Về định lý điểm bất động kép cho lớp ánh xᄠCO trong không gian M–ÊTRIC suy rộng thứ tự bộ phận

- Thiết lập và chứng minh được một số định lí điểm bất động kép cho lớpánh xạ α, ψ-co suy rộng trong không gian kiểu-mêtric sắp thứ tự bộ phận.- Xây dựng được một số ví dụ minh họa cho k

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

Xác nhận của Chủ tịch HĐ nghiệm thu Chủ nhiệm đề tài

Xác nhận của Chủ tịch HĐ nghiệm thu Nguyễn Trung Hiếu

Đồng Tháp, 5/ 2014

Thông tin kết quả nghiên cứu iv

Summary vi

Mở đầu 1 1 Tổng quan tình hình nghiên cứu 1

2 Tính cấp thiết của đề tài 2

3 Mục tiêu nghiên cứu 3

4 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu 3

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

6 Nội dung nghiên cứu 3

1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Không gian b-mêtric và không gian kiểu-mêtric 5

1.2 Định lí điểm bất động kép của lớp ánh xạ (α, ψ)-co trong không gian mêtric 9

2 Định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ (α, ψ)-co trong không gian mêtric suy rộng thứ tự bộ phận 14 2.1 Định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ co suy rộng trong không gian b-mêtric thứ tự bộ phận 14

ii

2.2 Định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ (α, ψ)- co suy rộngtrong không gian kiểu-mêtric sắp thứ tự bộ phận 26

Kết luận và kiến nghị 42

1 Kết luận 42

2 Kiến nghị 42

bộ giáo dục & đào tạo

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

TÓM TẮT KẾT QUẢ ĐỀ TÀI KH & CN CẤP CƠ SỞ

Tên đề tài: Về định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ (α, ψ)-co trongkhông gian mêtric suy rộng thứ tự bộ phận

Mã số: CS2013.01.13

Chủ nhiệm đề tài: Nguyễn Trung Hiếu

Tel.: 0939428941 E-mail: ngtrunghieu@dthu.edu.vn

Cơ quan chủ trì đề tài: Trường Đại học Đồng Tháp

Cơ quan và cá nhân phối hợp thực hiện: Không

Thời gian thực hiện: 4/2013 đến 5/2014

- Thiết lập và chứng minh được một số định lí điểm bất động kép cho lớpánh xạ (α, ψ)-co suy rộng trong không gian kiểu-mêtric sắp thứ tự bộ phận.

- Xây dựng được một số ví dụ minh họa cho kết quả đạt được

- Một bài báo khoa học được nhận đăng trên Tạp chí Khoa học Đại họcĐồng Tháp, một bản thảo bài báo khoa học được gửi đăng trên Journal ofNonlinear Analysis and Optimization và một tài liệu tham khảo cho giảngviên và sinh viên trong giảng dạy, nghiên cứu và học tập giải tích hiện đại

Chủ nhiệm đề tài

Nguyễn Trung Hiếu

ministry of education and training

DONG THAP UNIVERSITY Independence - Freedom - Happiness

SUMMARY

Project Title: On some coupled fixed point theorems for (α, ψ)-contractivemappings in partially ordered generalized metric spaces

Code number: CS2013.01.13

Coordinator: Nguyễn Trung Hiếu

Tel.: 0939428941 E-mail: ngtrunghieu@dthu.edu.vn

Implementing Institution: Dong Thap University

- Some coupled fixed point theorems for generalized (α, ψ)-contractive

mappings in partially ordered metric-type spaces were stated and proved.

- Some examples were given to demonstrate the validity of the resultsobtained

- An article accepted to publish on Dong Thap University Journal of ence, a submitted manuscript on Journal of Nonlinear Analysis and Opti-mization and a reference for lecturers and students of Mathematics Faculty

sci-in studysci-ing, lectursci-ing and researchsci-ing advanced analysis

Coordinator

Nguyễn Trung Hiếu

MỞ ĐẦU

Các mêtric suy rộng có vai trò quan trọng trong việc thiết lập những

mở rộng của Nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian mêtric đầy đủ

Do đó, trong những năm gần đây, nhiều tác giả đã xây dựng những khônggian mêtric suy rộng Năm 1989, trong bài báo [3], Bakhtin đã giới thiệu mộtkhái niệm mêtric suy rộng là b-mêtric Khái niệm này tiếp tục được Czerwiknghiên cứu và bổ sung trong bài báo [8, 9] Sự khác biệt của khái niệm b-mêtric với khái niệm mêtric là điều kiện của bất đẳng thức tam giác trongkhái niệm mêtric đã được thay bằng một bất đẳng thức tổng quát hơn Bằng

kĩ thuật tương tự, năm 2010, trong bài báo [17], Khamsi đã giới thiệu kháiniệm kiểu-mêtric Kể từ đó, việc thiết lập những định lí điểm bất động trongkhông gian b-mêtric và không gian kiểu-mêtric thu hút nhiều tác giả quantâm nghiên cứu [7, 11, 14, 16, 27, 30]

