Cực trị đại số (rất hay)

3- Phơng pháp tìm cực trị nhờ Bất đẳng thức3.1 Bất đẳng thức Cauchy 3.2 Bất đẳng thức Bunhiacopxki 4- Phơng pháp miền giá trị của hàm số.. 5- Căn thức 6- Cực trị có điều kiện 7- Một số b

Cực trị đai số và ppơng pháp giải

I- Giới thiệu

A- Khái niêm về bài toán cực trị

B- Đờng lối chung

1- Phơng pháp tìm cực trị dựa theo tính chất luỹ thừa chẵn

2- Phơng pháp tìm cực trị dựa theo tính chất giá trị tuyệt

đối

3- Phơng pháp tìm cực trị nhờ Bất đẳng thức3.1) Bất đẳng thức Cauchy

3.2) Bất đẳng thức Bunhiacopxki

4- Phơng pháp miền giá trị của hàm số

5- Phơng pháp đồ thị C- Các dạng bài tập thờng gặp

1- Đa thức bậ nhất có chứa dấu giá trị tuyệt đối

2- Đa thức bậc hai

3- Đa thức bậc cao

4- Phân thức4.1) Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai

4.2) Phân thức có mẫu là bình phơng của một nhị thức4.3) Các phân thức khác

5- Căn thức

6- Cực trị có điều kiện

7- Một số bài tập tổng hợp

II- Kiến thức

A- Khái niệm về bài toán cực trị:

Trong thực tế có những bài toán yêu cầu ta đi tìm cái nhất trong mối quan hệ dã biết Đó là việc đi tìm giá trị lớn nhất (cực đại)hay giá trị nhỏ nhất (cực tiểu) của một đại lợng gọi chung là “

một số k và tồn tại giá trị của biến để A = k thì k đợc gọi là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của biểu thức A ứng với giá trị của biến thuộc miền xác định nói trên.

Ta ký hiệu max A là giá trị lớn nhất của biểu thức A

min A là giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

Nh vậy:

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần

- Chứng minh A≥kvới mọi giá trị của biến trên tập xác ssịnh

và với k là hằng số

- Chỉ ra dấu băng có thể xảy ra với một giá trị nào đó của biến

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần:

- Chứng minh A≤k với mọi giá trị của biến trên tập xác định của nó và k là hằng số

- Chỉ ra dấu bằng dấu bằng có thể xả ra với một giá trị nào đó của biến

Chú ý: Nếu chỉ chứng minh đợc A≥khay A≤kthì cha đủ điều kiện

để kết luận về giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất ) của biểu thức

Một biểu thức có thể chỉ có giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất hoặc có cả hai

B- Đờng lối chung

Giả sử cho một hàm số f(x) có miền xác định D Ta phải chứng minh

a f(x) ≤M hoặc f(x)≥m

b Chỉ ra trờng hợp x= x0 ∈Dđể sao cho đẳng thức xảy ra

1) Phơng pháp tìm cực trị dựa vào tính chất luỹ thừa chẵn.

A2 ≥ 0 với ∀x⇒ A2k ≥ 0với ∀x;k∈Z từ đó suy ra A2k +m≥m

a Ta thấy : 3(x- 2)2 ≥ 0 với mọi x => 3(x- 2)2 + 15≥ 15

Dấu bằng xảy ra khi x-2 = 0 ⇔ x =2

Vậy min A = 15 khi x = 2

b Ta thÊy (2x- 3)4 ≥ 0 víi mäi x => (2x- 3)4- 3≥ − 3

DÊu b»ng x¶y ra khi 2x- 3 = 0  x = 23

VËy min B = -3 khi x = 23

c Ta cã C = x2- 4x + 9

= (x- 2)2 + 5V× (x- 2)2 ≥ 0 víi mäi x => (x- 2)2 + 5 ≥ 5

DÊu b»ng x¶y ra khi x- 2 = 0  x =2

Ta thÊy 2 (x- 3)2 ≥ 0 víi mäi x => 2(x- 3)2 + 2 ≥ 2

DÊu b»ng x¶y ra khi khi x- 3 = 0  x = 3

VËy min A = 2 khi x = 3

Chó ý : Khi gi¶i bµi to¸n nµy häc sinh cã thÓ m¾c sai lÇm sau

d. D =

3

21 5

Gi¶i

a Ta cã (2x- 1)2 ≥ 0 víi mäi x => A = 2005- (2x- 1)2 ≤ 2005

DÊu b»ng x¶y ra khi 2x− 1 = 0 ⇔x= 21

VËy max A = 2005 khi x=12

3 Ngêi thùc hiÖn : §µo Xu©n BÝch

b.Ta cã B = 4x- x2 + 17

= 21 - (x2- 4x + 4)

