Chuyên đề 5

TH3: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy, ví dụ mặt bên SAB vuông góc với đáy thì chân đường cao H nằm trên đường thẳng AB, tức đường cao SH của khối chóp cũng chính là đường cao

-Chuyên đề 5: PHÂN DẠNG TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VÀ CÁCH GIẢI

A)LÝ THUYẾT: Nhiều em đi thi rất sợ câu Hình học không gian, thường bỏ mất 1 điểm ở câu này, nên kết quả

thấp Thật ra câu Hình không gian không khó, chỉ cần nắm vững các khái niệm, thuộc một số công thức để tính toán, biết cách vẽ hình, nắm vững phương pháp giải một số dạng toán cơ bản là các em có thể giải được bài tập

Tự giải được một số bài các em sẽ rất hứng thú khi làm loại toán này và thấy rằng đề thi cũng chỉ quanh quẩn ở vài dạng đã học và việc giải quyết nó là không khó

• Những vấn đề cần nắm vững:

1) Vẽ hình:

- Dùng tam giác thường để biểu diễn cho mọi loại tam giác.

- Dùng hình bình hành để biểu diễn cho hình vuông, hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành.

- Hai đường thẳng ( đoạn thẳng) song song được biểu diễn trên hình vẽ bởi hai đường thẳng( đoạn thẳng) song song.

- Tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng song song được bảo toàn.

- Đường cao của các hình chóp, nón, lăng trụ, trụ,… thường được vẽ thẳng đứng ( vuông góc với mép bản vẽ).

- Chú ý vẽ đúng nét thấy, nét khuất.

- Những hình vẽ khó nên vẽ ngoài giấy nháp trước.

2) Xác định đúng chân đương cao của khối chóp:

Đây là vấn đề cực kỳ quan trọng, xác định không đúng thì hình vẽ sai, bài làm không được chấm.

Giả sử xét khối chóp S.ABCD, ta cần chú ý các trường hợp thường gặp sau:

TH1: Khối chóp có một cạnh vuông góc với đáy thì cạnh đó là đường cao, ví dụ cạnh SA vuông góc với đáy thì

SA là đường cao.

TH2: Khối chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy, ví dụ hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với đáy thì SA

là đường cao.

TH3: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy, ví dụ mặt bên SAB vuông góc với đáy thì chân đường cao H nằm trên đường thẳng AB, tức đường cao SH của khối chóp cũng chính là đường cao của tam giác SAB -TH4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau thic chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (Ví dụ khối chóp n- giác đều).

-TH5:Khối chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.

-TH6: Khối chóp có 2 mặt bên kề nhau đều tạo với đáy góc α, chẳng hạn 2 mặt bên SAB & SAD cùng tạo với đáy góc α thì chân đường cao nằm trên đường phân giác của góc BAD.

-TH7: Khối chóp có hai cạnh bên bằng nhau hoặc cùng tạo với đáy những góc bằng nhau, ví dụ hai cạnh bên

SA và SB bằng nhau hoặc cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao nằm trên đường trung trực cúa AB ( Vẽ trong mặt phẳng đáy).

3) Thuộc các công thức để tính toán:

+Các hệ thức lượng trong tam giác vuông:

- a2 =b2+c2(Pitago)

-

b c = a h

;

c

a

b h

c' H b' B

A

C

- c2 = a c '; b2 = a b '

- Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân sin góc đối hoặccosin góc kề

-Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông còn lại nhân với tan góc đối hoặc cotg góc kề.

+Các hệ thức lượng trong tam giác thường:

Định lý hàm số cosin:

a = + − b c bc A c

a

b h

c' H b' B

A

C

Định lý hàm số sin:

2

R

Định lý về trung tuyến:

2 2 2

2 2 2

4

a

m = + − (Tương tự cho các trung tuyến còn lại)

Các công thức tính diện tích tam giác:

4

abc

S

R

= ; S = p r ; S = p p a p b p c ( − )( − )( − )

Hệ thức lượng trong đường tròn:

AB AC = AE AD(BCDE nội tiếp)

E F

D A

C

B

Các công thức tính thể tích, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của khối chóp, lăng trụ, cầu, nón, trụ:

-+Khối chóp, chóp cụt: 1

3

V = Bh; 1

3

3

3

V = B h; Sxq = π R l

4)Nắm vững các khái niệm về góc, khoảng cách:

• Góc:

- Góc α (0 )

2

π α

≤ ≤ giữa 2 đường thẳng là góc giữa 2 đường thẳng cắtnhau lần lượt cùng phương với hai đường thẳng trên

- Góc α (0 )

2

π α

≤ ≤ giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng

- Góc α (0 )

2

π α

≤ ≤ giữa hai mặt phẳng cắt nhau là góc có đỉnh nằm trên giao tuyến của 2 mặt phẳng, có hai cạnh lần lượt nằm trên hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến

• Khoảng cách:

- Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là độ dài đoạn vuông góc kẻ từ điểm đó đến mặt phẳng.

- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là độ dài đoạn vuông góc kẻ từ điểm đó đến đường thẳng.

- Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng đó đến mặt phẳng

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng này đến đường thẳng kia

- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là :

+ Độ dài đoạn vuông góc chung

+ Là khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

+ Là khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song song với đường thẳng này và chứa đường thẳng kia

5) Nắm vững và sử dụng thành thạo các định lý, nhất là định lý 3 đường vuông góc:

Định lý: Một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với đường xiên khi và chỉ khi nó vuông góc với hình chiếu của đường xiên

6) Nắm vững cách xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp :

• Xác định tâm:

+ Tâm là điểm cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp.

+ Tìm hai đỉnh mà tất cả các đỉnh còn lại đều nhìn hai đỉnh đó dưới một góc vuông.

+ Tìm giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy với mặt phẳng trung trực của một cạnh bên ( Nếu trục của đường tròn với cạnh bên đồng phẳng thì tìm giao điểm của trục đó với trung trực cạnh bên)

• Tính bán kính:

+ Thường dùng các hệ thức lượng trong tam giác hoặc đường tròn để tính……….

B) PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:

Dạng1: Tính trực tiếp thể tích khối chóp bằng cách tính chiều cao.

Bài1 : Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a.

Bài2 : Tính thể tích của khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a biết

a) Cạnh bên tạo với đáy góc 300

b) Mặt bên tạo với đáy góc 600

Bài3 : Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều biết

a) Cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy góc 300

b) Chiều cao bằng h, mặt bên tạo với đáy góc 600

Bài4: Chứng minh rằng một khối lăng trụ tam giác có thể chia ra làm 3 khối tứ diện và thể tích các khối tứ diện

này bằng nhau

Bài 5: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, góc ACB bằng 600 , đường chéo BC’ của mặt bên BCC’B’tạo với mặt bên ACC’A’ một góc 300.Tính thể tích khối lăng trụ

Bài6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A&D có AB = CD = 2a; CD = a Góc giữa

2 mặt phẳng (SCB) và ABCD bằng 600 Gọi I là trung điểm của AD, biết 2 mặt phẳng (SBI) & (SCI) cùng vuông góc với (ABCD) Tính thể tích khối chóp ABCD

Bài 7 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a.

Gọi M là trung điểm của đoạn A’C’, I là giao điểm của AM và A’C Tính thể tích của hình chóp IABC theo a

Dạng2:Tính thể tích bằng cách sử dụng công thức tỉ số thể tích hoặc phân chia, lắp ghép các khối đa diện.

Bài 8: Cho khối chop S.ABC có đường cao SA = a; đáy là tam giác vuông cân có AB = BC = a Gọi B’ là trung điểm SB, C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC Tính thể tích khối chop S.AB’C’

Bài 9: Cho khối chop S.ABC có đường cao SC = a Đáy là tam giác vuông cân có AB = AC = a Mp(P) qua C và vuông góc với SB tại B’; cắt SA tại A’ Tính thể tích khối chóp chóp S.CA’B’

Bài10 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD bằng 600, SA vuông góc với (ABCD) và SA = a Gọi C’ là trung điếm SC, mặt phẳng (P) qua AC’song song với BD cắt các cạnh SB, SD của hình chóp tại B’, D’ Tính thể tích của khối chóp

Bài11 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy,

cạnh SB hợp với đáy một góc 600 Trên cạnh SA lấy M sao cho AM= 3

3

a Mặt phẳng BCM cắt DS tại N.

Tính thể tích khối chóp SBCMN

Bài12: Chứng minh thể tích khối tứ diện ABCD được tình theo công thức :

1

6

ABCD

V = AB CD d α (với d là khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB & CD ) α là góc giữa 2 đường thẳng trên

Dạng3: Các bài toán xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bài13 : Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC) , SA = a , AB = b, AC = c, Xác định tâm và tính bán

kính của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện trong các trường hợp sau :

a) góc BAC = 900 b) góc BAC = 60 c)góc BAC =120 d)b=c

Bài14 : cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a mặt bên hợp với đáy một gócϕ Xác định tâm

-Bài15 : Trong mp(P) cho tam giác ABC vuông tại B, có cạnh AB = a; góc BAC = α và tam giác ADC vuông tại

D có AD =b (B và D nằm về 2 phía của đường thẳng AC) Trên đường thẳng vuôn góc với mp(P) tại A ta lấy điểm S sao cho SA = a

a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a, b, α

b) AI,AJ,AK lần lượt là các đường cao của các tam giác SAB,SAC,SAD Xác định tâm và tính bán kính các mặt cầu ngoại tiếp các đa diện ABCIJ,ẠSIJK

Bài16 : Cho hính lăng trụ tam giác đều có 9 cạnh đều bằng a Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại

tiếp lăng trụ

Bài17 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = a, mp(SAB)⊥ mp(ABCD).Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bài11 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , SA vuông góc với đáy, Gọi B’, C’, D’ lần lượt

là hình chiếu vuông góc của A trê SB, SC, SD Chứng minh A, B, C, D, B’, C’, D’ cùng nằm trên một mặt cầu Bài18 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân AB = AC = a, (SBC)⊥(ABC); SA = SB = a; SC = x

a)Chứng minh (SBC) là tam giác vuông

b)Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a và x

Bài19 : Cho 2 tia Ax & By vuông góc nhau và nhận đoạn AB làm đoạn vuông góc chung ; AB = 4 Trên Ax lấy