Trong lí thuyết điểm bất động, việc nghiên cứu định lí điểm bất độngkép cũng được nhiều tác giả quan tâm Khái niệm điểm bất động kép đượcBhaskar và cộng sự giới thiệu đầu tiên trong bài báo [5] Đồng thời, trong bàibáo này, các tác giả cũng giới thiệu khái niệm ánh xạ đơn điệu hỗn hợp vàthiết lập một số định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ này Kể từ đó, việcthiết lập những dạng mở rộng của những định lí điểm bất động kép trong [5]được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu [1, 2, 15, 19, 21, 24, 25, 26, 28, 29,

31, 32, 34, 35, 36] Cùng hướng nghiên cứu đó, năm 2011, trong bài báo [20],

Luong và cộng sự đã thiết lập một số kết quả về định lí điểm bất động képthông qua hàm ϕ và ψ Năm 2012, trong bài báo [33], Samet và các cộng sựgiới thiệu hàm α-chấp nhận được với α : X2× X2 −→ [0, ∞), đồng thời thiếtlập một số định lí điểm bất động kép bằng cách sử hàm α-chấp nhận đượcnày Khái niệm này tiếp tục được Mursaleen và các cộng sự sử dụng để thiếtlập một số định lí điểm bất động kép trong bài báo [22].

Trong đề tài này, chúng tôi mở rộng các kết quả trong bài báo [20] sangkhông gian b-mêtric bằng cách sử dụng hàm α-chấp nhận được và mở rộngnhững dạng định lí điểm bất động kép trong [22] sang không gian kiểu-mêtricbằng cách bổ sung thêm số hạng Đồng thời, chúng tôi xây dựng ví dụ minhhọa cho kết quả đạt được

2 Tính cấp thiết của đề tài

Trên cơ sở nghiên cứu những tài liệu tham khảo liên quan đến định lí điểmbất động kép, chúng tôi nhận thấy rằng những dạng định lí điểm bất độngkép trong [20, 22] chưa được khảo sát trên không gian kiểu-mêtric và khônggian b-mêtric Do đó, chúng tôi đặt vấn đề mở rộng các định lí điểm bất độngkép của [20] sang không gian b-mêtric bằng cách sử dụng hàm α-chấp nhận và

mở rộng các định lí điểm bất động kép của [22] sang không gian kiểu-mêtric.Kết quả nghiên cứu của đề tài góp phần làm phong phú thêm các định líđiểm bất động kép trên không gian mêtric suy rộng Đồng thời, đề tài gópphần nâng cao chất lượng dạy học và nghiên cứu khoa học của giảng viên vàsinh viên Trường Đại học Đồng Tháp

3 Mục tiêu nghiên cứu

Thiết lập và chứng minh một số định lí điểm bất động kép cho lớp ánh

xạ (α, ψ)-co trong không gian mêtric suy rộng

Xây dựng ví dụ minh họa cho một số kết quả đạt được

Cách tiếp cận: Bằng cách sử dụng hàm α-chấp nhận được, chúng tôi đềxuất mở rộng các kết quả của bài báo [20] Đồng thời, bằng cách bổ sung các

số hạng trong điều kiện co của bài báo [22], chúng tôi đề xuất mở rộng củacác kết quả trong [22] sang không gian kiểu-mêtric

Phương pháp: Từ việc nghiên cứu các tài liệu tham khảo, sử dụng phươngpháp tương tự hóa để thiết lập một số định lí điểm bất động kép trên khônggian kiểu-mêtric và không gian b-mêtric Các kết quả này được thảo luận chitiết với một số tác giả cùng lĩnh vực nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu lớp ánh xạ liên quan đến những hàm α, ϕ, ψ trongkhông gian b-mêtric và không gian kiểu-mêtric thuộc lĩnh vực lí thuyết điểmbất động trên không gian mêtric suy rộng

Đề tài nghiên cứu một số khái niệm, tính chất của không gian b-mêtric

và không gian kiểu-mêtric, một số định lí điểm bất động kép trong hai khônggian này và một số ví dụ minh họa

Ngoài Mục lục, Mở đầu, Tài liệu tham khảo và Phụ lục, nội dung chínhcủa đề tài được trình bày trong hai chương.

