78 câu trắc nghiệm cực trị hàm số

Tìm cực trị của hàm số và tìm tham số m để hàm số đạt cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước, tìm cực trị hàm số khi biết đồ thị hàm số y=f(x), Tìm các cực trị hàm số thông qua phép suy đồ thị . Bài toán cực trị thường gặp nhất trong các đề thi cao đẳng, đại học, THPT QG môn Toán. Đây là phần kiến thức có rất nhiều vấn đề cần học. www.hoctoan.ga giới thiệu đến quý độc giả ( học sinh lớp 12 và quý thầy cô giáo giảng dạy Toán THPT) chuyên đề cực trị hàm số với 78 câu trắc nghiệm có đáp án và hướng dẫn giải chi tiết được soạn thảo công phu bằng word 2003.

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

* Định nghĩa: Cho y= f x( ) xác định và liên t

ục trên ( )a;b và x0 ∈( )a;b

a) Nếu tồn tại số h> 0sao cho f x( ) < f x( )0 ∀ ∈x ( x0 −h; x0+h ) và x x≠ 0

thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0

b) Nếu tồn tại số h> 0sao cho f x( ) > f x( )0 ∀ ∈x ( x0 −h; x0+h ) và x x≠ 0

thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0

* Định lí 1: Giả sử y= f x( ) liên tục trên khoảng K ( x= 0 −h; x0 +h ) và có đạo hàm trên K

hoặc trên K \{ }0 với h > 0 Khi đó:

( Tại x0 có thể đạo hàm không xác định )

* Định lí 2: Giả sử y= f x( ) có đạo hàm cấp hai trong ( x0 −h; x0 +h )vớih>0 Khi đó: a) Nếu

"

0 ) ( '

x f

x f

thì x0 là điểm cực tiểu của y= f x( ) .

"

0 ) ( '

x f

x f

thì x0 là điểm cực đại của y= f x( ) .

Hàm số đạt cực đại tại x= −1 và đạt cực tiểu tại x=1.

Ví dụ 2 Tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số 1 4 2

24

Đồ thị hàm số có điểm cực đại ( )0 0; , các cực tiểu (− −2 4; ) (; ;2 4− )

Với m=1 suy ra y x= −3 3x2 +2, y' =3x2 −6x, y" =6x−6

Ta có ( )

( )

2 2

3

b

a c

− ≤ tức là a,b cùng dấu hoặc b=0 thì phương trình ( )a vô nghiệm hoặc có nghiệm x=0, khi đó hàm số chỉ có một cực trị là x=0

2

b a

− > tức là a,b trái dấu thì phương trình ( )a có hai nghiệm phân biệt khác 0,

 Tam giác ABC vuông cân ⇔ uuur uuurAB.AC =0

 Tam giác ABC đều ⇔ AB2 =BC2.

2

S = BC.AH với H là trung điểm BC

2 0

A m= 3 B m= 3 3 C m= 3 D m= 3 4

Bài giải

Để hàm số có ba cực trị thì − 2m< ⇔ > 0 m 0

Khi đó đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là A ;m(0 + 1), B(− m; m− 2 + +m 1) , C( m; m− 2 + +m 1) Khi đó ta có AB2 = +m m4, BC2 = 4m Tam giác ABC đều

3

0 4

Nhận xét Trong trường hợp tổng quát ta có A ;c( )0 , B

Ở đây ta cũng có nhận xét tương tự như ở ví dụ trên ta chứng minh được để tam giác ABC là một tam giác vuông thì b3 8

a = − việc chứng minh hệ thức này cũng khá đơn giản dành cho bạn đọc tự chứng minh

b/ Tạo thành một tam giác vuông ĐS:

c/ Tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1

Câu 3:Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên sau:

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (0;3), điểm cực đại là (2;-1).

B Đồ thị hàm số có điểm cực đại là (0;3), điểm cực tiểu là (2;-1).

C Đồ thị hàm số có điểm cực đại là (3;0), điểm cực tiểu là (-1;2).

D Hàm số đạt cực đại tại 3 và cực tiểu tại -1

Câu 4: Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên sau:

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1

B Hàm số có đúng một cực trị

C Giá trị cực tiểu của hàm số là 1

D Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = -1

-3 -2 -1 1 2 3

x y

Câu 5: Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến

thiên như hình vẽ Phát biểu nào sau đây là

Câu 10: Cho hàm số y = − +x2 2 Câu nào sau đây đúng ?

