định nghĩa đạo hàm cơ bản

Về kiến thức : - Biết được định nghĩa đạo hàm tại một điểm, trên một khoảng.. - Lập được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị - Biết tìm vận tốc tức thời c

Ngày soạn: 09/03/2011 Ngày dạy: 14/03/2011

ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

(Tiết 2)

I Mục tiêu : Qua bài học, Học sinh cần :

1 Về kiến thức :

- Biết được định nghĩa đạo hàm (tại một điểm, trên một khoảng)

- Biết ý nghĩa vật lí và hình học của đạo hàm

2 Về kĩ năng :

- Tính được đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm đa thức bậc 2 hoặc 3 theo định nghĩa

- Lập được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị

- Biết tìm vận tốc tức thời của một chuyển động có phương trình S = f(x)

3 Về tư duy thái độ:

- Biết đưa những kiến thức – Kỹ năng mới về kiến thức – Kỹ năng quen thuộc áp dụng vào bài tập

- Biết nhận xét và đánh giá bài làm của bạn cũng như tự đánh giá kết quả học tập của bản thân

- Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới Có tinh thần hợp tác trong học tập

II Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:

1 Giáo viên:

- Chuẩn bị các câu hỏi gợi mở vấn đề, giáo án…

2 Học sinh:

- Kiến thức cũ về hàm số, giới hạn của hàm số, kiến thức vật lí về vận tốc tức thời, phương trình đường thẳng…

- Đã chuẩn bị bài ở nhà, SGK, giấy bút, thước

III Phương pháp:

- Vận dụng linh hoạt các PPDH nhằm giúp HS chủ động tích cực trong phát hiện, chiếm lĩnh tri thức như: trình diễn, thuyết trình, giảng giải, gợi mở vấn đề, nêu vấn đề, …

- Trong đó, phương pháp chính được sử dụng là: gợi mở, phát vấn thông qua các hoạt động điều khiển tư duy, hoạt động nhóm

IV Tiến trình bài học:

1. Ổn định lớp: Kiểm tra sĩ số,sự chuẩn bị của học sinh cho bài học: Sách, vở, dụng cụ.

2. Kiểm tra bài cũ:

Câu 1 Cho hàm số f(x) = 2x + 1 Tính f(3+t) – f(3), và

0

(3 ) (3) lim

t

f t f t

→

+ −

Câu 2 Cho hàm số ( )

1

x

f x

x

=

− Tính (3f + −t) f(3) và 0

(3 ) (3) lim

t

f t f t

→

+ −

3 Bài mới:

Hoạt động 1 ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

Hoạt động thành phần 1 Các bài toán dẫn tới khái niệm đạo hàm.

GV: nêu cho thầy công thức tính vận tốc

HS: v s

t

=

GV:vậy quãng đường mà viên bi đi từ vị trí t0 tới vị trí t là bao nhiêu?

HS: ∆ = − =s s s0 s t( )−s t( )0

GV: Thời gian viên bi đi từ t0 tới vị trí t là bao nhiêu ?

HS: ∆ = −t t t0

GV: vậy vận tốc của viên bi trên cả đoạn đường đó là bao nhiêu ? giả sử viên bi

chuyển động không đều thì vận tốc đó có phải là vận tốc trung bình không?

0

( ) ( )

s t s t

v

t t

−

∆ =

−

GV: bây giờ thầy muốn biết vận tốc của viên bi khi thầy vừa bắn ra tại thời điểm t0

thì có thể làm được không? Tính cho thầy v t( ) ?0 = Các em nhìn công thức

0 0

( ) ( )

s t s t

v

t t

−

∆ =

− xem khi t càng gần t0 có phải ta càng xác định được là v t càng ( )0

gần về v∆ đúng không ? Như vậy có phải là

0

0 0

0

( ) ( ) ( ) lim

t t

s t s t

v t

t t

→

−

=

− và người ta đã

thấy rằng khi mà t càng gần t hay 0 t t− 0 càng nhỏ thì vận tốc trung bình v∆ càng

gần về v t và thể hiện được mức độ nhanh chậm của chuyển động của viên bi tại ( )0

thời điểm ban đầu t Chúng ta đi tới định nghĩa sau đây.0

HS: Đứng dậy đọc định nghĩa

I ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM

1 Các bài toán dẫn tới khái niệm đạo hàm

a) Bài toán tìm vận tốc tức thời

Định nghĩa

Giới hạn hữu hạn (nếu có)

