Định lý bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian SM–TRIC đầy đủ

11 2 Định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian S-mêtric đầy đủ 16 2.1 Một số khái niêm mở rộng trong không gian S-mêtric.. 16 2.2 Định lí điểm bất động cho

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

Xác nhận của Chủ tịch HĐ nghiệm thu Chủ nhiệm đề tài

TS Lê Xuân Trường ThS Nguyễn Thành Nghĩa

ĐỒNG THÁP, 5 - 2014

Trang phụ bìa i

1 Tổng quan tình hình nghiên cứu 1

2 Tính cấp thiết của đề tài 2

3 Mục tiêu nghiên cứu 2

4 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu 2

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

6 Nội dung nghiên cứu 3

1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Không gian mêtric 4

1.2 Không gian S-mêtric 11

2 Định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian S-mêtric đầy đủ 16 2.1 Một số khái niêm mở rộng trong không gian S-mêtric 16

2.2 Định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian S-mêtric đầy đủ 17

2.3 Kết luận 24

2.4 Kiến nghị 24

ii

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

TÓM TẮT KẾT QUẢ ĐỀ TÀI KH & CN CẤP CƠ SỞ

Tên đề tài: Định lí Điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong

không gian S-mêtric đầy đủ

Mã số: CS2013.01.14

Chủ nhiệm đề tài: Nguyễn Thành Nghĩa

Tel.: 0909645886; E-mail: ntnghia@dthu.edu.vn

Cơ quan chủ trì đề tài: Trường Đại học Đồng Tháp

Cơ quan và cá nhân phối hợp: Không

Thời gian thực hiện: 6/2013 đến 5/2014

1 Mục tiêu:

- Thiết lập và chứng minh định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy

rộng trong không gian S-mêtric đầy đủ

- Đưa ra một số ví dụ minh họa cho kết quả đạt được

2 Nội dung chính:

- Kiến thức chuẩn bị

- Định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian

S-mêtric đầy đủ

3 Kết quả chính đạt được: Đề tài đã đề xuất được Định nghĩa 2.1.1,

Nhận xét 2.1.2, thiết lập và chứng minh định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi

tuyến suy rộng trong không gian S-mêtric đầy đủ, Định lí 2.2.1, xây dựng các Hệ

quả 2.2.2, Hệ quả 2.2.3, Hệ quả 2.2.4, Định lí 2.2.5 và các Ví dụ 2.2.6, Ví dụ 2.2.7

Nội dung đề tài được kiểm chứng bằng một bài báo khoa học đã nhận đăng trên

tạp chí khoa học Trường Đại học An Giang

Chủ nhiệm đề tài

Nguyễn Thành Nghĩa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

SUMMARYProject Title: Some fixed points theorems generalized nonlinear contractivemappings in S-metric spaces

Code number: CS 2013.01.14

Coordinator: Nguyễn Thành Nghĩa

Tel.: 0909645886; E-mail: ntnghia@dthu.edu.vn

Implementing Institution: Dong Thap University

- The fixed point theorem for generalized nonlinear contractive mappings

in complete S-metric spaces

3 Results obtained: A new notion was introduced in Definition 2.1.1,some properties were given in Remark 2.1.2, fixed point theorems for gen-eralized nolinear contractions on S-metric spaces were stated and proved inTheorem 2.21, some consequences were obtained in Corollary 2.2.2, Corollary2.2.4, Theorem 2.2.5, examples were given in Example 2.2.6, Example 2.2.7.The main result was accepted to publish on Science Journal of An GiangUniversity

Project manager

Nguyễn Thành Nghĩa

MỞ ĐẦU

1 Tổng quan tình hình nghiên cứu

Lí thuyết điểm bất động là một trong những vấn đề quan trọng trong toánhọc Nó có nhiều ứng dụng trong giải tích phi tuyến, nhất là việc thiết lập

sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng,phương trình tích phân phi tuyến Vấn đề này đã và đang được nhiều tác giảquan tâm nghiên cứu [4], [12], [13], [14], [19] Năm 1922, trong [2] Banach đãgiới thiệu Nguyên lí ánh xạ co trên không gian mêtric đầy đủ Đây được xem

là một trong những kết quả cơ bản nhất trong lí thuyết điểm bất động Từ

đó, không những việc mở rộng nguyên lí co Banach cho lớp các ánh xạ cokhác nhau trên không gian mêtric được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu

đã đạt được một số kết quả nhất định [3], [10], [12], mà còn trên các khônggian mêtric suy rộng khác [11], [18], [19]

Năm 2012, S Sedghi và các cộng sự giới thiệu không gian S-mêtric và đưa

ra một số kết quả [19]; S Sedghi và N.V Dung đã đưa ra định lí điểm bấtđộng cho không gian S-mêtric [18] Những năm gần đây, hướng nghiên cứuđịnh lí điểm bất động trên các không gian mêtric suy rộng đang được tiếnhành bởi số tác giả ở các Trường Đại học, Viện Toán học đã thu được một sốkết quả [7], [8] Hiện nay, tại Trường Đại học Đồng Tháp một số tác giả đangquan tâm, nghiên cứu các vấn đề về không gian mêtric suy rộng và bước đầu

đã thu được một số kết quả [13], [14]

Ngoài ra, năm 2013 trong tài liệu [4], S Chandok trình bày định lí điểmbất động chung cho ánh xạ co phi tuyến trong không gian mêtric đầy đủ bằngcách khái quát và mở rộng các kết quả của [1], [5], [6], [9], [15] Đến nay, việc

mở rộng định lí chính trong [4] trên các không gian mêtric suy rộng khác còn

là vấn đề mở, nên chúng tôi mở rộng định lí sang không gian S-mêtric

2 Tính cấp thiết của đề tài

Từ tình hình tổng quan đề tài và kết quả các công trình nghiên cứu liênquan, đặc biệt từ kết quả [4], chúng tôi thấy việc mở rộng kết quả này sangkhông gian S-mêtric vẫn còn là vấn đề chưa được nghiên cứu, nên chúng tôichọn thiết lập "định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suyrộng trong không gian S-mêtric đầy đủ" làm nội dung nghiên cứu của

đề tài

Bên cạnh đó, nội dung đề tài cũng góp phần mở rộng trong việc nghiêncứu về lí thuyết điểm bất động của nhóm giảng viên và sinh viên chuyênngành Sư phạm Toán học của Trường Đại học Đồng Tháp, và những tác giảquan tâm nghiên cứu về Toán học Hiện đại

3 Mục tiêu nghiên cứu

- Thiết lập và chứng minh định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyếnsuy rộng trong không gian S-mêtric đầy đủ

- Xây dựng một số ví dụ minh họa cho các kết quả đạt được

4 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu

- Cách tiếp cận: Trên cơ sở nghiên cứu các tài liệu tham khảo liên quanđến đề tài, bằng cách tương tự những kết quả đã có, chúng tôi đề xuất cáckết quả mới

- Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu các tài liệu tham khảo trong vàngoài nước có liên quan, từ đó tương tự hoá những kết quả về điểm bất độngcho ánh xạ co phi tuyến tổng quát trong không gian S-mêtric đầy đủ Đồngthời trao đổi thông tin với các thành viên trong nhóm nghiên cứu và các tácgiả khác; viết bài gửi cho các tạp chí chuyên ngành để kiểm định kết quảnghiên cứu

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu những đặc trưng và tính chất của điểm bất động choánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian S-mêtric đầy đủ và đưa racác ví dụ làm sáng tỏ các kết quả đạt được

6 Nội dung nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu một số khái niệm, tính chất cơ bản của không gianmêtric và không gian S-mêtric, từ đó đề xuất và chứng minh Định lí điểmbất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trong không gian S-mêtric đầy

đủ đồng thời đưa ra các ví dụ làm sáng tỏ các kết quả đạt được

Ngoài Mục lục, Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo thì nội dungchính của đề tài được trình bày trong hai chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Định lí điểm bất động cho ánh xạ co phi tuyến suy rộng trongkhông gian S-mêtric đầy đủ

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian mêtric

Mục này, chúng tôi hệ thống các khái niệm và các tính chất liên quan đếnkhông gian mêtric, từ đó chi tiết hóa Theorem 2.1 trong tài liệu [4]

1.1.1 Định nghĩa ([17], Định nghĩa 1.1) Cho X là một tập khác rỗng, ánh

xạ d : X × X −→ R thỏa mãn các điều kiện sau

1.1.2 Định nghĩa ([17], Định nghĩa 4.5.1) Giả sử f : X −→ X là một ánh

xạ Khi đó, phần tử x ∈ X sao cho f (x) = x được gọi là điểm bất động củaánh xạ f

Các khái niệm sau đây được xét trên không gian mêtric (X, d)

1.1.3 Định nghĩa ([17], Định nghĩa 4.5.1) Ánh xạ T : X −→ X được gọi

là ánh xạ co nếu tồn tại 0 ≤ k < 1 sao cho với mọi x, y ∈ X ta có

d(T x, T y) ≤ kd(x, y)

(2) Dãy {xn} được gọi là dãy cơ bản trong X (hay dãy Cauchy) nếu với mỗi

ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi m, n ≥ n0 ta có d xm, xn
< ε.1.1.5 Định nghĩa ([6]) Ánh xạ T : X −→ X được gọi là ánh xạ C-co khi

và chỉ khi tồn tại k ∈



0,12

sao cho với mọi x, y ∈ X ta cód(T x, T y) ≤ k[d(x, T y) + d(y, T x)]

1.1.6 Định nghĩa ([9]) Ánh xạ T : X −→ X được gọi là ánh xạ co yếu nếuvới mọi x, y ∈ X, ta có

d(T x, T y) ≤ d(x, y) − ψ d(x, y)
với f : X −→ X và ψ : [0, +∞) −→ [0, +∞) liên tục và thỏa mãn điều kiệnψ(x) = 0 khi và chỉ khi x = 0

1.1.7 Định nghĩa ([9]) Ánh xạ T : X −→ X được gọi là ánh xạ f -co yếunếu với mọi x, y ∈ X, ta có

d(T x, T y) ≤ d(f x, f y) − ψ d(f x, f y)
với f : X −→ X và ψ : [0, +∞) −→ [0, +∞) liên tục và thỏa mãn điều kiệnψ(x) = 0 khi và chỉ khi x = 0

Gọi Ψ là lớp các hàm liên tục ψ : [0, +∞)2 −→ [0, +∞) thỏa mãn điềukiện ψ(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y = 0

1.1.8 Định nghĩa ([9]) Ánh xạ T : X −→ X được gọi là ánh xạ co yếusuy rộng nếu với mọi x, y ∈ X, với ψ ∈ Ψ, ta có

d(T x, T y) ≤ 1

2

d(x, T y) + d(y, T x)



− ψ

d(x, T y), d(y, T x)



1.1.9 Nhận xét Ánh xạ C-co là trường hợp đặc biệt của ánh xạ co yếu suyrộng khi chọn hàm ψ(x, y) =

1

2− k

(x + y), 0 < k < 1

2.

1.1.10 Định nghĩa ([9]) Ánh xạ T : X −→ X được gọi là ánh xạ f -co yếusuy rộng nếu với mọi x, y ∈ X, ta có

d(T x, T y) ≤ 1

2

d(f x, T y) + d(f y, T x)



− ψ

d(f x, T y), d(f y, T x)

n→+∞T xn = lim

n→+∞f xn = t với t ∈ M (4) Hai ánh xạ f và T được gọi là tương thích yếu nếu f và T giao hoántại các điểm trùng

1.1.12 Định lí ([4], Theorem 2.1) Cho M là tập con của không gian mêtric(X, d), hai ánh xạ f, T : M −→ M thỏa mãn

Chứng minh Lấy bất kì x0 ∈ M Do T (M ) ⊂ f (M ) nên ta có thể chọn

x1 ∈ M sao cho f (x1) = T x0 Vì T x1 ∈ f (M ) nên tồn tại x2 ∈ M saocho f (x2) = T x1 Tương tự, ta xây dựng được dãy {xn} trong M sao cho

f xn+1 = T xn với mọi n ≥ 0

Do T là ánh xạ f -co yếu suy rộng nên ta có

d(T xn+1, T xn) ≤ 1

2

d(f xn+1, T xn) + d(f xn, T xn+1)



−ψ

d(f xn+1, , T xn), d(f xn+1, T xn)

d(T xn+1, T xn) ≤ 1

2d(T xn−1, T xn+1)

≤ 12

d(T xn−1, T xn) + d(T xn+1, T xn)

lim

n→+∞d(T xn−1, T xn+1) = 2r (1.3)Cho n −→ +∞ từ bất đẳng thức (1.1), sử dụng (1.3) và theo tính liêntục của hàm ψ, ta được

