Khóa luận tốt nghiệp toán học: RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH THPT

LỜI CẢM ƠN Khóa luận này của em hoàn thành với sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thạc sĩ Nguyễn Hải Lý Giảng viên khoa Toán Lý Tin, Trường Đại học Tây Bắc. Đồng thời em cũng nhận được sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo, Ban chủ nhiệm khoa Toán Lý Tin. Phòng KHQHQT, Trung tâm thông tin thư viện trường Đại học Tây Bắc, các thầy cô giáo trong trường THPT Huyện Điện Biên, tỉnh Điện Biên, các em học sinh lớp 12C1, 12C2, 10A1, 10A2 (trường THPT Huyện Điện Biên) cùng các bạn sinh viên K51 ĐHSP Toán. Nhân dịp này, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô giáo, các em học sinh đã nhiệt tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận. Với khóa luận này, em mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

VŨ THỊ HUÊ

RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG

VÀ TRONG KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH THPT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA, NĂM 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

VŨ THỊ HUÊ

RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG

VÀ TRONG KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH THPT

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học môn Toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn: ThS Nguyễn Hải Lý

SƠN LA, NĂM 2014

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận này của em hoàn thành với sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thạc sĩ Nguyễn Hải Lý - Giảng viên khoa Toán - Lý - Tin, Trường Đại học Tây Bắc Đồng thời em cũng nhận được sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Lý - Tin Phòng KH&QHQT, Trung tâm thông tin thư viện trường Đại học Tây Bắc, các thầy cô giáo trong trường THPT Huyện Điện Biên, tỉnh Điện Biên, các em học sinh lớp 12C1, 12C2, 10A1, 10A2

(trường THPT Huyện Điện Biên) cùng các bạn sinh viên K51 ĐHSP Toán

Nhân dịp này, em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô giáo, các em học sinh đã nhiệt tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận Với khóa luận này, em mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 05 năm 2014

Người thực hiện

Vũ Thị Huê

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn khóa luận 1

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2

2.1 Mục đích nghiên cứu 2

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc khóa luận 2

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 3

1.1 Khái niệm phương pháp 3

1.2 Kỹ năng - kỹ năng giải bài tập toán 3

1.2.1 Các mức độ của kỹ năng 3

1.2.2 Các giai đoạn hình thành kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh 4

1.2.3 Con đường hình thành kỹ năng giải bài tập 4

1.3 Vị trí, vai trò của bài tập toán học trong quá trình dạy học 5

1.4 Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian trong chương trình toán THPT 7

1.4.1 Mục đích 7

1.4.2 Yêu cầu 7

1.4.3 Nội dung 7

1.4.3.1 Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 7

1.4.3.2 Phương trình đường thẳng trong không gian 9

1.5 Thực trạng việc dạy và học phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian ở một số trường THPT 10

1.5.1 Điều tra đối với giáo viên 10

1.5.2 Điều tra đối với học sinh 11

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG

KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH THPT 12

2.1 Một số giải pháp rèn luyện kỹ năng viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian 12

2.2 Rèn luyện kỹ năng viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng 12

2.2.1 Dạng 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng 12

2.2.2 Dạng 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng 22

2.3 Rèn luyện một số kỹ năng viết phương trình đường thẳng trong không gian 39

2.3.1 Phương trình tham số của đường thẳng 39

2.3.2 Dạng 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng 55

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 63

3.1 Mục đích thực nghiệm 63

3.2 Phương pháp thực nghiệm 63

3.3 Nội dung thực nghiệm 63

3.4 Đối tượng thực nghiệm 63

3.5 Tổ chức thực nghiệm 63

3.6 Kết quả thử nghiệm 64

KẾT LUẬN 66

TÀI LIỆU THAM KHẢO 67 PHỤ LỤC

Trong chương trình toán THPT lớp 10, học sinh bước đầu được làm quen với phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và đến lớp 12 học sinh được tiếp cận

và nghiên cứu mở rộng của phương trình đường thẳng trong mặt phẳng là phương trình đường thẳng trong không gian Đây là hai nội dung quan trọng trong chương trình toán THPT Nội dung này thường xuất hiện trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT và trong các kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp

Hơn nữa, do số tiết dạy về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian không đủ để giáo viên có thể đưa ra nhiều dạng toán và rèn luyện kỹ năng cho học sinh mà chỉ có thể dừng lại ở một số dạng toán và kỹ năng cơ bản Vì vậy học sinh sẽ gặp khó khăn khi giải các bài toán tổng hợp và phức tạp

Xuất phát từ nhu cầu của bản thân đang là sinh viên năm cuối, tương lai là một giáo viên THPT với mong muốn giúp học sinh có được một số kỹ năng giải bài tập toán Đồng thời giúp học sinh rèn luyện một số kỹ năng giải bài tập, từ đó tạo hứng thú học tập và giúp học sinh thấy được sự giống nhau, khác nhau giữa phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian Chính từ các lý

do trên khóa luận chọn hướng nghiên cứu là “ Rèn luyện một số kỹ năng giải bài toán viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian cho học sinh THPT” nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Rèn luyện một số kỹ năng giải bài toán về viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian cho HS THPT

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu một số vấn đề lý luận có liên quan đến việc nghiên cứu như: phương pháp, kỹ năng, kỹ năng giải bài tập

- Tìm hiểu thực trạng việc giải bài tập về viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian cho học sinh lớp 10 và lớp 12 THPT

- Đề xuất một số giải pháp về rèn luyện kỹ năng viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm để thẩm định kết quả

3 Đối tượng nghiên cứu

Một số bài toán về viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian trong chương trình toán THPT

4 Phạm vi nghiên cứu

- Học sinh khối 10 và khối 12 trường THPT Huyện Điện Biên

- Rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán học cơ bản

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp quan sát - điều tra

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, mục lục, danh mục tài liệu tham khảo và kết luận Khóa luận gồm ba chương với những nội dung sau:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Rèn luyện một số kỹ năng giải bài toán viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian cho học sinh THPT

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Khái niệm phương pháp

Phương pháp được hiểu là con đường, là cách thức để chủ thể đạt được mục đích đã đề ra

Theo Nguyễn Bá Kim trong cuốn “Phương pháp dạy học môn Toán, NXB giáo dục, năm 2008” thì phương pháp dạy học là cách thức tổ chức hoạt động và giao lưu của thầy gây lên nhưng hoạt động và giao lưu cần thiết của trò nhằm đạt được mục tiêu dạy học

1.2 Kỹ năng - kỹ năng giải bài tập toán

Theo tâm lý học kỹ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hoạt động nào đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định

Kỹ năng giải bài tập toán của học sinh có thể hiểu đó là kỹ năng sử dụng có mục đích, sáng tạo những kiến thức toán học để giải những bài tập toán học Một số học sinh có kỹ năng giải bài tập toán tức là biết phân tích bài toán từ

đó xác định được hướng giải đúng, trình bày lời giải một cách lôgic, chính xác trong một thời gian nhất định

1.2.1 Các mức độ của kỹ năng

Trong toán học có thể chia làm hai nhóm kỹ năng giải bài tập toán:

- Kỹ năng giải bài tập toán học cơ bản

- Kỹ năng giải bài tập toán tổng hợp

Trong mỗi nhóm lại có ba mức độ khác nhau:

Mức độ biết làm: Nắm được quy trình giải một loại bài tập toán cơ bản nào

đó tương tự như bài tập mẫu nhưng chưa nhanh

Mức độ thành thạo: Biết giải nhanh, ngắn gọn, chính xác theo cách giải như bài tập mẫu nhưng chưa có biến đổi nhiều

Mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Đưa ra được cách giải ngắn gọn, độc đáo, khác lời giải mẫu do biết vận dụng vốn kiến thức kỹ năng, kỹ xảo không chỉ với những bài toán cơ bản mà với cả bài toán mới

