SAI LAM THUONG GAP KHI GIAI CAC BAI TOAN TIM CUC TRI DAI SO VA CACH KHAC PHUC TRAN HAI YEN KTCPDTV10 ST

Chính vì thế, chúng ta thấy trong các kì thi học sinh giỏi toán thường có bài toán về chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.. Từ khó khăn của giáo viên và học sinh thường hay

SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM

loại này Vậy tại sao học sinh thường mắc phải sai lầm khi giải các bài toán cực trị? Theo tôi nguyên nhân này xuất phát từ những lý do sau:

1 Người giải toán chưa có đường lối rõ ràng khi giải bài toán tìm cực trị

2 Chưa nắm chắc các tính chất của bất đẳng thức

3 Chưa hệ thống, phân dạng được các bài tập cùng loại

4 Không đọc kĩ đầu bài, chưa hiểu rõ bài toán đã vội đi ngay vào giải toán

5 Không biết đề cập bài toán theo nhiều cách giải khác nhau, không chịu nghiên cứu kĩ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết trong từng bài toán, không sử dụng hết giả thiết bài toán, không biết linh hoạt vận dụng kiến thức đã có

6 Không tự tư duy lại bài toán mình làm sau khi đã giải xong xem đã đúng chưa

Nói chung dạng toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là dạng toán khó nhưng rất thú vị Mỗi bài toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất,

tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo Chính vì thế, chúng ta thấy trong các kì thi học sinh giỏi toán thường có bài toán về chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Từ khó khăn của giáo viên và học sinh thường hay mắc sai lầm trong việc giải các bài toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tôi đã chọn đề tài

“Sai lầm thường gặp khi giải các bài toán tìm cực trị đại số và cách khắc phục” trong chương trình THCS để nghiên cứu với hy vọng đề tài này sẽ góp phần

vào việc giải quyết khó khăn, khắc phục sai lầm cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và học kiến thức về chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Như nhà giáo dục toán học Polya đã nói: ” Con người phải biết học ngay ở những sai lầm của mình”

Khi trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi tự thấy kiến thức toán của bản thân còn rất hạn chế, nhất là những bài toán về Bất đẳng thức, bài toán về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Đây là dạng toán lớn, có nhiều cách thức để giải xong cả thầy và trò lại rất ngại khi đụng đến vì nó khó và phải mất rất nhiều thời gian để dự đoán kết quả và tìm cách giải, hơn nữa rất dễ mắc sai lầm Tôi đã tìm nhiều biện pháp để hướng dẫn học sinh nhận xét, phân tích để giải các bài toán dạng này bằng các phương pháp mà học sinh được trang bị trong cấp học, nhưng đều không thành công bởi chính thầy cũng phải lần mò mãi mới có lời giải, học sinh thì hay mắc sai lầm Sau đợt tập huấn cho GV dạy đội tuyển Toán do Sở GD - ĐT Quảng Ninh tổ chức, dưới sự chỉ đạo trực tiếp của thầy giáo Cầm Thanh Hải – Trưởng phòng khảo thí và qua tạp chí Toán tuổi thơ, tôi đã học tập và tích lũy được cho mình những kinh nghiệm mà trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, với những bài toán tìm cực trị đại số, khi hướng dẫn học sinh tôi đã hoàn toàn tự tin và giữ vai trò chủ đạo

để hướng dẫn học sinh, còn học sinh đã khai thác bài toán được bằng nhiều cách, tránh được những sai lầm cố hữu thường mắc phải khi giải toán cực trị và có hứng thú thực sự với dạng toán này Từ thực tế này tôi xin được trao đổi kinh nghiệm này

cùng các đồng nghiệp mong rằng đề tài này sẽ được mở rộng và phát triển sâu rộng hơn

Đối với bài toán tìm cực trị không có cách giải mẫu mực mà chủ yếu dựa vào phân tích - kinh nghiệm của người làm toán Các tài liệu tham khảo của môn toán THCS dành cho giáo viên và học sinh có rất n ều n ưng nội dung thì trùng nhau Các sách của Bộ giáo dục vì khuôn khổ chương trình học của cấp học nên phần giải bài toán tìm cực trị trong chương trình THCS chỉ có tính chất giới thiệu thông qua một vài bài tập mà không viết riêng thành một tài liệu để giáo viên và học sinh ở cấp học này

có thể tham khảo Chính vì những lý do nêu trên, tôi đã c ọn đề tài “Sai lầm thường gặp trong các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục” trong chương