= 21- (x- 2)2

Ta thÊy (x- 2)2 ≥ 0 víi mäi x => 21- ( x-2)2 ≤ 21

DÊu b»ng x¶y ra khi x- 2 = 0  x =2

VËy max B = 21 khi x =2

6 ) 3 ( 5 3

6 15 5

2 2

2 2

2

+ +

= +

+ +

= +

+ +

x x

x x

x

Ta cã x2 + 3 ≥ 3 víi mäi x => 2

3

6 3

6

+

x

DÊu b»ng x¶y ra khi khi x = 0

VËy max D = 7 khi x = 0

VÝ dô 4: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = x- x− 2005

1 2005

4

8019 4

1 2005 )

2005 (

Ta cã 0 2005 21 80194 80194

2

1 2005

2 2

≥ +

1 2005 0

= (x2 + 7x + 10) (x2 + 7x + 12)

= (x2 + 7x + 10)2 + 2(x2 + 7x + 10) + 1- 1

= (x2 + 7x + 11)2- 1Vì (x 2 + 7x + 11) 2 ≥ 0 ⇒ (x 2 + 7x + 11) 2 − 1 ≥ − 1

Dấu bằng xảy ra khi x2 + 7x + 11= 0 ⇔x=−72± 5

=

−+

−

01

02

01

z

z y

z y x

Vậy min G = 2005 khi ⇔x=y =z= 1

2) Phơng pháp tìm cực trị dựa theo tính chất giá trị tuyệt đối.

5 Ngời thực hiện : Đào Xuân Bích

Lí thuyết áp dụng x ≥ 0

y x y

x+ ≤ + Dấu bằng xảy ra khi x,y cùng dấu

y x y

x− ≥ − Dấu bằng xảy ra khi x,y cùng dấu

Ví dụ 1 a- Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau.

1 6 2

1 8

x A

b- Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau.

15 2

3 2

x C

Giải:

a- Tìm giá trị nhỏ nhất

+) Vì x− 1 ≥ 0 ; ∀x Dấu bằng xảy ra khi x- 1 = 0 => x = 1

Suy ra A= 8x− 1 ≥ 0

Vậy min A = 0 khi x = 1

+) Vì x− 6 ≥ 0 ; ∀x Dấu bằng xảy ra khi x- 6 = 0 => x = 6

Vậy max C = -2 khi x = 3

+) Vì x− 2 ≥ 0 ; ∀x Dấu bằng xảy ra khi x –2 = 0 => x = 2

Suy ra D= −x− 2 + 15 ≤ 15

Vậy max D = 15 khi x = 2

Ví dụ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức.

5 3

8

− +

−

=

− +

=

x x

B

x x

A

Giải

áp dụng Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối x +y ≥x+y Dấu bằng xảy

ra khi x,y cùng dấu

+) Vậy ta có A=x + 8 −x ≥x+ 8 −x = 8 Dấu bằng xảy ra khi x(8- x) ≥ 0

Lâp bảng xét dấu

x 0 8

x - + +8- x + + -x(8-

x) 0 + 0

-V©y min E = 8 khi 0 ≤x≤ 8

+) B = x− 3 +x− 5 = x− 3 + 5 −x ≥x− 3 + 5 −x = 2

DÊu b»ng x¶y ra khi (x-3)(5-x) ≥ 0

(LËp b¶ng xÐt dÊu nh c©u trªn) Suy ra 3 ≤x≤ 5

VËy min B = 2 khi 3 ≤x≤ 5

(Cßn c¸ch gi¶i kh¸c sÏ tr×nh bµy ë phÇn sau)

VÝ dô 3 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

1

3 1

3 1

) 3 ( ) 1

=

− +

−

≥

− +

−

=

− +

−

=

− +

−

=

x x

x x

x x

x x

DÊu b»ng x¶y ra khi (x- 1)(3- x) ≥ 0 ⇔ 1 ≤x≤ 3 (lµm t¬ng tù c©u trªn)

VËy min A = 2 khi ⇔ 1 ≤x≤ 3

VÝ dô 4 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc sau.

