Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm

ĐỒ DÙNG DẠY HỌCÏ : Minh hoạ vận tốc và ý nghĩa đạo hàm III.. Suy ra đạo hàm của hàm số tại điểm x0 tồn tại khi và chỉ khi đạo hàm bên trái và bên phải tại x0 bằng nhau GV: Kết luận và

Tuần 1:

Tiết 1-2 :

Chương I

§1.ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

I.MỤC TIÊU BÀI DẠY :

Nắm được định nghĩa đạo hàm và ý nghĩa của đạo hàm

II ĐỒ DÙNG DẠY HỌCÏ :

Minh hoạ vận tốc và ý nghĩa đạo hàm

III TIẾN TRÌNH DẠY HỌC :

1 Ổn định lớp : Kiểm tra sĩ số,đồng phục, vệ sinh

2 Kiểm tra bài cũ :

3 Bài mới:

GV: Nhắc lại số gia của biến số và

số gia của hàm số:

+  x = x – x0 (xx0)

+  y = f(x0+  x) –f (x0)

GV:Cho một ví dụ để HS nhận xét

cách giải

HS:trả lời,GV củng cố và nêu:

HS:giải ví dụ, GV: sửa và Nhắc lại

cách tìm giới hạn (lớp 11)

GV:Tương tự ta có đạo hàm một

bên

GV:Tồn tại đạo hàm khi nào? Suy

ra điều gì ?

HS:giới hạn trái và phải bằng nhau

Suy ra đạo hàm của hàm số tại

điểm x0 tồn tại khi và chỉ khi đạo

hàm bên trái và bên phải tại x0 bằng

nhau

GV: Kết luận và đưa ra định lí

1.Bài toán vận tốc tức thời của một chất điểm chuyển động thẳng: (SGK)

2.Định nghĩa:

Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a;b) và

x0(a;b)

Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại x o được kí hiệu là y’(x0)

hay f ’(x0) Được định nghĩa như sau:

f x f x0 xx f x0

0 x o















) ( ) (

lim ) (

'

hay

x

y x

y

0 x o









 lim ) (

3 Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa :

1.Cho x0 số gia  x và tính :  y = f(x0+  x) – f (x0) 2.Lập tỉ số : x y



 3.Tìm giới hạn : x 0 xy







 lim

Ví dụ:Tính đạo hàm của hàm số sau:

y 3  x tại điểm x0 = – 1

4.Đạo hàm một bên:

Đạo hàm bên trái của hàm số y= f(x) tại x 0 , Kí hiệu là: f

’(  0

x ) được định nghĩa là

f ’( 

0

x ) =

x

y

0







lim

Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại x 0 , Kí hiệu

là: f ’( 

0

x ) được định nghĩa là:

f ’( 

0

x ) =

x

y

0







lim

Định lí: Hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x0 khi và chỉ

khi f ’( 

0

x ) và f ’( 

0

x ) tồn tại và bằng nhau.

Khi đó ta có: f ’(x0) = f ’( 

0

x ) = f ’( 

0

x )

5 Đạo hàm trên một khoảng

GV:Nhắc lại tính chất Hàm số liên

tục tại xo  lim xf( )

0

x

x  = f(x0) HS: Nhận xét để có tính chất mới :

f(x) lt tại x 0  y



lim0 = 0

GV: Đảo lại có đúng không ?

HS: Trả lời, giáo viên cũng cố và

đưa ra chú ý

GV:Chuyển sang ý nghĩa hình học

của đạo hàm, giáo viên treo hình vẽ

 C

T M

o

M

Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên

khoảng (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó.

Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên đoạn (a;b) nếu nó có đạo hàm trên khoảng (a;b) và có đạo hàm bên phải tại a , đạo hàm bên trái tại b

Kí hiệu: y’ hay f’(x)

6.Quan hệgiữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục

của hàm số.

Định lí Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x 0 , thì nó liên tục tại điểm đó.

Chứng minh:

Ta có: x 0y



x

y

0







 lim = y’(x0).0 = 0 Vậy hàm số liên tục tại x0

Chú ý: Đảo lại không đúng.

Ví dụ: Xét hàm số y= x  tại điểm x0 = 0 Tóm lại:

f(x) có đạo hàm tại x 0 



f(x) liên tục tại x 0

7 Ý nghĩa của đạo hàm.

1 Ý nghĩa hình học a.Tiếp tuyến của đường cong phẳng.