0

0 0

( ) ( ) lim

t t

s t s t

t t

→

−

− được gọi

là vận tố tức thời của chuyển đọng tại thời điểm t 0

Đây chính là đại lượng đặc trương cho sự nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t 0

b) Bài toán tìm cường độ tức thời

Định nghĩa SGK

Nhận xét

Trong nhiều bài toán về vật lí, hóa học… đưa ta tới việc tìm giới hạn dạng

0

0 0

( ) ( ) lim

x x

f x f x

x x

→

−

− trong đó

( )

y= f x là một hàm số đã cho Giới hạn này dẫn ta tới một khái niệm quan trọng trong toán học đó là khái niệm đạo hàm

Hoạt động thành phần 2 Đạo hàm của hàm số tại một điểm

Hoạt động của GV và

GV: gọi một HS đứng

dậy đọc định nghĩa

HS: Đọc định nghĩa

2 Đạo hàm của hàm số tại một điểm

Định nghĩa:

Cho hàm số y= f x( ) xác định trên khoảng (a;b) và x0∈( ; )a b Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

0

0 0

( ) ( ) lim

x x

f x f x

x x

→

−

− thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y= f x( )

tại điểm x và kí hiệu là 0 f x ( hoặc '( )0 y x ) tức là '( )0

0

0 0

0

( ) ( ) '( ) lim

x x

f x f x

f x

x x

→

−

=

Hoạt động thành phần 3 Áp dụng

GV:

Ví dụ 1 Tính đạo hàm của hàm số y= f x( )=x2−2x+3

tại x0 =2

HS: suy nghĩ

GV: ta tính x x− =0 ?

HS: x x− = −0 x 2

GV: tính f x( )− f x( ) ?0 =

f x − f =x − x+ − − + =x − x

GV: tính

0

0 0

0

( ) ( ) '( ) lim

x x

f x f x

f x

x x

→

−

=

−

HS: Suy nghĩ và làm ví dụ

GV: Ngoài ra người ta còn đặt một đại lượng trung gian

khác cho việc tính đạo hàm Ta có chú ý sau

HS: ghi chú ý

Ví dụ 1 Tính đạo hàm của hàm số y= f x( )=x2−2x+3 tại x0 =2

Ta có x0 =2 vậy

0

f x − f x = f x − f =x − x+ − − + =x − x

=>

0

2 0

0

f x f x x x x x

Vậy đạo hàm của 2

y= f x =x − x+ tại x0 =2 là f x'( ) 20 =

Chú ý:

Đại lượng ∆ = −x x x0được gọi là số gia của đối số tại x 0

Đại lượng ∆ =y f x( )− f x( )0 = f x( 0+ ∆ −x) f x( )0 được gọi là số gia tương ứng của hàm số Như vậy '( ) lim0 0

x

y

y x

x

∆ →

∆

=

∆

Hoạt động thành phần 4 Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

GV: ta có quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa

như sau

HS: Đứng dậy đọc quy tắc

GV: Như vậy chúng ta như thể có hai cách tính

đạo hàm của hàm số tại điểm x0 nào đó nhưng

thực ra chỉ là một mà thôi

HS: ghi chép vào vở

3 Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Để tính đạo hàm của hàm số y= f x( ) tại điểm x bằng định nghĩa ta có quy tắc sau 0

đây

Quy tắc Bước 1 Giả sử x∆ là số gia của đối số tại x , tính 0 ∆ =y f x( 0+ ∆ −x) f x( )0

Bước 2 Lập tỉ số y

x

∆

∆ .

Bước 3 Tìm

0

lim

x

y x

∆ →

∆

∆ .

Hoạt động thành phần 5 Áp dụng

GV: Bước 1 Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x , tính 0

y f x x f x

∆ = + ∆ −

HS:

2

( ) ( ) (1 ) 3(1 ) 4 ((1) 3.1 4)

x x

= ∆ − ∆

GV: Lập tỉ số y

x

∆

∆ .