A Hàm số đạt cực đại tại x=0 B Hàm số đạt cực tiểu tại x=0

C Hàm số không có cực đại D Hàm số luôn nghịch biến.

Câu 11: Cho hàm số y = –x3 + 3x2 – 3x + 1, mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số luôn nghịch biến B Hàm số luôn đồng biến;

C Hàm số đạt cực đại tại x = 1 D Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 Câu 12: Đồ thi hàm số nào sau đây có 3 điểm cực trị?

A y =2x4 +4x2 +1 B y x= 4 +2x2 −1

C y x= 4 −2x2−1 D y = − −x4 2x2 −1

Câu 13: Đồ thi hàm số nào sau đây có không có cực trị?

A y =2x4 +4x2 +1 B y x= +3 2x2 −1

x y

y= x − x + , mệnh đề nào sau đây là đúng?

A một cực tiểu và một cực đại B một cực đại và không có cực tiểu.

C một cực tiểu và hai cực đại D một cực đại và hai cực tiểu.

Câu 15: Tìm điểm cực tiểu của hàm số y x= − − +3 x2 x 3

Câu 26: Cho hàm số y x= 4 − 2x2 + 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A Cực tiểu của hàm số bằng 0 B Cực tiểu của hàm số bằng 1

C Cực tiểu của hàm số bằng -1 D Cực tiểu của hàm số bằng ± 1

Câu 27: Cho hàm số f có đạo hàm cấp 1 trên ( a;b ) chứa x Chọn khẳng định đúng trong các0khẳng định sau đây?

A Nếu 0

0

00

 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.

C Nếu f '( x )0 =0 thì hàm số f đạt cực trị tại điểm x0

D Nếu 0

0

00

x y

x

− +

= +

x y x

+

= +

Câu 30:Bảng biến thiên sau phù hợp với hàm số nào?

Câu 33: Hàm số f có đạo hàm là f x'( )=x x2( +1) (22 x−1) Số điểm cực trị của hàm số là:

Câu 45: Cho đường cong y x= −3 3x2 Gọi ∆ là đường thẳng nối liền cực đại và cực tiểu của

nó Khi đó ∆là đường thẳng

A đi qua điểm M(-1; -2) B đi qua điểm M(1; -2)

C song song với trục hoành D không đi qua gốc toạ độ

Câu 46: Xác định m để hàm số y x= − 3 3mx2 + 3(m2 − 1)x m+ đạt cực tiểu tại x= 2.

Câu 55 : Cho hàm số y = f x( ) có đồ thị hàm số y= f ' x( ) như hình vẽ bên

Kết luận nào sau đây là đúng

1 2

x y

Kết luận nào sau đây là đúng

1 2 3 4

x y

Câu 60: Biết hàm số y x= 3−52016 2x +32016x+42016 có hai điểm cực trị x x Tích 1, 2 x x có1 2

Vận dụng cao

Câu 61: Cho hàm số y x= 3+(m−2)x2−3mx m+ Tìm giá trị của tham số m để hàm số có

cực đại, cực tiểu x x thỏa 1; 2 1 2

y= mx − m− x + m− x+ Với giá trị nào của m hàm số đạt

cực đại, cực tiểu tại x x thỏa mãn 1, 2 x1+2x2 =1 ?

Câu 66: Cho hàm số y x= 4 +2(m−2)x2 +m2 −5m+5 ( )C m Với những giá trị nào của m thì

đồ thị ( )C có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các cực đại và cực tiểu tạo thành một m

tam giác đều

A m= +3 2 B m= −3 2 C m= − 2 3 3 D m= + 2 3 3

Câu 67: Hàm số y= x4 −2mx2 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.Khi đó giá trị m là

Câu 68: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số

là đường cong hình bên Hàm số y = −x 2(x2−1)

có bao nhiêu điểm cực trị ?

Câu 74:Cho hàm sốy = f x( ) có đao hàm trên R Giả sử đồ thị hàm số y = f x'( ) là đườngcong hình bên Đặt g x( ) = f x( ) +x, ∀ ∈x R Hàm số y=g x( ) có bao nhiêu điểm cực trị ?