Cho một đường cong phẳng (C) và một điểm cố định

M0 trên (C) Kí hiệu M là một điểm di chuyển trên (C) ; đường thẳng M0M là một cát tuyến của (C)

Định nghĩa Nếu cát tuyến M0 M có vị trí giới hạn M 0 T khi điểm M di chuyển trên (C) và dần tới điểm M 0 thì đường thẳng M 0 T được gọi là tiếp tuyến của đường cong (C) Điểm M 0 được gọi là tiếp điểm.

b Ý nghĩa hình học của đạo hàm.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và có

đạo hàm tại điểm x0 (a;b) ; gọi (C) là đồ thị của hàm số đó

Định lý Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x 0 là hệ số góc của tiếp tuyến M 0 T của (C) tại điểm M0(x0;f(x0)) Tức là: f ’(x0)= hệ số góc của tiếp tuyến M 0 T

c Phương trình của tiếp tuyến

Định lí Phương trình của tiếp tuyến của đồ thị (C) của

hàm số y =f(x) tại điểm M 0 (x 0 ;f(x 0 )) là:

' ( )( )

0 0

0 f x x x y

y   

Ví dụ: Viết pt tiếp tuyến đồ thị (C) của hàm số:

1 y = x2 +2 tại điểm M  (C) có hoành độ x = -1

2 y  1  x tại điểm M(C) có hoành độ x = -1

2.Ý nghĩa vật lý.

a Vận tốc tức thời Xét chuyển động thẳng xác đinh bởi

phương trình: s = f(t); ( f(t) là hàm số có đạo hàm) Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t0 là đạo

GV: Cho 2 ví dụ cho 2 học sinh lên

bảng , cả lớp giải nháp và so sánh

kết quả trên bảng

Vậy: v(t0) = s’(t0) = f ’(t0)

b Cường độ tức thời Điện lượng Q truyền trong dây dẫn

là một hàm số của thời gian t , Q = f(t) (f(t) có đạo hàm ) Cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t là đạo hàm của điện lượng Q tại t: It = Q’(t)

4.Củng cố:

Dùng định nghĩa đạo để tính đạo hàm số: x ; x2 ;x1 ; x tại điểm x0

5.Dặn dò:Các em giải bài tập (SGK) và xem trước bài:” Các qui tắc tính đạo hàm”

*******o0o*******

Tuần 2:

Tiết 5-6 :

Chương I

§2.CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

I.MỤC ĐÍCH YÊU CẦU :

Nắm được các quy tắc tính đạo hàm.

II PHƯƠNG PHÁP:

-Phương pháp gợi mở vấn đáp , đặt vấn đề.

III cÁC BƯỚC LÊN LỚP :

1 Ổn định lớp : Kiểm tra sĩ số,đồng phục, vệ sinh

2 Kiểm tra bài cũ :Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y=x2+3x+2 tại x0=1/2

3 Bài mới:

GV cho HS tính đạo hàm các hàm

số : x , x1 , x , x3 bằng định nghĩa

từ đó đưa ra định lý

GV cho 4 nhóm HS giải ví dụ và

chỉnh sửa

GV chứng minh định lý

GV cho 2 nhóm HS giải ví dụ và

chỉnh sửa

GV chứng minh định lý

I.Đạo hàm của một số hàm số thường gặp.

Định lí:

1 (C)’ = 0 (C là hằng số )

2 (x)’ = 1 xR

3 2

x

1 x

1















 ' xR\{0}

4  

x 2

1

x ' xR+

5 (xn)’ = n.xn – 1

xR , nN

Chứng minh (SGK)

Ví dụ:Tính đạo hàm các hàm số:

a y = x3 , b y = x4 , c y = x10 , d y = x100

II.Đạo hàm của tổng (và hiệu) những hàm số.

a.Đạo hàm của tổng (hiệu)

Định lí Nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm

tại x , ta có:

((uu vv)')'uu''vv''

b.Tổng quát.

( u  v   w )'  u '  v '   w '

Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1 y = x3 + x + x1 2 y = x4 – x2 + 4

III.Đạo hàm của tích những hàm số.

1.Định lí Nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo

hàm tại x , ta có:

( u v )'  u ' v  u v '

2.Hệ quả Nếu k là hằng số thì:

( k u )'  k u '

3.chú ý: Ta dể dàng CM dược công thức suy rộng:

( uvw )'  u ' vw  uv ' w  uvw '

Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

Chú ý Có thể giải bằng cách sau:

Ta có : y = (2 – x2)(3 +4x3)

= – 4x5 + 8x3 – 3x2 + 6

 y’ =(–4x5 + 8x3 – 3x2 + 6)’

= – 20x4 + 24x2 – 6x

GV cho 3 nhóm HS giải ví dụ và

chỉnh sửa

GV chứng minh định lý

Chú ý.Đối hàm số

d cx

b ax y





 ta có

cx d 2

bc ad d

cx

b

ax

) (

'























