chuyên đề hàm số môn toán 12

Tài liệu lý thuyết,ví dụ chuyên đề hàm số THPT

CHUYÊN ðỀ: HÀM SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

 Hàm số y ax b

cx d

+

=+ nghịch biến trên từng khoảng xác ñịnh ⇔ y'< ∀ ∈ ⇔0, x D ad−bc<0

 Hàm số y=ax3+bx2+ +cx d ñồng biến trên D với D= −∞( ; ), ( ; ), ( ;a a b a +∞) thì ta dùng tam thức bật hai ñể giải

P S

P S

 Các ví dụ

* Ví dụ 1: Hàm số

3 6

x x

y= − − x+

-

-

* Ví dụ 2: Hàm số 2 4 y= −x có các khoảng ñồng biến – nghịch biến là: (A) ðồng biến trên (-2;0) và nghịch biến trên (0;2) (B) Nghịch biến trên (-2;0) và ñồng biến trên (0;2) (C) ðồng biến trên [-2;0) và nghịch biến trên (0;2] (D) Nghịch biến trên [-2;0) và ñồng biến trên (0;2]

-

-

* Ví dụ 3: Với giá trị nào của m thì hàm số 1 3 ( 1) 2 4 2 3 y= x + m+ x + mx+ −m ñồng biến trên tập số thực R ? (A) m = 1 (B) m ≤ 1 (C) − ≤ ≤ 1 m 1 (D) m ≥ − 1

-

-

* Ví dụ 4: Cho hàm số 1 3 2 ( 1) ( 3) 3 y=− x + m− x + m+ x Tìm m ñể hàm số nghịch biến trên R (A) m = − 1 (B) 0 ≤ ≤ m 4 (C) − ≤ ≤ 4 m 1 (D) Không có giá trị

-

-

* Ví dụ 5: Cho hàm số mx 7m 8

y

x m

+ −

=

− Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên khoảng (3;+∞ )

-

-

* Ví dụ 6: Cho hàm số 1 3 2 2 2 3 y= x − x +mx− Hàm số ñồng biến trên (−∞;1) khi: (A) m ≥ 3 (B) m>3 (C) m ≤ 3 (D) m<3

-

-

* Ví dụ 7: Cho hàm số 1 3 ( 1) 2 ( 3) 3 y=− x + m− x + m+ x Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên (0;3) ð iền vào chổ trống

-

-

  Bài tập về nhà: * Bài 1 Cho hàm số 2 1 2 x y x − = + Phát biểu nào ñúng ? (A) Hàm số ñồng biến trên (-∞; -2) và (-2; + ∞) (B) Hàm số nghịch biến trên (-∞; -2) và (-2; + ∞) (C) Hàm số ñồng biến trên R (D) Tất cả ñều sai

-

-

* Bài 2 Cho hàm số y= −x3 6x2+mx+1 ñồng biến trên (0; + ∞) khi giá trị của m là:

-

-

* Bài 3 Cho hàm số y= +x3 3x2+(m+1)x+4m Tìm m ñể hàm số nghịch biến trên (-1;1) ð iền vào chổ trống

-

-

* Bài 4 Cho hàm số 2 1 x m y x − + = + nghịch biến trên từng khoảng xác ñịnh của nó khi (A) m ≤ 1 (B) m≤ −3 (C) m < 1 (D) m< −3

-

-

* Bài 5 Cho hàm số 3 2 3 y= +x x +mx+m Tìm m ñể hàm số nghịch biến trên một ñoạn có ñộ dài bằng 3 ð iền vào chổ trống

-

-

 Bài toán cực trị của hàm số



 Lý Thuyết

 Hàm số bậc 3 y=ax3+bx2+ +cx d có cực ñại – cực tiểu :

⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x x 1; 2

y

⇔ ∆ >

 Hàm số bậc 4 trùng phương y=ax4+bx2+c có cực ñại cực tiểu:

' 0

y

⇔ = có 3 nghiệm phân biệt x x x 1; 2; 3

a b

⇔ <

 Hàm số ñạt cực ñại tại 0 0

0

'( ) 0 ''( ) 0

y x x

y x

=



⇔

<



 Hàm số ñạt cực tiểu tại 0 0

0

'( ) 0 ''( ) 0

y x x

y x

=



⇔

>





 Các ví dụ:

* Ví dụ 1: Hoành ñộ các ñiểm cực trị của hàm số 1 3 2

3

f x = x + x + −x là:

3

x

x

= −



 = −

1 3

x x

=



 = −

1 3

x x

= −



 =

-

-

* Ví dụ 2: Hàm số f x( )= x x( +2) có bao nhiêu ñiểm cực trị? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