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương 2 Định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ (α, ψ)-co trong khônggian mêtric suy rộng thứ tự bộ phận

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian b-mêtric và không gian kiểu-mêtric

Mục này trình bày định nghĩa và một số tính chất cơ bản của không gianb-mêtric và không gian kiểu-mêtric

1.1.2 Nhận xét ([10]) (1) (X, d) là một không gian mêtric khi và chỉ khi(X, d, 1) là một không gian b-mêtric

(2) Tồn tại một b-mêtric nhưng không là một mêtric

1.1.3 Ví dụ ([10], Example 2.4) Xét X = R và ánh xạ d : X × X −→ [0, ∞)xác định bởi d(x, y) = (x − y)2 với mọi x, y ∈ X Khi đó, d là một b-mêtrictrên X với s = 2 nhưng không là một mêtric trên X.

1.1.4 Ví dụ ([30], Example 1) Cho d là một mêtric trên X Với p > 1, tađặt ρ(x, y) = d(x, y)
p với mọi x, y ∈ X Khi đó ρ là một b-mêtric trên Xvới s = 2p−1

Một số khái niệm về sự hội tụ, dãy Cauchy và tính đầy đủ trong khônggian b-mêtric được trình bày như sau

1.1.5 Định nghĩa ([6]) Cho (X, d) là một không gian b-mêtric và {xn} làmột dãy trong X Khi đó

(1) Dãy {xn} được gọi là hội tụ đến x ∈ X, viết là lim

n→∞xn = x hoặc xn → x,nếu lim

n→∞d(xn, x) = 0 Khi đó x được gọi là điểm giới hạn của dãy {xn}.(2) Dãy {xn} được gọi là dãy Cauchy nếu lim

1.1.7 Mệnh đề Cho (X, d) là một không gian b-mêtric Khi đó, X × X cũng

là một không gian b-mêtric với b-mêtric được xác định bởi

d((x, y), (u, v)) = d(x, u) + d(y, v)

với mọi (x, y), (u, v) ∈ X × X

Chứng minh Kiểm tra trực tiếp ba điều kiện của một b-mêtric

1.1.8 Nhận xét Trong không gian b-mêtric, tôpô được hiểu là tôpô cảmsinh bởi sự hội tụ của nó Điều này có nghĩa là tập G mở trong khônggian b-mêtric (X, d) khi và chỉ khi với mỗi x ∈ G, mọi dãy {xn} ⊂ X màlim

n→∞xn = x thì tồn tại n0 ∈ N sao cho xn ∈ G với mọi n ≥ n0 Khi đó, b-mêtric

d : X × X −→ [0, ∞) liên tục tại (x, y) nếu và chỉ nếu lim

n→∞d(xn, yn) = d(x, y)với mọi dãy {xn}, {yn} trong X mà lim

n→∞xn = x và lim

n→∞yn = y

1.1.9 Nhận xét b-mêtric là một ánh xạ không liên tục ([10, Example 2.2])

Khái niệm kiểu-mêtric theo định nghĩa của Khamsi được giới thiệu như sau

1.1.10 Định nghĩa ([17]) Cho X là một tập khác rỗng, số thực K ≥ 1 và

D : X × X −→ [0, ∞) là một ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau

(1) D(x, y) = 0 nếu và chỉ nếu x = y với mọi x, y ∈ X;

(2) D(x, y) = D(y, x) nếu và chỉ nếu x = y với mọi x, y ∈ X;

(3) D(x, z) ≤ K D(x, y1) + D(y1, y2) + + D(yn, z)
với mọi

x, y1, y2, , yn, z ∈ X

Khi đó, D được gọi là một kiểu-mêtric trên X và (X, D, K) được gọi làmột không gian kiểu-mêtric

1.1.11 Nhận xét (1) (X, D) là một không gian mêtric khi và chỉ khi (X, D, 1)

là một không gian kiểu-mêtric

(2) Mỗi không gian kiểu-mêtric (X, D, K) là một không gian b-mêtric với

s = K

(3) Tồn tại một b-mêtric nhưng không là một kiểu-mêtric ([10, Example 2.4])

Một số khái niệm về sự hội tụ, dãy Cauchy và tính đầy đủ trong khônggian kiểu-mêtric được trình bày trong [17] tương tự với khái niệm về sự hội

tụ, dãy Cauchy và tính đầy đủ trong không gian b-mêtric Hơn nữa, trong[13], chúng tôi cũng chứng tỏ rằng kiểu-mêtric là ánh xạ không liên tục.

