CÁC DẠNG ĐƯỜNG MẶT TRONG KHÔNG GIAN

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng qua M và vuông với α cho trước.. Gọi d là đường thẳng cần viết phương trình.. Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng α qua M và vuông góc với đthẳn

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng qua M và vuông với ( )α cho trước

Gọi d là đường thẳng cần viết phương trình

Theo giả thiết ta có: d nhận VTPT của ( )α làm VTCP tức là …

Mặt khác: d qua M nên PTTS của d là: … (áp dụng công thức PTTS)

Dạng 2: Tìm H là hình chiếu của M lên ( )α

- Gọi d là đường thẳng qua M và vuông với ( )α … (đã có ở dạng 1)

- Gọi H = dI ( )α thì H là hình chiếu của M lên ( )α

Khi đó tọa độ H là nghiệm của hệ

( )

d

α





 (Giải hệ bằng phương pháp thế)

Dạng 3: Tìm M’ đối xứng với M qua ( )α (Hay ( )α là mặt trung trực của MM’)

- Ta tìm H là hình chiếu của M lên ( )α (đã có ở dạng 2)

- Gọi M’ là điểm đối xứng cần tìm

Suy ra H là trung điểm MM’ Áp dụng công thức trung điểm: xM’ = 2.xH - xM ; … …

Dạng 4: Tìm hình chiếu của M lên đ.thẳng d có PTTS

- Gọi H (…, …, …) thuộc d là điểm cần tìm

- Ta có: MHuuuur= (…, …, …) Do H là hình chiếu của M lên d nên:

MH

uuuur

.uuurd

= 0 thu được t = … Thế t vào H ban đầu thì có kết quả

Chú ý: H là hình chiếu thì MH = d (M; d)

Dạng 5: Tìm M’ đối xứng với M qua đường thẳng d

- Tìm hình chiếu của M lên đthẳng d (theo dạng 4)

- Do MM’ nhận H là trung điểm nên ta có:

xM’ = 2.xH - xM ; yM’ = 2.yH - yM ; zM’ =

Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng ( )α qua M và vuông góc với đthẳng d.

Ta có:( )α nhận VTCP của d làm VTPT tức là có: …

Mặt khác ( )α qua M nên phương trình là: A(x –x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0

Dạng 7: Viết PT mặt phẳng chứa d và qua M

Gọi ( )α là mặt phẳng cần tìm

Ta có: uuurd

và M0M là hai vectơ không cùng phương … (Với M 0 là điểm trên d )

Nên VTPT của ( )α là nα = u M M d, 0 

uur uur uuuuuur

Mặt khác ( )α qua M nên phương trình của ( )α là: … … …

d M

d M

d M

H

d M

H

M'

d

M H

M'

d

M

** Dạng 8: Viết PT mặt phẳng ( )α chứa d và vuông với ( )β

- Gọi( )α là mặt phẳng cần tìm

Ta có uuurd

và nβ

uur là hai vec tơ không cùng phương … Suy ra VTPT của ( )α là nα = u n d, β

uur uur uur

= (…; … ; … ) Mặt khác ( )α quađiểm M0 thuộc d nên phương trình là: … …

** Dạng 9: Viết PT mặt phẳng ( )α chứa d và song song với đường thẳng ∆

- Gọi( )α là mặt phẳng cần tìm

Ta có uuurd

và u∆

uur

là hai vec tơ không cùng phương … Suy ra VTPT của ( )α là nα = u u d, ∆

uur uur uur

= (…; … ; … ) Mặt khác ( )α quađiểm M0 thuộc d nên phương trình là: … …

** Chú y ù:

Viết phương trình hai mặt phẳng ( )α //( )β và lần lượt chứa d, ∆ thì

Ta viết phương trình ( )α chứa d đồng thời //∆ sau đó viết ( )β chứa ∆ và // d

Dạng 10: Viết phương trình d’ là hình chiếu của d lên (P)

- Gọi A là giao điểm của d và (P) Tọa độ A là nghiệm của hệ d và (P)

- Lấy B thuộc d Gọi H là hình chiếu của B trên (P) (xem dạng 2)

- Theo yêu cầu bài toán thì d’ là đường thẳng qua A và H

Chú ý: Nếu d // (P) ta lấy B thuộc d, tìm hình chiếu H

Khi đó d’ // d và qua H (Tức là có cùng VTCP và đi qua H)

Dạng 11: Viết phương trình đ.thẳng ∆ qua M đồng thờiø vuông với d và d’

- Theo ycbt thì ∆ có VTCP là u∆

uur = u uuur uurd, d'

- Mặt khác ∆ qua M nên ta có PTTS là

Dạng 12: Viết phương trình ∆ là đường vuông góc chung của d và d’

- Hai đường thẳng d và d’ có VTCP là , 'u ur ur

Giả sử ∆ cắt d và d’ tại M, N Suy ra M ( , , ) thuộc d

và N( , , ) thuộc d’ suy ra MNuuuur= ( ; ; ) là VTCP của ∆

- ∆ là đường vuông góc chung của d và d’ . 0

' 0

MN u

MN u



⇔ 

=



uuuur r uuuurur

Từ đó tìm ra t và t’ suy ra MNuuuur= …

Đường vuông góc chung qua M nhận MNuuuur làm VTCP nên có PTTS là …

Dạng 13 : Viết phương trình đường thẳng nằm trong ( )α và và cắt cả hai đường thẳng d, d’.

d

d'

B

d

d' N

M

- Gọi A, B là giao điểm của d, d’ với ( )α

Khi đó tọa độ của A, B là nghiệm của 2 hệ … … …

- Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm Suy ra ∆ qua A, (hoặc B)