HS:

2

1

x

∆ = ∆ − ∆ = ∆ −

GV: Tìm

0

lim

x

y x

∆ →

∆

∆

HS:

0 0

lim lim ( 1) 1

y

x x

∆ → ∆ =∆ → ∆ − = −

∆

GV: các em kết luận và làm vào vở

Ví dụ 2 Tính đạo hàm của hàm số 2

f x = − − +x x tại

0 1

x =

-/Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 =1 ta có

y f x x f x f x f

(1 x) 3(1 x) 4 ((1) 3.1 4) x x

= + ∆ − + ∆ + − − + = ∆ − ∆

-/

2

1

x

∆ =∆ − ∆ = ∆ −

-/

0 0

lim lim ( 1) 1

y

x x

∆ → ∆ =∆ → ∆ − = −

∆

Vậy '(1)f = −1

Hoạt động thành phần 6 Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và sự liên tục của hàm số

Hoạt động của GV và HS Ghi bảng – Trình chiếu

GV: các em thừa nhận định lí sau đây

HS: Ghi chép vào vở

GV: Điều ngược lại của định lí là chưa chắc

đúng Các em xem ví dụ trong SGK

HS: Ghi chép vào vở và xem ví dụ trong SGK

4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và sự liên tục của hàm số

Định lí1 Nếu hàm số y= f x( ) có đạo hàm tại điểm x thì nó liên tục tại điểm đó0

Chú ý

- Định lí trên tương đương với khẳng định: Nếu hàm số y= f x( ) gián đoạn tại điểm x thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.0

- Mệnh đề đảo của định lí1 là không đúng Một hàm số liên tục tại một điểm chưa chắc đã có đạo hàm tại điểm đó

Hoạt động thành phần 7 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

GV: Các em vẽ đồ thị của hàm sô

2

( ) 2

x

y= f x =

HS: Tự vẽ hình

GV:Tính '(1)f

HS: '(1) 1f =

GV: Vẽ đường thẳng đi qua điểm (1; )1

2

M và có hệ số góc bằng '(1)

f Nêu nhận xét về vị trí tương đối của đường thẳng này với đồ

thị hàm số đã cho

HS: Tự vẽ

GV: treo hình 63

GV: ta thấy khi x→x0 thì M x f x di chuyển trên ( C ) tới ( ; ( ))

điểm nào ? Vậy ta có một khái niệm mới về tương quan giữa

đường thẳng và một đường cong

Treo hình 63

a) Tiếp tuyến của đường cong phẳng

Định nghĩa

Giả sử cát tuyến M0M có vị trí giới hạn, kí hiệu là M0T thì M0T

được gọi là một tiếp tuyến của ( C) tại M0 Điểm M0 được gọi là

tiếp điểm

GV: Như vậy M0T được gọi là một tiếp tuyến của ( C) tại M0 Vậy

hệ số góc của tiếp tuyến này là bao nhiêu ? xác định như thế nào ?

HS: Suy nghĩ

GV: Chúng ta qua định lí thứ 2 xem có trả lời được câu hỏi vừa rồi

không?

HS: Đọc định lí 2 (SGK-151)

GV: Giả sử hệ số góc của tiếp tuyến là k vậy k = ?

HS: k = f x'( )0

GV: Một em nhắc lại cho thầy về phương trình đường thẳng

HS: y y− 0 =k x x( − 0)

GV: Vậy phương trình đường thẳng đi qua M x y và có hệ số 0( ; )0 0

góc k

HS: y kx kx= − 0+y0

GV:Như vậy ta có thể thay k = f x'( )0 để viết phương trình tiếp

tuyến của của ( C) tại M0 không ?Một em đọc cho thầy định lí 3

b) Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Cho hàm số y= f x( ) xác định trên khoảng (a;b) và có đạo hàm tại

0 ( ; )

x ∈ a b Gọi (C) là đồ thị của hàm số đó

Định lí 2 Đạo hàm của hàm số y= f x( )tại điểm x là hệ số góc của tiếp 0

tuyến M0T của (C) tại điểm M x f x0( ; ( ))0 0

Chứng minh: SGK

c) Phương trình tiếp tuyến

Định lí 3 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) của hàm số y= f x( ) tại điểm M x f x0( ; ( ))0 0 là

y y− 0 = f x'( )(0 x x− 0) trong đó y0 = f x( )0

Hoạt động thành phần 8 Áp dụng

GV: Ta có x0 = ?