1

4 1 2

1

4 1 2

= +

a a

a a

VËy max E = 2 khi

0 4 1 2 1

⇒ab ≤ k42

Dấu bằng xảy ra khi a = b = k2

Vậy max ab =k42 khi a = b = 2k

+) Nếu a.b = p thì a+b ≥ 2 p (p là hằng số)

Dấu bằng xảy ra khi a = b = p

Vậy min a + b = 2 p khi a = b = p

Dạng tổng quát của Bất đẳng thức Cauchy

Cho n số không âm a1 ; a2 ; …; an thì

n a a a n

a a

a

n 2 1 n 2

Dấu bằng xảy ra khi a1 = a2 = …= an

Chú ý: Từ đó ta suy ra hai mệnh đề cho giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

+ + +

= + +

=

x

x x

25 )

≥ + + +

x

x x

x= 1 thoả mãn điều kiện xác định của M

Vậy min M = 10 – 4 = 6 khi x = 1

Ví dụ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

25 3 3

25 9 3

16

− + + +

= + +

−

= +

+

−

= +

+

x

x x

x x

x x

3 ( 2 3

25 ) 3

+ +

≥ + + +

x

x x

(vì x+ 3 luôn dơng)

Vậy min M = 10- 5 = 5 khi x = 4

Ví dụ 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B biết x,y là các số

thay đổi sao cho 0 ≤x≤ 3 ; 0 ≤y≤ 4

áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có

(6 - 2x) (12- 3y)(2x + 3y) ( ) ( ) ( ) 3

3

6 3

3 2 3 12 2 6

Ta có + = ⇒ = ( + ) + y

b x

a y x C

=

⇒

y

bx x

ay b a

2005 1

áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ay x ;bx y ta có

ab y

bx x

ay y

bx

x

ay

2

≥ +

2005

1 ) 2 (

2005

1

b a ab

bx x

ay b

2005 1

n

n b

a b

a b

Ví dụ 1 : Cho x,y thoả mãn x2 + 4y2= 36

Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức A = x +2y

23

y x

23

y x

Ví dụ 2 : Cho hai số dơng a,b hai số dơng x,y thay đổi sao cho

Tìm x,y để x + y đạt giá trị nhỏ nhất

Giải

Ta có : + = 2+ 2 +  , > , + y =1

b x

a o y x y

b x

a y x y

=

2 2

2 2

y

b x

a y x

áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki

2 2

2 2

y

b x

a y x

a x

y x b

y a

Ví dụ 3 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

G = x+y+ 3z Biết rằng x,y,z thoả mãn x 2 + y 2 + z 2 = 1

+ +

⇒

14

4 3

; 7

14

; 14

4) Phơng pháp miền giá trị của hàm số

Giả sử ta phải tìm cực trị của một hàm số f(x) có miền xác

định (D) Gọi y0 là một gía trị nào đó của f(x) với x∈(D) Điều này

có nghĩa là phơng trình f(x) = y0 ( Với x∈(D)) Phải có nghiệm

Sau khi giải phơng trình điều kiện có nghiệm thờng đa đến bất

đẳng thức m ≤ yo ≤ M

Từ đó suy ra min f(x) = m ; x∈(D)

11 Ngời thực hiện : Đào Xuân Bích

3 7 1

2

2

+

+ +

x

x x

T×m gÝa trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña A

(§Ò thi häc sinh giái to¸n 9 TP Hå chÝ Minh 1990 ) –

Để làm bài tập về phơng pháp này trớc tiên phải vẽ đợc đồ thị

cuả hàm số y=f(x) sau đó áp dụng một số các tính chất, chẳng hạn:

1. Khoảng cách từ điểm A đến đờng thẳng d ngắn nhất là AH với

H∈(d) và AH⊥ d

2. Để tổng khoảng cách MA+MB ngắn nhất (M ∈(d) A,B cố định) thì tìm A/

đối xứng với A qua đờng thẳng (d) khi đó (MA+MB) ≥ A/B => min

3) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tơng ứng hoành độ x∈[ -2; 4]

sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất

Giải:

1) TXĐ : R

x … –2 -1 0 1 2 …

y … 1 41 0 41 1 …

Hàm số đồng biến trong khoảng x > 0 , nghịch biến trong khoảng x < 0

Điểm cực tiểu O(0;0)

(P) Là parabol có đỉnh O, nhận trục tung làm trục đối xứng và

nằm ở phía trên của trục hoành

13 Ngời thực hiện : Đào Xuân Bích

x

2) Giải ra phơng trình đờng thẳng (D) là 2

2

1 +

) (

2

1 4

2

2

m m x y

m x m

2

x

0 2

2 4

) ( 2

=

− +

−

⇔ +

x

Để (D’) tiếp xúc với (P) thì phơng trình phải có nghiệm kép

1 0

4

1 2 -2 -1

1 A

B

2 2

2

) 1 (

0 1 2 4

1 4

1 4

1

−

⇔

≥ +

x x

Dấu bằng xảy ra khi x = 1 = xM

Vậy tam giác ABM có diện tích lớn nhất khi M có toạ độ M 

1

;

Ví dụ 2.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(-2;1) và B (2;3).

Tìm trên trục hoành điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất.

Giải

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua trục hoành Xét một điểm

M bất kỳ trên trục hoành, ta luôn có

MA + MB = MA’ + MB ≥A’B

= M’A’ + M’B

= M’A +M’BVậy MA + MB ≥ M’A +M’B (M’ là giao của A’B với trục hoành)

Vậy tổng MA + MB nhỏ nhất khi M ≡M’

Phơng trình của đơng thẳng (d) qua hai điểm A’, B có dạng y = ax +b

A’(-2;-1)∈(d) => -1 = a.(-2) + b => -2a + b = -12a + b

= 3

B (2; 3) ∈ (d) => 3 = a.2 + b => 2a + b = 3

Vậy a,b là nghiệm của hệ

15 Ngời thực hiện : Đào Xuân Bích

Vậy phơng trình của (d) là y = x + 1

Giao điểm của (d ) với trục hoành: Cho y = 0 => x + 1 = 0 hay x = -1Vậy điểm M’ phải tìm là M’ (-1; 0)

C- Các dạng bài tập thờng gặp

1- Đa thức bậc nhất có chức giá trị tuyệt đối

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức.

b x a x

E = − + − với a < b

2006

2 1

5 4

3 2

− + +

− +

−

=

− +

− +

− +

−

=

x x

x

G

x x

x x

VËy min G = 2005 + 2003 + + 1 = 10032 khi 1002 ≤x≤ 1003

VÝ dô 2: T×m gi¸ trÞ lớn nhÊt cña c¸c biÓu thøc.

a. C = 2005 − 2x− 1

b. D = x−122 +3

Gi¶i:

a V× 2x− 1 ≥ 0 víi mäi x

DÊu b»ng x¶y ra khi 2x− 1 = 0 ⇔x= 21

VËy maxC = 2005 khi x= 21

b V× x− 2 ≥ 0víi ∀x

4 3

12 3 2 12

3 3 2

=

≤ +

−

=

⇒

≥ +

−

⇒

x D

1 3 2 2

1

− +

− +

1

17 Ngêi thùc hiÖn : §µo Xu©n BÝch

a Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y = 6x – x 2 + 13

b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức y = 3x 2 – 4x +2

a Tìm theo phơng pháp miền giá trị của hàm số

Ta coi y0 là một giá trị nào đó của y để

Vậy max y = 22 khi x = 3

b Ta gọi y0 là một giá trị nào đó của y để

b x a

a

b c a

b a

b x x a

4 2

.