GV cho 3 nhóm HS giải ví dụ và

chỉnh sửa

GV hướng dẫn HS tìm hàm số trung

gian của hàm số hợp y = f(g(x)):

1 y = 4  x 2

2 y = sin(2x –1)3

3 y = x(x +1)(x +2) 4 y = x(1– 3x2)(x +2) Giải.Ta có:

1.y’ = (2 – x2)’(3 + 4x3) + (3 + 4x3)’(2 – x2) = – 2x(3 + 4x3) + 12x2(2 – x2)

= – 6x – 8x4 + 24x2 – 12x4

= – 20x4 + 24x2 – 6x

IX.Đạo hàm của thương những hàm số

1.Định lí Nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo

hàm tại x và v(x)  0 , ta có:

v 2

u v v u v

u ' '  '















2.Hệ quả

a 2

v

v v

1 ' '















 (v = v(x)  0)

b x n nx n  1

 )' ( ( nZ )

Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1 y =

1 x

x 9 1





2 y =

x 2

4 x

x 2







3 y = 24x

 4 y = x2 xx52







Giải.Ta có:

1 x

x 9 1 1 x 1 x x 9 1 1

x

x 9 1

) (

) ( )' ( ) ( )' (

'

































8 1

x

x 9 1 1 x 9

) ( )

(

) ( ) (















V.Đạo hàm của hàm số hợp

1.Hàm số hợp Xét hai hàm số

g : (a;b)  R và f : (c;d)  R

x  u = g(x) u  y = f(u) Khi đó , hàm số : h : (a;b)  R

x  y = f(u) được gọi là hàm số hợp của x qua hàm trung gian u = g(x) , kí hiệu là : y = f(g(x))

Ví dụ: Xét hàm số y = (x2 – 3x +1)2

Đặt: u = x2 – 3x +1 , ta có : y = u2

Như vậy hàm số y = (x2 – 3x +1)2 là hàm số hợp của x qua hàm trung gian u = x2 – 3x +1

2.Đạo hàm của hàm số hợp.

a.Định lí Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm theo x kí hiệu

là u' xvà hàm số y = f(u) có đạo hàm theo u kí hiệu là

u

y' thì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm theo x kí hiệu là y' xvà ta có:

y '  x y ' u u ' x

b.Hệ quả

i (u)' n.u n 1 u'



ii ( u)' 2u'u



Ví dụ:Tính đạo hàm các hàm số sau:

1 y = (2x + 11)4 2 y = x 2 x 2





GV cho 2 nhóm HS giải ví dụ và

chỉnh sửa

3 y = (x2 + 1) x 2 x 1



 4 y = 3x x1



 Giải Ta có

1 y’ = 4(2x + 11)3(2x + 11)’= 8(2x + 11)3

2 x x 2

2 x x 2 x x y

2

2 2















2 x x

1 x 2

x x 2

2 x

2 2

















4.Củng cố :

+Vận dụng các qui tắc tính đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số phức tạp hơn

5.Dặn dò:

+Các em giải bài tập (SGK) và soạn bài:” Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản” +Phân công 4 nhóm học sinh giải bài toán sau đây:

Nhóm1:Dùng định nghĩa đạo hàm , tính đạo hàm của hàm số: y = sinx Nhóm2:Dùng định nghĩa đạo hàm , tính đạo hàm của hàm số: y = cosx Nhóm3:Dùng qui tắc đạo hàm của thương các hàm số , tính đạo hàm của hàm số:

y = tgx biết (sinx)’ = cosx , (cosx)’ = – sinx

Nhóm4:Dùng qui tắc đạo hàm của thương các hàm số , tính đạo hàm của hàm số:

y = cotgx biết (sinx)’ = cosx , (cosx)’ = – sinx

Tuần : 3-4

Tiết :9-11 Chương I

§3.ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN

I.MỤC ĐÍCH YÊU CẦU :

Nắm được các quy tắc tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản

II PHƯƠNG PHÁP:

-Phương pháp gợi mở vấn đáp , đặt vấn đề.

III CÁC BƯỚC LÊN LỚP :

1 Ổn định lớp : Kiểm tra sĩ số,đồng phục, vệ sinh

2 Kiểm tra bài cũ :Tính đạo hàm các hàm số sau: y=

4

x

 

 ; y=

3 2

x



3 Bài mới:

GV nhắn lại các phép toán về giới

hạn của hàm số

GV:Tính đạo hàm bằng định nghĩa

gồm mấy bước?

