Tìm cực trị đại số

Với bài toán tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số fx nếu x ∈ D gọi y0là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho.. Để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng p

phần ! : Bài toán cực trị Phần đại số

A Yêu cầu

A một số Kiến thức cơ bản

1 Định nghĩa Cho biểu thức f(x) xác định trên D

a) Ta nói rằng M = const là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu hai điều kiệnsau đồng thời đợc thoả mãn

1o f(x) ≤ M với ∀ x ∈ D

2o Tồn tại x0∈ D sao cho f(x0) = M kí hiệu là max f(x) = M

b) Ta nói rằng m = const là giá trị nhỏ nhất của f(x) rtên D nếu thoả mãn đồngthời hai điều kiện sau:

1o f(x) ≥ m với ∀ x ∈ D

2o Tồn tại x0∈ D sao cho f(x0) = m

2 Các b ớc cơ bản tiến hành giải toán cực trị

2 1 2

2

2 1 2 2

a b

a b

* a − b ≤ a − b dấu bằng xảy ra khi a.b ≥ 0

d) Với a ≥ b > 0 thì a1≤1b dấu bằng xảy ra khi a = b.

( a, b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b

1.3 Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

f(x,y,z) = x4 + y4 + z 4 xét trên miền D ={(x,y,z) : xy +yz +zx = 4}

Tìm xem vận dụng BĐT nào cho bài toán này là điều khó khăn nhất đói vớihọc sinh Tuy nhiên có thể thấy rằng có thể vận dụng BĐT Bunhiacopski cho 2 dãy

2 , 3

2 , 3

2

) ∈DVậy Min f (x,y,z) = 16/3

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2

1 2 2

3 3 3

1 3 3

1

z− = − ≤ + − =

⇒ A ≤ 2x x +2 y2y +2 z3z ⇒ A ≤ 12+212 +213

z y x

⇒Max A =

3 2

1 2 2

1 2

z y x

VÝ dô 3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:

a) D = x− 2 +x− 1

b) Cho x1, x2 , , x2004 tho¶ m·n

2005 2004

DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi (x-2)(1-x) ≥ 0  1 ≤ x ≤ 2

VËy Min D = 1 khi 1 ≤ x ≤ 2

1

1

1

sã

+ +

Sai lầm thờng gặp khi vận dung BĐT rất phổ biến là :

- Điều kiện tồn tại BĐT

- Dấu bằng của BĐT không xảy ra với những giá trị tìm đợc

Ví dụ 3 : Với x , y , z , t > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của

A = y x z t t z y x y z x t y t z x+ y+x z+t +t+z y+x+y+z x+t +y+t z+x

+ +

+ + +

+ + +

( a, b > 0 ) dấu bằng xảy ra khi a = b

Để ra ngay kết quả A ≥ 8 ⇒ Min A = 8 ⇔ ⇔ = = == 0

y x t z

x t z y

t z y x

Điều này hoàn toàn không xảy ra vì A không tồn tại với x = y = z = t = 0

Đây là những sai lầm thờng gặp mà nhiệm vụ của ngời thầy là phải chỉ ra đợcnhững sai lầm để các em rút kinh nghiệm khi giải toán cực trị

1.4 Bài tập vận dụng

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A = x+ 2 ( 1 + x+ 1 ) + x+ 2 ( 1 − x+ 1 )

2) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

f(x,y,z) = xyz(x+y ) (y+z) (z+x) xét trên miền

2.1 Nội dung ph ơng pháp

*/ A2≥ 0 ∀x ( x là biến của biểu thức A ) ⇒ A2k≥ 0 ∀x

*/ - B2≤ 0 ∀x (x là biến của biểu thức B ) ⇒ - B2k≤ 0 ∀x

Nhiệm vụ của ngời thầy phải chỉ ra đợc :

*/ A2k +m ≥ m ⇒ m là GTNN ⇔ A = 0

*/ -B2k+ M ≤ M ⇒ M là GTLN ⇔ B = 0

2.2 Kiến thức bổ sung:

Nhiệm vụ của các em là làm thế nào để có thể đa về dạng A2k +m ≥ m và

-B2k+ M ≤ M bằng các phép biến đổi đại số

* Chú ý : f(x) = ax 2 + bx + c

* Có giá trị nhỏ nhất ⇔ a > 0

* Có giá trị lớn nhất ⇔ a < 0.