trình THCS để nghiên cứu và thực hiện

NỘI DUNG CHÍNH

I) Cách trình bày đề tài: Gồm hai phần

Phần 1: Lý thuyết

Phần 2: Các bài tập minh họa

Các sai lầm thường mắc được liệt kê ở cùng dạng

1) Đưa ra các bài tập cụ thể, mỗi bài tập đều được đưa ra lời giải sai

2) Phân tích sai lầm và cách khắc phục, đồng thời đưa ra lời giải đúng

Chú ý: Không được chia hai bất đẳng thức cho nhau

Tính chất 9 Nâng luỹ thừa hai vế của bất đẳng thức

* a  b   a b (n  N , n 2) M

Tính chất 11 So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số

Dạng cơ bản: Cho a, b0, khi đó ta có bất đẳng thức a+ b2 ab

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

Dạng tổng quát: Cho các số không âm a ,a ,a , ,a1 2 3 n

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b

Bài 1 Cho x, y là a số dương t oả mãn x+ 1 1

Dấu “=” xảy ra  x = y

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 7964, giá trị này đạt được khi x = y

Nhưng với x = y thì M = 2039 Vậy sai lầm ở đâu?

Bài 2 Tìm g á trị n ỏ n ất của b ểu t ức A = 2 x+ 3 y b ết 2 x + 3 y2 2 5

Lời giải sai: Gọi B = 2 x + 3 y , ta có 2 2 B 5.

2 c ỉ xảy ra dấu “=” ở (1) còn dấu “=” ở (2) k ng

xảy ra T ật vậy vớ x = y = -1

“Lời giải đẹp”: Ta thấy   2  2 2

x+ y ; x+1 ; y- x không đồng thời bằng 0 nên

Khi đó   2 2 2

b = x+ y + y- x = 2 y + 2, nên b đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi y = 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của F x, y  là 2 khi x = -1

Hệ trên vô nghiệm nên D không tồn tại giá trị lớn nhất

Bạn có đồng ý với kết luận trên của bài toán không? Lời giải đã thuyết phục chưa?

y = 2y- 2 = 0

Vậy Max D = 16, giá trị này đạt được khi và chỉ khi x = 1 và y = 2

Lời giải trên tuy đúng song có vẻ thiếu “tự nhiên” cách 2 sau đây sẽ mang tính thuyết phục hơn

Cách 2: Biểu thức tổng quát dạng

P(x, y) = ax + bxy+ cy + dx+ ey+ h (a, b, c0)

Cách giải: Biến đổi P x y( , )về một trong hai dạng sau:

Dạng 1: P(x, y) = m.F (x, y) + n.H (x) + g2 2 (1)

Dạng 2: P(x, y) = m.F (x, y) + n.K (y) + g2 2 (2)

Trong đó H(x), K(y) là biểu thức bậc nhất đối với biến của chúng, còn F(x, y)

là biểu thức bậc nhất đối với cả hai biến x và y

9 x-1x- 5

2

y = 2 x-1 = 0

Cộng theo từng vế của (1) và (2) suy ra P 42 Vậy giá trị lớn nhất của P là 42

Bài làm khá “đẹp”, nhưng kết quả lại sai? Theo bạn lời giải sai ở đâu? Khắc phục như thế nào?

Lời giải sai: Ta có

C ỉ xảy ra A = 4 ab k ở (1) và (2) xảy ra dấu đẳng t ức tức là x = a và

x = b N ư vậy đò ỏ p ả có a = b Nếu a b t ì k ng có được A = 4 ab

Lời giải đúng:

Ta t ực ện p ép n ân và tác ra các ằng số:

Một bạn học sinh đã giải như sau:

Do a, b, c là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

ay+ bz az+ by az+ bx ax+ bz ax+ by ay+ bx

Lời giải của một học sinh: p dụng bất đẳng t ức Bun a có

 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là  2 2

Lờ g ả đã sử dụng k á n ều bất đẳng t ức n ưng bạn ọc s n này c ỉ xét dấu

P = x+ 2 y-1 + x-1 + y- 2 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 0

Lời giải “quá gọn”, bạn có ý kiến gì không?

Phân tích sai lầm: Khẳng định P0 là đúng nhưng … c ẳng được gì, bởi vì

không có giá trị nào của x, y để dấu “=” xảy ra Sai lầm ở lời giải trên xuất phát từ việc người giải đã không thực hiện bước 2 khi tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của biểu thức ta phải trả lời câu hỏ “dấu bằng xảy ra khi nào?”