o, trong đó n, m ≥ 21

3 nếu x, y ∈

n1,

1n

o, trong đó n ≥ 2

Khi đó, ánh xạ D là một kiểu-mêtric không liên tục với K = 3

Chứng minh Với mọi x, y ∈ X, ta có D(x, y) ≥ 0, D(x, y) = 0 khi và chỉkhi x = y và D(x, y) = D(y, x) Với mọi x, y1, , yk, y ∈ X, k ≥ 1, ta sẽchứng minh

D(x, y) ≤ 3[D(x, y1) + D(y1, y2) + + D(yk, y)] (1.1)

n nếu yi 6= 1 với mọi i = 1, , k

Khi đó, σ ≥ 1

3nếu tồn tại

i ∈ {1, , k} sao cho yi = 1 và σ ≥

1

n− 1m

nếu yi 6= 1 với mọi i = 1, , k

Từ các trường hợp trên, ta suy ra (1.1) thỏa mãn Do đó D là một mêtric trên X với K = 3

ψ)-co trong không gian mêtric

Mục này trình bày khái niệm điểm bất động kép, khái niệm ánh xạ đơnđiệu hỗn hợp, hàm α-chấp nhận được và một số kết quả về điểm bất độngkép của lớp ánh xạ (α, ψ)-co trong không gian mêtric

1.2.1 Định nghĩa ([5], Definition 1.2) Điểm (x, y) ∈ X ×X được gọi là điểmbất động kép của ánh xạ F : X × X −→ X nếu F (x, y) = x và F (y, x) = y.1.2.2 Định nghĩa ([5], Definition 1.1) Cho (X, ) là một tập sắp thứ tự bộphận và ánh xạ F : X × X −→ X Khi đó, F được gọi là đơn điệu hỗn hợpnếu F (x, y) là ánh xạ đơn điệu không giảm theo biến x và đơn điệu khôngtăng theo y, nghĩa là, với mọi x, y, x1, x2, y1, y2 ∈ X, ta có: Nếu x1  x2 thì

F (x1, y)  F (x2, y) và nếu y1  y2 thì F (x, y1)  F (x, y2)

1.2.3 Định nghĩa ([22], Definition 3.3) Cho hai ánh xạ F : X × X −→ X

và α : X2 × X2 −→ [0, ∞) Ánh xạ F được gọi là α-chấp nhận được nếu với

mọi x, y, u, v ∈ X mà α (x, y), (u, v)
≥ 1 thì

α F (x, y), F (y, x)
, F (u, v), F (v, u)

≥ 1

Tiếp theo, chúng tôi trình bày lại kết quả chính về điểm bất động képđược thiết lập trong [20]

Kí hiệu Φ là tập hợp các hàm số ϕ : [0, ∞) −→ [0, ∞) thỏa mãn các điềukiện sau

(1) ϕ liên tục và đơn điệu không giảm;

(1) Tồn tại hàm ϕ ∈ Φ và hàm ψ ∈ Ψ sao cho

Khi đó, F có điểm bất động kép.

Giả sử (X, ) là một tập sắp thứ tự bộ phận Trên X × X, xét thứ tự xác định bởi:

(x, y)  (u, v) ⇐⇒ x  u, y  v

với mọi (x, y), (u, v) ∈ X × X

1.2.5 Định lí ([20], Theorem 2.4) Giả sử

(1) Các giả thiết của Định lí 1.2.4 được thỏa mãn;

(2) Với mỗi (x, y), (z, t) ∈ X × X, tồn tại (u, v) ∈ X × X sao cho (u, v) sosánh được với (x, y), (z, t)

Khi đó, F có duy nhất điểm bất động kép

Cuối cùng, chúng tôi trình bày lại một số kết quả về điểm bất động képcủa lớp ánh xạ (α, ψ)-co trong không gian mêtric được thiết lập trong [22, 23]

Kí hiệu Ω là tập hợp các hàm đơn điệu không giảm ψ : [0, ∞) −→ [0, ∞)thỏa mãn

là ánh xạ (α,ψ)-co suy rộng nếu tồn tại hai hàm α : X2 × X2 −→ [0, ∞) và

1.2.8 Định lí ([22], Theorem 3.4) Cho (X, d, ) là một không gian mêtricsắp thứ tự bộ phận đầy đủ và F : X × X −→ X là một ánh xạ đơn điệu hỗnhợp thỏa mãn

(4) Tồn tại x0, y0 ∈ X sao cho x0  F (x0, y0), y0  F (y0, x0) và

α (x0, y0), F (x0, y0), F (y0, x0)

≥ 1,

α y0, x0), F (y0, x0), F (x0, y0)