Không dừng lại ở đây ta có thể đa ra một số ví dụ sau :

Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

( 1 )

1 2

6 8 3

2

2

≠ +

x x C

Có thể các em sẽ ngỡ ngàng và lúng túng trong việc giải Tuy nhiên có thể gọiphơng pháp giải là tìm cách đa về dạng ax2 + bx + c bằng cách đổi biến số , cụ thểcách làm nh sau :

2

) 1 (

1 1

2 3 )

1 (

1 ) 1 ( 2 ) 1 2 (

−

x x

x

x x

C = 3 - 2y + y2 đến đây C đã đa về dạng cơ bản việc giải không còn gì khó khănnữa, giáo viên cần phải cho học sinh thấy rằng việc đổi biến số trong toán cực trị làrất quan trọng trong nhiều bài toán và việc đổi biến số giúp chúng ta giải đợc bàitoán nhanh hơn, gọn hơn.

y x

Sai lầm thờng gặp ở dạng toán này là:

y x

Các em không thấy đợc rằng đẳng thức xảy ra ở (1) khi

Hoặc với bài:

Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của:

học sinh cha chỉ ra khi

nào dấu đẳng thức xảy ra: M = -

9 5 2

+

− +

x

x x

Ph ơng pháp 3 :

Phơng pháp miền giá trị hàm số

3.1 Nội dung ph ơng pháp.

Với bài toán tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số f(x) nếu x ∈ D gọi y0

là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho Điều đó có nghĩa hệ phơng

trình sau đây với ẩn x có nghiệm

y x

3 10 2

2 2

+ +

+ +

x x

x x

với x ∈R

Giải

Gọi y0 là giá trị tuỳ ý của hàm số Vậy phơng trình sau đây ( ẩn x ) có nghiệm

1 2 3

3 10 2

2 2

+ +

+ +

x x

x x

= y0 (1)

Do 3x2 +2x + 1 > 0 ∀x ∈ R(1) ⇔ 2x2 + 10x + 3 = 3x2y0 + 2xy0 + y0

⇔ ( 3y0 - 2 ) x2 + 2x ( y0 - 5 ) + y0 - 3 = 0 (2) Xét 2 khả năng sau :

* Nếu 3y0 - 2 = 0 ⇔ y0 = 32 ⇒ (2) có nghiệm

Tức f(x) =

3 2

∀ x ∈ R

* Nếu 3y0 - 2 ≠ 0 ⇔ y0 ≠ 32 thì (2) là phơng trình bậc 2 đối với ẩn x Do đó(2) có nghiệm nếu:

x

t y

− +

=

+

0 4 1

2 2

x y

x

t y

x

) (

) ( `

−

=

+

) (

) (

4 0 4 1 3

32 0

t

t y

5 3

⇔4y2 = t2

0 + t0 + 1 (6)

Do t0 + t0 + 1 > 0 ∀t0 ⇒ với điều kiện (5) thì (6) có nghiệm

Nghĩa là (5) là điều kiện để hệ (3), (4) tức là hệ (1) , (2) có nghiệm

- Dựa trên tính chất "đơn điệu" của đồ thị hàm số

- Từ đó suy ra cực đại và cực tiểu của đồ thị

Để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng phơng pháp đồ thị và hình họcngời ta thờng sử dụng các tính chất sau:

- Trong tất cả các đờng gấp khúc nối 2 điểm A, B cho trớc thì đờng thẳng nối

AB là đờng thẳng có độ dài bé nhất

- Trong một tam giác, tổng 2 cạnh luôn lớn hơn cạnh thứ 3

- Cho điểm M ở ngoaì đờng thẳng d cho trớc khi đó độ dài kẻ từ M xuống dngắn hơn mọi đờng xiên kẻ từ M xuống d

- Trong các tam giác cùng nội tiếp một đờng tròn thì tam giác đều có chu vi

và diện tích lớn nhất

Nếu nh một bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, bằng một phép biến đổinào đó có thể qui về sự kiện hình học nói trên thì ta nên dùng phơng pháp đồ thị

hình học để giải chúng Dĩ nhiên là phơng pháp này chỉ thích hợp cho các bài toántrong nội dung của nó đã tiềm ẩn những yếu tố hình học, mà thoạt tiên ta cha nhìn

ra nó, chứ không phải bài nào cũng có thể giải bằng phơng pháp này

Sau đây tôi sẽ trình bày bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất mà đối với

nó phơng pháp đồ thị và hình học sẽ tỏ rõ hiệu quả

4.3Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

K = x 2 + x +1+ x 2 − x +1

Với x ∈ R

Ta có: K =

2 2

2

2

3 2

1 2

3 2







 +

2 2

2

3 0 2

1 2

3 ( 0 ) 2

1 (

1 ( − và C (x,0)