HS: Gồm ba bước

GV nhắn lại các công thức lượng

giác

+ cosa + cosb =2

2

cos 2 cosab a b

+ cosa – cosb =–2 sin 2

2 sinab a b

+ sina + sinb = 2

2

b a 2

b

a  cos  sin

+ sina – sinb = 2 sin 2

2 cosab a b

Chú ý : 1

2

x2

x

0









sin lim

GV nhắc lại các công thức lượng

giác

* sin2a = 2sina.cosa

* cos2a = cos2a – sin2a

= 2cos2a – 1

= 1 – sin2a

I.Đạo hàm của một hàm số lượng giác.

1.Định lí:

1

x

x

0



sin lim x R

Chứng minh (SGK)

Ví dụ :

x

x 2 2

x

x 2 2 x

x 2

0 x 0

x 0



















sin lim

sin lim

sin lim

2)

2

1 4 1 2

x2

x 2 x

2

x 2 x

x 1

2

0 x 2 2

0 x 2 0



































lim

2.Đạo hàm của hàm số y = sinx

Định lí Hàm số y = sinx có đạo hàm tại mọi xR và :

x

x )' cos (sin 

Chứng minh Cho số gia x tại x , ta có

1 y = sin(x + x) – sinx = 2 x 2x 2x









cos

2

x

y





=

x 2 x 2

x x 2

















sin

3 y’ =

x

y

0

x 





 lim =

x 2 x 2

x x 2

0



















sin cos

lim

=

2

x2

x 2

x x

0 x 0























sin lim cos

Chú ý : Đối với hàm số hợp sinu , ta có (sin u  )' (cos u ) u '

Ví dụ :Tìm đạo hàm của hàm số y = sin23x Giải ta có

y’ = (sin23x)’ = 2sin3x.(sin3x)’

= 2sin3x.cos3x.(3x)’= 6sin3x.cos3x = 3sin6x

GV cho HS chứng minh định lí

GV hướng dẫn học sinh

Hàm số y = cos2(x2 + 1) = u2 với

u= cos(x2 + 1)

Áp dụng công thức : (un)’= nun-1.u’

Học sinh áp dụng công thức

2

v

u v v

u

v

u ' '  '













 để chứng minh:

(tgx)’

x

x x

x

x

2

2 2

cos

sin cos

cos

sin '



















1 tg x

x

cos

GV hướng dẫn học sinh

Hàm số y = tg2(x2 +3x) = u2 với

u= tg(x2 + 3x)

Áp dụng công thức : (un)’= nun-1.u’

Học sinh có thể áp dụng công

thức

2

v

u v v

u

v

u ' '  '













 để chứng minh

hoặc áp dụng (tgu)’

u

u

2

cos

'



GV hướng dẫn học sinh

Hàm số y = cotg4(x2 +x) = u4 với

u= tg(x2 + x)

Áp dụng công thức : (un)’= nun-1.u’

3.Đạo hàm của hàm số y = cosx

Định lí Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi xR và

x

x )' sin (cos   Chú ý : Đối với hàm số hợp cosu , ta có (cos u )'  (  sin u ) u '

Ví dụ :Tìm đạo hàm của hàm số : y = cos2(x2 + 1) Giải ta có

y’ = (cos2(x2 + 1))’= 2cos(x2 + 1).(cos(x2 + 1))’

= 2cos(x2 + 1).–sin(x2 + 1).(x2 + 1)’

= – 4xcos(x2 + 1).sin(x2 + 1) = –2xsin2(x2 + 1)

4.Đạo hàm của hàm số y = tgx

Định lí Hàm số y = tgx có đạo hàm tại mọi xR\ 2 + k , kZ  và :

1 tg x

x

1

2  

cos )'

Chú ý : Đối với hàm số hợp tgu , ta có ( ) '

cos

' )'

u

u

2  



Ví dụ :Tìm đạo hàm của hàm số : y = tg2(x2 +3x) Giải ta có

y’= (tg2(x2 +3x))’ = 2tg(x2 +3x).(tg(x2 +3x))’

= 2tg(x2 +3x)cos( ( )' )

x x

x x

2 2 2





= 2(2x +3)cossin(3(xx2 3xx))

2





5.Đạo hàm của hàm số y = cotgx

Định lí Hàm số y = cotgx có đạo hàm tại mọi xR\k ,

kZ  và :

sin )'

x

1

2   



Chú ý : Đối với hàm số hợp cotgu , ta có

sin

' )'

u

u

2   



Ví dụ :Tìm đạo hàm của hàm số : y = cotg4(x2 +x) Giải ta có

y’= (cotg4(x2 +x))’= 4(cotg3(x2 +x)).(cotg(x2 +x))’

= 4(cotg3(x2 +x))sin2(x12 x)





(x2 +x)’

= – 4(2x + 1)cossin (( ))

x x

x x

2 5

2 3





II.Đạo hàm của các hàm số mũ , lôgarit và luỹ thừa 1.Giới hạn có liên quan với số e.