Lời giải đúng: Coi x là biến chính để biến đổi như sau:

Bất đẳng thức f x a không xảy ra đẳng thức ứng với một giá trị x = x 0 nào

đó (x 0 thoả mãn điều kiện của bài toán) đã kết luận biểu thức f x  đạt giá trị nhỏ nhất bằng a hoặc biểu thức f x  không đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 1 Tìm g á trị n ỏ n ất của b ểu t ức P = 28 + 3x- x + 5 + 4 x- x 2 2

Lời giải sai: Điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa là

  

  

2 2

Ta có  2

m+1   2 2 nên tổng bình phương các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất là -2 khi và chỉ khi m+1 = 0  m 1

Giá trị m = -1 không thoả mãn điều kiện (*) nên không tồn tại giá trị của m để tổng

bình phương các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất

Phân tích sai lầm:

Mấu chốt của sai lầm trong lời giải này ở chỗ em học sinh chưa nắm vững khái

niệm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức Chúng ta cần lưu ý rằng: Nếu bất đẳng

thức f x a không xảy ra đẳng thức ứng với một giá trị xx0nào đó ( x 0 thoả mãn điều kiện của bài toán) thì không thể kết luận được biểu thức f x  đạt giá trị nhỏ nhất bằng a hoặc biểu thức f x  không đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải đúng: Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

Tuy đáp số k ng sa n ưng lập luận lạ sa k k ẳng địn “A có tử số k ng đổ

nên A có g á trị lớn n ất k mẫu n ỏ n ất” mà c ưa đưa ra n ận xét tử và mẫu là

các số dương

Ví dụ n ư: Xét b ểu t ức B = 21

x -10 Vớ lập luận n ư trên “P ân t ức 21

x -10 có

tử k ng đổ nên có g á trị lớn n ất k mẫu n ỏ n ất” do mẫu n ỏ n ất bằng -10

khi x = 0 ta sẽ đ đến kết luận max B 1 x 0

Mắc sa lầm trên là do ngườ làm k ng nắm vững tín c ất của bất đẳng t ức

đã máy móc áp dụng quy tắc so sán a p ân số có tử và mẫu là các số tự n ên sang a p ân số có tử và mẫu là các bất kì

Lời giải đúng: Bổ sung t êm n ận xét 2  2

 không phải là giá trị lớn nhất

của P Vậy sai lầm của lời giải ở đâu? Khắc phục sai lầm đó như thế nào?

Lời giải đúng: Điều kiện x 1; x  3

Với x  3 hoặc x  1thì P  0, còn với   3 x 1 thì P  0

Ta thấy khi x = 1+ a với a > 0 thì P = 2 1

a + 4 a nên a càng nhỏ thì P càng lớn và lớn

bao nhiêu cũng được, do đó biểu thức P = 2 1

x + 2 x- 3 không có giá trị lớn nhất

E Dạng sai lầm thứ năm

Nhầm tưởng vai trò của các biến trong bài như nhau nên sắp thứ tự các ẩn

Bài 1 Tìm g á trị n ỏ n ất của b ểu t ức A = x + y+ z

y z x vớ x, y, z0

Lời giải sai: Khi hoán vị vòng quanh x  y z x thì biểu thức A không đổi

nên không mất tính tổng quát, giả sử x  y z 0, suy ra

y x 

x y z

y z x  Từ đó suy ra min A = 3x = y = z.

Tuy kết quả đúng, nhưng xem ra lời giải bất ổn Tại sao vậy?

Phân tích sai lầm: K oán vị vòng quan x  y z x t ì b ểu t ức A trở

thành y + z +x,

z x y tức là b ểu t ức k ng đổ Đ ều đó c o p ép ta được g ả sử một trong ba số x; y; z là số lớn n ất ( oặc số n ỏ n ất) n ưng k ng c o p ép g ả sử

x y z rồ sử dụng nó làm g ả t ết bà toán k đ c ứng m n mà k ng xét các

trường ợp còn lạ T ật vậy sau k c ọn x là số lớn n ất ( x ≥ y x ≥ z) t ì va trò

của y và z lạ k ng bìn đẳng: g ữ nguyên x t ay y bở z và ngược lạ ta được

Có một lời giải như sau:

Nếu x0, ta thay x bởi (-x) thì hai hạng tử đầu của P không đổi còn hạng tử t ứ ba

giảm Từ đó không mất tính tổng quát giả sử x   y z 0

Từ đó suy ra P  2 Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi x = y = z1

Theo các bạn lời giải trên đã chuẩn chưa? Lời giải của bạn như thế nào?

Tương tự ta cũng có

2 2

1+ y 2

; (2)1+ z+ x  3 và 1+ z2 2 2 (3)

Tương tự

1+ y (1+ y ) 1+ z 2(1+ z )

; 1+ z+ x  2(1+ x ) + (1 z ) 1+ x+ y  2(1+ y ) + (1 x )

Từ đó suy ra P 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1

F/ Một số dạng sai lầm khác thường mắc phải

Bài 1 Cho a, b, c là độ dà ba cạn của một tam g ác C ứng m n rằng

a +b +c 2 a b +b c +c a

Lời giải sai

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên

Lời giải trên đã đúng chưa? Nếu chưa, giải thế nào thì đúng?