1.2.2 Các giai đoạn hình thành kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh

Giai đoạn 1: Học sinh vận dụng lý thuyết để giải những bài tập toán cơ bản,

từ đó hình thành ở học sinh những thao tác cơ bản như: viết các đại lượng theo ngôn ngữ toán học, viết chính xác công thức ký hiệu, tính giá trị dựa vào công thức, Việc hình thành kỹ năng riêng rẽ của giai đoạn này là giải bài tập mẫu,

cụ thể cho học sinh biết được thao tác giải bài tập toán cơ bản (có thể giáo viên

tự trình bày hoặc gợi ý để học sinh tự giải)

Giai đoạn 2: Học sinh vận dụng kiến thức, thao tác để giải bài tập toán cơ bản qua đó hình thành kỹ năng giải các bài toán cơ bản Việc hình thành kỹ năng riêng rẽ của giai đoạn này là luyện giải một số bài tập toán học tương tự bài tập mẫu nhằm giúp học sinh nắm được sơ đồ định hướng giải một bài toán học cơ bản

Giai đoạn 3: Hình thành kỹ năng giải bài tập tổng hợp thông qua việc cho học sinh giải những bài tập tổng hợp phức tạp, đa dạng hơn Việc hình thành đúng kỹ năng riêng rẽ của giai đoạn 3 là rèn luyện giải một bài tập toán học (khác bài tập mẫu) ngày một đa dạng, phức tạp hơn từ thấp đến cao nhằm giúp học sinh vận dụng sơ đồ định hướng để giải các bài tập tổng hợp

Muốn hình thành được kỹ năng giải bài tập toán học cần hiểu được cấu trúc của nó, kỹ năng giải chúng không đơn lẻ là một hệ thống các kỹ năng như: kỹ năng giải bài tập lý thuyết, kỹ năng tính toán, kỹ năng thực hành các phép biến đổi, mà các kỹ năng này là một thể thống nhất

Sự phân chia chỉ là tương đối, trong cùng một hệ thống các kỹ năng đều có mối liên hệ chặt chẽ, kỹ năng này là cơ sở để hình thành kỹ năng kia và ngược lại, hình thành kỹ năng sau lại góp phần củng cố rèn luyện kỹ năng trước đó

1.2.3 Con đường hình thành kỹ năng giải bài tập

Theo lý luận dạy học thì kỹ năng được hình thành do luyện tập mà có, có thể hình thành kỹ năng giải bài tập theo nhiều cách:

Luyện tập theo mẫu: Cho học sinh giải bài tập toán tương tự bài tập mẫu Việc luyện tập này có thể tiến hành ngay trong tiết học, cũng có thể rải rác qua một số bài hoặc bài tập về nhà Việc dạy học sinh giải bài tập toán theo sơ đồ

định hướng là rất quan trọng, giúp rèn luyện từng thao tác giải từng loại bài tập toán học cụ thể

Luyện tập không theo mẫu: Học sinh luyện tập khi những điều kiện và yêu cầu của bài toán được thay đổi từ đơn giản đến phức tạp

Hệ thống bài tập được sắp xếp từ dễ đến khó, giúp học sinh phát triển các

1.3 Vị trí, vai trò của bài tập toán học trong quá trình dạy học

Ở trường phổ thông, bài tập có vai trò quan trọng trong môn toán Điều căn bản là bài tập có vai trò là giá mang hoạt động của học sinh Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy và hình thành kỹ năng, kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Thông qua việc giải quyết bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định lí, định nghĩa, quy tắc hay phương pháp những hoạt động toán học phức tạp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ Hoạt động của học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học Chính vì vậy mà vai trò của bài tập toán học được thể hiện trên cả ba bình diện: Thứ nhất: Trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện những hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn toán cụ thể là:

- Hình thành củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn

- Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những hoạt động tư duy hình thành những phẩm chất trí tuệ

- Bồi dưỡng thế giới quan, duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

Thứ hai: Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là giá mang hoạt động với những nội dung nhất định để người học kiến tạo những tri thức nhất định trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học

Những bài toán còn là phương tiện cài đặt nội dung hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lý thuyết

Thứ ba: Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác Khai thác tốt những bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau

về phương pháp dạy học Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài tập là phương pháp đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập

và trình độ phát triển của học sinh Một bài tập cũng có thể nhằm vào một hay nhiều dụng ý trên, nhưng cũng có thể bao hàm những ý đồ nhiều mặt