M , trên By lấy N Đặt AM = 3, BN = 5 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ABMN

Dạng 4: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Chú ý:

- Nếu đường thẳng d cắt mp(P) tại M; A & B là hai điểm nằm trên d sao cho MA = k.MB thì d(A;(P)) = k.d(B; (P))

- Để tính khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng thực chất là tính độ dài đoạn vuông góc kẻ từ điểm đó đến mặt phẳng, trong một số trường hợp không tính trực tiếp được thì ta tính gián tiếp nhờ công thức

(chóp)

.

3

V

B

Bài20 : Cho hình chóp S.ABC có góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) & (ABC) là 600 SBC & ABC là các tam giác đều cạnh a Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mp(SAC)

Bài21: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, cạnh bên AA’ = a 2 Gọi M là trung điểm của BC Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM & B’C

Bài22 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua

trung điểm SA, M là trung điểm AE, N là trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN & AC

Bài23 : Tứ diện ABCD có AB = x, các cạnh còn lại đều bằng 1.

a) Tính thể tích tứ diện theo x, suy ra điều kiện của x để bài toán có nghĩa

b) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) theo x

c) Định x để thể tích tứ diện lớn nhất

Dạng 5: Các bài toán tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian.

Để tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a & b trong không gian ta thường chọn ( hoặc vẽ) đường thẳng trung gian c song song với b và cắt a, suy ra góc giữa a & b chính bằng góc giữa a & c Đôi khi phải chọn ( hoặc vẽ) cả hai đường thẳng trung gian c & d cắt nhau lần lượt song song với 2 đường thẳng đã cho, suy ra góc giữa 2 đường thẳng a & b chính bằng góc giữa 2 đường thẳng c & d

Sau khi xác định được góc ta thường dựa vào các hệ thức có liên quan đến góc trong tam giác để tính góc, lưu ý là các góc α cần tính thỏa 0 ≤ ≤ α 900

Bài26: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông taị A, AB = a,

AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và côsin của góc tạo bởi hai đường thẳng AA’ & B’C’

Bài27 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và góc giữa 2 đường thẳng SM & DN

Dạng 6: Các bài toán liên quan đến khối cầu, khối trụ, khối nón.

Bài28 :Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng b Tính thể tích của khối cầu đi

qua tất cả các đỉnh của khối trụ

Bài29 : Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy góc 300 Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp

Bài30 : Cho hình trụ có tâm các đường tròn đáy là O & O’ Hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O,

AA’ & BB’ là các đường sinh của khối trụ Cho biết góc giữa mp(A’B’CD) và đáy của hình trụ là 600 Tính thể tích của khối trụ

Bài31 : Một khối trụ có diện tích toàn phần bầng 6 Xác định các kích thước của khối trụ để thể tích của nó lớn

nhất

Bài32 : Hình vuông ABCD có 2 đỉnh A, B nằm trên đường tròn đáy của một hình trụ, hai đỉnh còn lại nẳm trên

đường tròn đáy còn lại; mặt phẳng chứa hình vuông tạo với đáy góc 450 Tính thể tích khối trụ

Bài25 : Một mp(P) đi qua đỉnh S của một hình nón và cắt đường tròn đáy tại 2 điểm A & B, số đo của cung nhỏ

AB bằng α và góc giữa mp(P) và đáy hình nón là β, khoảng cách từ tâm O của đáy hình nón đến mp(P) bằng a Tính thể tích khối nón theo a, α β ,

Bài33 : Cho hình trụ có bán kính đáy là x, diện tích toàn phần bằng 2 π Tìm điều kiện của x để hình trụ như trên tồn tại và tìm x để thể tích khối trụ lớn nhất

Bài34:Cho mặt cầu đường kính AB = 2R Gọi I là điểm trên AB sao cho AI = h Một mp vuông góc với AB tại I

cắt mặt cầu theo đường tròn (C)

a) Tính thể tích khối nón đỉnh A đáy là hình tròn (C)

b) Xác định vị trí của điểm I để thể tích trên đạt giá trị lớn nhất

Bài35 :Một khối trụ được gọi là nội tiếp trong khối cầu nếu hai đường tròn đáy của khối trụ nằm trên bề mặt của

khối cầu

a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của khối trụ nội tiếp trong khối cầu bán kính R biết chiều cao của khối trụ bằng h

b) Trong tất cả các khối trụ nội tiếp trong khối cầu bán kính R, hỏi khối trụ có kích thước thế nào thì thể tích của

nó lớn nhất?

c) Trong tất cả các khối trụ nội tiếp trong khối cầu bán kính R, hỏi khối trụ có kích thước thế nào thì diện tích xung quanh của nó nhỏ nhất?

Bài

: