BÀI TẬP KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT MẶT PHẲNG THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Biết mặt phẳng SAB và mặt phẳng SAC cùng vuông góc với đáy, góc tạo bởi đường thẳng SB và mặt phẳng ABC bằng 0 60 Tính theo a khoảng cách từ A tới mặt phẳng SBC.. Hình chiếu vuông góc củ

Bài 1 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ; ABa Biết mặt phẳng (SAB)

và mặt phẳng (SAC) cùng vuông góc với đáy, góc tạo bởi đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng

0

60 Tính theo a khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC)

Giải:

Do









Suy ra góc tạo bởi SB và mặt phẳng (ABC) là ABS 600

Gọi I K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BC SI,

Khi đó BCAI ; BCSABC(SAI)BCAK

Mặt khác AKSIAK(SBC)d A SBC( , ( ))AK

tan tan 60 3

SA AB ABS a a

Xét tam giác tam giác ABC có 2

AC a

AI  

Bài 2 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a

Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’)

Giải:

Do tam giác A’AC vuông cân, suy ra ' '

Kẻ AH A B' (HA B' ) (1)

Do CB(ABB A' ')CBAH (2)

Từ (1) và (2) suy ra AH (BCD A' ')

( , ( ')) ( , ( ' '))

Ta có ABCD là hình vuông nên

2 2

AC a

Xét tam giác ABA' ta có:

KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM TỚI MẶT

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG

Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng giảng Khoảng cách từ điểm tới mặt thuộc khóa học: Luyện

thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguyễn Thanh Tùng) tại website Hocmai.vn Để có thể nắm vững kiến

thức phần này, bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

a

600

K

I S

C

B A

H D'

C'

B' A'

B A

1 2 1 2 12 22 42 62 6

a AK

AH  AA  AB a a a  

6

a

Bài 3 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, 0

120

BAD ,

M là trung điểm của cạnh BC và 0

45

SMA Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SDC) Giải:

Kẻ AN DC (NDC)

Do ABCD là hình thoi cạnh a và BAD1200

nên ABC ADC, đều là các tam giác đều cạnh a

2

a

AM  AN 

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SN , khi đó:





mà AHSNAH (SCD)d A SCD( , ( ))AH

Xét tam giác SAN ta có:

a AH

4

a

d A SCD 

Bài 4 Cho lăng trụ ABCD A B C D 1 1 1 1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, ADa 3 Hình chiếu

vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD Góc giữa hai mặt 1

phẳng (ADD A1 1)và (ABCD) bằng 0

60 Tính theo a khoảng cách từ tâm của hình chữ nhật ABCD đến

mặt phẳng (A CD 1 )

Giải:

Gọi AC BD H A H1 (ABCD)

DựngHM AD (MAD) AD(A HM1 )

Suy ra góc tạo bởi mặt phẳng (ADD A1 1)

và (ABCD) là 0

1 60

HMA 

Ta có

2 2

AB a

0

3 tan tan 60

Kẻ HI CD (ICD) và HK  A I1 (KA I1 )

hay d H A CD( , ( 1 ))HK

N

M

S

H

B A

600

I

D 1

C 1

H

B 1

A 1

D

C B

A

Ta có 3

AD a

1

a HK

HK  A H HI  a  a  a  

4

a

Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; ABAD2a , CD = a; góc

giữa hai mặt phẳng (SBC)và (ABCD)bằng 0

60 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng

(SBI)và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính theo a khoảng cách từ I tới mặt phẳng

(SBC)

Giải:

Ta có









Kẻ IM BC (MBC)BC(SIM), suy ra góc tạo bởi

mặt phẳng (SBC)và (ABCD) là SMI 600

Dựng IH SM (HSM)BCIHIH (SBC)

d I SBC( , ( ))IH

3

ABCD

2

IAB IDC

AI AB ID DC a

Suy ra

2

3

2

a

BC ABDC AD a

2 3 2

5 5

IBC

a

IM

.sin sin 60

10

a

Bài 6 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có ' ' ' BB'a, góc giữa đường thẳng BB'và mặt phẳng

(ABC)bằng 0

60 ; tam giác ABC vuông tại C và BAC600 Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên mặt phẳng (ABC)trùng với trọng tâm G của tam giác (ABC) Tính theo a khoảng cách từ G tới mặt phẳng

(BCC B' ')

Giải:

Gọi I là trung điểm của AC Do B G' (ABC), suy ra

góc tạo bởi BB' và mặt phẳng (ABC) là B BG' 600

M I

S

H

B A

2

'.cos '

a





 



.tan 60 3

Ta có:

3

BC CI BI  AC   

Kẻ GHB K' (HB K' ) (2) Theo (1) suy ra BCGH (3)

Từ (2) và (3) suy ra GH (BCC B' ')d G BCC B( , ( ' '))GH

a GH

40

a

Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3và mặt phẳng

(SAB)vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC CD, và H là hình

chiếu vuông góc của S trên AB Tính theo a khoảng cách từ H tới mặt (SMN)

Giải:

Ta có









4

AB  a SA SB , suy ra tam giác SAB vuông tại S Khi đó:

a SH

SH  SA SB a  a  a  

Gọi I K, lần lượt là hình chiếu của H trên MN SI, , khi đó :

MN SHI MNHKHK SMN d H SMN HK

Ta có CM CN a MNa 2

và

3

Suy ra

2 3

I H

K

G

C'

600

C

N S

I K

M H

D

C B

A

Khi đó

2

8

4 2

HNM

HI

Xét tam giác SHI , ta có: 1 2 12 12 322 42 1962 5 3

a HK

Vậy ( , ( )) 5 3

14

a

Bài 8 Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác vuông tại ' ' ' A, ACa 3,BCa 7 Gọi M

là trung điểm của ABvà MA C' 600 Hình chiếu vuông góc của điểm A' trên mặt phẳng (ABC) là

trung điểm H của MC Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (MA C' ')

Giải:

Ta có A H' (ABC), suy ra tam giác A MC cân tại ' A, mà MA C' 600 nên A MC là tam giác đều '

Ta có: AB BC2AC2  7a23a2 2a

2

AB

Vậy A MC là tam giác đều có cạnh là 2a nên ' ' 2 3 3

2

a

A H a

Gọi N là trung điểm của BC , suy ra MN // AC mà AC // A C ' '

nên MN // A C ' '

(MA C' ') (ABC) MN

   ((MA C' ')(MA C N' ' ))

Có NH là đường trung bình trong tam giác MBC , s

uy ra

/ / / /







(1)

Gọi K là hình chiếu của H trên NA nên ' HKA N' (*)

Ta có A H' MN (2) (do A H' (ABC))

Từ (1) và (2) suy ra MN ( 'A HN)MNHK (2*)

Từ (*) và (2*) suy ra: HK(MNA') hay HK(MA C' ')d H MA C( , ( ' '))HK

Xét tam giác vuông A HN ta có: '

 

2

3

13 13

'

3 2

a a

HK

a

 

Vậy ( , ( ' ')) 39

13

a

Bài 9 Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , ABa,BCa 3 Hình chiếu

vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm H của tam giác ABC Góc giữa hai mặt phẳng

(SAB) và (ABC) bằng 600 Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SAC)

Giải:

Ta có SH (ABC) ABSH (1)

Gọi E là hình chiếu vuông góc của H trên AB, suy ra ABEH (2)

Từ (1) và (2), suy ra : AB(SEH),

suy ra góc tạo bởi (SAB) và (ABC) là : SEH 600

Gọi M N, lần lượt là trung điểm của BC AC,

BC a

BM   và HE//BM (cùng vuông góc với

.tan 60 3

3

a

Gọi I K, lần lượt là hình chiếu của H trên AC và SI Khi đó:

Vì

2

3 AHC 3 AMC 3 2 ABC 3 ABC 6

a

Mặt khác:

2

3 2

2

AHC AHC

a

Xét tam giác SHI , ta có:

2 2

:

13 ( , ( ))

13

a

d H SAC 

Bài 10 Cho hình chóp S ABC có 0

120

BAC , BCa 3,

2

a

SA Gọi M là trung điểm của BC và

BC vuông góc với mặt phẳng (SAM) Biết góc tạo bởi SM và mặt phẳng (ABC) bằng 600 Tính theo a

khoảng cách giữa trung điểm của AM đến mặt phẳng (SAC)

Giải:

Do BC(SAM), suy ra góc tạo bởi SM và mặt phẳng (ABC) là SMA600 (1)

BC a

Suy ra tam giác ABC cân tại ACAM 600

0 3

Từ (1) và (2) suy ra tam giác SAM đều

Khi đó, gọi H là trung điểm của AM SHAM

mà SH BC (do BC(SAM))SH (ABC)SH AC

Kẻ HI  AC ( IAC)AC(SHI)

Dựng HK SI ( KSI) HK(SAC)d H SAC( , ( ))HK

M

K I

S

C

B

A H

Ta có SAM là tam giác đều cạnh 3

SH

a HK

20

a

Giáo viên : Nguyễn Thanh Tùng Nguồn : Hocmai.vn