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 75:Cho hàm sốy = f x( ) có đao hàm trên R.

Giả sử đồ thị hàm số y = f x'( ) là đường cong

Đáp án

A đi qua điểm M(-1; -2) B đi qua điểm M(1; -2)

C song song với trục hoành D không đi qua gốc toạ độ

Hướng dẫn

Đường thẳng đi qua hai cực trị có phương trình y = −2x Chọn B

Câu 46: Xác định m để hàm số y x= − 3 3mx2 + 3(m2 − 1)x m+ đạt cực tiểu tại x= 2.

Thử lại ta thấy m= 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán Chọn C

Câu 47: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = −(m2 +5m x) 3 +6mx2 +6x−5 đạt cực tiểu tại1

m m

m m

 − − − − >  > −



⇔ − − − ≠ ⇔ ≠ − ⇔ > −

1 2

x

-6 -5.5 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4

x y

x ,x ⇒x x = = chọn B

Vận dụng cao

Câu 61: Cho hàm số y x= 3+(m−2) x2−3mx m+ Tìm giá trị của tham số m để hàm số có

cực đại, cực tiểu x x thỏa 1; 2 1 2

Câu 62: Tìm m để đồ thị hàm số y x= 4 −2(m+1)x2 +m có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác vuông.

I m; m , uuurAB=(2m;−4m3) A,B đối xứng nhau qua đường thẳng d : y x= khi và chỉ khi

3 3

02

y= mx − m− x + m− x+ Với giá trị nào của m hàm số đạt

cực đại, cực tiểu tại x x thỏa mãn 1, 2 x1+2x2 =1 ?

m= m= thỏa mãn điều kiện (*) Chọn B

Câu 65: Tìm tham số m sao cho khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

Phương trình y’=0 luôn có hai nghiệm x= − −m 1 và x = − +m 1

Lập bảng biến thiên ,ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = − +m 1 và y CT = −2 Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là A m(− + −1; 2) Ta có ( ) ( )2 2 ( )2

Vậy OA nhỏ nhất khi OA=2 tại m=1 Chọn A

Câu 66: Cho hàm số y x= 4 +2(m−2)x2 +m2 −5m+5 ( )C m Với những giá trị nào của m thì

đồ thị ( )C có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các cực đại và cực tiểu tạo thành một m

tam giác đều

m a

−

Câu 68: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số

m a

Chọn B

Câu 71: Hàm số chỉ đạt cực trị tại điểm x0 mà qua đó f ' x( ) đổi dấu Từ 1 đến 2017 có

2017 1

1009

2 + = nghiệm bậc lẽ, qua các nghiệm đó f ' x( ) đổi dấu, tại các nghiệm bậc chẵn f ' x( )

không đổi dấu Vậy có 1009 cực trị

y= −x x − bằn cách lấy đối xứng các phần đồ thị bên trái

đường thẳng x=2, từ qua trục hoành , giữ lại phần đồ thị bên phải

đường thẳng x=2 Như hình vẽ

Dựa vào hình vẽ ta thấy hàm số y = −x 2(x2 −1) có 3 cực trị

Chọn C

Câu 73: : Biết rằng hàm số y= − +x3 3x−2 có đồ thị là đường cong hình bên Hàm số

Câu 74:Cho hàm sốy = f x( ) có đao hàm trên R Giả sử đồ

thị hàm số y = f x'( ) là đường cong hình bên Đặt

suy ra từ đồ thị hàm số y= f x'( ) bằng cách tịnh tiến theo

trục oy lên trên 1 đơn vị xem hình vẽ Suy ra

( ) ( )

g x = f x +x có ba cực trị

Câu 75:Cho hàm sốy = f x( ) có đao hàm trên R.

Giả sử đồ thị hàm số y = f x'( ) là đường cong

Phương trình ( )b có hai nghiệm x= −1,x=2

Vậy h x'( ) =0 có 6 nghiệm phân biệt

Câu 77:Cho hàm sốy = f x( )có đồ thị là đường cong hình bên

Đặt k x( ) = f f x ( ), tìm số nghiệm của phương trình

Phương trình ( )2 có 4 nghiệm x ,x ,x ,x không trùng với các nghiệm đã có ở trên 3 4 5 6

Phương trình ( )3 có hai nghiệm không trùn với các nghiệm đã có ở trên

Chọn C