập BBT).

- Cách2: Đánh giá( thường dùngsinu ≤1;cosu ≤1;A2≥0;Cauchy Bunhia, ; )

- Cách3: Dùng điều kiện phương trình có nghiệm như sau: y0 là một giá trị của hàm số  pt ẩn x: f x ( ) = y0 có nghiệm thuộc D Từ đó tìm được điều kiện của y0, suy ra ymax , ymin

Bài16:Tìm gtln, gtnn (nếu có) của mỗi hàm số sau:

+ + d)y= cos x2 +7sin2x+ sin2x+7 cos2x

Bài17: Tìm GTLN; GTNN trên 1 đoạn

Trang 8

d) Cho 3 số dương a b c, , thỏa a b c+ + ≤s Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P (a 1)(b 1)(c 1)

Bài20: ( Các bài toán thực tế)

a) Trong tất cả các hình chữ nhật nội tiếp trong hình tròn bán kính R, hỏi hcn có kích thước thế nào thì diện tích của nó nhỏ nhất?

b) Một tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng 2cm; chiều dài 4cm

Cắt bỏ 4 góc 4 hình vuông bằng nhau để gấp lại thành một cái hộp không nắp Tìm cạnh hình vuông bị cắt để thể tích cái hộp lớn nhất.

c) Cho tam giác đều ABC cạnh a; dựng hình chữ nhật MNPQ có M; N trên cạnh BC, P&Q lần lượt nằm trên cạnh AC&AB Xác định vị trí của điểm

M để cho diện tích hcn MNPQ lớn nhất.

d) Trong tất cả các hình trụ nội tiếp trong hình cầu bán kính R; hỏi hình trụ

có kích thước thế nào thì thể tích của nó lớn nhất?

e) Cho khối chóp S.ABCD có SA= x; các cạnh còn lại đều có độ dài bằng

1 Tính VS.ABCD theo x, xác định điều kiện của x để bài toán có nghĩa Định

g) Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính R.

- Chứng minh thể tích của khối chóp là:

2 2

4.3( 2 )

R x V

• Vấn đề 4: Dùng phương pháp hàm số để giải toán

A) Tóm tắt lý thuyết: Cho hàm số y = f x ( ) có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên D Ta có:

+ Bpt m > f x ( ) thỏa với ∀ ∈ ⇔ > x D m max ( )x D∈f x

Trang 9

Luyện thi ĐH môn Toán, năm 2014 GV Ngô Khánh+ Bpt m < f x ( ) thỏa với ∀ ∈ ⇔ < x D m min ( )x D∈f x

Chú ý:

- f đồng biến trên đoạn [ ] a b thì GTNN là f(a); GTLN là f(b). ;

- f nghịch biến trên đoạn [ ] a b thì GTNN là f(b); GTLN là f(a). ;

8 ≤ ≤ m b) Tìm m? để bpt ( ) 0 f x ≤ nghiệm đúng với mọi x ∈ [ ] 1;4 * 1

8

m ≤ c) Tìm m? để bpt ( ) 0 f x > có nghiệm x ∈ − [ 1;3 ] * ( ; 3) ( ; 1 )

5

m ∈ −∞ − ∪ +∞ Bài 22:

≤ −



 ≥



Trang 10

f) m? để pt 3 x − + 1 m x + = 1 24 x2− 1 có nghiệm * 1 1

3

m

− < ≤ (A07) g) C/m pt 2

x + x − = m x − luôn có 2 n phân biệt với 0 ∀ > m 0 (B07) h) m? pt:4 2 x + 2 x + 2 64 − + x 2 6 − = x m có đúng 2 n phân biệt.0

* 2 6 2 6 + 4 ≤ < m 3 2 6 + (A-08) i) m? y x = −3 3(2 m + 1) x2+ (12 m + 5) x m − đ/biến trên (2; +∞ ) *m≤125

22

m m

Bài24: Chứng minh đồ thị các hàm số sau có tâm đối xứng:

Bài25: Tìm 2 điểm trên 2 nhánh khác nhau của đồ thị mỗi hàm số sau sao cho khoảng cách giữa 2 điểm đó là bé nhất:

1

x

b y x

- Trong khoảng nào y" 0> thì đồ thị lồi, y" 0< thì đồ thị lõm.

