Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải bài toán tính nguyên hàm, tích phân thỏa mãn điều kiện cho trước.

Chính vìvậy từ năm học 2016 – 2017, tôi bắt đầu xây dựng và triển khai áp dụng sáng kiến “Một số phương pháp giải bài toán tính nguyên hàm, tích phân thỏa mãn điều kiện cho trước” vào tr

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến: Một số phương pháp giải bài toán tính nguyên hàm,

tích phân thỏa mãn điều kiện cho trước.

2 Bộ môn áp dụng sáng kiến: Toán

3 Tác giả:

Họ và tên: Giới tính:

Ngày tháng năm sinh:

Trình độ chuyên môn: Cử nhân sư phạm

5 Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu:

6 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh đã học lý thuyết vềnguyên hàm và tích phân

7 Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Năm học 2016 – 2017

Từ năm học 2016 – 2017, tôi tiến hành nghiên cứu đề thi THPT quốc gia đểlàm tài liệu phục vụ cho việc ôn tập của học sinh lớp 12 Trong quá trình nghiêncứu và giảng dạy tôi nhận thấy trong lớp các bài toán vận dụng và vận dụng caoxuất hiện một số bài toán về tính tích phân hoặc các bài tính giá trị của biểu thức

mà phải dựa vào tính nguyên hàm, tích phân với các điều kiện cho trước Đây làcác bài toán lạ và khó đối với học sinh, đặc biệt đối với học sinh đại trà Chính vìvậy từ năm học 2016 – 2017, tôi bắt đầu xây dựng và triển khai áp dụng sáng kiến

“Một số phương pháp giải bài toán tính nguyên hàm, tích phân thỏa mãn điều

kiện cho trước” vào trong việc ôn tập cho học sinh khối 12 với mục đích xây dựng

được một tài liệu hữu ích cho các thầy cô hướng dẫn ôn tập cũng như cung cấp chocác em học sinh khá và giỏi của nhà trường có được hệ thống bài tập và phươngpháp cụ thể trong việc học tập nội dung nguyên hàm tích phân, đặc biệt là tính cáctích phân dưới dạng hàm ẩn

2 Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến

2.1 Điều kiện áp dụng sáng kiến: Học sinh đã được trang bị các kiến thức cơ bản

3 Nội dung sáng kiến

3.1 Tính mới, tính sáng tạo của sáng kiến:

+ Sáng kiến hệ thống được sáu dạng toán cơ bản thường gặp về tính nguyên hàm,tích phân thỏa mãn điều kiện cho trước

+ Xây dựng được nhóm bài tập tương tự để học sinh tự luyện tập sau khi được giáoviên hướng dẫn trên lớp

+ Lời giải đơn giản, dễ hiểu Cách trình bày phù hợp với kiến thức cơ bản của học

3.2 Khả năng áp dụng của sáng kiến:

Để áp dụng sáng kiến có hiệu quả trước hết giáo viên cần dạy cho học sinhnhững kiến thức cơ bản về nguyên hàm, tích phân

Dạy tuần tự nội dung sáng kiến theo từng dạng toán Cụ thể:

+ Phương pháp 1: Sử dụng công thức u.v ' u '.v u.v'  

 Dấu “=” xảy ra khi f(x) = 0, x  a;b ”.

+ Phương pháp 4: Phương pháp đổi biến số

+ Phương pháp 5: Sử dụng các tính chất khác

+ Phương pháp 6: Dựa vào nguyên hàm, tích phân để tính giá trị biểu thức

3.3 Chỉ ra lợi ích thiết thực của sáng kiến:

+ Hệ thống bài tập trong sáng kiến đều là những bài toán tổng hợp nên có tác dụngrèn luyện cho học sinh rất nhiều kỹ năng: Kỹ năng phân tích, kỹ năng quan sát, kỹnăng lập luận tư duy lôgic,

+ Hệ thống bài tập trong sáng kiến giúp học sinh khi học tập được tiếp cận với cácbài toán ở cấp độ giành cho học sinh khá và giỏi, nên giúp các em nâng cao được

kỹ năng tính nguyên hàm, tích phân, từ đó giải quyết tốt hơn các bài toán gặp phảitrong các đề thi THPT quốc gia sau này

+ Sáng kiến là tài liệu tham khảo có giá trị giúp các thầy cô thực hiện công tác tựbồi dưỡng nâng cao trình độ chuyên môn cho bản thân, bồi dưỡng các học sinh khá

và giỏi đạt điểm cao trong kỳ thi THPT quốc gia

+ Nội dung sáng kiến có thể sử dụng để xây dựng nội dung sáng kiến khác có liênquan như: Một số phương pháp tính nguyên hàm, tích phân; Một số dạng toán vềtính tích phân chống máy tính cầm tay;

4 Khẳng định giá trị, kết quả đạt được của sáng kiến:

Năm học 2016 – 2017 và 2017 - 2018, tôi và các đồng nghiệp của nhà trườngđược phụ trách ôn tập cho học sinh khối 12 của nhà trường đã áp dụng sáng kiến

“Một số phương pháp giải bài toán tính nguyên hàm, tích phân thỏa mãn điều

kiện cho trước” Nhờ đó, các em học sinh giỏi 12 của nhà trường đều giải quyết

khá tốt các bài toán về tính nguyên hàm, tích phân trong đề thi THPT quốc gia.Nhờ đó, nhiều học sinh khối 12 các năm học 2016 - 2017 và 2017 - 2018 đã đạtđược điểm cao và đỗ vào các trường đại học, cao đẳng theo đúng nguyện vọng đặtra

5 Đề xuất kiến nghị để thực hiện áp dụng hoặc mở rộng sáng kiến:

Sáng kiến áp dụng hiệu quả nhất cho đối tượng là học sinh khá và giỏi khối

12 sau khi đã học xong phần cơ bản về nguyên hàm và tích phân

Sáng kiến này có thể kết hợp với với sáng kiến “Một số phương pháp tínhnguyên hàm, tích phân” và sáng kiến “Sử dụng máy tính cầm tay để tính nguyênhàm, tích phân” để nâng cao hiệu quả giảng dạy

Sáng kiến này có thể được lồng ghép trong hệ thống các phương pháp tínhnguyên hàm, tích phân Trong đó, phần 1 là các phương pháp cơ bản đã biết trongsách giáo khoa và phần 2 là nội dung sáng kiến này

MÔ TẢ SÁNG KIẾN

Từ năm học 2016 – 2017, tôi tiến hành nghiên cứu đề thi THPT quốc gia để làm tàiliệu phục vụ cho việc ôn tập của học sinh lớp 12 Trong quá trình nghiên cứu vàgiảng dạy tôi nhận thấy trong lớp các bài toán vận dụng và vận dụng cao xuất hiệnmột số bài toán về tính tích phân hoặc các bài tính giá trị của biểu thức mà phảidựa vào tính nguyên hàm, tích phân với các điều kiện cho trước Đây là các bàitoán lạ và khó đối với học sinh, đặc biệt đối với học sinh đại trà Chính vì vậy từ

năm học 2016 – 2017, tôi bắt đầu xây dựng và triển khai áp dụng sáng kiến “Một

số phương pháp giải bài toán tính nguyên hàm, tích phân thỏa mãn điều kiện cho trước” vào trong việc ôn tập cho học sinh khối 12 với mục đích xây dựng

được một tài liệu hữu ích cho các thầy cô hướng dẫn ôn tập cũng như cung cấp chocác em học sinh khá và giỏi của nhà trường có được hệ thống bài tập và phươngpháp cụ thể trong việc học tập nội dung nguyên hàm tích phân, đặc biệt là tính cáctích phân dưới dạng hàm ẩn

2 Cơ sở lý luận

2.1 Định nghĩa về nguyên hàm và tích phân:

+ Nguyên hàm: Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R

Cho hàm số f(x) xác định trên K Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm củahàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x), x  K

+ Tích phân: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn a; b Giả sử F(x) là một nguyênhàm của f(x) trên đoạn a; b Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b(hay tích phân xác định trên đoạn a; b ), của hàm số f(x), kí hiệu là  

3.2 Thực trạng của yêu cầu trong đề thi THPT quốc gia môn Toán:

Trong đề tham khảo và đề thi THPT quốc gia năm 2016 2017 và 2017

-2018 có một số bài toán về tính tích phân thỏa mãn điều kiện cho trước và tính giá

trị biểu thức thông qua bài toán tính nguyên hàm, tích phân(xem phụ lục 2).

Các bài toán về tính nguyên hàm, tích phân thỏa mãn điều kiện cho trướcchưa được đề cập trong sách giáo khoa và sách bài tập trong chương trình giải tíchbậc trung học phổ thông Do đó, việc giải quyết dạng bài tập này không chỉ là mộtkhó khăn cho học sinh dự thi THPT quốc gia mà còn gây khó khăn cho cả giáoviên tham gia ôn tập thi THPT quốc gia đặc biệt những giáo viên trẻ, có ít kinh

Vì vậy trong công tác ôn tập cho học sinh khối 12 cần phải có tài liệu về vấn

đề tính nguyên hàm, tích phân thỏa mãn điều kiện cho trước Xuất phát từ quanđiểm đó tôi đề xuất một hệ thống bài tập tính nguyên hàm, tích phân thỏa mãn một

số điều kiện cho trước và một vài phương pháp giải cơ bản thường gặp để khắcphục khó khăn đó

4 Các giải pháp thực hiện

4.1 Phương pháp 1: Sử dụng công thức u.v ' u '.v u.v'  

Bài toán: Cho hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện f(x 1) =  và một đẳng thức liên hệ giữa f(x) với f’(x) Yêu cầu tính tích phân I =

 theo kết quả f(x) tìm được ở trên.

Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên các khoảng xác định và thỏa

f 2  3  C = 5 Do đó ta được  

2 2

Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên các khoảng (- ; 0) và (0; + );

Thay x = 2 vào (1) ta được g(2).f’(2) = 0  g(2) = 0

0 0

1 o

x.f ' x e dx 8 

 và f 3  ln 3 Tính tích phân  

3

f x 0

+ Từ điều kiện f(x 1) =   giá trị của C  hàm số f(x).

+ Tính tích phân I =

b

a

f (x)dx

 theo kết quả f(x) tìm được ở trên

Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R có f(2) = 12 và

Ví dụ 5: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R có f(1) = 0 và

1 1

f x

x    1f 2  f 1  6

2   mà f(1) = 4 ta được f(2) = 20.

4.3 Phương pháp 3: Sử dụng tính chất “Nếu f(x)  0 và liên tục trên a;b thì

 

b

a

f x 0

 Dấu “=” xảy ra khi f(x) = 0, x  a;b ”.

Bài toán: Cho hàm số f(x) có  

 f(x) = G x  C (trong đó G(x) là một nguyên hàm của g(x))

+ Từ điều kiện f x 1  p giá trị của C  hàm số f(x)

b

a

If x dx theo kết quả f(x) đã tìm được ở trên

Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1], có  

+ Ta có:

1

2 1

1 2 0

+ Ta có:

1

4 1

2 2

Ví dụ 4 (Đề tham khảo của BGD năm 2018):

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn f(1) = 0,

+ Xét tích phân K =  

1 2 0

1 3 0

1

x f ' x dx 3

Theo giả thiết ta có  

1 2 0

I f x  2018x dx  .

Lời giải+ Xét tích phân K =  

1

0

f ' x dx

 = f x 10  f 1  f 0   2 (do f(1) = 2, f(0) = 0) + Xét tích phân:

 

1

2 0

+ Xét tích phân K =    

1

x 0

x 1 e f x dx

 =    

1 1

0 0

=    

1 x 0

1 x 0

Bài 1 Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên 0;1, f(x) > 0 và f’(x) > 0, x

+ Sử dụng phương pháp đổi biến số để biến đổi từ 2 đến 3 tích phân đã cho kết quả

để biến đổi về các tích phân có cùng biểu thức trong tích phân cần tính để suy rakết quả hoặc áp dụng tính chất      

kết quả bài toán yêu cầu

Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có 9  

Lời giải+ Xét tích phân 4  

f x dx

2 1 2 0



Ví dụ 5: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn f ' x  f ' 1 x  , x[0; 1] Biết rằng f(0) = 1, f(1) = 41 Tính tích phân  

1

0

I f x dx.

Lời giải+ Từ giả thiết ta có f ' x  f ' 1 x  , x [0; 1]

Đổi cận: Khi x = 1

2  t = 2 Khi x = 2  t = 1

2 Khi đó ta được

1 2

2 2

2

1 f

1 t

1 t

1 f t dt

1 f x dx

2I =  

2 2 1 2

f x dx

 + 2 2

1 2

1 f

1 x x

Lời giải+ Xét tích phân  x

f x

x

1 dx x

Bài 3 Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện

   

3 2

3 2

Cho hàm số f(x) thỏa mãn: f(2) = 2

9

 , f ' x  2x f x   , x  R Tính giá2trị của f(1) ?

Ví dụ 4: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R Biết  

Bài 4 Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn  1;1 và thỏa mãn f(x) > 0,

xR và f’(x) + 2f(x) = 0 Biết rằng f(1) = 1, tính giá trị của f(- 1)

Từ khi sáng kiến “Một số phương pháp giải bài toán tính nguyên hàm,

tích phân thỏa mãn điều kiện cho trước” được áp dụng trong việc ôn tập cho

học sinh khối 12 của nhà trường đã đem lại những kết quả tương đối khả quan Cụthể:

Giáo viên hướng dẫn ôn tập học sinh ôn thi THPT quốc gia có được một tàiliệu tin cậy, bám sát các dạng toán về tính nguyên hàm, tích phân ở mức vận dụng

và vận dụng cao trong đề thi của Bộ

Cung cấp cho học sinh hệ thống các bài tập về tính nguyên hàm, tích phânthỏa mãn điều kiện cho trước khá phong phú với những phương pháp giải khá đadạng và điển hình Các ví dụ minh họa được trình bày tương đối dễ hiểu và các bàitập tự luyện thì bám sát theo từng dạng cụ thể

Chính vì vậy, chất lượng học sinh khối 12 của nhà trường được nâng lên gópphần duy trì và nâng cao thành tích thi tốt nghiệp và xét tuyển vào các trường đại

học, cao đẳng của học sinh nhà trường nói chung (xem phụ lục 3)

6 Điều kiện để sáng kiến được nhân rộng:

Sáng kiến phải được sự quan tâm của các thầy cô và các em học sinh, cũngnhư nội dung sáng kiến phải được giới thiệu rộng rãi đến các thầy cô và học sinhcác trường trung học phổ thông trên toàn tỉnh

Để áp dụng sáng kiến cần phải chọn lựa được những học sinh có lực học khá

và giỏi để giảng dạy Đặc biệt thích hợp với các học sinh giỏi lớp 12 để tổ chức ôntập

Giáo viên cần phải có nội dung tài liệu để nghiên cứu và triển khai giảngdạy

Giáo viên có thể phô tô hệ thống bài tập cho học sinh nghiên cứu trước khigiảng dạy

Để tiết kiệm thời gian giáo viên có thể soạn giảng giáo án điện tử để hướngdẫn học sinh học tập và ôn luyện

KẾT LUẬN

1 Kết luận.

Qua thực tế giảng dạy và kết quả dự thi của học sinh khối 12 sau khi áp dụngsáng kiến, tôi nhận thấy học sinh rất hứng thú và chủ động hoạt động hơn khi tiếpcận với các bài tập đã được phân dạng đặc biệt là các bài toán trong đề thi thửTHPT quốc gia của các trường và các dạng bài tập tương tự Lý do mà các em quantâm và tích cực học tập vì thông qua học các nội dung trong sáng kiến này, các emhọc sinh được tiếp cận với nhiều dạng toán khó hơn trong sách giáo khoa và sáchbài tập, phù hợp với yêu cầu bài thi ở mức vận dụng, hướng dẫn giải cũng rất dễhiểu, các bài tập tương tự để luyện tập khá phong phú Nhờ đó, năm học 2017 -

2018 các câu hỏi về bài toán tính nguyên hàm, tích phân thỏa mãn điều kiện chotrước trong đề thi THPT quốc gia không còn là những câu hỏi gây quá nhiều khókhăn cho các em và từ đó kết quả bài thi của các em được nâng lên Sáng kiến nàykhi được áp dụng trong ôn tập thi THPT quốc gia đã đáp ứng được phần nào nhucầu học tập của học sinh giúp các em nâng cao trình độ giải toán cũng như hiểu sâuhơn về một số phương pháp tính nguyên hàm, tích phân thường gặp Kết quả đạtđược của các học sinh khối 12 năm học 2016 - 2017 và 2017 - 2018 đã khẳng định

ý nghĩa tích cực của sáng kiến và đã đạt được mục tiêu đặt ra

Với những kết quả đã đạt được, tôi mong muốn được các cấp lãnh đạo quantâm khuyến khích giáo viên bậc trung học phổ thông phổ biến sáng kiến này đếnhọc sinh các trường trung học phổ thông trong toàn tỉnh Để thực hiện sáng kiếnnày có hiệu quả tôi xin đề nghị chỉ áp dụng đối với đối tượng học sinh đã học xongnội dung nguyên hàm, tích phân trong chương trình cơ bản, dùng trong ôn thiTHPT quốc gia.

Để tăng cường tính hiệu quả của sáng kiến cũng như học tập được nhữngkinh nghiệm hay, tôi rất mong được sự chia sẻ, đóng góp bổ sung các giải pháp mớicủa các thầy cô và các em học sinh giúp cho sáng kiến của tôi ngày càng hoàn thiệnhơn Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm, động viên của các đồng nghiệp giúp tôithực hiện và hoàn thành sáng kiến này

PHỤ LỤC 1

Hệ thống các bài tập tính nguyên hàm, tích phân trong sách giáo khoa và sách bài tập Giải tích lớp 12 hiện hành.

1 Các bài tập trong sách giáo khoa Giải tích 12:

Bài 2 (Trang 100) Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

x x 1 

 d)  

2

2 0

dx e

1 x 

 b)

1

2 0

1 x dx 



c)  

x 1

x 0

0

1 dx

x ln xdx



 b)

1 3 2 2 0

ln 1 x

dx x

1 x 

 b)

64 3 1

dx x

x 1 x 2 x 3

dx x

 d)

2 2 0

1 dx

Bài 11 (Trang 147) Tính các tích phân sau:

xdx sin x

2 3

1 tan x

dx cos x

2 Các bài tập trong sách bài tập Giải tích 12:

Bài 3.3 (Trang 146) Tính nguyên hàm của các hàm số sau:

k) x x

1 dx



 l) cos x sinxsin x cos x dx

Bài 3.5 (Trang 146) Tính các nguyên hàm sau:



e) 2

x dx sin x

t t

e)

3 0

 b)

ln 2 x 0

 d)

1 2 1

1 x dx x

xe dx

1 x 

 i)

e

x 1

1 x ln x

e dx x





PHỤ LỤC 2 Một số bài tập tính nguyên hàm, tích phân thỏa mãn điều kiện cho trước

trong đề tham khảo và chính thức thi THPT quốc gia

Câu 44 (Đề minh họa thi THPT quốc gia năm 2017)

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f x  f x 2 2cos2x  ,

3 2

3 2

Câu 25 (Mã đề 101 đề thi THPT quốc gia 2017)

Câu 32 (Mã đề 101 đề thi THPT quốc gia 2017)

Cho F(x) x  2 là một nguyên hàm của hàm số f (x)e  2x Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)e  2x

Câu 40 (Mã đề 102 đề thi THPT quốc gia 2017)

ChoF x   x 1 e   xlà một nguyên hàm của hàm sốf x e  2x Tìm nguyên hàmcủa hàm số f (x)e  2x

A f (x)e dx (4 2x)e  2x   x  C B f (x)e dx 2x 2 x2 ex C

C f (x)e dx (2 x)e  2x   x  C D f (x)e dx (x 2)e 2x   x C

Câu 13 (Mã đề 103 đề thi THPT quốc gia 2017)

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) e  x  2x thỏa mãn F(0) 3