Và nhận ABuuur làm VTCP nên phương trình là: … …

Dạng 14: Viết phương trình đường thẳng d qua M, đồng thời cắt và vuông góc với ∆ (Gần dạng 4)

Giả sử d cắt ∆ tại N ( , , ) ta có MNuuuur = ( , , )

Từ ycbt suy ra MNuuuur.u∆

uur

= 0 nên tìm được t = … suy ra MNuuuur = …

Vậy d qua M và nhận MNuuuur làm VTCP nên có phương trình tham số …

Dạng 15: Viết p.trình đ.thẳng d nằm trong ( )α và vuông góc và cắt ∆

Gọi giao điểm ∆ và ( )α là M

Gọi ar là VTCP của d thì ta có ar vuông với nuurα và uuur∆ nên lấy a= n uα, ∆

r uur uur Theo ycbt thì d qua M nên PTTS d là … …

Dạng 16: Viết phương trình d qua M song song với (P) và cắt ∆

Giả sử d cắt ∆ tại N( , , ) thuộc ∆

Ta có MNuuuur = ( , , ) Do d // (P) nên MNuuuur nuurα = 0

Thì thu được t suy ra MNuuuur = …

Do đó d qua M và nhận MNuuuur làm VTCP nên có PTTS là … …

Dạng 17: Viết phương trình d qua A, song song với (P) và vuông với ∆

Gọi urd

là VTCP của d

Theo giả thiết thì: urd ⊥nuurP và urd ⊥uuur∆ Do đó ta chọn

,

u = n u∆

r uur uur

= ( , , )

Mặt khác d qua A nên ta có PTTS là … …

Dạng 18: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M, vuông

với đường thẳng d 1 và cắt đường thẳng d 2

Giả sử ∆cắt d2 tại M2 suy ra M2(…, …, …) thuộc d2

Ta có MMuuuuur2

= ( , , ) là VTCP của ∆ (có chứa t’ của d 2)

Do∆ vuông với đường thẳng d1 nên MMuuuuur2

.uur1

= 0

Ta tìm được t’ từ đó tìm được MMuuuuur2

Nên đường thẳng ∆cĩ PTTS là

* Dạng 19 : Viết phương trình đường thẳng qua điểm M và cắt hai đường thẳng d1 ; d 2 đã cho.

- Gọi ∆ là đường thẳng cần viết phương trình

d

d'

B

d

dta

N M

dta

dta

d

dta N M

d2

B M

d1

d2

M2 M

- Giaû söû ∆ caét d1; d2 taïi Ặ., , ) vaø B ( , , ) thì ta coù:

,

AM AB

uuuur uuur

cuøng phöông Do ñoù thu ñöôïc heä … … …

Giaûi heä thu ñöôïc t vaø t’ suy ra Ặ., , ) vaø B( , , )

Vaäy ∆ qua M nhaän AMuuuur laøm VTCP neân coù phöông trình laø …

* Daïng 20 : Vieát p.trình ñ.thaúng song song vôùi ∆ cho tröôùc vaø caét hai ñöôøng thaúng d 1 ; d 2 ñaõ chọ

- Goïi ∆1 laø ñöôøng thaúng caàn vieát phöông trình

- Giaû söû ∆1 caét d1; d2 taïi Ặ., , ) vaø B ( , , ) thì ta coù:

,

u ABuur uuur∆

cuøng phöông Do ñoù thu ñöôïc heä … … …

Giaûi heä thu ñöôïc t vaø t’ suy ra Ặ., , ) vaø B( , , )

Vaäy ∆1laø ñöôøng thaúng qua A vaø B

* Daïng 21: Vieát phöông trình ñöôøng thaúng vuoâng vôùi ( )α vaø caét caû d 1 ; d 2

- Goïi ∆1 laø ñöôøng thaúng caàn vieát phöông trình

- Giaû söû ∆1 caét d1; d2 taïi Ặ., , ) vaø B ( , , ) thì ta coù:

,

n ABα

uur uuur

cuøng phöông Do ñoù thu ñöôïc heä … … …

Giaûi heä thu ñöôïc t vaø t’ suy ra Ặ., , ) vaø B( , , )

Vaäy ∆1laø ñöôøng thaúng qua A vaø B

Daïng 22: Vieát phöông trình ñöôøng thaúng d’ đối xứng với d qua (P)

- Gọi A là giao điểm (nếu có) của d và (P) Khi đó tọa độ A là nghiệm của hệ d và (P)

- Lấy M trên d (M khác A) ta tìm M’ đối xứng với M qua (P)

- Đường thẳng d’ qua M’ và A có VTCP là M Auuuuur'

nên viết PTTS

Chú ý:

- Nếu A không tồn tại (hệ vô nghiệm) tức là d //(P) khi đó d’ qua M’ và song song với d

* Caùc caùch tính khoaûng caùch caàn tham khaûo theâm:

d M

+ +

2 Khoaûng caùch giöõa hai maët phaúng song song, khoaûng caùch giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng song song ñöôïc qui veà khoaûng caùch giöõa M vaø ( )α

3 Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng d vaø d’

Goïi (P) laø maët phaúng chöùa d vaø song song vôùi d’khi ñoù vieát ñöôïc phöông trình (P) … (theo daïng 9)

Ta coù: d (d,d’) = d ((P), d’) = d (M, (P)) vôùi M thuoäc d’

* Caùc caùch tính góc caàn tham khaûo theâm:

Gồm: góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng ta dùng cos, góc giữa đường và mặt ta dùng sin

(Coøn nhieàu daïng khaùc nöõa )