Chương 1 - Bài 2 (Dạng 3): Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước

Dạng 3 : Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước.. Phương pháp: • Trước hết ta tìm điều kiện để hàm số có cực trị, • Biểu diễn điều kiện của bài toán t

Dạng 3 : Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều

kiện cho trước.

Phương pháp:

• Trước hết ta tìm điều kiện để hàm số có cực trị,

• Biểu diễn điều kiện của bài toán thông qua tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số từ đó ta tìm được điều kiện của tham số

Định lí 2: Cho hàm phân thức hữu tỉ ( )

( )

u xy

v x

= khi đó nếu x0 là điểm cực

trị của hàm số thì giá trị cực trị của hàm số: ( )

( )0 0 0

'( )

' u x v x v x u xy

v x

−

=( ) ( ) ( ) ( )

Giải :

Ví dụ 3 : Tìm m để đồ thị của hàm số (Cm) :y =2x3 +mx2 −12x −13 có điểm cực đại, cực tiểu và các điểm này cách đều trục Oy

x ∈ m m

2 Tìm tham số m để hàm số 4 ( ) 2

y =x − m− x − đạt cực đại tại (1; 1)

'

∆ + 0 − 0 +

6m

< < thì 'y >0,∀ ∈x
⇒ hàm số luôn tăng x∀ ∈
, do đó hàm số không có cực trị

Dựa vào bảng xét dấu, suy ra x2 là hoành độ cực đại của hàm số

+

=

− + có cực đại tại ( )0;1

x ∈ và có cực tiểu x ở ngoài khoảng đó

2 Tìm tham số thực m để đồ thị của hàm số : 2 ( )

12

x ∈   và có cực tiểu x ở ngoài đoạn đó

3 Tìm tham số thực m để đồ thị của hàm số : ( ) 3 2

1

y = m+ x +mx −x có một cực trị tại x ∈ −( 1;1)

Ví dụ 7 : Cho hàm số 2 ( )

12

* Để hàm số đạt cực đại , cực tiểu tại các điểm có hoành độ x x1, 2thì phương

y = x − m− x + m − x + có cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ

cực đại, cực tiểu x x1, 2thỏa mãn hệ thức : 2≤ x1 −x2 <2 7

B x y thỏa mãn hệ thức : ( )( ) 2( )

y −y − m >m x −x

Ví dụ 8 : Tìm tham số m để hàm số y =(x −m) (x2 −3x −m −1) có cực đại và cực tiểu thỏa xC xCT =1

m

m

Pa

y = mx − m− x + m− x + có cực đại , cực tiểu đồng thời

hoành độ cực đại cực tiểu x x1, 2 thỏa x1 +2x2 =1

2 Tìm tham số m để hàm số ( ) 4 ( ) 2

y = m + x − m− x có 2 điềm cực tiểu khác O(0; 0) và hoành độ x x1, 2 của cực tiểu thỏa mãn y x( )2 +y x( )1 >1

i Với m∀ ∈
hàm số đã cho có điểm cực đại A(−2;m −3)và điểm cực tiểu (0; 1)

5

2 51

A Bsao cho tam giác MAB diện tích bằng 1, biếtM( )0;1

2 Định m để đồ thị của hàm số 4 2 2

y =x − m x + có cực trị , ,A B C sao cho tam giác ABC diện tích bằng 4

Dễ thấy AB =AC nên tam giác ABC vuông cân 2 2 2

y = x −x + m − x +m có 2 điểm cực trị ,

A B sao cho ABO một tam giác vuông cân , với O là gốc tọa độ

0' 0

2 Tìm m để đồ thị của hàm số 3 3 2 2

2

y = −x + m x có cực đại A , cực tiểu B đồng thời các điểm ABC cực trị lập thành tam giác đều, biết C −( 2; 3)

Ví dụ 14: Tìm a để đồ thị của hàm số 3 2 ( )

y =x − x + C có điểm cực đại

và điểm cực tiểu của đồ thị ( )C ở về hai phía khác nhau của đường tròn (phía

C ⇔IA< ⇔ a + − a < ⇔ a − a + < ⇔ <a <

Bài tập tự luyện:

1 Tìm m để đồ thị của hàm số 3 3 2 ( )

12

y = −x + x + C có điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị ( )C ở về một phía khác nhau của đường tròn (phía

m

C x +y +mx + my +m − =



Ví dụ 16: Tìm m để đồ thị của hàm số 3 2 2

3

y =x − x +m x +m có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng : = 1 − 5

đó I(1; 2− )và A x( 1; 2− x1); B x( 2; 2− x2) ⇒ I là trung điểm của AB ⇒A và B

đối xứng nhau quad

Gọi A x y( 1; 1) (,B x y2; 2) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số và I là

trung điểm của đoạn AB

2 Tìm m để đồ thị của hàm số y =x3 −mx2 +x −5m+1 có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị bé hơn 2

2 Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số 3 ( ) 2

y =x − m + x − m + có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách từ cực đại đến đường thẳng

mm

x −∞ x1 1 x2 +∞

'

y + 0 − − 0 +

Dựa vào bảng xét dấu suy ra A(1+ m +3;m+2+2 m +3) là

điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

2 Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số 3 ( ) 2

y =x − m+ x + m− có điểm cực tiểu nằm trên Parabol ( )P :y =x2

Ví dụ 20: Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số

y = −x + m + x − m + m− x +m − có điểm cực tiểu tại một

điểm có hoành độ nhỏ hơn 1

Hàm số có cực đại , cực tiểu khi phương trình g x( )= 0,x ≠1

có hai nghiệm phân biệt x x1, 2khác 1

Gọi A x y( 1; 1) (,B x y2; 2) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì x x1, 2

là nghiệm của phương trình g x( )= 0,x ≠1

2 Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số 3 3 2 2

12

y = −x + x +m −m+ có cực trị đồng thời tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị lớn nhất

Ví dụ 22: Tìm các hệ số , , ,a b c d sao cho hàm số f x( ) =ax3 +bx2 +cx +dđạt cực tiểu tại điểm x = 0,f( )0 =0 và đạt cực đại tại điểm x =1,f( )1 =1

x = và x =4

Dạng 4 : Ứng dụng cực trị của hàm số trong bài toán đại số

Ví dụ : Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình sau có một số lẻ