Nhận xét: Dựa vào hình vẽ ta có K = AC + CB ≤ AB

Mà AB2 = ( )2

3 + 12 = 4 => AB = 2Vậy khi đó dấu bằng xảy ra khi A, B, C thẳng hàng

2 3

−

Ví dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của D = x − 2 + y − 2

Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:

2

) ( 2 1 1

) ( 1 3

2

3 2 1 d x

x

d x

d x

x

- Vẽ đồ thị hàm số (d1), (d2), (d3) trên trục xác định tơng ứng ta đợc:

- Nhận xét:

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số y không có cực đại mà chỉ có cực tiểu

y = 1 trên 1 ≤ x ≤ 2 vậy Min D = 1 khi và chỉ khi 1 ≤ x ≤ 2

y 3 (d1) (d2)

(d3)

1

21

-3 O

Hình 1

z − và SNPC =

4

3

1 ) ( z

Bằng phơng pháp này ta giải một số bài toán vừa nhanh , vừa khoa học Tuy

nhiên để phát hiện tìm ra phơng pháp hợp lí thì không phải học sinh nào cũng có thể

làm đợc Vì vậy yêu cầu ngời thầy phải rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ,

trớc hết là bằng cách cho học sinh làm nhiều dạng tơng tự để dần học sinh làm quen

Một số bài toán hình học mà trong đó các hình đợc nêu ra có cùng một tính

chất và đòi hỏi ta tìm đợc hình sao cho có một đại lợng nào đó (số đo góc, độ dài

đoạn thẳng, số đo chu vi, số đo diện tích ) đạt giá trị lớn nhất (GTLN) hay ghi là

(max) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) hay là ghi (min) đợc gọi là bài toán cực trị

hình học

1) Lời giải của bài toán cực trị thờng đợc trình bày theo hai cách:

Cách 1: Chỉ ra một hình rồi chứng minh hình đó có đại lợng cần tìm cực trị

lớn hơn đại lợng tơng ứng của mọi hình khác (nếu bài toán tìm GTLN) và nhỏ hơn

đại lợng tơng ứng của hình khác (nếu bài toán tìm GTNN)

Cách 2: Thay đại lợng cần tìm cực thành một đại lợng khác tơng đơng (nếu

đ-ợc) rồi từ đó tìm kiến thức tìm GTLN, GTNN của A (A là một đại lợng nào đó nh

Chú ý : Thờng trình bày cực trị theo 2 cách:

II Phân loại bài tập và ví dụ minh hoạ :

1) Tìm cực trị dùng bất đẳng thức trong tam giác

O

D

Ví dụ 2: Cho đờng tròn (O;R); A là điểm cố định trong đờng tròn

(A ≠ O) Xác định vị trí của điểm B trên đờng tròn O sao cho góc OBA lớnnhất

Giải:

Giả sử có B ∈ (O) Vẽ dây BC của đờng tròn (O) qua A ta có OB = OC = R

=> ∆OBC cân tại O => góc OBC =

2

180 0 − COB

Nên góc OBAmax ⇔ góc COBmin

Trong ∆COB có CO = OB = R không đổi

=> ∠COB min ⇔ BCmin = OHmax

Mà OH ≤ OA nên OHmax ⇔ H ≡ A ⇔ BC ⊥ OA tại A

Vậy OBAmax ⇔ B ∈ (O) sao cho BC ⊥ OA tại A

Ví dụ3: : Cho tứ giác lồi ABCD Tìm điểm M trong tứ giác đó sao cho AM +

B

H

A

O M

D

C

O M AC M

Vậy min (AM + MB + MC + MD) = AC + BD ⇔M ≡ O

1.3 Bài tập vận dụng:

Bài 1: Cho góc vuông xOy; điểm A thuộc miền trong của góc Các diểm M,

N theo thứ tự chuyển động trên các tia Ox,Oy sao cho góc MAB = 900 Xác định vịtrí của M, N để MN có độ dài nhỏ nhất

Bài 2: Cho 2 đờng tròn ở ngoài nhau (O;R) và (O';R') A nằm trên (O), B nằm

trên (O') Xác định vị trí của điểm A,B để đoạn thẳng AB có độ dài lớn nhất

Ví dụ1:: Cho ∆ABC (Â = 900) M là điểm chuyển động trên cạnh BC Vẽ MD

⊥ AB; ME ⊥ AC (D ∈ AB, E ∈ AC) Xác định vị trí của M để DE có độ dài nhỏnhất

E

=> DE = AM mà AM ≥ AH (không đổi)

(theo t/c đờng xiên và đờng vuông góc)