Ta đã biết rằng : e

n

1 1

n

n  

















với e  2,71828…

Học sinh có thể dùng phép chia đa

thức :

1

1

x





1 x

2 1

1

x

1

x











GV nhắc các phép toán tính giới

hạn

) ( lim )

( lim ))

(

)

(

(

o o

x

GV nhắc các phép toán về luỹ

thừa

+ an.am = an + m

m

n

a

a



+ (a.b)n = an.bn

+ (an)m = an.m

Chú ý: lim 1 1









e x o

x

Nhắc lại: a ax x

 log

GV cho học sinh giải và nêu kết

quả

HS1: y’ x 2 1

e x

HS2:y’

8 8

1 x

2

3

3 x x 2 x 1

ln ).

(







Định lí

e

x

1 1

x

















Ví dụ : Tìm x xx 11 x 2

















 lim Giải Ta có

1 x

2 1 1 x

2 1 x 1 x

1 x

















 ( )

Đặt : x21 1y

 thì x = 2y + 1 Vậy:

3 y y

2 x

1 1 1

x 1

































lim

3 y

1 1 y

1































3 y

2 y

1 1 y

1



































 lim lim  e 2 1  e 2

Hệ quả

a 1 x x e

1 0

 ( )

b 1

x

x 1

0



) ln(

c 1

x

1

e x 0

x  



lim

Chứng minh: (SGK)

2.Đạo hàm của hàm số mũ.

a.Định lí 1 Hàm số y = ex có đạo hàm tại mọi xR và

x

x e

e )'  (

Chứng minh.

1.Cho số gia x tại điểm bất kì x  R , ta có y = ex + x – ex = ex(ex – 1)

2

x

y





e e x 1

x x







3 y’

x

1 e e x

x o x o



















 lim lim

o x

x

1 e











 lim Chú ý : Đối với hàm số hợp eu , ta có ( e u )' e u u '



b.Định lí 2 Hàm số y = ax (0 < a 1 ) có đạo hàm tại mọi xR và

( a x )'  a x ln a

Chứng minh Vì a = elna nên y = ax = exlna Vậy (ax)’ = (exlna)’= exlna.(xlna)’= exlnalna = axlna Chú ý : Đối với hàm số hợp au , ta có

( a u )' a u ln a u '



Ví du 1ï Tìm đạo hàm của hàm số : x 2 1

e

y 



Ví du 2ï Tìm đạo hàm của hàm số : x x 2 x 1

8 3



3.Đạo hàm của hàm số lôgarit .

Nhắc lại:

+ loga(x1.x2) = logax1 + logax2

+ loga

2

1

x

x

= logax1 – logax2

GV cho học sinh giải và nêu kết

quả

HS: y’ =

5 x x

2 x

2







HS: y’= ( x 35)ln2



GV cho học sinh giải và nêu kết

quả

HS : y’ = 3

2

x 3

1 

=

3

2

x 3

1 (x > 0)

HS : y’ = 4 4 x 2 x 1 3

1 x 2

)



a.Định lí 1 Hàm số y = lnx có đạo hàm tại mọi x *



R và (ln x  )' x1

Chứng minh (SGK)

Chú ý :

1.Đối với hàm số hợp lnu , ta có

u

u

u ' )' (ln 

2 (ln x  )' x1 ( x  0)

b.Định lí 1 Hàm số y = logax (0 < a  1) có đạo hàm tại mọi x *



R và

a x

1 x

a )' ln

(log  Chú ý :Đối với hàm số hợp logau , ta có

a u

u u

a ln

' )' (log 

Ví dụ 1 Tìm đạo hàm của hàm số y = ln(x2 + 2x +5)

Ví dụ 2 Tìm đạo hàm của hàm số y = log2(3x +5)

4.Đạo hàm của hàm số luỹ thừa.

Định lí 1 Hàm số luỹ thừa y = x (R) có đạo hàm tại mọi x *



R và

x  x   1



 )'

Chú ý :Đối với hàm số hợp u , ta có ( u  )' u   1 u '



Ví du ï1ï Tìm đạo hàm của hàm số y = 3

1

x

Ví du ï2 Tìm đạo hàm của hàm số y = 4 x 2  x  1

4.Củng cố :

+Vận dụng các qui tắc tính đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số phức tạp hơn

5 Dặn dò :