4 4

2 2

2 2

2 2

2 2

Đặt k = − a

b c

Nếu a > 0 => C k

a

b x

2

Vậy max C = k khi x = −2a bVậy nếu hệ số a > 0 tam thức bậc hai có cực tiểu, a < 0 tạm thức bậc hai có cực đại

Ví dụ 2: Với giá trị nào của x, y thì các biểu thức sau đây

(2x- 3y)2 ≥ 0 với mọi x, y

 M ≥2005

19 Ngời thực hiện : Đào Xuân Bích

DÊu b»ng x¶y ra khi

2 03 2

02

y

x yx x

VËy min M = 2005 khi

2

y x

5 04 3

05

y

x yx x

5

y x

VÝ dô 3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

A = ( x – ay) 2 + 6 ( x – ay) + x2 + 16 y2 – 8 xy + 2x – 8y + 10

(víi x, y, a ∈Z)

Gi¶i

Ta cã A = ( x – ay) 2 + 2.3 ( x – ay) + 9 + (x2 – 8 xy + 16 y2) + 2(x – 4y) + 1

= ( x – ay + 3)2 + ( x- 4y)2 + 2(x – 4y) + 1

1 ) 1 (

4

1 1 4

1 ) 2 (

4

1 2 4

1 2 2

1 2 2

2 1 2

2 1 2

2 6 3 5

2 4

2 4

1 4

1 4

x x x x

x x x x

y y y y

a a a a

a a a a

Vậy min A = 0 khi ( x,y,a) nhận giá trị (7;2;5); 9;-2;3); (3;1;6); 5;-1; 2)

2- Với giá trị nào của x, y thì các biểu thức sau đây:

a, M = 10x2 + 12xy + 4 y2 + 6 x + 17 đạt giá trị nhỏ nhất

21 Ngời thực hiện : Đào Xuân Bích

b, N = 1 + 6y – 5y2 - 12 xy – 9x2 đạt giá trị lớn nhất

3- Tìm x, y sao cho các biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất

a, M = 2x2 – 6xy + 9 y2 – 6 x - 12y + 2024

b, N = x2 – 2yx + 6 y2- 12 x + 12y + 45

4- Tìm cặp số x, y thoả mãn x2 + y2 + 6x – 3y – 2xy +7 = 0 Sao

cho y đạt giá trị lớn nhất.

5- Cho P = x2 + xy + y2 – 3x – 3y + 2005 Với giá trị nào của x,

y thì P đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

6- Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

0

0 4-x

0 4x x

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau đây.

N = - x6 + 2x3 – x2 + 2x –2

Giải

Ta có N = - (x6 – 2x3 + 1) – ( x2 – 2x + 1)

= - ( x3 – 1)2 – ( x –1)2 ≤ 0

VËy max N = 0 khi 1

1

1 01

x x

4.1) Ph©n thøc cã tö lµ h»ng sè, mÉu lµ tam thøc bËc hai

VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:

−

= +

−

−

=

4 ) 1 6 9 (

21 5

6 9

Chú ý: a> b chỉ suy ra đợc a1 ≤b1khi a, b cùng dấu.

Dạng toán này ta có thể dung phơng pháp miền giá trị của hàm số.

+ +

x

x x

1

1 1

1 1 1

1 1 1

2 1

1

+

+ +

−

= +

+ +

− + +

= +

+ +

x x

x

x x

x x

x x

Cách 2:

Q ( ) 2

2 2

1 4

1 2 3

6 3

+

+

− + + +

=

x

x x x x

( ) 2

2 2

1 4

1 1

.

3

+

− + +

=

x

x x

( ) 2

2

1 4

1 4

3

+

− +

=

x x

+ +

=

x

x x

+ +

= +

⇔ (y− 1 )x2 + ( 2y− 1 )x+y− 1 = 0 (1)

Do đó phơng trình (1) phải có nghiệm

Nếu y = 1 thì ta có (1- 1)x2 + ( 2.1-1) x + 1- 1 = 0 => x = 0

Vậy y = 1 là một giá trị của Q

Nếu y≠1 để phơng trình có ngiệm thì ∆ = ( 2y –1)2 – 4 ( y- 1) ≥ 0

(Đề thi vào lớp 10 PTTH Hà Nội năm học 1989- 1990)

Giải

25 Ngời thực hiện : Đào Xuân Bích

TX§: D = {x∈R x≠ 0}

Ta cã f(x) = 2

1989 2

1988 1989

1

1989

1989

1 1 1989

1 1989 2 1989

2

2 2

≥ +

1

1 2

6 8 3

2 2 2 2

x x F

x x

x x E

2- T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc

2

) 1 ( +

=

x

x G

+

x x x

Gi¶i

4

3 2

1 1

+

x x

x

cã nghiÖm

4

3 2

1 1

VËy y = 1 lµ mét gi¸ trÞ cña f(x)

2

0 2

2 3

0 ) 1 (

2 ) 1 (

2

0 1

y y

y y

y y

1 ) 2 1 (

2

2 )

1 (

2 2

1 2

3 3 2 3

2 1 2 3 2 )

1 (

2 3

y

y

y x

2

2

+ +

−

−

x x

x x

1 1

−

−

x x

x x

2 1

3 1

2 2 2 3

2

2 2

2 2

− + +

= +

x x

x

x x x

3 2

1 1 1

3

2 2

=

− + +

=

x x

3 1 2

1 4 3

2 27

) 1 ( 1 1 1

2 2

2 2 4 2 2

+

−

−

= +

−

= +

x D x

x C

x

x B

x x

x A

3 2 1 1 1 2

1 2

1 4

3 8

2 2

2 2 2

+

+ +

= +

+

−

= +

+

= +

+

=

x

x x H x

x x G x

x F x

x E

3 05

x x

áp dụng Bất đẳng thức Cauchy với hai số không âm x- 3 và 5 – x ta

có

2 ) 5 ( ) 3 ( ) 5 )(

3 (

9 30 25 1

3 5

x

x x x

2

2

2 2

1

) 1 ( 16 1

) 5 3 (

1

) 16 16 ( ) 25 30 9 (

x

x x

x

x

x x

x

−

− +

−

=

16 1

) 5 3 (

6

1 2 6

2

1 2 6

2

1 2 2 ) 2 ( 36 2 6 2 ) 2 (

2 2

−

− +

a a

a a

a a

a a

Vậy M = 6 − a− 2 + a− 2 − 1 ≤ 6 − a− 2 + a− 2 − 1 = 5

Dấu bằng xảy ra khi (6 − a− 2)( a− 2 − 1)≥ 0

29 Ngời thực hiện : Đào Xuân Bích

38 3

36 2 1

6 2 1

VÝ dô 4: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc N =

1 2 3

0

y

x x

2 2 1 2

1 2 2 ) 2

(

2

+

− +

9

01 2

01

y

x y

y x

Bµi tËp ¸p dông

T×m gÝa trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau:

3 6 1

1

3 2 5

6 4 3

3 35 5 3

2 12 1 2

2 3 2005

24 2

2 2

2 2

2 2

=

−

=

+ +

−

− +

−

−

=

− +

−

=

− +

−

=

x

x x H

x x

G

x x F

y y y x y x E

x x

D

x x

C

x x B

x x

A

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau

4 4 4

4

25 20 4

1 4 4

9 6 1

2

2 2

2 2005

2 2

2 2

2

−

− +

− +

=

+

− +

=

x x x

x

E

x x x

x D

x x x

x

C

x x

B

x x A

4

1 4

4

1 1

2 1

1 2

2005 4010

2004 4008

16 64

2 2

3 3

3 3

2 2

2 2

2 2

+

− + +

−

=

+

− + + + + +

=

+

− + +

−

=

+

− +

=

x x x

x

J

x x

x x

I

x x

x x

H

x x x

G

6) Cùc trÞ cã ®iÒu kiÖn

(c¸c biÕn bÞ rµng buéc thªm bëi mét hÖ thøc cho tríc)

VÝ dô 1: Cho hai sè thùc x, y tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: x2 + y2 = 1

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = x

Do ( x – y)2 ≥0 DÊu b»ng x¶y ra khi x- y = 0  x = y

Suy ra ( x + y)2 ≤2

31 Ngêi thùc hiÖn : §µo Xu©n BÝch

2 2

2

≤ +

≤

−

⇔

≤ +

⇔

y x

y x

Dấu bằng xảy ra khi x = y, ta có x2 + y2 = 1⇔x2 =21 ⇔x= ± 22

Vậy max A = 2 ⇔x= y= 22 ; min A = − 2 ⇔x=y= − 22

Ví dụ 2: Cho hai số dơng x, y có tổng bằng 1 Tìm giá trị nhỏ nhất

y x

(Đề thi vào lớp 10 trờng chuyên Lê Hồng Phong năm học 1995)

2

2

2 1 1 1 1 1 1

y x

y y x x y

x

y x

Thay x + y = 1 ( theo giả thiết) ta đợc

xy xy

xy y

x xy

y x