- Nếu y" triệt tiêu và đổi dấu khi x qua x0 thì M x y0( ; )0 0 là điểm uốn.

Trang 11

- Để tìm các khoảng lồi, lõm, điểm uốn của đồ thị, ta lập bảng xét dấu y” B) Phương pháp giải toán:

Bài26: Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị mỗi hàm số sau:

- Đường thẳng d có phương trình y=y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm

số y= f x( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả:

- TCN là trường hợp đặc biệt của TCX khi a=0, nên khi x→ +∞hoặc

x→ −∞mà đồ thị có TCX thì không có TCN & ngược lại.

-Nếu hàm phân thức có bậc tử lớn hơn bậc mẫu một đơn vị thì thực hiện

phép chia tứ cho mẫu để tìm tiệm cận xiên.

Bài27: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:

=

−

Bài28: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:

Trang 12

2Bài30:Tìm điểm M thuộc đồ thị (C ) của hàm số y 2x 11

x

+

=+ sao cho tổng các

+ +

=

− Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị

hàm số cắt hai trục toạ độ Ox; Oy tại 2 điểm phân biệt A&B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 8 (đvdt )

Bài 32: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) của hàm số 2 1

2

y x

+ −

=+

biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên.

• Vấn đề 8: Khảo sát hàm số

A) Tóm tắt lý thuyết: Thực hiện lần lượt 3 bước sau:

Bước1: Miền xác định

Bước2: Lập bảng biến thiên, gồm 3 bước nhỏ:

o Tính các giới hạn đặc biệt, suy ra các tiệm cận đứng và ngang

( đối với hàm bậc1/bậc1)

o Tính y’, tìm nghiệm của y’(nếu có)

o Lập bảng biến thiên, dựa vào BBT chỉ ra các khoảng đơn điệu và

Bài33: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

Trang 13

2 1

x

h y x

+

=+

)

1

x

m y x

=

−

• Vấn đề 9: Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

Baì toán 1: Tìm điểm cố định của họ đường cong.

A) Tóm tắt lý thuyết:

Cho họ đường cong (C m)có phương trình: y= f x m( ; ) (1).

Điểm cố định của họ đường cong (C m)là điểm trong mặt phẳng Oxy mà mọi đường cong (C m) đều đi qua Để tìm điểm cố định (nếu có) ta làm như sau:

- Từ pt (1), lấy m làm thừa số chung, ta có (1)A m B + =0

- Điểm cố định là điểm có toạ độ thoả hệ:  =A B=00 Giải hệ ta tìm được điểm

cố định của họ (C m).

Bài34:Tìm điểm cố định của họ đường thẳng (dm): mx y m+ + − =1 0

Bài35: Cho họ đường cong:(C m) :y=x3−3mx2+3x+3m−4

Chứng minh mọi đường cong của họ đều đi qua một điểm cố định trên Ox,

từ đó tìm điều kiện của tham số m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.

Baì toán2: Từ đồ thị ( )C của hàm số y= f x( ), suy ra đồ thị ( );( );( ).C1 C2 C3

 nên ( )C2 được suy ra từ ( )C như sau:

.Giữ nguyên phần đồ thị của (C) ở trên Ox.

.Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) nằm phía dưới Ox qua Ox.

Trang 14

- Vì y= f x( ) là hàm chẵn nên đồ thị ( ) C đối xứng qua trục tung Khi30

x≥ thì y= f x( )= f x( ) tức là ở bên phải trục tung đồ thị ( )C3 trùng với đồ thị (C) Từ đó lấy đối xứng phần đồ thị của (C3) ở bên phải trục tung qua trục tung ta có toàn bộ đồ thị (C3).

Trang 15

a) Vẽ đồ thị ( )C của hàm số: 2 2

1

y x

Bài 40: Gọi d là đường thẳng đi qua A (3;20) và có hàm số góc m Tìm điều kiện của m để (d) cắt (c):y=x3− +3x 2tại 3 điểm phân biệt

Baì toán 4: Sự tiếp xúc giữa hai đồ thị (Chương trình nâng cao)

A) Tóm tắt lý thuyết: Cho y= f x C( ) ( ) &y=g x C( ) ( ').