-

-

* Ví dụ 3: Cho hàm số 3 2 ( 1) 5 y= +x m− x −mx+ Tìm m ñể hàm số ñạt cực tiểu tại x = 1 (A) m = 2 (B) m = - 1 (C) m = -2 (D) m = 1

-

-

* Ví dụ 4: Cho hàm số y=mx3−3x2+(m2+2)x+3 Tìm m ñể hàm số ñạt cực ñại tại x = 1

4

m

m

=



 = −

1 4

m m

= −



 =

-

-

* Ví dụ 5: Cho hàm số 4 2 2 x y= +ax +b Tìm a, b ñể hàm số ñạt cực trị bằng -2 tại x = 1 (A) 1; 3 2 a= − b=− (B) 1; 3 2 a= b=− (C) 1; 3 2 a= − b= (D) 1; 3 2 a= b=

-

-

* Ví dụ 6: Cho hàm số 3 2 3( 1) 3 1 y= −x m+ x + x+ Tìm m ñể hàm số luôn có Cð – CT ð iền vào chổ trống

-

-

* Ví dụ 7: Cho hàm số 4 2 2 1 y=x − mx + −m.Tìm m ñể hàm số có 3 cực trị (A) m < 0 (B) m ≤0 (C) m ≥ 0 (D) m > 0

-

-

* Ví dụ 8: Cho hàm số 2 3 2 2 2

y= x −mx − m − x+ Tìm m ñể hàm số có hai cực trị x1 và x2 sao cho

x1.x2 +2(x1 + x2) = 1

ð iền vào chổ trống

-

-

* Ví dụ 9: Cho hàm số y= − +x4 2m x2 2+ −m 2 Tìm m ñể hàm số có một cực trị (A) m > 0 (B) m ≤0 (C) m ≥ 0 (D) m = 0

-

-

* Ví dụ 10: Xác ñịnh m ñể hàm số 2 1 x mx y x m + + = + ñạt cực ñại tại x=2 (A) m > -3 (B) m ≤ - 3 (C) m = -3 (D) m < - 3

-

-

  Bài tập về nhà: * Bài 1 Số ñiểm cực trị của hàm số 2 3 6 1 x x y x − + = − là (A) 0 (B) 2 (C) 1 (D) 3

-

-

* Bài 2 Hàm số ( )f x có ñạo hàm là f x'( )=x x2( +1) (22 x−1) có hoành ñộ các ñiểm cực trị là:

(A)

1 0 1 2

x

x

x



 = −



=





=





(B)

1 3 1 2

x x x



 =



= −





= −





(C)

1 0 1 2

x x x



 =



=





=





(D) Không có cực trị

-

-

* Bài 3 Hàm số y= −x sin 2x+3 (A) Nhận ñiểm 6 x=−π làm ñiểm cực tiểu (B) Nhận ñiểm 2 x=π làm ñiểm cực ñại (C) Nhận ñiểm 6 x=−π làm ñiểm cực ñại (D) Nhận ñiểm 2 x=π làm ñiểm cực tiểu

-

-

* Bài 4 Cho hàm số 1 3 2 2 3 5 3 y= x − x + x− Tiếp tuyến tại ñiểm cực tiểu của hàm số: (A) Song song với ñường thẳng x = 1 (B) Song song với trục hoành (C) Có hệ số góc dương (D) Có hệ số góc bằng – 1

-

-

* Bài 5 Cho hàm số y=x4−(2m+1)x2+m2 Tìm m ñể hàm có 3 ñiểm cực trị tạo thành tam giác vuông ð iền vào chổ trống

-

-

* Bài 6 Cho hàm số y= −x3 3mx2+3m3 Tìm m để hàm cĩ hai cực trị A, B sao cho tam giác OAB cĩ diện tích bằng 48

ð iền vào chổ trống

-

-

* Bài 7 Cho hàm số (2 1) 2 3 1 3− 2+ − − + = x mx m x m y Tìm m sao cho hàm số có 2 cực trị có hoành độ dương ð iền vào chổ trống

-

-

* Bài 8 ðồ thị hàm số y = − x3 3 x2 + ax + b cĩ điểm cực tiểu A (2; 2) − Tìm tổng a + b ð iền vào chổ trống

-

-

  Bài tốn tìm GTLN – GTNN của hàm số y= f x( ) trên đoạn [ ]a b;   Lý thuyết  Hàm số liên tục trên đoạn [ ]a b ;  Tính 'y = f x'( ) Cho y’ = 0 để tìm các nghiệm x thuộc i [ ]a b (nhớ loại các nghiệm khơng thuộc ; [ ]a b ) ; i f x f a f b Kết luận GTLN – GTNN từ bước 4   Các ví dụ * Ví dụ 1 GTLN – GTNN của hàm số 3 2 8 16 9 y= −x x + x− trên đoạn [1;3] lần lượt là (A) 6; 13 27 − (B) 13; 6 27 − (C) 13; 6 27 − (D) 13; 6 27

