Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên BB’ = a và chân đờng vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC.. Cho hình chóp S.ABCD
Trang 1BàI TậP THể TíCH KHốI ĐA DIệN
hình chóp là SO = a 3 Trên cạnh SB lấy điểm M sao cho ãMOD = 1200 Tính thể tích hình chóp S.ABCD và M.ABC
Bài 2 Tính thể tích hình chóp tứ giác đều S.ABCD biết :
a) Cạnh đáy là a và cạnh bên là 2a
b) Cạnh đáy là a và góc giữa cạnh bên và đáy là 300
c) Cạnh đáy là a và góc giữa mặt bên và mặt đáy là 450
d) Chiều cao là h và góc ở đỉnh của mặt bên là 600
Bài 3 Tính thể tích hình chóp tam giác đều S.ABC biết :
a) Cạnh đáy là a và cạnh bên là 2a
b) Cạnh đáy là a và góc giữa cạnh bên và cạnh đáy là 450
c) Chiều cao là a và góc giữa cạnh bên và đáy là 300
d) Cạnh đáy là a và độ dài đờng cao của mặt bên là a 3
Bài 4 Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A’ cách đều các
đỉnh A,B,C Cạnh bên AA’ tạo với đáy một góc 600 Tính thể tích lăng trụ
Bài 5 Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng a và ba góc ở đỉnh A đều bằng
600 Tính thể tích khối hộp đó
I lần lợt
là trực tâm ∆ABC và ∆SBC
a) Chứng minh IH ⊥ (SBC)
b) Tính thể tích khối chóp HIBC theo a và h
Bài 7 Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 600 , ∆ABC và ∆SBC là các tam
giác đều cạnh a Tính thể tích khối chóp đó
canh SC Tính t soá the tích cua hai phaàn khoái choùp bò phaân chia bôi mat phaúng où
BC = a 3 Mặt phẳng (P) qua A , vuông góc SC tại H và cắt SB tại K Tính thể tích khối chóp SAHK
Bài 10 Cho hình chóp S.ABC có đáy ∆ABC vuông tại B; SA ⊥ (ABC) ; BC = a ; SA = a 3 ;ãACB =
600 Gọi M , N lần lợt là hình chiếu của A lên SB ,SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM
cách từ
trọng tâm G đến (SCD) là a 3
6 Tính thể tích khối chóp S.ABCD
với đáy một góc 300 và với mặt bên (SAB) một góc 450 Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Bài 13 Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là a , góc giữa đờng thẳng AB’ và
mặt phẳng (BB’C’C) bằng 300 Tính thể tích khối lăng trụ đó
Bài 14 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A ;AB = AC =
a và
AA’= a 2.Gọi M , N lần lợt là trung điểm của AA’ và BC’ Chứng minh MN là đờng vuông góc chung của AA’ và BC’và tính thể tích khối chóp MA’BC’
Trang 2Bài 15 Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên BB’ = a và
chân đờng vuông góc hạ từ B’ xuống đáy ABC trùng với trung điểm I của cạnh AC Tính thể tích khối lăng trụ đó
Bài 16 Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , tâm O Hình chiếu của
A’ trên
đáy ABC trùng với O và ãBAA' = 450
a) Chứng minh BCC’B’là hình chữ nhật
b) Tính thể tích khối lăng trụ đó
B i 17 à Cho lăng trụ đều ABCDA1B1C1D1 cạnh đáy a Góc giữa đừơng chéo AC1 và đáy là 60o .Tính thể tích
khối lăng trụ
Bài 18 Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1,đáy ABC cân đỉnh A Góc giữa AA1 và BC1 là 30o và
khoảng cách giữa chúng là a Góc giữa hai mặt bên qua AA1 là 60o.Tính thể tích lăng trụ
Bài 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAD là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M , N , P lần lợt là trung điểm của SB , BC , CD Chứng minh rằng : AM vuông góc với BP
và tính thể tích của khối tứ diện CMNP
Bài 20 Cho hình hộp ABCDA1B1C1D! có đáy là hình thoi ABCD cạnh a , góc A bằng 60o Chân đ-ờng vuông
góc hạ từ B1 xuống đáy ABCD trùng với giao điểm hai đờng chéo của đáy Biết BB1 = a
a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy
b) Tính thê tích của khối hộp
Bài 21 Hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1đáy ABC là một tam giác vuông tại A , AC = a , góc C =