Dấu "=" xảy ra ⇔ M ≡H Vậy khi M ≡ H thì DE nhỏ nhất

Ví dụ 2 : Cho đờng thẳng d và đờng tròn (O;R) có khoảng cách từ tâm đến d là OH

≥ R Lấy hai điểm bất kỳ A ∈ d; B ∈ (O;R) Hãy chỉ ra vị trí của A và B sao cho độ dài của AB ngắn nhất? Chứng minh điều đó

Giải:

Từ tâm (O) kẻ OH ⊥ d, OH cắt đờng tròn (O) tại K Xét ba điểm A B O ta có

AB + OB ≤ OA mà OA ≥ OH (quan hệ đờng xiên và đờng vuông góc)

H A

2.3.Bài tập vận dụng:

Bài 1: Trên cạnh BC, AC của tam giác đều ABC lấy tơng ứng hai điểm M và

N sao cho Bạch Mã = CN Tìm vị trí của M để MN có giá trị lớn nhất

Bài 2: Cho nửa đờng tron (O;R) đờng kính AB.M là một điểm trên nửa đờng

tròn, kẻ MH ⊥ HB Xác định vị trí của M để:

a) S∆ABC lớn nhất

b) Chu vi của ∆MAB lớn nhất

3.1 Kiến thức cơ sở:

+ Trong một đờng tròn: đờng kính là dây cung lớn nhất

+ Dây cung lớn hơn ⇔ dây đó gần tâm hơn

+ Cung lớn hơn ⇔dây trơng cung lớn hơn

+ Cung lớn hơn ⇔ góc ở tâm lớn hơn

A

B

H K O

d A

Ví dụ 1 : Cho đờng tròn (O) và một điểm M nằm trong đờng tròn đó (M ≠ O) Xác

định vị trí của dây cung AB của đờng tròn (O) qua M sao cho độ dài AB ngắn nhất

Giải:

Ta có dây AB ⊥ OM tại M là dây

cung có độ dài nhỏ nhất

Thật vậy: Qua M vẽ dây A'B' bất kỳ

của (O) A'B' không vuông góc với OM

Vẽ OM' ⊥ A'B' M' ∈ A'B'; M' ≠ M =>

OM' ⊥ MM' => OM > OM'

=> AB < A'B' (theo định lý khoảng

cách từ tâm đến dây)

Ví dụ 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đờng tròn (O;R) M là điểm di

động trên đờng tròn (O) Xác định vị trí của M để MA + MB + MC đạt giá trị lớnnhất

Giải:

Ta xét M ∈ cung BC Trên MA lấy D sao cho MB = MD Ta chứng minh đợc:

∆BMD là tam giác đều

Mà MA là dây cung của đờng tròn (O;R) => MA = 2R

=> max (MA + MB + MC) = 2.2R = 4R ⇔MA là đờng kính của đờng tròn(O) ⇔M là điểm chính giữa của cung BC

Tơng tự ta xét M thuộc cung AB và M thuộc cung AC => M là điểm chínhgiữa cung AB hoặc cung AC thì MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất

B

C A

M

Bài 2: Cho tứ gác ABCD nội tiếp trong đờng tròn (O;R) cho trớc tìm tứ giác

có tổng AB.CD + AD.BC đạt giá trị lớn nhất

n

n n

a a a n

a a

a

2 1

2

1

≥ + +

+

Dấu "=" xảy ra ⇔ a1 = a2 = = an+ Bất đẳng thức Bunhiacôpski

(ax + by) ≤ ( a 2 + b 2 ).( x 2 + y 2 ) Dấu "=" xảy ra ⇔ xa =yb

+ Và một số bất đẳng thức quen thuộc khác.

4.2 Các ví dụ áp dụng:

Ví dụ 1 Cho đờng tròn (0; R) , đờng kính AB , M là điểm chuyển động trên

đờng tròn Xác định vị trí của M trên đờng tròn

MA

MB MB

Ví dụ 2 : Cho đoạn thẳng AB , điểm M di chuyển trên đoạn ấy Vẽ các đờng

tròn đờng kính MA , MB Xác định vị trí của M để tổng diện tích của hai hình tròn

2 2 2 2

y x y

2

AB

π

⇔ M là trung điểm của AB

Ví dụ 3 : Cho ∆ ABC có BC = a , AC = b , AB = c Tìm điểm M nằm bên trong tam giác ABC sao cho a x+b y+z c có giá trị nhỏ nhất Trong đó x,y,z là khoảng cách từ

x z

M

Vậy a x+b y+z c đạt giá trị nhỏ nhất

⇔ (a x+b y+z c ) = ( )