-

-

* Ví dụ 2 GTLN – GTNN của hàm số f x( )=sin3x−sin2x−5sinx+2 lần lượt là (A) 5; 3− (B) 5;3 (C) 5; 3− (D) 5; 3− −

-

-

* Ví dụ 3 Với giá trị nào của m thì phương trình x− +2 4− =x 2m có nghiệm (A) 2≤ ≤m 2 (B) 2 1 2 ≤ ≤m (C) − 2≤ ≤m 2 (D) 2 1 2 < <m

-

-

* Ví dụ 4 Tìm m ñể giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 ( ) 1 x m m f x x − + = + trên ñoạn [0;1] bằng -2 ð iền vào chổ trống

-

-

* Ví dụ 5 Tìm m ñể phương trình 3 cos x+cos 2x− − =1 m 0 có nghiệm ;2 3 3 x −π π ∈    ð iền vào chổ trống

-

-

* Ví dụ 6 Tìm GTLN – GTNN của hàm số 2 [ ]

6

x

y= − −x x−x tr n

ð iền vào chổ trống

[ ] 2;5

Max y=

[ ] 2;5

min y=

-

-

  Bài tập về nhà * Bài 1 GTLN – GTNN của hàm số y x 9 tr nê [1; 4] x = + lần lượt là: (A) 25; 6 4 (B) 10; 6 (C) 25 10; 4 (D) 25 ; 6 4

-

-

* Bài 2 Tìm m ñể hàm số 3 3 y=x + x+m ñạt giá tị lớn nhất bằng -1 trên ñoạn [0;1] ð iền vào chổ trống

-

-

* Bài 3 Tìm m ñể phương trình sin3x+cos 2x+ − =1 m 0 có nghiệm ;5 6 6 x π π ∈    ð iền vào chổ trống

-

-

ðường tiệm cận – Tâm ñối xứng của ñồ thị



 Lý Thuyết

 Hàm số y ax b

cx d

+

= +

c

−

=

- Tiệm cận ngang y a

c

=

- Nhận I d a;

c c

−

  là giao ñiểm hai tiệm cận làm tâm ñối xứng

 Hàm số

2

ax bx c y

a x b

+ +

=

+

'

b x a

−

=

- Tiệm cận xiên y= +kx m là tiệm cận xiên với lim ; lim( )

y

x

nguyên trong phép chia ña thức ax2+ +bx c cho 'a x b+ '

- Nhận I là giao ñiểm của hai tiệm cận làm tâm ñối xứng



 Các ví dụ:

* Ví dụ 1: Cho hàm số 2

3

x y

x

−

= + có các ñường tiện cận ñứng và ngang lận lượt là:

(A) x=2; y=1 (B) x= −3; y=1 (C) x= −3; y= −1 (D) x=2; y= −1

-

-

* Ví dụ 2: ðồ thị hàm số 2

x y x

−

= +

(A) Nhận ñiểm 1 1;

2 2

−

1

; 2 2

−

  làm tâm ñối xứng

2 2

  làm tâm ñối xứng

-

-

* Ví dụ 3: ðồ thị của hàm số 2 2 3 4 2 1 x x y x − + = + có: (A) ðường thẳng x = - 1 là tiệm cận ñứng (B) ðường thẳng y = 2x – 1 là tiệm cận xiên (C) ðường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên (D) ðường thẳng y = x – 2 là tiệm cận xiên

-

-

* Ví dụ 4: ðường tiệm cận của ñồ thị hàm số y=2x+ x2−1 là: ð iền vào chổ trống

-

-

* Ví dụ 5: ðồ thị hàm số 2 2 2 3 x x y x − + = − (A) Nhận ñiểm (−3; 4) làm tâm ñối xứng (B) Nhận ñiểm (−4;3) làm tâm ñối xứng (C) Không có tâm ñối xứng (D) Nhận ñiểm ( )3; 4 làm tâm ñối xứng

-

-

 Bài tập về nhà

* Bài 1 ðường tiệm cận của ñồ thị hàm số

2 2

2

x y

+

=

− là

(A) Tiệm cận ngang y = 2; tiện cận ñứng x = 0 và x = 2 (B) Tiệm cận ngang y = 2; tiện cận ñứng x = 0