≥ 1

Khi đó, F có điểm bất động kép

1.2.10 Định lí ([23], Theorem 3.6) Giả sử

(1) Các giả thiết của Định lí 1.2.8 hoặc Định lí 1.2.9 được thỏa mãn;

(2) Với mỗi (x, y), (z, t) ∈ X × X, tồn tại (u, v) ∈ X × X sao cho (u, v) sosánh được với (x, y), (z, t) và α (x, y), (u, v)
≥ 1, α (z, t), (u, v)
≥ 1

Khi đó, F có duy nhất điểm bất động kép

CHƯƠNG 2

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KÉP CHO LỚP

MÊTRIC SUY RỘNG THỨ TỰ BỘ PHẬN

2.1 Định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ co suy

rộng trong không gian b-mêtric thứ tự bộ phận

Trong mục này, chúng tôi thiết lập, chứng minh một số định lí điểm bấtđộng kép cho lớp ánh xạ suy rộng trong không gian b-mêtric và suy ra một

số hệ quả từ những định lí này Những kết quả này là sự mở rộng các định líđiểm bất động kép trong bài báo [20] sang không gian b-mêtric Đồng thời,chúng tôi cũng xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được Các kết quảchính của mục này được công bố trong bài báo [12]

2.1.1 Định lí Cho (X, d, ) là một không gian b-mêtric sắp thứ tự bộ phậnđầy đủ và F : X × X −→ X là một ánh xạ đơn điệu hỗn hợp thỏa mãn

(1) Tồn tại hàm α : X2× X2 −→ [0, ∞), hàm ϕ ∈ Φ và hàm ψ ∈ Ψ sao cho

α((x, y), (u, v))ϕ s2d(F (x, y), F (u, v))

(2) F là ánh xạ liên tục hoặc X thỏa mãn giả thiết (H): Với {xn} và {yn}

là hai dãy trong X sao cho lim

n→∞xn = x, lim

n→∞yn = y và

α (xn+1, yn+1), (xn, yn)
≥ 1,

α (yn, xn), (yn+1, xn+1)
≥ 1với mọi n ∈ N thì xn  x, yn  y và

Tiếp tục quá trình này, ta nhận được

Tương tự, từ (2.1), (2.2), (2.3), (2.5) và tính đơn điệu không giảm của hàm

Mặt khác, từ tính chất (3) của hàm ϕ, ta có

ϕ(d(xn+1, xn) + d(yn+1, yn)) ≤ ϕ(d(xn+1, xn)) + ϕ(d(yn+1, yn)) (2.9)

Từ (2.10) và tính không âm của hàm ψ, ta có

Đặt δn = d(xn+1, xn) + d(yn+1, yn) với mọi n ∈ N Khi đó, từ (2.12), ta suy

ra {δn} là dãy số không âm và đơn điệu không tăng Do đó, tồn tại δ ≥ 0 saocho lim

n→∞δn = δ Ta sẽ chứng minh δ = 0 Giả sử δ > 0 Khi đó cho n → ∞trong (2.10) và sử dụng tính chất của hàm ϕ và ψ, ta được

sử {xn} hoặc {yn} không là dãy Cauchy trong X Khi đó

Do đó

d(xn(k)−1, xm(k)) + d(yn(k)−1, ym(k)) < ε (2.15)Khi đó, từ (2.14) và điều kiện (3) của Định nghĩa 1.1.1, ta có

Tương tự, ta chứng minh được

Cho k → ∞ trong (2.24) và sử dụng (2.20), (2.21), ta được

Điều này là một mâu thuẫn Do đó, {xn} và {yn} là hai dãy Cauchy trong

X Vì X là không gian b-mêtric đầy đủ nên tồn tại x, y ∈ X sao cho

lim

n→∞xn = x, lim

n→∞yn = y (2.25)Giả sử F là ánh xạ liên tục Khi đó, từ (2.2) và (2.25), ta có

ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KÉP CHO LỚP

MÊTRIC SUY RỘNG THỨ TỰ BỘ PHẬN

2.1 Định lí điểm bất động kép cho lớp ánh xạ co suy< /h2>

rộng không gian b-mêtric thứ. .. thứ tự phận< /h2>

Trong mục này, thiết lập, chứng minh số định lí điểm bất? ?ộng kép cho lớp ánh xạ suy rộng không gian b-mêtric suy

số hệ từ định lí Những kết mở rộng định l? ?điểm bất. ..

ψ) -co không gian mêtric

Mục trình bày khái niệm điểm bất động kép, khái niệm ánh xạ đơnđiệu hỗn hợp, hàm α-chấp nhận số kết điểm bất độngkép lớp ánh xạ (α, ψ) -co không gian mêtric