- ( ) & ( ')C C tiếp xúc nhau tại M x y0( ; )0 0  x0là nghiệm của hệ:

( ) ( )'( ) '( )

Trang 16

- Lưu ý: Đthẳng tiếp xúc với parabol  pt hoành độ có nghiệm kép.

Các trường hợp tiếp xúc khác đều phải dùng hệ.

Baì 42: m? (d m) y m x= ( −3) tiếp xúc với 1 3

( ) : y 3

3

C = − x + x

Baì 43: m? (Cm): y=x3−3x2+3mx+3m+4 tiếp xúc với Ox

Baì toán 5: Viết pttt với đồ thị (C) của hàm số y=f(x)

A) Tóm tắt lý thuyết: Cần phân biệt 2 trường hợp:

- TH1: Viết pttt với (C) tại điểm M x y0( 0; 0) ( )∈ C .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Viết pttt với (C ) tại điểm uốn.Tìm giao điểm của tt này với Oy.

c) Viết pt các tiếp tuyến của (C ) biết tt qua A(0;4).

Trang 17

a) Viết pttt (d) tại điểm M có hoành độ t bất kỳ nằm trên (C).

b) Tiếp tuyến (d) cắt hai tiệm cận tại A&B Chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng AB và diện tích tam giác IAB không đổi

a Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn *y= − +3x 4

b Tìm M thuộc ( C) mà tiếp tuyến tại M có

Tìm trên (C) các cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ 0 *(1;1);(-1;-1)

Bài 2: Cho đường cong bậc 3 : y = x3 – 3x2 +3mx +3m +4 ( Cm)

1) Tìm điểm cố định : * (-1;0)

2)Đơn điệu: m? hàm số:

a Đồng biến / R * m≥1

Trang 18

c m? đồ thị của h/số có 2 điểm cực trị thoả

+2 điểm cực trị nằm về 2 phía Oy *m<0

+ 2điểm cực trị nằm về 1 phía Oy *0< <m 1

+2 điểm cực trị nằm về 2 phía của đ/t x = 1 *m<1

+2 điểm cực trị nằm về 2 phía trục Ox (tức Cm cắt Ox tại 3 điểm p/biệt hay

+ Cắt Ox tại 3 điểm p/biệt có hoành độ âm

c m? (Cm) cắt đ/thẳng (d) y = 2x + 2 tại 3 điểm p/biệt M (-1;0) & N; P sao cho :

+ NP = 1

+ Các tt’tại N & P vuông góc nhau

d m? để t/tuyến với (Cm) tại điểm có h/độ x = 1vuông góc với đt x + 6y – 6 = 0

5 Đối xứng

a m? (Cm) có cặp điểm đối xứng qua gốc toạ độ O

b m? (Cm) có cặp điểm đối xứng qua I(0;-3)

* Hàm trùng phương: y= f x( )=ax4+bx2+c a( ≠0)

Bài 3: Cho hàm số y = x4 -2x2 -1(C)

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/số

b Viết p/t tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với tia Ox

c Viết p/t tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến // đt y = 24x

Trang 19

d A, B là hai điểm phân biệt nằm trên (C) có hoành độ lần lượt là a, b Tìm điềukiện giữa a, b để các tiếp tuyến tại A & B song song với nhau

Bài 4: Cho họ đường cong (Cm) : y = -x4 + 2mx2 -2m + 1

a Tìm các điểm cố định của họ ( Cm)

b Biện luận theo m số cực trị của họ (Cm)

c Xác định m sao cho (Cm) cắt Ox tai 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thànhmột csc Xác định cấp số cộng này

d m ? (Cm) có 3 cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân

e m ? (Cm) có 3 cực trị là 3 đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoạitiếp bằng 1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Các vấn đề về tiếp tuyến

a Viết pt tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Ox

b Viết pt tiếp tuyến // đt 1 10

a.Gọi ( )∆ là đ/thẳng qua O(0;0)& có h/s góc k Tìm k để :

