CHUYÊN ĐỀ MAX MIN MODUN SỐ PHỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

CHUYÊN ĐỀ MAX MIN MODUN SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ MAX MIN SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ MAX MIN MODUN SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ MAX MIN SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ MAX MIN MODUN SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ MAX MIN SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ MAX MIN MODUN SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ MAX MIN SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ MAX MIN MODUN SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ MAX MIN SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ MAX MIN MODUN SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ MAX MIN SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN

Dạng 1: Sử dụng tính chất của modun – bđt đại số

Số phức z  a  biđược biểu diễn bởi điểm M trên mặt phẳng Oxy Độ dài của véctơ

CHUYỀN ĐỀ MIN MAX MODUN SỐ PHỨC

2 2 0

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn

TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi  R 0 z z  0 R Tìm

z , z Ta có Quỹ tích điểm M x; y  biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I a; b  bán kính R

Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện a bi R

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi  R z a bi  R

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip

TQ1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c  z c 2a , a c Khi đó ta có

Quỹ tích điểm M x; y  biểu diễn số phức z là Elip:

2 2

yx

Gv cần file word xin liên hệ fb: https://www.facebook.com/ThayHuyDHSP/ 4

TQ2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z z 1  z z 2 2a

Suy ra

min

55

Gọi z x yi với ;   x y

Ta có 8 z3  z3  z  3 z 3  2z  z 4

5

2 2 2 2

3; 0 , 0, 38

M m

Cách 3: Tổng quát

Cho số phức z thỏa mãn z c  z c 2 ,a a c ta luôn có   

Tập hợp điểm biểu diễn z là Elip

2 2

2  2 2 1



y x

Theo giả thiết x2 2 y32 1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường tròn tâm

Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM 13 1

Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 Giá trị lớn nhất của w  z 1 i

Ngoài ra ta luôn có công thức biến đổi z a bi   z a bi 

Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Đặt 2

iz Mệnh đề nào sau đây đúng?

2 2

2 2

12

Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 5

  i A

A Mmax 5; Mmin 1 B Mmax 5; Mmin 2

C Mmax 4; Mmin 1 D Mmax 4; Mmin 2

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là1

2, xảy ra khi z 2 ; i giá trị lớn nhất của P bằng

Max min modun số phức - Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909127555

Cách 1: Gọi z x yi; x;y z 2i x y2i Ta có: z 1 2i 3x1 2 y22 9 Đặt x 1 3 sin ; t y  2 3cos ; t t 0; 2

13.4

9

Lúc đó: z2 1 2 sin t 2  2 2 cost2  9 4 sint8 cost 9 428 sin2 t  ;  

.9



.2



xy

Hướng dẫn giải

Cách 1: Đặt z x iy x y  Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được   ,   x2 y2 9

Đặt x3 cos , t y3 sin t Thay vào điều kiện thứ hai, ta có

Câu 17: Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z 3 4i  5 và biểu thức M z22 z i đạt  2

giá trị lớn nhất Tính môđun của số phức z i

Câu 19: Cho số phức z thỏa mãn: z 2 2i 1 Số phức z i có môđun nhỏ nhất là:

Hướng dẫn giải

y

x 1

1

O

I M

z i x y IM , với I2; 2 là tâm đường tròn, M là điểm chạy trên đường tròn Khoảng cách này

ngắn nhất khi M là giao điểm của đường thẳng nối hai điểm N0;1Oy I, 2; 2 với đường tròn

Câu 20: Trong mặt phẳng phức Oxy , các số phức z thỏa z2i1  z i Tìm số phức z được biểu diễn 

bởi điểm Msao cho MA ngắn nhất với A1, 3

Hướng dẫn giải

Gọi M x y là điểm biểu diễn số phức  ,  z x yi x y R  ,  

Gọi E1, 2  là điểm biểu diễn số phức 1 2 i

Gọi F0, 1  là điểm biểu diễn số phức i

Ta có : z2i1  z i  MEMF  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trục