Phân tích sai lầm: Nâng lên luỹ thừa bậc chẵn ở hai vế của BĐT mà không có điều kiện hai vế cùng không âm

Do đó ta có hệ phương trình sau x- y = 2

xy = 1





 , nghiệm của hệ phương trình là

 x; y = 1+ 2;-1+ 2 ;   x; y = 1- 2;-1- 2 (Thoả mãn điều kiện bài ra)  

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là A = x- y+ 2 = 2+ 2 = 3

Nhưng với x = 6 + 2; y = 6 - 2

2 2 thì có x > y; xy = 6 - 2 = 1

4 và A = 2 23

Tại sao lại như thế?

Phân tích sai lầm: Chứng minh f m(hay f m), khẳng định giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất) của f bằng m mà không chỉ ra m là hằng số

Rõ ràng lờ g ải sai: Vì A 2 +x- y

2

2 c ưa là ằng số Sa lầm ở đây là sa lầm ở bước 1 đán g á f  m n ưng m k ng là ằng số

Bài 3 Tìm g á trị n ỏ n ất của b ểu t ức A = x - x+ 3 + x - x- 2 2 2

Một học sinh lên bảng làm như sau:

Phân tích sai lầm: Hiểu sai nhiều loại BĐT như 2 

“Lời giải hay”

Ta có x2 0 với mọi x, suy ra x -12  1 và x +1 12 

Suy ra  2  2   

P = x -1 x +1  1 1    1 P 1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2 2

Vậy g á trị n ỏ n ất của P là -1 g á trị này đạt được k và c ỉ k x = 0

Bài 5 Tìm g á trị n ỏ n ất của b ểu t ức P = x- 2 xy + 3 y- 2 x +1

“Lời giải dễ hiểu”

-Từ đó đánh giá được 1 1 9

min P = - y = ; x =

Lời giải rất „logic”, liệu các bạn có chấp nhận không?

Phân tích sai lầm: Xác định sai điều kiện của biến nên tập xác định bị mở rộng dẫn đến kết quả sai

Bà toán sa ngay từ đ ều k ện đ ều k ện đúng là x0; xy0 T ật vậy nếu x = 0

t ì y tùy ý k đó P = 3y + 1 k ng đạt g á trị n ỏ n ất vì y n ỏ tùy ý nên P n ỏ tùy ý Do sa ngay từ đ ều k ện nên lờ g ả trên đã bà toán t ếu 1 trường ợp

Lời giải đúng: Đ ều k ện x0; xy0. Xét ha trường ợp:

Tìm g á trị lớn n ất và g á trị n ỏ n ất của b ểu t ức F = xy+ 2 x+ y 

xy = m - 3x+ y - 2 xy = - m + 6

Mặt khác dễ thấy m càng lớn thì  2

F = m+1 - 4 càng lớn, do đó biểu thức F không đạt giá trị lớn nhất

Bài toán có lỗ hổng không? Nếu có thì nó nằm ở đâu?

Phân tích sai lầm:Sử dụng mặt phẳng toạ độ nhưng việc chọn điểm chưa phù hợp

Trước ết ta n ớ lạ một kết quả đúng sau: Trong mặt phẳng cho hai điểm A, B

và đường thẳng (d) đi qua điểm C Khi đó:

a) Nếu A, B cùng phía so với (d) thì CA + CB đạt giá trị nhỏ nhất (GTNN) khi C là giao điểm của AB’ với (d) (trong đó B’ là điểm đối xứng của B qua (d)), lúc đó CA + CB = AB’

b) Nếu Nếu A, B khác phía so với (d) thì CA + CB đạt GTNN khi C là giao điểm của AB với (d), lúc đó CA + CB = AB

CA+ CBAB k ng xảy ra (k ng tồn tạ đ ểm C’ trên Ox sao cho

C’A + C’B = AB ng ĩa là CA+ CB  AB nên v ệc kết luận   2 3 1

x- 2 y+1 0, 2 x+ ay+ 5 0 nên P  0 Do đó min P0 Giá trị này

đạt được khi và chỉ khi hệ x- 2 y+1 = 0 (I)

Nhưng đầu bài có cho a   4 không?

Phân tích sai lầm: Không xét hết các trường hợp trong mỗi bài toán mà đã kết luận

Bài toán cần xét hai trường hợp, lời giải trên chỉ đúng trong trường hợp a   4,

ta cần xét thêm trường hợp a = - 4

Lời giải đúng:

x - 2y + 1 0, 2x + ay + 5 0 nên P0

a) MinP0 khi và chỉ khi hệ x- 2 y+1 = 0 (I)