Để dạy học giải bài tập ta cần chú ý những điểm sau:

- Xây dựng, chọn lọc hệ thống bài tập bao gồm:

+ Bài tập tương tự với bài tập trong sách giáo khoa dành cho học sinh trung bình + Bài tập tổng hợp nhằm ôn lại, hệ thống hóa các kiến thức

+ Bài tập mở có tính chất khái quát mà bài tập trong sách giáo khoa là một trường hợp riêng dành cho học sinh khá giỏi

- Thực hiện các bước tìm tòi lời giải

- Tiến hành tổ chức, hướng dẫn học sinh giải bài tập theo quy trình bốn bước của G.pôlia

1.4 Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian trong chương trình toán THPT

Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian được trình bày ở chương III của hình học lớp 10 và lớp 12 nhằm:

1.4.1 Mục đích

Giới thiệu về vtcp và vtpt của đường thẳng trong mặt phẳng và vtcp của đường thẳng trong không gian Trên cơ sở đó trình bày pttq, ptts, phương trình chính tắc của đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian

1.4.3.1 Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Nội dung về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng được trình bày ở chương 3 hình học lớp 10 THPT trong 6 tiết bao gồm:

§1: Phương trình đường thẳng (4 tiết)

Câu hỏi và bài tập (2 tiết)

Dạng 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng

Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Vectơ u là một vtcp của đường thẳng

 nếu u0 và giá của u song song hoặc trùng với 

Nhận xét: Nếu u là một vtcp của  thì kuk 0 cũng là một vtcp của

 Do đó đường thẳng  có vô số vtcp

Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vtcp của nó

Phương trình tham số của đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng  đi qua điểm M x y 0 ; 0 và

của đường thẳng , với t là tham số, tR

Khi cho t là một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng

Để viết phương trình tham số của đường thẳng  ta thực hiện các bước sau: + Tìm một vectơ chỉ phương u u u của đường thẳng  1; 2 

Dạng 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  nếu n0 và n

vuông góc với vectơ chỉ phương của 

Do đó một đường thẳng có vô số vtpt

Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vtpt của nó

 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Phương trình đường thẳng đi qua điểm M x y 0; 0 và có vtpt n a b là:  ;

  0   00

Phương trình ax by  c 0, với a và b không đồng thời bằng 0 gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng

Đường thẳng  cắt trục Ox và Oy lần lượt tại A a   ;0 ,B 0;b có phương

trình theo đoạn chắn là x  y 1

 có vtpt là n a b và có vtcp là  ; ub a hoặc ;  u b ;a 

Để viết pttq của đường thẳng  ta thực hiện các bước sau đây:

+ Tìm một vectơ pháp tuyến n a b của  ; 

+ Tìm một điểm M x y 0; 0 thuộc 

Viết pttq của  theo công thức a x x0 b y y00

+ Biến đổi về dạng ax by  c 0

1.4.3.2 Phương trình đường thẳng trong không gian

Nội dung phương trình đường thẳng trong không gian được trình bày ở chương III hình học 12 gồm 16 tiết với những nội dung sau:

§1: Hệ tọa độ trong không gian (4 tiết)

§2: Phương trình mặt phẳng (5 tiết)

§3: Phương trình đường thẳng (5 tiết)

Ôn tập chương (2 tiết)

Dạng 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng

Định nghĩa: Phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm

Dạng 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng  : A1xB y1 C z1 D10 và   :A x2 B y2 C z2 D2 0 có dạng

00

1.5.1 Điều tra đối với giáo viên

- Mục đích điều tra: Bước đầu tìm hiểu việc rèn luyện một số kỹ năng giải toán về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian

- Đối tượng điều tra: Giáo viên đang trực tiếp giảng dạy môn toán ở trường THPT Huyện Điện Biên

Bảng 1: Đội ngũ giáo viên

- Nội dung điều tra: Dùng phiếu điều tra (phần phụ lục)

- Kết quả điều tra:

Nhận xét: Qua bảng điều tra trên ta thấy phần lớn giáo viên có tuổi nghề còn rất trẻ chưa có nhiều kinh nghiệm giảng dạy mặc dù có trình độ đào tạo cao Các thầy, cô chủ yếu rèn luyện giải toán cho học sinh ở mức độ biết làm, mặc dù mong muốn rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh ở cả ba mức độ nhưng do nhiều nguyên nhân như: thiếu thời gian, thiếu phương tiện dạy học… nên việc làm đó diễn ra với tần số ít

1.5.2 Điều tra đối với học sinh

- Mục đích điều tra: Bước đầu tìm hiểu việc rèn luyện một số kỹ năng giải toán về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian

-Đối tượng điều tra: Học sinh lớp 10A1(38 HS), 10A2 (37HS), 12C1(38HS), 12C2(35HS) thuộc trường THPT Huyện Điện Biên

- Nội dung điều tra: Dùng phiếu điều tra (phần phụ lục)

- Kết quả điều tra:

Như vậy, việc rèn luyện một số kỹ năng giải bài toán viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian hiện nay chưa nhiều do không có những điều kiện thuận lợi về thời gian, phương tiện dạy học…

Do đó cần có sự quan tâm sâu sắc đến vấn đề này hơn nữa để các em phát triển khả năng của mình

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN

CHO HỌC SINH THPT 2.1 Một số giải pháp rèn luyện kỹ năng viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian

Để rèn luyện kỹ năng viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian cần dựa vào mức độ và trình độ, kỹ năng giải bài tập toán học

cụ thể là:

- Cần rèn luyện kỹ năng viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian ở hai dạng chính là phương trình tham số và phương trình tổng quát

- Mỗi loại trên bao gồm nhiều bài toán khác nhau và cần rèn luyện ở ba mức độ: mức độ biết làm, mức độ thành thạo và mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo

2.2 Rèn luyện kỹ năng viết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

2.2.1 Dạng 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng

Bài toán 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua một điểm và

biết vectơ chỉ phương của nó

Hướng dẫn - Giải

Để viết ptts của d ta phải xác định một điểm thuộc d và vtcp của nó

Từ phương trình chính tắc của d suy ra điểm M 3;1 d và vectơ u2;3

 Mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo

phương trình tham số của cạnh AB là   1 2

  



số hai đường chéo của hình vuông

Hướng dẫn - Giải

Ta đã có điểm I thuộc hai đường chéo AC,BD nên để viết ptts của AC, BD

phải xác định vtcp chúng dựa vào công thức tính góc giữa hai vectơ

Giả sử phương trình tham số hai đường chéo là 1

2

41

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là v2; 1 

Bài toán 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm

Ta đã có M, N d , để viết ptts của d phải xác định vtcp của nó chính là vectơ

đi qua hai điểm M, N

1,2

Đường thẳng d đi qua điểm A và có vtcp là 2; 16

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trung điểm của

cạnh AB là I2; 1  và trọng tâm G 2;1 Viết ptts của đường thẳng chứa cạnh AC biết A thuộc đường thẳng d1 có phương trình tham số là

1 2

,2

, suy ra C 2;5

Đường thẳng chứa cạnh AC đi qua điểm A và có vtcp là AC 1;2

Phương trình tham số của đường thẳng chứa cạnh AC là 1 ,

 Mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo

Suy ra B1; 10 ,   C 7;5 Đường thẳng d đi qua B và có vtcp là BC6;15

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là 1 6 ,

trình của đường thẳng chứa cạnh AB có dạng 1 ,

b.Viết ptts của đường thẳng MN với MAB N, BC và đường thẳng MN

đồng thời chia đôi chu vi, chia đôi diện tích của tam giác ABC

Hướng dẫn - Giải

Để viết ptts đường thẳng chứa các cạnh AC, BC phải xác định tọa độ các điểm A, B, C Tương tự, để viết ptts đường thẳng MN cần xác định tọa độ hai điểm M, N

a Do AAB nên giả sử A1t;3 7t , do  BAB và B Ox nên  B 1;0



Suy ra AB AC8 ,BCt 2t

Từ A thuộc góc phần tư thứ nhất ta suy ra t0

Theo giả thiết ta có ABACBC18 2 8t 2t 18 t 1 hoặc

t  1 (loại)