Câu 22: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z1  2 Tìm giá trị lớn nhất của T z i  z 2 i

A maxT8 2 B maxT4 C maxT4 2 D maxT8

Ta có a1 2 1b2 sint3 2  cost22 sin2t6 sint 9 cos2t4 cost4

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được  2  2 2 2 2 

6 sint4 cost  6 4 sin tcos t

6 sin 4 cos 2 52 6 sin 4 cos 52 2 13 14 2 13

Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng

Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn z4 z4 10 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là

1

25 9 

y x

Vậy max z OA OA ' 5 và min z OB OB ' 3

Câu 26: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i  z2i Biết rằng số phức   z x yi , x y,  

Dấu " " xảy ra x2y2 Vậy P2222 8

Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng

Câu 27: Tìm giá trị lớn nhất của z biết rằng z thỏa mãn điều kiện 2 3 1 1

A max z 1 B max z 2 C max z  2 D max z 3

Câu 28: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 1i z  1 7i  2 Tìm max z

A max z 4 B max z 3 C max z 7 D max z 6







z i A

iz Mệnh đề nào sau đây đúng?

Vậy môđun của A x2y2 1

Câu 30: Với hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1z2  8 6i và z1z2 2 Tìm giá trị lớn nhất của

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được  2 2

Câu 33: Cho số phức z thỏa mãn z1 3

z Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z là

19

Lời giải

Ta có

2 2

2

44

2



z

Lời giải Cách 1 Từ giả thiết, ta có 1 2 i z  10  2 i 1 2 i z   2 i 10

Giải ra ta có c 1 mà c0 nên c1 hay z 1 Do đó 1 3

2 z 2

Câu 35: Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M M Số phức (4 3 ),  z  i và số phức

liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N N Biết rằng ,  M M N N là bốn đỉnh của hình chữ nhật , , , Tìm giá trị nhỏ nhất của z4i5

A 1

2

1

4.13

 2   2 2

 x  y  x  y  x y  y  x y  x yKết hợp với   , ta được T 2x2y2 6 2 x2y  2x y 2 2 2 x y  

2018 2

Câu 39: Cho các số phức z1  2 i z, 2 2i và số phức z thay đổi thỏa mãn z z 12  z z 22 16 Gọi

Mvà m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Giá trị biểu thức M2 m bằng 2

Lời giải

Chọn D

Gọi Mlà điểm biểu diễn của z

Gọi A2; 1, B2;1 Gọi I0;1 là trung điểm AB

Câu 41: Gọi số phức z x yi x y; ,   thỏa điều kiện z22 z22 26 và z2 5i lớn nhất Tính 

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn  C tâm là gốc tọa độ O, bán kính

2  5  nên điểm 9 N2; 5 thuộc đường tròn  C

Gọi M x y là điểm thuộc  ;   C , khi đó    3  2

Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2i 4 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của z 2 i Tính giá trị của tổng SM2m 2

Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát

Cho tam giác ABC, đặt AB c , ACb, BCa, khi đó ta có

Áp dụng bài toán trên ta có P36 2, chọn B

Ta có thể chứng minh bài toán   trên bằng ngôn ngữ số phức

Gọi tọa độ các điểm A B C M trên mặt phẳng phức là , , ,, , , u v w x khi đó  a v w ,  b w u , 

Gọi điểm biểu diễn của z là M Khi đó M nằm trên đường tròn tâm I0; 1 ,  R1 Gọi tọa độ các điểm A 2 ; 1 ,  B 2; 3  do đó:

; 12

P z  z OA OB   Dấu bằng xảy ra khi OA OB

Câu 47: Giả sử z z1, 2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn iz 2 i 1 và z1z2 2 Giá trị lớn nhất của z1  z bằng2

Lời giải

x

y 3

Ta có iz 2 i 1 i z i 2 1 1 z i 2 1 1

Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I1; 2, R1

Gọi M, N là điểm biểu diễn z1,z2 nên MN2 là đường kính Dựng hình bình hành OMNP ta