60o.Đờng chéo BC1 tạo với măt phẳng (A A1C1C) một góc 30o
a) Tính độ dài AC1
b) Tính thể tích khối lăng trụ
mặt phẳng (P) đi qua A,B và vuông góc với mt phng (SCD),(P) lần lợt cát SC,SD tại C1 và D1
a) Tính diện tích của tứ giác ABC1D1
b) Tính thể tích của khối đa diện ABCDD1C1
B i 23 à Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân với AB = AC = a và ãBAC= α Cạnh SA = h của hình chóp vuông góc với đáy Lấy trung điểm P của BC và các điểm M, N lần lợt trên AB, AC sao cho AM = AN = AP Tính thể tích của khối chóp S.AMPN
Bài 24 Cho một hình chóp có đáy là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a Mặt bên
qua cạnh
huyền vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại đều tạo với đáy góc 45o
a) CMR hình chiếu vuông góc của đỉnh hình chóp xuống đáy là trung điểm cạnh huyền của đáy b) Tính thể tích của khối chóp
= a
a) CMR tam giác SBC là tam giác vuông
b) Cho SC = x.Tính thể tích khối chóp theo a và x
và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M và N lần lợt là trung điểm của AD và SC ; I là giao
điểm của BM và AC
a) CMR : mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SBM)
b) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB
Trang 3Bài 27 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a và cạnh bên là a 2 Gọi M là trung
điểm SC
Mặt phẳng (P) qua AM và song song với BD , cắt SB ,SD lần lợt tại E và F Tính thể tích khối chóp SAEMF
(ABCD)
M là điểm thay đổi trên cạnh CD , đặt CM = x Hạ SH ⊥ BM
a) Tính SH theo a , h , và x
b) Xác định vị trí của M để thể tích SABH đạt giá trị lớn nhất và tính GTLN đó
Bài 29 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và ãABC= 300 ∆SBC đều cạnh a
và
(SAB) ⊥ (ABC) Tính thể tích khối chóp S,ABC
Bài 30 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB = a ; BC =
2a ;
AA’ = 3a Một mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với A’C lần lợt cắt các đoạn thẳng CC’, BB’ tại M và N
a) Tính thể tích khối chóp C.A’AB
b) Chứng minh AN ⊥A’B
c) Tính thể tích khối tứ diện A’AMN
Bài tập mặt cầu
1 Cho 2 nửa đườ ng th ẳ ng Ax v By vuụng à gúc với nhau v nhà ận AB = a ( a > 0) l à đoạn vuụng gúc chung Lấy điểm M trờn Ax v à điểm N trờn By sao cho AM = BN = 2a Xỏc định tõm I v à tớnh theo a bỏn kớnh R của m ặ t c ầ u ngoại tiếp tứ diện ABMN Tớnh kho ả ng cỏch giữa 2 đườ ng th
ẳ ng AM v BI.à
2 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều
a Tìm tâmvà bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
b. Qua A dựng mp(α ) vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo bởi mp(α ) và hình chóp
b Tính thể tích tứ diện ABCD
c Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
d Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên mp(ABC) CM H là trực tâm tam giác ABC
4 Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA = SB = SC = d và ∠ASB = 120o, ∠BSC = 60o, ∠ ASC = 90o
b Tính thể tích tứ diện SABC
c Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện SABC
5 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đờng cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng 2 6 Điểm
M, N là trung điểm các cạnh AC, AB Tính thể tích hình chóp SAMN và bán kính hình cầu nội tiếp hình chóp đó
6 Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a Trên đờng thẳng d đi qua A và vuông góc với mp(ABC), lấy một điểm S khác A
a CMR tứ diện SABC chỉ có một cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau
b Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC Tính bán kính mặt cầu này trong
trờng hợp mp(SBC) tạo với mp(ABC) một góc 30o