Suy ra A2;3 7 , B   1;0 ,C 3;0

Đường thẳng chứa cạnh AC đi qua điểm A và có vtcp là AC1; 3 7 

Đường thẳng chứa cạnh BC đi qua điểm B và có vtcp là BC 2;0

Phương trình tham số của đường thẳng chứa cạnh AC, BC lần lượt là

1 2

,0

Giải phương trình này ta được x 8;x 1  (loại)

Với x 8 thì M  A và N(2 ;0) là trung điểm của BC

Suy ra đường thẳng MN chính là đường trung tuyến AN của tam giác ABC,

nó đi qua điểm A và có vectơ chỉ phương là AN0; 3 7 

Vậy phương trình của đường thẳng MN là 2 ,

Bài toán 3 : Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua một điểm

và song song với một đường thẳng cho trước

Ta có điểm M d nên để viết ptts của d phải xác định vtcp của nó

Do d / / nên vtcp của  cũng là vtcp của d và ngược lại

Vectơ chỉ phương của  là u 1;1

Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là 4 ,

Ví dụ 2 : Viết ptts của đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết

trung điểm các cạnh AB, BC, AC lần lượt là P(9 ;1), M(-1 ;-1), N(1 ;9)

Đường thẳng chứa cạnh AB đi qua điểm P và có vtcp là MN2;10

Đường thẳng chứa cạnh BC đi qua điểm M và có vtcp là PN8; 8 

Đường thẳng chứa cạnh AC đi qua điểm N và có vtcp là PM10;2

Vậy phương trình tham số của đường thẳng chứa các cạnh AB, BC, AC lần

đường thẳng d có phương trình tham số là 2 2 ,

Mặt khác, ABa b;  cũng là một vectơ chỉ phương của , suy ra

Ví dụ 2 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD biết

phương trình tham số của đường thẳng chứa các cạnh AB, AD lần lượt là 1

Theo giả thiết I là tâm của ABCD nên I là trung điểm của AC, suy ra C(4 ;4)

Do BC//AD nên u 1;2 là một vtcp của đường thẳng chứa cạnh BC

Phương trình tham số của đường thẳng chứa cạnh BC là 4 ,

Ta có CD//AB nên u1 3;4 là một vtcp của đường thẳng chứa cạnh CD

Phương trình tham số của đường thẳng chứa cạnh CD là

1

1 1

* Mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo

Ví dụ 1: Viết phương trình tham số các đường thẳng chứa các cạnh của tam

giác ABC biết A 1;3 và hai đường trung tuyến d d1, 2 có phương trình tham số

Ta thấy A không thuộc hai đường trung tuyến d1, d2

Gọi 'A là điểm đối xứng với A qua trọng tâm G của ABC

Giả sử d d1, 2 lần lượt là hai đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh C B ,

Khi đó A B' / / , 'd A C1 / /d2, B là giao điểm của A B' vàd2, C là giao điểm

t t





  

 , suy ra G 1;1 Điểm 'A đối xứng với A qua G , tức G là trung điểm của AA', từ đó suy ra

Ptts của A C đi qua điểm ' A và song song với ' d là 2 3 

3

11

điểm I của hai đường chéo AC và BD nằm trên đường thẳng  có phương

Dựng DH vuông góc với AB tại H thì SDH AB 4 DH 4

Suy ra ,C D thuộc đường thẳng d song song với AB và cách AB một

khoảng bằng 4

+ Khi d có phương trình y4 Giả sử C x C;4 , D x D;4

Trung điểm I của AC thuộc  nên giả sử I1t;1t

Mặt khác I là trung điểm của BD nên D 2;4

Đường thẳng chứa cạnh CD đi qua điểm C và có vtcp CD1;0 nên có

2.2.2 Dạng 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng

Bài toán 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua một điểm và

biết một vectơ pháp tuyến của nó

Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d biết:

a Phương trình tham số của d là 3 2 ,

từ phương trình chính tắc và ptts của d

a Từ phương trình tham số của d ta suy ra d đi qua điểm M 3;1 và có

vtcp là u2; 5 , suy ra d có vectơ pháp tuyến là n 5;2

Vậy phương trình của đường thẳng d là 5(x  3) 2(y  1) 0 hay

Phương trình tổng quát của d là 1x 1 2 y00 hay x2y 1 0

Ngoài ra, ta cũng có thể viết phương trình tổng quát của d bằng cách biến

đổi phương trình chính tắc của d như sau: 1 2 1 0

Suy ra tọa độ của ,A B là nghiệm của hệ phương trình

2 2

Giải hệ phương trình này ta được A2;0 ,  B 2;2 (do A có hoành độ âm)

Do I là trung điểm của AC BD nên , C 3;0 ,D 1; 2

Vậy phương trình tổng quát của AC là 0x2 1 y00 hay y0

Pttq của BD là 4x2 3 y20 hay 4x3y 2 0

 Mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo

Phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là 1x 1 1 y20

52

n n A

Phương trình đường thẳng chứa cạnh AC đi qua điểm A và có vectơ pháp

102

n n B

Vậy có thể lấy n21; 2  hoặc n22; 1 

Phương trình đường thẳng chứa cạnh BC đi qua điểm B và có vectơ pháp

tuyến n2 là 2x  y 2 0 hoặc x2y 5 0

2

S  , A2; 3 ,  B 3; 2 , trọng

phương trình tổng quát của đường thẳng chứa cạnh BC

Giải hệ phương trình này ta được G1; 5  hoặc G2; 2 

+ G1; 5 , thay vào GC 2MG ta được C 2; 10 suy ra BC 5;8

Phương trình đường thẳng chứa cạnh BC là 3 2

hay

+ G2; 2 , thay vào GC 2MG ta được C1; 1  suy ra BC2;1

Phương trình đường thẳng chứa cạnh BC là 3 2

Ví dụ : Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d biết :

b d đi qua điểm N4;1và có vectơ chỉ phương u4; 5 

d có vectơ chỉ phương là u4; 5  nên hệ số góc của d là 5

a Đi qua điểm A 1;2 và tạo với đường thẳng d1 có phương trình

31

Vậy pttq của đường thẳng d là x5y 9 0 hoặc 5x  y 7 0

 Chú ý: Ta cũng có thể viết pttq đường thẳng d theo cách sau:

Gọi n a b là vtpt của d thì pttq của d là  ; a x  1 b y20 hay

Giải phương trình này ta được k4 hoặc k 0

Vậy pttq của đường thẳng d là 4x  y 5 0 hoặc y 3 0

 Chú ý: Ta có thể viết pttq đường thẳng d theo cách sau:

Đường thẳng d đi qua I và cách đều hai điểm , A B thì có 2 trường hợp :

vuông tại A , phương trình đường thẳng BC là

3x y 30 Các đỉnh ,A B thuộc Ox và bán kính đường tròn nội tiếp r

của ABC bằng 2 Viết phương trình tổng quát của đường trung tuyến xuất phát

C a a (do ABC vuông tại A và CBC)

Suy ra trọng tâm của ABC là 2 1 3 1

;

a a

Suy ra phương trình đường phân giác trong BI là ytan 30 x1 hay

Pttq của đường trung tuyến BG là  33 x 2 32y 3 30

 Nếu điểm Avà O nằm cùng phía với điểm B thì x1 1 2 3

Pttq của đường trung tuyến BG là 3 3 x 2 32y 3 30

Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm

Bài toán 3: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua một điểm và

vuông góc với một đường thẳng cho trước

 Mức độ biết làm

và vuông góc với đường thẳng có phương trình x3y 1 0

Hướng dẫn - Giải

Ta có M d nên để viết phương trình đường thẳng d còn phải xác định vtpt của nó

Cách 1: Ta có vtpt của  là n 1;3 Do d   nên n 1;3 là một vtcp của d

Vậy pttq của đường thẳng d là 1 2