Gọi z x yi x y ;  ,M x y là điểm biểu diễn số phức z  ; 

Do z  1 i 2x1 2 y12 4 suy ra M thuộc đường tròn tâm I1; 1 , bán kính R2 Đặt A2;1 , B2; 3 , E0; 2 là trung điểm của AB Khi đó

Câu 50: Cho các số phức z1   2 i z, 2   và số phức z thay đổi thỏa mãn 2 i zz12 zz2 2 16 Gọi

M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Giá trị biểu thức M2m2 bằng

Lời giải:

Câu 51: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i  5 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của z Giá trị biểu thức



Câu 52: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1 i |z 3 2 |i  5 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của z2i Giá trị biểu thức 2 2

M m bằng

- GTLN, GTNN ở câu dạng này chỉ có thể đạt được tại 2 đầu A B,

- Một sai lầm thường gặp là đánh giá zmin d O AB ;  nhưng do góc OAB là góc tù nên không

tồn tại điểm M trên đoạn AB sao cho OM  AB

Câu 53: Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i  5 Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của ,biểu thức P z22 z i Khi đó modun của số phức  2 w M mi

Ta có: z 3 4i  5x3 2 y42 5 Suy ra, tập hợp điểm M x y biểu diễn cho số  ; 

phức z trên hệ tọa độ Oxy là đường tròn C tâm I3; 4 và bán kính R 5

Thay x y, vừa tìm được vào f x ta được   0, 2P1,6 3  2 0,1P1,7 4 2 5 0

Ta giải được P33 hoặc P13 Đây tương ứng là GTLN và GTNN của P

Bài toán trở thành tìm điểm M : 8x6y25 0 sao cho ME MF đạt giá trị nhỏ nhất

Vì 8x E 8y E25 8  x F8y F250 nên hai điểm E F nằm cùng phía đối với đường thẳng ,  Gọi E là điểm đối xứng với E qua 

Đường thẳngEE đi qua điểm E1; 1  và có VTPT    3; 4 

E đối xứng với E qua H nên

117254425

Ta có ME + MF = ME + MF E F

Dấu bằng xảy ra Mlà giao điểm của E F và đường thẳng 

Đường thẳng E F đi qua điểm F2; 3  và có VTPT   31;167

Câu 55: Gọi z z1, 2 là 2 nghiệm của phương trình z 1 2i  z 1 2i thỏa mãn z1z2  2 Biết rằng w là

số phức thỏa mãn w 3 2  i 2 Tìm GTNN của biểu thức P wz1  wz 2

Giả sử A B lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho , z z1, 2, ta có z1z2  2 AB 2

Giả sử w a bi a b R và  ,   M là điểm biểu diễn cho số

phứcw , ta có w 3 2  i 2 2 2

 a  b  suy ra tập hợp điểm biểu diễn M cho số phức w là đường tròn tâm I3; 2

bán kính R2

Ta có PMA MB , gọi E là hình chiếu vuông góc của I lên

trục tung, ta thấy P nhỏ nhất khi E là trung điểm AB suy ra

62

Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I1; 2, R1

Gọi M, N là điểm biểu diễn z1,z2 nên MN2 là đường kính Dựng hình bình hành OMNP ta

Max min modun số phức - Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909127555

Lời giải

Gọi z x yi với  x y,  

Ta có: z 2 3i 2 2x2 2 y32 8 Suy ra, tập hợp điểm M x y biểu diễn cho số  ; 

phức z trên hệ tọa độ Oxy là đường tròn  C tâm I2; 3 và bán kính R 8

Gọi A 1; 6, B7; 2 và J3; 2 là trung điểm của AB

MA MB MJ với J là trung điểm của AB

Vì M chạy trên đường tròn ,  J cố định nên MJIJR

Vậy đểP Max thìM4; 5 Suy ra 2a b  3

Câu 59: Trong các số phức z thoả mãn z2 4 i 2, gọi z1 và z2là số phức có mô-đun lớn nhất và nhỏ nhất Tổng phần ảo của hai số phức z1và z2 bằng

Lời giải

Gọi z x yi x y, ,   và M x y là điểm biểu diễn số phức z  ; 

Theo giả thiết z2 4 i 2  x yi 2 4 i 2 x2 2 y42 4

Suy ra M  C : x2 2 y42 4

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z2 4 i 2 là đường tròn  C có tâm

B Do OA OB nên điểm A biểu diễn số phức có môđun lớn nhất, và điểm

B biểu diễn số phức có môđun nhỏ nhất

Câu 60: Xét số phức z a bi (a b,   và b0) thỏa mãn z 1 Tính P2a4b khi 2 z3 z 2 đạt giá trị lớn nhất

A P4 B P2 2 C P2 D P2 2

Lời giải Cách 1:

Từ giả thiết có a2b2 1b2  1 a2 0 với a  1; 1 và z z 1

21;13

1

Suy ra

   1;1

z z  cos 3x i sin 3x  cosx i sinx2

cos 3 cos 2 sin 3 sin 

21;13

Bảng biến thiên:

   1;1

Nhận xét: có thể đổi câu hỏi thành tìm Min

Câu 61: Cho z1, z2 là hai số phức thỏa mãn 2z i  2iz , biết z1z2 1 Tính giá trị của biểu thức

Lời giải Cách 1

Câu 62: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z1 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:T z i  z 2 i

A maxT  8 2 B maxT 4 C maxT 4 2 D maxT  8

37

25 86

Lời giải

Ta gọi M N, lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z z 1; 2

41

2O

2

MN I

2

2O

2

MN I

Max min modun số phức - Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909127555

K x y A B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z z z, ,1 2

Ta tìm Max – Min của TOK OA OB 

Ta có A B O thuộc đường tròn ( ), , C và ABO đều T Min2OA2

Gọi K thuộc cung OB Ta có KA OB OA BK AB OK.  .  . KAKB OK

Vậy giá trị lớn nhất của m bằng 2 2 2

Câu 77: Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn z13i5 2 và iz2 1 2i 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1 2

47

Câu 79: Cho z1  a bi và z2  c di là 2 số phức thỏa mãn: z12 4 và z1 c d 10 Gọi M là giá trị lớn nhất của biểu thức T ac bd cd  Hãy chọn khẳng định đúng về M

410

Ta có

3 3 3

M m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức T  z  z z 1  z z Tính mô đun của số  2phức w M mi

Giả sử M A B lần lượt biểu diễn số phức , , zx yi z z , ,1 2

Từ giả thiết 3z 3i  3ta có: 2 1 2 1

33

1 2

-1 2

M

I

Dễ thấy hai hình tròn này tiếp xúc ngoài tại điểm E1; 1 Do đó, N1; 1

Ta thấy z w MN nên  z w nhỏ nhất khi MN ngắn nhất, khi đó M là hình chiếu của N trên

Max min modun số phức - Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909127555

M là giao của của BC và ( )T M(2; 2 3) a b 4  3

Câu 86: Cho các số phức z z z1, 2, 3 thỏa mãn 2 z1  2 z2  z1z2 6 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z  z z 1  z z  2

Chọn A B M lần lượt là các điểm biểu diễn số phức , , z z z1, 2, ,

Dựa vào điều kiện 2 z1  2 z2  z1z2 6 2  OA OB 6, AB6 2

Suy ra ta có tam giác OAB vuông cân tại O

Phép quay tâm B góc quay 600 ta có:

B M

5

Max min modun số phức - Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN – 0969141404 – 0909127555

Do tam giác BMM đều  AMA M , BM MM

Suy ra P z  z z 1  z z 2 OM AM BM OM MM    A M OA 

Dấu " " xảy ra khi O M M A thẳng hàng , , , 

Khi đó tam giác OBA có OB6, BA BA6 2 và  0

37