THẦY DUY THÀNH các DẠNG TOÁN lập PHƯƠNG TRÌNH mặt PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN p2

Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz... Lập phương trình mặt phẳng P đi qua A, B và vuông góc với Q... Viết phương trình mặt phẳng  song

Bài 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M( 2;1;0) và đường

 Lập phương trình mặt phẳng ( )P qua M và chứa



Giải:

Đường thẳng  có vtcp u  (1; 1;2) và A(2;1;1) MA(4;0;1) Vì mặt phẳng ( )P qua M và chứa  nên n p u,MA ( 1;7;4) Do đó phương trình của ( ) : 1(P  x 2) 7(y 1) 4z  0 x 7y4z 9 0

Bài 12 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm (4; 2;11), ( 2; 10;3)A  B  

Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB

Giải:

Mặt phẳng trung trực của đoạn AB qua trung điểm (1; 6;7)I  của AB nhận

( 6; 8; 8)

AB    làm vtpt

Suy ra phương trình mặt phẳng( ) : 6(Q  x 1) 8(y 6) 8(z 7) 0

3x4y4z 7 0

Bài 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho đường thẳng

:

 và điểm M(2; 1;3) Viết phương trình mặt phẳng ( )P

đi qua điểm (1;0;0)K , song song với đường thẳng d đồng thời cách điểm M

một khoảng bằng 3

Giải:

d có vtcp u(2; 3;1) và đi qua H( 2;4; 1) 

( )P có vtpt n A B C( ; ; ), (A2B2C20)

0 / /( )

( 2;4; 1) ( )

u n



  

Vì ( ) : (1;0;0)

( ; ; 2 3 )

qua K

P





nên phương trình ( ) :P AxBy(3B2 )A z A 0

5 8

(3 2 )

d M P

CÁC DẠNG TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG

KHÔNG GIAN

5 17





Với A  B C B không thỏa mãn (*)

Với 5A17B chọn A17 ta có B   5 C 19 thỏa mãn (*)

Suy ra phương trình mặt phẳng ( ) :17P x5y19z170

Bài 14 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng

(Q) chứa đường thẳng d: 1 1 3

x  y  z

và tạo với mặt phẳng (P):

x y  z một góc nhỏ nhất

Giải:

d có vtcp u(2;1;1), (P) có vtpt m(1;2; 1) ,

(Q) có vtpt n( ; ; );(a b c a2b2c20) Do (Q) chứa d

Gọi  là góc hợp bởi (P) và (Q)

2 2

cos cos( ; )

n m

2



Vậy min 300 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a 0 lúc đó ta chọn 1; 1 (0;1; 1)

b c   n 

Mặt phẳng (Q): (-1;-1;3)

(0;1;-1)

vtpt n









 nên phương trình của ( ) :Q y  z 4 0

Bài 15 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm (1;0;1), (2;1;2)A B

và mặt phẳng ( ) :Q x2y3z 3 0 Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua

A, B và vuông góc với (Q)

Giải:

Ta có AB(1;1;1), n Q (1;2;3), AB n, Q (1; 2;1)

Vì AB n, Q  0 và mặt phẳng (P) vuông góc với (Q) nên (P) nhận AB n, Q làm vtpt

Vậy (P) có phương trình là: x2y  z 2 0

Bài 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

1

:

 và điểm (1; 1;2)A  Viết phương trình mặt phẳng (P) , biết (P) vuông góc với đường thẳng  và cách điểm A một khoảng bằng 3

Giải:

Đường thẳng  có vtcp là u(1; 2;2)

Do mặt phẳng (P) vuông góc với  nên (P) có phương trình là:

x y z d

16 3

d d

d



Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: x2y2z 2 0 hoặc

x y z 

Bài 17 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ( ) :P x   y z 2 0 Mặt cầu ( ) :S x2 y2z24x2y2z 3 0 và hai điểm (1; 1; 2)A   , (4;0; 1)B  Viết phương trình mặt phẳng ( ) song song với AB, vuông góc với mặt phẳng

(P) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3

Giải:

Mặt cầu ( )S có tâm (2; 1; 1) I   , bán kính R3

Mặt phẳng (P) có vtpt n1(1; 1;1),  AB(3;1;1)AB n, 1(2; 2; 4) 

Do mặt phẳng ( ) / / AB và   ( )P ( ) có vtpt n(1; 1; 2)  Suy ra phương trình mặt phẳng   có dạng: x y 2z m 0

Do   cắt mặt cầu ( )S theo một đường tròn có bán kính bằng 3 nên ta có:

( ,( )) 6 5 6 1

11 6

m m

d I

m

        