Giả sử ngược lại, khi đó tồn tại ε > 0 sao cho từ dãy {T xn} ta tìm đượcdãy con {T xn(k)} và {T xm(k)} với n(k) ≥ m(k) ≥ k sao cho với mọi k ta có

≤ d(T xm(k), T xm(k)−1) + d(T xn(k), T xn(k)−1)+ d(T xm(k), T xm(k)−1) + d(T xn(k), T xm(k)) (1.8)cho k −→ +∞ từ (1.8) và sử dụng (1.5) ta được

ε ≤ d(T xm(k), T xn(k))

≤ 12

d(f xm(k), T xn(k)) + d(f xn(k), T xm(k))



− ψ

d(f xm(k), T xn(k)), d(f xn(k), T xm(k))



≤ 12

d(T xm(k)−1, T xn(k)) + d(T xn(k)−1, T xm(k))



− ψ

d(f xm(k), T xn(k)), d(f xn(k), T xm(k))



(1.10)

cho k −→ +∞ trong (1.10) và sử dụng (1.7), (1.9) ta được

ε ≤ 1

2(ε + ε) − ψ(ε, ε),suy ra ψ(ε, ε) ≤ 0; điều này mâu thuẫn với ε > 0 Vậy {T xn} là dãy Cauchy

Vì tính đầy đủ của T (M ) nên tồn tại u ∈ T (M ) sao cho u = lim



− ψ

d(f z, T xn+1), d(f xn+1, T z)



≤ d(f z, T xn+1) + 1

2

d(f z, T xn+1) + d(T xn, T z)



− ψ

d(f z, T xn+1), d(T xn, T z)

 (1.11)Cho n −→ +∞ trong (1.11) và sử dụng tính liên tục của ψ, ta được

suy ra d(f z, T z) = 0, nên T z = f z = u hay z là một điểm trùng của T và f Bây giờ giả sử rằng T và f là tương thích yếu nghĩa là ta có



− ψ

d(f z, T u), d(f u, T z)



≤ 12

d(T z, T u) + d(T u, T z)



− ψ

d(T z, T u), d(T u, T z)



Điều này suy ra d(T z, T u) = 0, hay T u = T z = f u = u Vậy u là điểm bấtđộng chung của f và T

Cuối cùng, ta chứng minh F (T ) ∩ F (f ) có duy nhất một điểm

Giả sử F (T ) ∩ F (f ) = {x, y}, khi đó

d(x, y) = d(T x, T y) ≤ 1

2

d(f x, T y) + d(f y, T x)



− ψ

d(f x, T y), d(f y, T x)



≤ 12

d(x, y) + d(y, x)



− ψ

d(x, y), d(y, x)



;

suy ra ψ(d(x, y), d(y, x)) = 0 nên d(x, y) = 0 hay y = x

Vậy T và f có duy nhất điểm bất động

1.1.13 Hệ quả ([4], corollary 2.2) Cho M là tập con của không gian mêtric(X, d), T : M −→ M thỏa mãn T (M ) ⊂ M Nếu T (M ) là đầy đủ và T làánh xạ co yếu suy rộng thì T có duy nhất điểm bất động

1.1.14 Hệ quả ([9]) Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ Nếu ánh

xạ T : X −→ X là ánh xạ co yếu suy rộng thì T có duy nhất điểm bất động

Từ Nhận xét 1.1.9 và Hệ quả 1.1.14, ta có hệ quả sau

1.1.15 Hệ quả ([6]) Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ Nếu ánh

xạ T : X −→ X thỏa mãn

d(T x, T y) ≤ k

d(x, T y) + d(y, T x)



với 0 ≤ k < 1

2 và với mọi x, y ∈ X thì T có duy nhất điểm bất động.

1.1.16 Định lí ([4], Theorem 2.7) Gọi M là tập con của không gian mêtric(X, d), f, T : M −→ M thỏa mãn T (F (f )) ⊂ F (f ) Nếu T (M ) là đầy đủ,

F (f ) là tập khác rỗng và T là ánh xạ f − co yếu suy rộng với mọi x, y ∈ F (f )thì F (T ) ∩ F (f ) có duy nhất điểm

Chứng minh Do T (F (f )) là tập hợp con của T (M ) đầy đủ và T (F (f )) ⊂ F (f )

Do đó với mọi x, y ∈ F (f ) ta có

d(T x, , T y) ≤ 1

2

d(f x, T y) + d(f y, T x)



− ψ

d(f x, T y), S(f y, T x)



≤ 12

d(x, T y) + d(y, T x)



− ψ

d(x, T y), d(y, T x)



Điều này chứng tỏ T là ánh xạ co yếu suy rộng trên F (f ) Vì vậy, từ Hệquả 1.1.14 ta suy ra ánh xạ T có duy nhất điểm bất động z ∈ F (f ) Do đó,tập F (T ) ∩ F (f ) có duy nhất một điểm.

1.2 Không gian S-mêtric

Mục này, chúng tôi hệ thống một số khái niệm và tính chất về không gianS-mêtric liên quan đến đề tài như là định nghĩa S-mêtric, sự hội tụ của dãytrong không gian S-mêtric, các tính chất cơ bản,

1.2.1 Định nghĩa ([19], Definition 2.1) Cho X là một tập khác rỗng Ánh

xạ S : X3 −→ [0; +∞) thỏa mãn các điều kiện sau: với mọi x, y, z, a ∈ X(1) S(x, y, z) = 0 khi và chỉ khi x = y = z;

Vậy S được định nghĩa như trên là một S-mêtric trên X.

1.2.3 Ví dụ ([19], Definition 2.1, (2)) Cho X = Rn và k · k là một chuẩntrên X Khi đó, với mọi x, y, z ∈ X

S(x, y, z) = kx − zk + ky − zk

là một S-mêtric trên X

Chứng minh Ta sẽ chứng minh S được định nghĩa như trên thỏa mãn 3 điềukiện của S-mêtric Thật vậy, vì k · k là chuẩn trên X nên ta có S(x, y, z) ≥ 0với mọi x, y, z ∈ X Ta có S(x, y, z) = 0 tương đương với kx−zk+ky−zk = 0,giải phương trình ta được x = y = z

1.2.4 Ví dụ ([19], Definition 2.1, (3)) Cho X là một tập khác rỗng và d làmột mêtric trên X Khi đó, với mọi x, y, z ∈ X

d(x, a) + d(a, z)
+ d(y, a)+d(a, z)
+ d(x, a) + d(a, y)


≥ 1

2d(x, z) + d(y, z) + d(x, y)

≥ 1

2d(x, z) + d(y, z) = Sd(x, y, z).Vậy Sd được định nghĩa như trên là một S-mêtric trên X

1.2.5 Bổ đề ([19], Lemma 2.5) Cho (X, S) là một không gian S-mêtric Khi

đó, với mọi x, y ∈ X ta có S(x, x, y) = S(y, y, x)

Chứng minh Theo điều kiện 3 của Định nghĩa 1.2.1 ta có

S(x, x, y) ≤ S(x, x, x) + S(x, x, x) + S(y, y, x) = S(y, y, x)

S(y, y, x) ≤ S(y, y, y) + S(y, y, y) + S(x, x, y) = S(x, x, y)

Từ đó, suy ra S(x, x, y) = S(y, y, x)

1.2.6 Bổ đề ([14], Lemma 1.12) Cho (X, d) là một không gian mêtric và

(1) Dãy {xn} ⊂ X được gọi là hội tụ về x nếu S(xn, xn, x) −→ 0 khi

n −→ +∞ Điều này có nghĩa là với mỗi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N saocho với mọi n ≥ n0 thì S(xn, xn, x) < ε

Kí hiệu là lim

n−→+∞xn = x hay xn −→ x khi n −→ +∞

(2) Dãy {xn} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu S(xn, xn, xm) −→ 0 khi

n, m −→ +∞ Nói cách khác, {xn} là dãy Cauchy khi và chỉ khi với mọi

ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mỗi n, m ≥ n0 thì S(xn, xn, xm) < ε.(3) Không gian S-mêtric (X, S) được gọi là đầy đủ nếu với mỗi dãy Cauchytrong (X, S) đều là dãy hội tụ

1.2.9 Định lí ([17], Mệnh đề 1.8) Cho (X, S) là không gian S-mêtric Nếudãy {xn} trong X hội tụ thì giới hạn đó duy nhất.

1.2.10 Định lí ([17], Mệnh đề 1.9) Cho (X, S) là không gian S-mêtric Nếutồn tại hai dãy {xn} và {yn} sao cho lim

n−→+∞xn = x và lim

n−→+∞yn = y thìlim

n−→+∞S(xn, xn, yn) = S(x, x, y)