c. Tìm quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC khi S chạy trên d (S ≠A)
d Lấy S’ đối xứng với S qua A, gọi M là trung điểm của SC Xác định thiết diện tạo
Trang 4bởi mp đi qua S’, M và song song với BC cắt tứ diện SABC Tính diện tích của thiết diện đó khi SA
= a 2
7 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm I (A đối diện với C) Các nửa đờng thẳng Ax, Cy vuông góc với mp(ABCD) và ở về cùng một phía với mp đó Cho điểm M không trùng với A trên Ax, cho điểm
N không trùng với C trên Cy Đặt AM = m, CN = n
a Tính thể tích của hình chóp B.AMNC (Đỉnh B, đáy AMNC)
b Tính MN theo a, m, n và tìm điều kiện đối với a, m, n để góc ∠MIN vuông
8 Cho góc tam diện Sxyz với ∠xSy = 120o, ∠ySz = 60o, ∠zSx = 90o Trên các tia Sx, Sy, Sz theo thứ tự lấy các điểm A, B, C sao cho SA = SB =SC = a
b Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện SABC theo a
c Tính góc phẳng của nhị diện [(SAC),(BAC)]
động trên Ox, Oy sao cho ta luôn có : OM + ON = a
a Xác định giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SOMN
b Tìm quỹ tích tâm I của mặt cầu nhoại tiếp tứ diện SOMN CMR khi tứ diện có thể tích lớn nhất thì nó lại có bán kính mặt cầu ngoại tiếp nhỏ nhất
10 Cho đờng tròn tâm O bán kính R Xét hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mp đáy (S và A
cố cố định), SA = h cho trớc, đáy ABCD là một tứ giác tuỳ ý nội tiếp đờng tròn đã cho mà các đờng chéo AC và BD vuông góc với nhau
a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
b Hỏi đáy ABCD là hình gì để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất
= SB = a
b Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, biết SC = x
12 Trong mp(P) cho đờng thẳng d và điểm A nằm ngoài d Một góc ∠xAy di động quanh A, cắt
d tại B và C Trên đờng thẳng qua A và vuông góc với (P) lấy một điểm S Gọi H, K là các hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC
b. Tính bán kính mặt cầu trên biết AB = 2, AC = 3, ∠BAC = 60o
qua một đờng tròn cố định khi S thay đổi
b Tính thể tích tứ diện ABCD
c Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
d Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên mp(ABC) CMR H là trực tâm tam giác ABC
14 Xác định tâm và bán kính đờng tròn nội và ngoại tiếp tứ diện đều ABCD, cạnh a
15 Cho tứ diện SABC, dáy là tam giác cân ABC, cạnh đáy BC = 2a, góc BAC = 2α ; cạnh bên SA hợp với đáy góc β sao cho hình chiếu của S xuống mặt đáy trùng với tâm O của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC
16 Cho hình chóp tứ giác SABCD, đay ABCD là hình thang vuông tại A và B, với AB = BC = a, AD
= 2a, SA = a và SA vuông góc A (ABCD) Gọi E là trung điểm của AD Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SECD
17 Cho chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, cạnh 2a, tâm O, mặt bên (SAB) là tam giác đều và (SAB) vuông góc với mặt đáy Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hìn chóp
18 Cho tam giác ABC cân, góc ở đỉnh BAC = 300, cạnh đáy BC = 4 Một mặt cầu O, bán kín R = 5 chứa đờng trìn ngoại tiếp tam giác ABC Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)
Trang 519 Cho tứ diện ABCD, AD = BC = 5, DB = AC = 12 và AD vuông góc với (ABC) Kẻ AH và Ak lần lợt vuông góc với DB và DC HK cắt (ABC) tại E Chứng minh có một mặt cầu ngoại tiếp chóp ABCKH và nhận EA làm tiếp tuyến
20 Cho chóp tam giác đều SABC , đáy ABC là tam giác đều, cạnh a, mặt bên tạo với mặt đáy 1 góc
α (0 <α <1800)
1 Tính thể tích khối chóp
2 Tính diện tích toàn phần của hình nón đỉnh S, đáy là đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC
3 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp SABC