free 10 hinh hoc giai tich trong mat phang dtn

- Nếu đề bài cho phương trình đường phân giác trong dcủa một góc, và biết một điểm M thuộc một cạnh bên thì ta tìm tọa độ điểm M đối xứng với ' M qua d Điểm M được xác định qua các bước:

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Email : dangnamneu@gmail.com

Yahoo: changtraipkt

Mobile: 0976266202

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Phương trình đường thẳng có dạng tổng quát  d :ax by   , c 0 a2b2  0

+ Đường thẳng  d có véc tơ pháp tuyến nd a b; 

, và véc tơ chỉ phương ud   b a; 

+ Phương trình đường thẳng đi qua điểm M x y 0; 0và có véc tơ pháp tuyến nd a b; 

Các tính chất trong tam giác

Cho tam giác ABCcó 3 đỉnh là A B C và trọng tâm , , G, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABClà I , tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Khi đó ta có

+ Tọa độ trọng tâm G được xác định bởi

33

+ Tâm đường tròn nội tiếp là giao điểm của 3 đường phân giác trong của tam giác

+ Phương trình đường phân giác trong của góc A có véc tơ chỉ phương u 1 AB 1 AC

3

AG AM

 

với M là trung điểm cạnh BC

- Nếu đề bài cho phương trình đường phân giác trong dcủa một góc, và biết một điểm M

thuộc một cạnh bên thì ta tìm tọa độ điểm M đối xứng với ' M qua d

Điểm M được xác định qua các bước: '

1 Viết phương trình đường thẳng  đi qua M và vuông góc với d

2 Xác định tọa độ I d , vì I là trung điểm của MM'M'theo công thức liên hệ đối xứng qua một điểm

- Nếu đề bài cho tâm hay bán kính đường tròn nội tiếp, diện tích tam giác thì chú ý công thức liên hệ 1 sin 1 sin 1 sin

ABC

S  p r ab C bc A ca B

BÀI TẬP MẪU Bài 1 Cho điểm A2; 2 và đường thẳng  d đi qua điểm M3;1và cắt các trục tọa độ tại ,

B C Viết phương trình đường thẳng  d , biết rằng tam giác ABCcân tại A

Lời giải:

Giả sử  d cắt các trục tọa độ tại B b ; 0 , C0;c Khi đó   d :x y 1

bc 

Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d1:x   và y 4 0 d2: 2x   y 2 0Tìm tọa độ điểm Nthuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng 2 ONcắt đường thẳng d tại điểm 1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 4 4 6; 3  : 1.

Thay tọa độ 2 điểm A B vào phương trình của ,  d   10 6   2 điểm ,0 A B nằm cùng

phía với đường thẳng  d

1 Gọi A là điểm đối xứng của A qua '  d MA MB MA'MBA B'

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của đường thẳng A B và '  d

Đường thẳng AA đi qua A và vuông góc với '

 d AA' : 2xy602xy   Tọa độ giao điểm H của 6 0  d và A A là 'nghiệm của hệ

A

B

A'

M

Bài 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy cho điểm A2;1 Tìm tọa độ điểm

B trên trục hoành, điểm Ctrên trục tung sao cho tam giác ABCvuông tại A và có diện tích lớn

nhất, biết điểm B có hoành độ không âm

Xét hàm số ( ) 2 4 5, 0 5 ( ) (0) 5

2

f t t  t  t  f t  f 

Vậy diện tích tam giác ABClớn nhất khi B0; 0 , C0;5

Bài 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy cho điểm A2; 2và hai đường thẳng d1:xy 2 0,d2:x   Tìm ,y 8 0 B C tương ứng thuộc d d sao cho tam giác 1, 2 ABC

vuông cân tại A

Vậy có hai cặp điểm B C thỏa mãn đề bài là , B3; 1 ,  C5;3hoặc B1;3 , C3;5

Bài 9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy cho bốn điểm A1; 0

Ta có AB5,CD 17 Giả sử điểm M a a  ;3 5thuộc đường thẳng d

Đường thẳng AB CD lần lượt có phương trình là ,

Ta có AB  2 Đường thẳng AB có phương trình là AB x:    Vì y 5 0 Glà trọng tâm tam

ABG ABG ABC

2

a a

, đường thẳng ACđi qua K và nhận HK

làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình AC x: 2y  4 0

Do AAC B, BKnên giả sử A2a4;a,B b ; 2 2 b Vì điểm M3;1là trung điểm của

Gọi Nlà trung điểm cạnh AC, vì tam giác ABH đồng dạng với tam giác MNIvà AH song

song với MI nên HA2MI A7;10

Gọi B x y ; ,x 0 IM 3; 3 ,  MBx y; 3

Với M là trung điểm cạnh BCnên

IM MBvà bán kính đường tròn ngoại tiếp IAIB 116

Do đó tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ

B y

Bài 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABCvuông tại A

Hai đỉnh A B nằm trên trục hoành, phương trình cạnh , BCcó phương trình là

B C

Lời giải:

Ta có IA 5, do vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCcó phương trình là

Suy raB C là giao điểm của ,  C và đường tròn tâm D bán kính DK  50

Vậy tọa độ B C là nghiệm của hệ ,

Bài 15 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABCcân tại A có

phương trình hai cạnh AB y:  1 0;BC x:    Tính diện tích tam giác y 2 0 ABCbiết ACđi qua điểm M  1; 2

Lời giải:

Đỉnh B là giao điểm của AB BC nên tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ ,

K A

B

C I

D

Suy ra phương trình của d:x1  y2 0 d x: y  1 0

Tạo độ giao điểm Ncủa dvà AB là nghiệm hệ

Khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ

1 0

1; 10

Bài 16 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độxOy cho tam giác ABC Biết đường cao kẻ từ đỉnh

B và phân giác trong góc A lần lượt có phương trình là d1: 3x4y10 và 0 d2:x   y 1 0Điểm M0; 2thuộc đường thẳng AB đồng thời cách Cmột khoảng bằng 2 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Lời giải:

- Gọi M là điểm đối xứng của M qua ' '

2

d M AC Đường thẳng MM đi qua ' M và vuông góc với d nên 2 MM':x   y 2 0

  Đường tròn nội tiếp

tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC CA AB tương ứng tại các điểm , , D E F Cho , , D3;1

và đường thẳng EF có phương trình y   Tìm tọa độ đỉnh A , biết A có tung độ dương 3 0

BC song song với EF hay tam giác ABCcân tại A

Đường thẳng AD vuông góc với EF nên có phương trình x  3 0

trường hợp này vì không thỏa mãn A có tung độ dương

Với t2F2;3và đường thẳng BF: 4x3y  , từ đó suy ra 1 0 3;13

1.3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABCcân tại A có

1.4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABCcó đỉnh A1; 2

Đường trung tuyến BM và đường phân giác trong CDcó phương trình lần lượt là

2x  y 1 0;x   Viết phương trình cạnh y 1 0 BC

1.5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABCcó trung điểm

2; 0

M của cạnh AB Đường trung tuyến và đường cao kẻ từ đỉnh A có phương trình

lần lượt là 7x2y 3 0; 6x   Viết phương trình cạnh y 4 0 AC

1.6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy cho tam giác ABCcân tại A6;6

Đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB AC có phương trình , x   Tìm y 4 0tọa độ các đỉnh B C , biết điểm , E1; 3 nằm trên đường cao đi qua đỉnh Ccủa tam giác

B   Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB

1.9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABCvuông tại A ,

phương trình đường thẳng BC: 3xy 30, các đỉnh A B nằm trên trục hoành và ,bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 Tìm tạo độ trọng tâm Gcủa tam giác ABC

1.10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABCvuông tại A ,có

đỉnh C  4;1 phân giác trong góc A có phương trình x   Viết phương trình y 5 0đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABCbằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương

1.11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABCcân tạiA  1; 4

và các đỉnh B C thuộc đường thẳng , x   Xác định tọa độ các đỉnh ,y 4 0 B C biết

diện tích tam giác ABCbằng 18

1.12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy hãy xác định tọa độ đỉnh Ccủa tam

giác ABCbiết hình chiếu vuông góc của Ctrên đường thẳng AB là điểm H   1; 1, đường phân giác trong của góc A có phương trình x    và đường cao kẻ từ B có y 2 0phương trình 4x3y  1 0

1.13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABCcó đỉnh

 1; 0 , 4; 0 , 0; ; 0

A  B C m m Xác định tọa độ trọng tâm Gcủa tam giác ABCtheo

m Xác định m để tam giác GABvuông tại G

1.14 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABCvuông cân tại

A ,biết M1; 1 là trung điểm cạnh BCvà 2; 0

1.15 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho điểm A0; 2và đường thẳng

dđi qua gốc tọa độ Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d Viết phương trình đường thẳng dbiết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH

1.16 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABCvuông cân tại

A ,cạnh huyền nằm trên đường thẳng x7y31 0 , điểm N7; 7nằm trên cạnh AC, điểm M2; 3 thuộc cạnh AB và nằm ngoài đoạn AB Xác định tọa độ ba đỉnh A B C , ,

1.17 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác cân, có cạnh đáy

1.19 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABCbiết đường cao

và trung tuyến xuất phát từ đỉnh A lần lượt có phương trình là

6x5y 7 0;x4y  Tính diện tích tam giác 2 0 ABC, biết trọng tâm của tam giác nằm trên trục hoành và đường cao xuất phát từ đỉnh B đi qua điểm M1; 4 

BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ TỨ GIÁC

BÀI TẬP MẪU

Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy cho hình bình hành ABCDcó điểm

1;0 , 2;0

A B Giao điểm I của 2 đường chéo thuộc đường thẳng y Tìm tọa độ các đỉnh x

còn lại của hình bình hành, biết diện tích hình bình hành bằng 4

Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCDcó tâm I6; 2, điểm

+ Với x0  7 IE1; 4 AB x: 4y190

Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCDcó diện tích bằng 12, tâmI giao điểm của đường thẳng  d1 :x   và đường thẳng y 3 0  d2 :xy  Trung 6 0điểm một cạnh là giao điểm của  d với trục hoành Xác định tọa độ bốn đỉnh hình chữ nhật 1

Do vai trò các đỉnh A B C D là như nhau, nên ta giả sử đó là trung điểm M của cạnh , , , AD

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ

Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCDcó tâm 1; 0

1

2

42

c c c

Vậy phương trình đường trung trực của AB là

x2  y10 x y   Điểm D thuộc đường trung trực AB nên gọi 3 0 D t ;3t

Do ABCDlà hình thoi nên 2 2  2  2

Lời giải:

Giả sử phương trình cạnh     2 2

AB a x b y  a b  Khi đó BC b x:  6a y 5 0

1.1 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCDcó A  2;6, đỉnh B

thuộc đường thẳng x2y  Gọi 6 0 M N lần lượt là 2 điểm trên cạnh , BC CD sao cho ,

1.2 Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy cho hình thang vuông ABCDvuông tại A D có ,

đáy lớn là CD, đường thẳng AD có phương trình y3x, đường thẳng BD có phương

trình x2y Góc tạo bởi 2 đường thẳng 0 AB BC bằng , 45 Viết phương trình đường 0thẳng BCbiết diện tích hình thang bằng 24, điểm B có hoành độ dương

1.3 Cho hình bình hành ABCDcó đỉnh B1;5, đường cao AH x: 2y  , phương trình 2 0

đường phân giác góc Clà x   Tìm tọa độ 3 đỉnh , ,y 1 0 A C D

1.4 Cho hình chữ nhật ABCDcó đỉnh D  1;3, đường phân giác trong của góc A là

x y  x y  Viết phương trình đường thẳng AD BC biết điểm , M  3;3

thuộc đường thẳng AD và điểm N  1; 4thuộc đường thẳng BC

1.6 Cho hình vuông ABCDcó tâm I 1;1 , biết điểm M  2; 2thuộc cạnh AB và điểm

2; 2

N  thuộc cạnh CD Xác định tọa độ các đỉnh hình vuông

1.7 Cho hình vuông ABCDvà điểm M   3; 2thuộc cạnh AB , đường tròn nội tiếp hình

vuông có phương trình x22y32 10 Xác định tọa độ bốn đỉnh hình vuông, biết điểm A có hoành độ dương

1.8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCDcó điểm

6; 2

I là giao điểm của hai đường chéo ACvà BD Điểm M1;5thuộc đường thẳng

AB và trung điểm E của cạnh CDthuộc đường thẳng x   Viết phương trình y 5 0đường thẳng AB

1.9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho hai đường thẳng

d xy và d2: 2xy  Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông 1 0 ABCD, biết đỉnh

A thuộc d và đỉnh 1 Cthuộc d và các đỉnh 2 B D nằm trên trục hoành ,

1.10 Cho hình thoi ABCDcó một đường chéo là x2y  và một cạnh có phương trình 7 0

C x y  có tâm I1; 0 Xác định tọa độ điểm M thuộc  C

sao cho IMO300

Lời giải:

Nhận thấy điểm O0; 0thuộc đường tròn  C nên IM IO1

Tam giác MIOcân tại I,IMO300  MIO1200

a

M b

Bài 5 Cho đường thẳng  d :x7y10 Viết phương trình đường tròn0  C có tâm thuộc

đường thẳng 2xy và tiếp xúc với đường thẳng 0  d tại điểm A4; 2

Lời giải:

Giả sử đường tròn  C có tâm I x ; 2 xIAx4; 2 x2

Đường tròn  C tiếp xúc với

đường thẳng  d tại A suy ra IA d 7x4  2x20 x 6 I6; 12 , bán kính RIA10 2

Vậy phương trình đường tròn   C : x62y122 200

Bài 6 Trong mặt phẳng tọa độOxy ,cho đường tròn   C : x12y22 4và đường thẳng

 d :x   Viết phương trình đường tròn y 1 0  C' đối xứng với  C qua đường thẳng  d

Điểm I đối xứng với I qua ' H I' 3; 0 

Vậy phương trình đường tròn    2 2

Tam giác MAB đều suy ra tam giác MIA là nửa tam giác đều, suy ra MI 2IA6

Vậy điểm M thuộc đường tròn  C' có tâm I bán kính R 6, điểm M là duy nhất suy ra

đường thẳng  d tiếp xúc với  C' Từ đó suy ra

Bài 8 Cho đường tròn   2 2

C x y  x y  và đường thẳng  d :xmy2m  3 0Gọi I là tâm của  C , tìm m để đường thẳng  d cắt  C tại hai điểm phân biệt A B sao cho ,diện tích tam giác IAB lớn nhất

R

d I d

m m

M N sao cho tam giác AMNvuông cân tại A

1.2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy , cho 2 đường thẳng

 d1 : 3xy và 0  d2 : 3xy Gọi 0  T là đường tròn tiếp xúc với  d tại 1 A , cắt

 d2 tại hai điểm B và Csao cho tam giác ABCvuông tại B Viết phương trình của  T ,

biết rằng tam giác ABCcó diện tích bằng 3

2 và điểm A có hoành độ dương

1.3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy , cho tam giác ABCcó

C x y  và hai đường thẳng  d1 :xy0, d2 :x7y Xác định tọa 0

độ tâm K và bán kinh đường tròn  C , biết đường tròn 1  C tiếp xúc với hai đường 1

thẳng    d1 , d2 và có tâm K thuộc đường tròn  C

1.5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy cho hai điểm A2;0và B6; 4

Viết phương trình đường tròn  C tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ

tâm của  C đến B bằng 5

1.6 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy cho tam giác ABCcó A3; 7 và

trực tâm H3; 1 , tâm đường tròn ngoại tiếp là I  2; 0 Xác định tọa độ đỉnh C, biết

T x y  Viết phương trình đường thẳng dđi qua gốc tọa độ và cắt  T tại

hai điểm A B sao cho , AB4BO

1.9 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn   2 2

C x  y  x y  có tâm I và đường

thẳng  d :xy  Tìm trên 4 0  d điểm M sao cho tiếp tiếp với đường tròn  C kẻ từ

M tiếp xúc với  C tại A B và diện tích tam giác IAB là lớn nhất ,

1.10 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn  C ngoại tiếp tam giác ABCcó

C x  x y   Tìm điểm M nằm trên trục tung sao cho từ

M kẻ được 2 tiếp tuyến MA MB ( ,, A B là các tiếp điểm) đến  C và đường thẳng đi qua 2

tiếp điểm đi qua I8;5 

1.12 Cho đường tròn tâm I   2 2

hai tiếp tuyến AB AC ( với ,, B C là các tiếp điểm) đến đường tròn

  C : x22y12 1 sao cho chu vi tam giác ABCnhỏ nhất

1.2 Trong mặt phẳng xOy tìm tọa độ ba đỉnh tam giác ABCvuông tại có trọng tâm 1;5

1.4 Trong mặt phẳng xOy cho hai đường tròn   C1 : x32y12 10và

  C2 : x12 y72 50 Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ và cắt hai đường tròn trên hai dây cung bằng nhau

1.5 Trong mặt phẳng tọa độxOy viết phương trình bốn cạnh hình vuông không song song

với các trục tọa độ; có tâm là gốc tọa độ và hai cạnh kề của hình vuông lần lượt đi qua hai điểm M( 1; 2); N(3; 1)

1.6 Trên mặt phẳng tọa độxOy lấy hai điểm , A B nằm trên elip  

C x y  x  Xác định tất cả các giá trị của tham số m để số tiếp tuyến

chung của hai đường tròn trên là một số lẻ

1.8 Trên mặt phẳng tọa độxOy cho tam giác ABC có trọng tâm 7 4;

3 3

G 

, tâm đường tròn nội tiếp là I(2;1) Cạnh AB có phương trình x  y 1 0x A x B Xác định tọa độ ba đỉnh A B C , ,

1.9 Trong mặt phẳng tọa độxOy viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABCvuông

tại A1; 4 có phương trình cạnh BC x: 2y   , và tâm(có hoành độ âm ) và cách A3 0một khoảng bằng 10

1.10 Trong mặt phẳng tọa độxOy cho hình thang cân ABCDco hai đáy là AB CD và hai ,

đường chéoAC BD vuông góc với nhau Biết , A0;3 ; B3; 4 , C nằm trên trục hoành

Xác định tọa độ đỉnh D của hình thang

1.11 Trong mặt phẳngxOy cho hai đường tròn   2 2

C x y  và đường tròn

  C2 : x12y12 10 Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với  C và cắt 1

 C2 một đoạn AB 6