Vậy có hai mặt phẳng   thỏa mãn là x y 2z 1 0 và x y 2z 11 0

Bài 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

( ) :P x   y z 1 0 và điểm (3; 2; 2)A   Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt các trục Oy, Oz lần lượt tại M, N sao

cho OM = ON (M, N không trùng với O)

Giải:

Gọi M(0; ;0), (0;0; )a N b trong đó ab0 Ta có:

( 3;2 ;2), ( 3;2; 2)

AM   a AN  b Gọi vtpt của (Q) là n Q

Theo giả thiết suy ra n Q AM AN, (2a2bab; 3 ; 3 )a b

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: n P   (1; 1; 1)

Mặt khác ( )P ( )Q n P n Q n n P Q  0 ab  a b 0 (1)

Và OM ON a b a b (2)





Từ (1) và (2) ta được:

2

a

a





Với a 0 thì M O nên loại

Với a 2 n Q (12;6;6), phương trình mặt phẳng (Q) là: 2x   y z 2 0 TH2: a   b a 0(loại)

Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: 2x   y z 2 0

Bài 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (0; 1; 3),A  

(3;0; 3)B  và mặt cầu (S) có phương trình: x2 y2z22x2y2z 6 0 Viết phương trình (P) đi qua điểm A, B và mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính là 5

Giải:

Mặt cầu (S) có tâm ( 1; 1; 1)I    , bán kính R = 3

Giả sử (P) có vtpt n a b c( ; ; ), (a2b2c2 0)

Mặt phẳng (P) đi qua A nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng:

a x b y c z  axby  cz b c

B P  a c b c   b a

 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2

3 2

2 2 10

0

39

d I P

a

a

    

 

     







 



Với a = 0 thì b = 0, chọn c=1 Ta có phương trình ( ) :P z 3 0

39

c

a  , chọn

39

c thì a 4, b12

Ta được phương trình mặt phẳng (P) là: 4x12y39z1290

Bài 20 Trong không gian Oxyz cho hai điểm (1; 1;0), (2;1;2)A  B và mặt phẳng ( ) :P x y 2z 1 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A vuông góc với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (Q) là lớn nhất

Giải:

Phương trình mặt phẳng (Q) qua A có dạng:

a x(  1) b y(  1) cz0 (a2b2c20)

Mặt phẳng (P) và (Q) có vtpt lần lượt là n P  (1; 1;2), n Q ( ; ; )a b c

Vì ( )Q ( )P nên n n Q P    0 a b 2c   0 a b 2c

Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: (b2 )(c x 1) b y(  1) cz0

Ta có

2 2 2

3 ( ;( ))

( 2 )

b

d B Q



Nếu b = 0 thì ( ;( ))d B Q 0

Nếu b0 thì

2

c

b

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2

5

c t b

  Chọn c = 2 thì b = 5 và a = 1

Vậy (Q) có phương trình là: (x 1) 5(y 1) 2z  0 x 5y2z 4 0

Bài 21 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M(0; 1;1) và

có véc tơ chỉ phương u(1;2;0) và điểm A( 1;2;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

(P) bằng 3

Giải:

Đường thẳng d đi qua điểm M(0; 1;1) và có vtcp u(1;2;0)

Gọi n a b c( ; ; ) (a2b2c20) là vtpt của (P)

Do (P) chứa d nên: u n   0 a 2b   0 a 2b

Phương trình mp (P) có dạng:

a x b y c z  axby   cz b c

Ta lại có:

2 2 2

d A P

  

 

2 2

5



4b 4bc c 0 (2b c) 0 c 2b

         Chọn 1 2

2

a b

c





     

Ta được phương trình mặt phẳng (P) là: 2x y 2z 1 0

Bài 22 Trong không gian Oxyz cho phương trình mặt phẳng ( ) :P x  y z 0

Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua gốc tọa độ, vuông góc với (P) và cách

điểm M(1;2; 1) một khoảng bằng 2

Giải:

(Q) đi qua gốc tọa độ nên (Q) có phương trình dạng:

AxByCz A B C 

Từ giả thiết ta có:

0 ( ) ( )

2

2 ( ,( )) 2

d M Q

  









2 2

2

2 (1)

  





(1) B 0 hoặc 3B8C0

Nếu B0 thì A C Chọn C   1 A 1

Ta được phương trình mặt phẳng (Q) là: – 0x z 

Nếu 3B8C0 ta chọn C3; B 8; A5

Ta được phương trình mặt phẳng (Q) là: 5x8y3z0

Vậy có hai mặt phẳng (Q) thỏa mãn bài toán có phuơng trình là:

– 0

x z  ; 5x8y3z0

Để theo dõi các tài liệu khác, truy cập fanpage : Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán

Để học online, truy cập kênh Youtube: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán