Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp tìm cực trị đại số

Để phần nào giúp các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh lớp 9, chúng tôixây dựng chuyên đề “Giải bài toán cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai”.. Nội dung đề tài này chỉ ngh

Phần ghi số Phách của PGD

Tên sáng kiến

tìm cực trị bằng phơng pháp

“ phơng trình bậc hai”

Môn : Toán

Khối lớp : 9

Đánh giá của trờng

(Nhận xét, xếp loại, ký đóng dấu)

………

………

………

………

………

………

………

Tên tác giả : Nguyễn Xuân Phan

Đơn vị công tác : Trờng THCS Nguyễn Huệ

Phần ghi số Phách của PGD

Tên sáng kiến

tìm cực trị bằng phơng pháp

“ phơng trình bậc hai”

Môn : Toán

Khối lớp : 9

Đánh giá của Phòng giáo dục

(Nhận xét, xếp loại, ký đóng dấu)

………

………

………

………

………

………

………

Tên tác giả : ………

Đơn vị công tác : ………

Muốn chỉnh sửa tài liệu hãy liên hệ : Anh Nguyễn Xuân Phan điện thoại 0987865472 hoặc 0320784628

phần thứ nhất

mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Các bài toán tìm giá trị lớn nhất (Max), giá trị nhỏ nhất (Min) có một vị trí xứng

đáng trong chơng trình dạy và học toán ở khối T.H.C.S Các bài toán này rất phongphú về thể loại, về cánh giải Nó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng nhiều kiến thức

và vận dụng một cách hợp lý nhiều khi khá độc đáo Có nghĩa đây thực sự là một bàitoán khó

Vì vậy chúng thờng xuyên có mặt trong các kỳ tuyển sinh vào lớp 10 cũng nh các

kỳ thi học sinh giỏi

Để phần nào giúp các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh lớp 9, chúng tôixây dựng chuyên đề “Giải bài toán cực trị bằng phơng pháp phơng trình bậc hai”

Nội dung của nó là ứng dụng điều kiện có nghiệm, công thức nghiệm vào việc tìmgiá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức đại số Cụ thể là :

* Thuật toán hoá cách giải bài toán cực trị

* Củng cố, khắc sâu cách giải phơng trình bậc hai

Việc thể hiện các nội dung trên đợc trình bày thông qua hệ thống ví dụ từ dễ đếnkhó Cuối cùng là hệ thống bài tập để luyện giải

2 Giới hạn của đề tài

a, Về kiến thức

Để giải bài toán tìn cực trị của biểu thức đại số, đối với học sinh cấp T.H.C.S cóthể trình bày theo 1 trong các cách sau :

Cách 1 : Dùng bất đẳng thức đại số :

* f x( )≥ K1;∀ ∈x TXĐ ( K1 = Const )

Dấu “ = “ Có thể thực hiện đợc  fmin = K1

* f x( )≤ K2;∀ ∈x TXĐ ( K2 = Const )

Dấu “ = “ Có thể thực hiện đợc  fmax = K2

Cách 2 : Sử dụng điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc 2

Gọi y0 là 1 giá trị của f(x) có thể đạt đợc ⇔ ∃ ∈x TXĐ/ f(x) = y0 (I)

Khai thác điều kiện để (I) có nghiệm x ∈TXĐ ta tìm đợc miền giá trị T của hàm sốf(x) từ đó tìm thấy fmax, fmin (nếu có)

Nội dung đề tài này chỉ nghiên cứu tìm cực trị của biểu thức đại số theo cách 2,

đồng thời tổng kết xem với cách này có thể tìm đợc cực trị của những biểu thức đại

Muốn chỉnh sửa tài liệu hãy liên hệ : Anh Nguyễn Xuân Phan điện thoại 0987865472 hoặc 0320784628

số” lại không phù hợp, nó làm cho học sinh lúng túng vì cách làm lại mang tính chất

áp đặt không tự nhiên, không hình thành cho học sinh một phơng pháp suy luận

Ví dụ : Trong tài liệu ôn tập môn toán 9 của sở giáo dục Hải Hng năm 1996, đề 3câu 2:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A với : 2 22 3

Giải : Phơng pháp “dùng bất đẳng thức đại số”

Để tìm Min A ta biến đổi:

Một ví dụ khác :

Câu 4 đề 4 tài liệu ôn tập toán 9 của sở giáo dục Hải Hng năm 1997 có bài

Cho x2 +3y2 =1.Tìm giá trị lớn nhất của A= −x y

Cách giải này là quá khó đối với học sinh thậm chí khó cả đối với giáo viên

Trong thực tế giảng dạy tôi đã chữa cho học sinh 2 ví dụ trên theo cách “dùng bất

đẳng thức đại số” sau đó cho học sinh làm 2 ví dụ tơng tự, kết quả số học sinhlàm đợc là không đáng kể

Để giải quyết đợc phần nào khó khăn cho học sinh khi gặp dạng toán tìm cựctrị của hàm phân thức, căn thức chúng ta có thể trang bị cho học sinh “phơng pháp

miền giá trị” cơ sở lý luận của phơng pháp này là điều kiện có nghiệm của phơngtrình bậc 2, đó là một vấn đề quen thuộc đối với học sinh lớp 9.

Tôi nghĩ rằng phơng pháp tìm cực trị này cần đợc tổng kết và áp dụng vào giảng dạy,

ôn luyện cho học sinh nhằm mục đích :

- Thuật toán hoá cách giải bài toán tìm cực trị

- Củng cố khắc sâu cách giải phơng trình bậc hai

Tuy nhiên, do trình độ và thời gian có hạn, đề tại này khó trách khỏi thiếu sót Rấtmong các bạn đồng nghiệp phê bình, góp ý

B Ph ơng pháp nghiên cứu

1 Nghiên cứu tài liệu tham khảo

Trớc khi viết đề tài nay tôi luôn suy nghĩ có những phơng pháp nào để tìm cực trịcủa hàm số? Phơng pháp nào phù hợp với học sinh cấp T.H.C.S? Từ các câu trả lờitìm đợc tôi dã tham khảo các chuyên đề về bất đẳng thức, phơng trình bậc 2, tamthức bậc 2 và các bài toán về tim cực trị Qua các chuyên đề đó tôi nghiên cứu lờigiải, phân tích các u điểm, hạn chế của từng phơng pháp nhằm nắm vững phơng phápsuy luận, tìm ra điểm giống nhau, khác nhau giữa các dạng bài tập

2 Nghiên cứu phơng pháp dạy đại số 9

Thông qua việc tìm cực trị của biểu thức đại số kết hợp ôn lại công thức nghiệmcủa phơng trình bậc 2, định lý vi ét, bất phơng trình bậc nhất, giải phơng trình bậcnhất

Kết hợp giữa việc học kiến thức mới với việc ôn lại, hệ thống lại từng bớc kiếnthức, kỹ năng tính toán

Kết hợp linh hoạt giữa phân tích và tổng hợp, quy nạp và suy diễn nhng luôn đảmbảo tính vừa sức đối với học sinh

3 Nghiên cứu đến nội dung đề tài

*Xây dựng lý thuyết

*Hệ thống bài tập từ dễ đến khó

*Hệ thống bài tập luyện giải

C Nội dung chuyên đề

Khi đó Max f(x) = M tại x = x0

Tơng tự, m là giá trị nhỏ nhất (Min) trên D nếu thoả mãn :

 (m= const ) Khi đó Min f(x) = m tại x = x0

Nh vậy, khi nói đến giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số, ta phải xác địnhxem hàm số xác định trên tập hợp nào? có tồn tại giá trị của biến số để dấu “=”xảy ra hay không?

2.Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai

* Phơng trình bậc hai có hai nghiệm âm

000

S P

S P

Việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f(x) đợc làm nh sau:

Gọi y0 là một giá trị của f(x) điều đó có nghĩa y0 = f(x) có nghiệm trên D (I)

* Với f(x) là hàm bậc hai ta có thể dễ dàng tìm đợc điều kiện của y0 thoả mãn(I)

+ Nếu y0 ≤M và dấu “=” có thể đạt đợc thì Max f(x) = M

+ Nếu y0 ≥m và dấu “=” có thể đạt đợc thì Min f(x) = m.

Nh vậy bản chất của phơng pháp này chính là việc tìm điều kiện để một phơng trìnhbậc hai có nghiệm (∆ ≥ 0) Việc này đối với học sinh lớp 9 không phải là việc khó

*Trờng hợp f(x) không phải là hàm bậc hai,

+ Nếu y0 = f(x) có thể biến đổi về dạng phơng trình bậc hai với TXĐ là D'thìbài toán quy về việc tìm điều kiện của y0 để phơng trình mới có nghiệm trên'

2 3( )

Vậy Max f(x) = 2 khi x = 1 ; Min f(x) = 1/2 khi x = - 2

• Chú ý : Nếu 1- y0 = 0 suy ra y0 = 1 thì phơng trình đã cho cũng có nghiệm,nhng 1/2 < y0 = 1 < 2 nên kết quả bài toán không thay đổi

Ví dụ 3: Tìm Max, Min của

⇔ − − + + − = có 0 0

34 3( 2)( )

y P

34 2

3 6; 3

2 3

y

y y y

NhËn xÐt:

Qua 3 vÝ dô trªn ta thÊy c¸ch gi¶i nµy rÊt cã hiÖu qu¶ trong viÖc t×m cùc trÞ cñahµm bËc hai, hµm ph©n thøc d¹ng:

2 ' 2 ' '

+ ++ + hoÆc

4 2 ' 4 ' 2 '

Víi y0 = 4 th× v = 2 suy ra x = 2 ( tho¶ m·n)

VËy Max f(x) = 4 víi x = 2

TXĐ = { (x y; )∈ Ă 2 /x2 +y2 > 0}

ở ví dụ này ta có thể áp dụng phơng pháp phơng trình bậc hai qua một số phép biến

đổi trunh gian

1 2

f x y

x y

− + Nh vậy từ việc tìm cực trị của một hàm

số hai biến ta trở về dạng bài toán quen biết

Gọi t0 là một giá trị nào đó của 42 4

1

t t

− + .t0 = 42 4

Nhận xét: Qua các ví dụ 5; 6; 7 ta còn thấy rằng phơng pháp phơng trình bậc haicòn áp dụng với cả hàm số hai biến dạng phân thức, đa thức bậc hai với x; y Ngoài

ra phơng pháp này có thể áp dụngduwowcj với hàm số dạng nào nữa? điều đó cònphụ thuộc vào khả năng vận dụng linh hoạt của ngời làm toán

III Một số bài tập luyện giải:

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất,( nhỏ nhất) của

3 4 3 ( )

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của : ( ) f x = 3− +x x+5

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của f(x; y) = x−2y với x; y thoả mãn x2 + 4y2 = 1

Bài 7: Xác định giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

( )

f x =x + m+ x m+ − −m trên đoạn [− 1; 2] bằng 1.

Bài 2: Xem ví dụ 2; ví dụ 3

a/ Max f(x) = 3 tại x = 1; Min f(x) = 1/3 tại x = - 1

b/ Max f(x) = 3 tại x = 0; Min f(x) = 5/2 tại x = - 1; x = 1

Bài 3: Đa về ví dụ 3 rồi kết hợp điều kiện Max f(x) = 9, Min f(x) = -1 Giải ra

đợc a = 8, b =7 hoặc a = - 8, b = 7

Bài 4: Tơng tự bài 3, giải ra đợc m = 8, m= - 8

Bài 5: Nh ví dụ 4, tìm đợc Max f(x) = 4 với x = -1

Bài 6: Nh ví dụ 5, giải ra đợc Max f(x, y) = 2 với 2; 2

D Kết quả khảo sát

*Đối tợng khảo sát: học sinh lớp 9

*Thời gian khảo sát: Năm học : 2002 – 2003, 2003 – 2004, 2004 – 2005

*Thời gian làm bài là 90 phút

3 4 3 ( )

• Nếu dạy cho học sinh giải bài toán cực trị bằng phơng pháp “ Dùng bất

đẳng thức” kết quả khảo sát nh sau:

Yếu(4; 5)

Kém( < 4)

Yếu(4; 5)

Kém( < 4)

Qua thực tế khảo sát tôi nhận thấy :

• Khi giảng dạy cho học sinh giải bài toán cực trị bằng phơng pháp “dùng bất

đảng thức” học sinh thờng làm tốt vị dụ 1, một số em có tính sáng tạo đã dùngpháp đặt ẩn phụ để đa các Ví dụ 2, 3, 4, 5 về dạng hạm bậc hai nh ví dụ 1, tuynhiên số học sinh làm đợc điều này rất ít Hầu hết các ví dụ từ 2 đến 7 họcsinh đề bó tay

• Nhng nếu giảng cho học sinh phơng pháp tìm cực trị bằng “phơng trình bậc 2”thì số học sinh làm đợc các ví dụ từ 1 đến 7 là rất nhiều có thể lên tới 60%hoặc nhiều hơn

• Do những kết quả trên tôi thấy nên trang bị cho học sinh lớp 9 phơng phápnày, tuy nhiên điều này chỉ áp dụng cho đối tợng học sinh khá, giỏi Nhằmgiúp các em củng cố, khắc sâu cách giải phơng trình bậc hai đồng thời thuậttoán hoá cách giải bài toán cực trị

E Những điểm còn hạn chế

I- Những vấn đề hạn chế

1 Về kiến thức

Giải bài toán cực trị đại số thờng xuất hiện từ lớp 8, tuy nhiên tìm cực trị bằng phơngpháp “phơng trình bậc 2” chỉ áp dụng đợc cho học sinh lớp 9 sau khi đã học xongcông thức nghiệm của phơng trình bậc 2 Về mặt này phơng pháp “dùng bất đẳngthức” tỏ ra chiếm u thế vì học sinh lớp 8 có thể sử dụng đợc

2 Về đối tợng áp dụng

Tìm cực trị bằng phơng pháp “phơng trình bậc 2” chỉ áp dụng dạy đối tợng họcsinh khá giỏi, không áp dụng đợc cho đối tợng đại trà

3 Về dạng bài tập

Nh trong phần lý thuyết chúng tôi đã trình bày Nếu phơng trình y0 = f(x) không biến

đổi đợc về dạng phơng trình bật hai thì phơng pháp này không giải quyết đợc

II- Đề xuất hớng tiếp tục nghiên cứu

Ta đã biết bằng phơng pháp “phơng trình bậc hai” ta có thể tìm đợc min, maxcủa các hàm số f(x) nếu phơng trình y0 = f(x) có thể đa đợc về dạng phơng trình bậchai 1 ẩn (ẩn khác y0) Để làm đợc điều đó thì f(x) phải có dạng nh thế nào?

Ngoài các dạng ở ví dụ 1 đến 7 thì dạng nào khác của f(x) mà ta có thể áp dụngphơng pháp này để tìm cực trị?

Phần thứ ba

kết luận

Qua thực tế giảng dạy và kết quả thực nghiệm chúng tôi thấy nội dung chuyên đề

có tác dụng tơng đối tốt cho việc giải toán của học sinh nói riêng, việc học toán củahọc sinh nói chung

Bên cạnh việc tháo gỡ một số khó khăn của học sinh trong quá trình giải toán nócòn có tác dụng khơi sâu kỹ năng giải một phơng trình bậc hai, khả năng nhìn mộtvấn đề dới nhiều khía cạnh khác nhau Điều này rất quan trọng đối với học sinh lớp9

Cũng qua chuyên đề này, chúng tôi cảm thấy tự tin hơn trong quá trình giảng dạy

nó cũng thúc đẩy việc tự nghiên cứu, tìm tòi của giáo viên làm phong phú hơn nộidung và phơng pháp giảng dạy

Sau cùng, rất mong các bạn đồng nghiệp và các em học sinh phê bình, góp ý đểnội dung chuyên đề đầy đủ, chặt chẽ hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Cẩm Giàng ngày 20 tháng 3 năm 2006

Ngời viết