+( )∆ cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

+( )∆ cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A , B sao cho ABmin

+( )∆ cắt(C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 10

+( )∆ cắt(C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho k1 + k2 lớn nhất với k1 ; k2

lần lượt là các hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A & B

+( )∆ cắt(C) tại A, B sao cho O là trung điểm AB

+( )∆ cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác CABbằng 2 với C (0;2)

Trang 20

b Gọi (dm): y = x + m Biệm luận theo m số điểm chung của (dm) & (C) Khi(dm) cắt (C) tại 2 điểm phận biệt M & N Chứng minh rằng các trung điểm I củađoạn thẳng MN luôn nằm trên một đường thẳng cố định.Tìm phương trình đườngthẳng đó

4 Khoảng cách

a Chứng minh tích các k/cách từ 1 điểm M thuộc (C) đến 2 t/cận là 1 hằng số b.Tìm M thuộc (C) có tổng các k/cách đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất (có tổng cáck/cách đến 2 tiệm cận 17?

f Tìm 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C)sao cho k/cách của chúng là nhỏ nhất

5.Biện luận theo tham số m số nghiệm của p/trình

a.2x+ =1 m x+1 b .2 1

1

x + =+

a m? h/s đồng biến trên khoảng (0;+∞)

b m? tiếp tuyến tại giao điểm của (Hm) với Ox chắn trên 2 trục tọa độ một tamgiác có diện tích bằng 2

Bài7: Cho hàm số y = − − + x4 x2 6 Viết pttt của (C ) biết tiếp tuyến vuông góc vớiđường thẳng 1

1 6

y = x −

Bài8: Cho y = − − + x4 x2 6 có đồ thị (C) Gọi A, B, C là 3 điểm cực trị của ( C) 1) Tìm tọa độ điểm:

a) E trên trục hoành sao cho tam giác ABE vuông tại B

b) F trên trục hoành sao cho ∠ AFC bằng 1200

2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C) biết:

a) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1

1 6

y = x −b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 6 x + 2014

Trang 21

Bài9:Tìm điểm M thuộc đồ thị ( ): 2 1

− để tiếp tuyến (d) của đồ thị (C) tại điểm

M tạo với đường thẳng ( ) d ' : 2 x y − + = 10 0 một góc 450

m ≠ Với giá trị nào của m thì tại giao điểm của đồ thị với trục hoành , tiếp tuyến của

đồ thị song song với đường thẳng x y − − = 10 0 Viết phương trình tiếp tuyến đó.Bài11:Cho hàm số y x = +3 mx m + + 1 (m là tham số thực) Viết phương trình tiếptuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm của đồ thị với trục Oy Tìm m để tiếp tuyếnnói trên tạo với 2 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 2

Bài13:Tìm trên đồ thị ( ) C : y x = + + +3 x2 x 1 những điểm mà tiếp tuyến với đồ thị tại

đó song song với đường phân giác của góc phần tư thứ I

Bài14: Cho hàm số 2

1

x y x

=+ có đồ thị là (C) Tìm trên đồ thị (C) những điểm M, sao

cho tiếp tuyến tại M cắt hai trục tọa độ Ox,Oy tại 2 điểm phân biệt A,B mà tam giác AOB

có diện tích bằng 1

4Bài15: Cho hàm số

1

x y x

=+ có đồ thị là (C) Tìm trên đồ thị (C) những điểm M, sao

cho tiếp tuyến tại M cắt hai trục tọa độ Ox,Oy tại điểm phân biệt A,B sao cho tam giácAOB có diện tích bằng 2

Bài16: Cho hàm số 2 3

2

x y x

+

=

− có đồ thị là (C) Tìm tất cả các tham số m để đườngthẳng (d) : y = 2 x m + cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến tại đó song songvới nhau

Bài17: Tiếp tuyến của đồ thị ( ) : 2 3

− tại M cắt các đường tiệm cận tại 2 điểm

phân biệt A,B

1) Tìm M sao cho đ/tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích min ( I là giao 2 tiệm cận) 2) Tìm trên (C) nhưng điểm có hoành độ x > 2 sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với 2 đườngtiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất

Định dạng
Số trang	32
Dung lượng	1,5 MB