S

c b a

2

2

+ +

⇔

z c cz y

b by x

Bài 1: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a Trên hai cạnh AB và

AD lần lợt lấy 2 điểm M, N sao cho chu ∆AMN = 2a Tìm vị trí của M và N để

S∆AMN lớn nhất

Bài 2: Cho ∆ABC ngoại tiếp đờng tròn (O;r) Kẻ các tiếp tuyến của đờng tròn (O;r) song song với các cạnh của tam giác Các tiếp tuyến này tạo với các cạnh của tam giác thành 3 tam giác nhỏ có diện tích là S1, S2, S3 Gọi S là diện tích của tam

giác ABC Tìm giá trị nhỏ nhất của tỷ số

S

S S

S1+ 2+ 3

Vài chú ý khi giải bài toán cực trị

1 / Khi giaỉ các bài toán cực trị ta thờng biến đỏi tơng đơng điều kiện của

đại lợng này thành điều kiện cực trị của đại lợng khác

2/ Nhiều bài toán cực trị có liên đến bài toán tìm tập hợp điểm , trong hợp

hình có chung một tính chất khi ta cố định một số yếu tố không đỏi của hình , các

điểm còn lại của hình có thể chuyển động trên một đờng nhất định , theo dõi vị trí của chúng ta tìm đợc cực trị của bài toán

giáo án tiết dạy chuyên đềBài soạn: Một phơng pháp tìm cực trị của một biểu thức đại số

I/ Mục tiêu.

- Học sinh biết sử dụng các bất đẳng thức đại số để giải các bài toán cực trịtrong hình học Muốn vậy trớc hết học sinh phải biết đa yếu tố đại số vào bài toán

hình học, từ đó để giải toán” cực trị” trong hình học ta đi giải toán cực trị trong đại

BĐT Bunhiacopski

III/ Tiến trình lên lớp.

1 ổn định tổ chức

- GV : chia lớp thành 6 nhóm , mỗi nhóm gồm 8 h/s và phân công các nhốm trởng -

HS : Kiểm tra bút viết và giấy trong

2 Kiểm tra bài cũ.

a Tìm số thứ 2 để biểu thức sau trở thành tổng bình phơng của hai số:

= ( x -

4

21 ) 2

1 2− ≥ - 4

21

Dấu = xảy ra ⇔ x = 12 ⇔ x =

4 1

Ví dụ 2: Tìm chỗ sai trong lời giải sau:

GV nhắc lại kiến thức cho học sinh

- BĐT CoSi

- BĐT Bunhiacopski

- Và một số BĐT khác (Phần lý thuyết GV ghi vào giấy trongchiếu lên bảng cho h/s quan sát )

GV: Đa đề bài lên máy chiếu

Em có nhận xét gì về giá trị của x ( x≥ 0 )

- Để tính GTNN của bài này ta làm nhthế nào ? ( Tơng tự VD2 trên bảng )

- GV: Hớng dẫn HS tách (- 5) sao choP(x) đa về dạng: A2 + m

- GV: Yêu cầu 1 HS nhóm 1 lên bảnggiải, HS các nhóm khác làm vào giấytrong

- GV: thu giấy trong sửa sai và chiếubài mẫu

Vậy P(x) Min =

-4 21

Chú ý : Khi tìm GTNN , GTLN cần phải

tìm :

+ Tìm giá trị tồn tại của biến

+ Trớc khi kiểm định GTLN hay GTNN

dấu = có xảy ra hay không?“ “

Ví dụ 3:Tìm GTLN của biểu thức sau:

- Sau khi tìm chỗ sai GV nhắc nhở các

em tránh sai lầm và đa ra chú ý sauy/c 1 h/s cho biết khi tìm GTNN ,GTLN cần phải chú ý điều gì?

h/s :+ Tìm giá trị tồn tại của biến + Trớc khi kiểm định GTLN hayGTNN dấu “ = “ có xảy ra hay không?GV: việc tìm GTLN và GTNN có gìkhác nhau ? ( GTLN đa về dạng: - A2 +

M ≤ Mh/s: GTNN đa về dạng: A2 + m ≥ m GTLN đa về dạng : - B2 + M ≤ M Tơng tự nh việc tìm GTNN y/c cả lớpcùng tìm GTLN của biểu thức sau

(ví dụ 3 ) _ GV : y/c h/s hoạt động nhóm trong 5phút

-GV: Kiểm tra đánh giá kết quả của từngnhóm , cho h/s kiểm tra chéo các nhómvới nhau Yêu cầu h/s rút ra nhận xét “:Một biểu hức có dạng: ax2 + bx + c cóGTLN khi nào, có GTNN khi nào ?”

GV: có thể đa ra một bài toán khácdạng rồi yêu cầu học sinh đa về dạng