HS: x0 = -1

GV: Trước hết ta tính k = f '( 1)− , ta sử dụng định nghĩa để

tìm

HS: học sinh tự tính, gọi đọc kết quả k= f '( 1) 3− =

GV: áp dụng định lí 3 ta viết phương trình tiếp tuyến

HS: Tự viết

GV: Sửa lại cho đúng lôgic

Ví dụ 3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f x( )=x3 tại điểm M0( 1; 1)− −

Giải:

Ta có k= f '( 1) 3− = (theo định nghĩa) và ( 1)y − = −1. Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3

( )

y= f x =x tại điểm

0( 1; 1)

M − − với hệ số góc k= f '( 1) 3− = có dạng là:

y y− = f x x x− ⇔ =y x+ − ⇔ =y x+

Hoạt động thành phần 9 Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

Hoạt động của GV và HS Ghi bảng – Trình chiếu GV: Như trong baig toán ban đầu ta đã biết thì vận

tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t 0 chính là

đạo hàm của hàm số s = s(t) tại t 0 : v(t 0 ) = s’(t 0 )

HS: chú ý và đọc thêm SGK

GV:tương tự như bài toán về cường độ dòng điện

tức thời của dòng điện tại thời điểm t 0 : I(t 0 ) = Q’(t 0 )

HS: đọc SGK

Ví dụ 4.

Một chất điểm chuyển động có phương trình S =3t2+ +5 1t ( t tính theo giây, S tính bằng mét) Tính vận tốc của chất điểm đó tại thời điểm t = 1s ( v tính bằng m/s)

Theo bài ta có v(t 0 ) = s’(t 0 ) với t 0 = 1

Mà S’(1) = 11 (theo định nghĩa của đạo hàm) Nên vận tốc của chất điểm tại

thời điểm t = 1s là ; v(t 0 ) = s’(t 0 ) = 11 (m/s)

Hoạt động 2 Đạo hàm trên một khoảng

GV: như vậy chúng ta đã tính được đạo hàm của một hàm số tại một

điểm x0 nào đó Vậy đạo hàm của một hàm số trên một khoảng thì

sao ? ta tính là sao ?

HS: suy nghĩ

GV: một khoảng ( a;b) hỏi có bao nhiêu điểm x0 ?

HS: Có vô số

GV: Vậy muốn tính đạo hàm của một hàm số trên một khoảng (a;b) ta

phải tìm đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng ( a;b)

HS: Suy nghĩ

GV: ta đi đến định nghĩa sau Gọi một học sinh đọc định nghĩa

Định nghĩa.

Hàm số y= f x( ) được gọi là có đạo hàm trên khoảng ( ; )a b

nếu nó có đạo hàm tại ∀ ∈x ( ; )a b Khi đó ta gọi hàm số ' : ( ; )f a b →R

x→ f x'( )

là đạo hàm của hàm số y= f x( ) trên khoảng ( ; )a b , kí hiệu là y’

hay '( )f x

4 Củng cố

- phần này các em nhớ thật kĩ cho thầy cách tính đạo hàm của hàm số tại một điểm theo định nghĩa (tại một điểm, trên một khoảng)

- Biết ý nghĩa vật lí và hình học của đạo hàm

- Tính được đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm đa thức bậc 2 hoặc 3 theo định nghĩa

- Lập được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị

- Biết tìm vận tốc tức thời của một chuyển động có phương trình S = f(x)

5. Bài tập về nhà và hướng dẫn bài tập về nhà.

- về nhà làm bài tập 1, 2, 3, 4, 5, 6

- Các bài 1 đến 4 dùng định nghĩa để làm, bài 5, 6 dùng định lí 2 để làm, các em về học kĩ lí thuyết và làm bài tập đầy đủ tiết tới chúng ta ôn tập