(C) Tiệm cận ngang y = 2; tiện cận ñứng x = 2 (D) Tiệm cận xiên y = -x ; tiện cận ñứng x = 2

-

-

* Bài 2 Các ñường tiệm cận của hàm số 2 4 x y x = − là: ð iền vào chổ trống

-

-

  Lý thuyết  Biện luận số nghiệm phương trình theo tham số m bằng ñồ thị y= f x( ) ( )C  ðưa phương trình về dạng ( )f x =g m( )  ðặt ( ) ( ) ( ) ( ) y f x C y g m d =   =  , ñường thẳng (d) có phương song song với trục Ox Lập luận số nghiệm của phương trình là số giao ñiểm của (C) và (d)  Bài toán tương giao của hai ñồ thị y= f x( ) ( )C và y=g x( )=ax b+ ( )∆  Lập phương trình hoành ñộ giao ñiểm: ( )f x =g x( ) (1)  Lập luận: Số giao ñiểm của (C) và (∆) là số nghiệm của (1)  ðiều kiện tiếp xúc của hai ñường cong y= f x( ) (C1); y=g x( ) (C2) là ( ) ( ) '( ) '( ) f x g x f x g x =   =    Các ví dụ * Ví dụ 1 Phương trình 3 2 4x −6x −3a=0 có 3 nghiệm khi (A) 2 3 a< − (B) 2 0 3 a − ≤ ≤ (C) 2 0 3 a − < < (D) a>0

-

-

* Ví dụ 2 Phương trình 4x3−6x2−3a=0 có 1 nghiệm khi (A) 2 3 0 a a −  <   >  (B) 2 0 3 a − ≤ ≤ (C) 2 0 3 a − < < (D) a>0

-

-

* Ví dụ 3 Phương trình 4x3−6x2−3a=0 có 2 nghiệm khi (A) 3 2 0 a a −  <   >  (B) 0 2 3 a a =   −  =  (C) 2 0 3 a − < < (D) a>0

-

-

* Ví dụ 4 Phương trình 4 2 4 0 x − x + =m có 2 nghiệm khi (A) m=4 (B) 4 0 m m =   <  (C) m<0 (D) 0< <m 4

-

-

* Ví dụ 5 Phương trình 4 2 4 0 x − x + =m có 4 nghiệm khi (A) m=4 (B) 4 0 m m =   <  (C) m<0 (D) 0< <m 4

-

-

* Ví dụ 6 Phương trình x4−4x2+ =m 0 vô nghiệm khi (A) m>4 (B) 4 0 m m =   <  (C) m<0 (D) 0< <m 4

-

-

* Ví dụ 7 Số giao ñiểm của hai ñồ thị 3 2 3 3 2 x x x y= + + và 3 2 2 y= x+ là (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

-

-

* Ví dụ 8 Với ñiều kiện nào của m thì hai ñường thẳng y= − +x m cắt ñồ thị hàm số 3 2 x y x − = − tại hai ñiểm phân biệt: (A) 1− < <m 3 (B) 1− ≤ ≤m 3 (C) 1 3 m m < −   >  (D) 1 3 m m ≤ −   ≥ 

-

-

* Ví dụ 9 Số giao ñiểm của ñồ thị hàm số 2 ( 3)( 4) y= −x x + +x với trục hoành là: (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

-

-

* Ví dụ 10 ðồ thị hàm số y 3 1

x

= − và y=4x2 tiếp xúc nhau tại ñiểm M có hoành ñộ là

2

x=

-

-

  Bài tập về nhà Bài 1 Phương trình 1 4 1 2 2 0 4x −2x + − =m có ñúng 3 nghiệm thực khi: ð iền vào chổ trống

-

-

Bài 2 ðồ thị hàm số 2 1 1 x y x − = + cắt ñường thẳng d: y = x + m cắt ñồ thị hàm số tại hai ñiểm phân biệt khi: (A) 3( 3− < <2) m 3( 3+2) (B) 3 2 3 3 2 3 m m  < −  > +  (C) m= −3 2 3 (D) m= +3 2 3

-

-

Bài 3 ðồ thị hàm số y=x4−(3m+4)x2+m2 cắt trục hoành tại bốn ñiểm phân biệt khi (A) 4 5 0 m m   > −   ≠  (B) 4 5 0 m m   > −   ≠  (C) 4 5 m − = (D) m≠ 0

-

-

Bài 4 Cho hàm số y=x3−2x2+ −(1 m x) +m(1) Tìm m ñể hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 ñiểm phân biệt có hoành ñộ x1, x2, x3 sao cho x12+ +x22 x32 <4

ð iền vào chổ trống

-

-

Bài 5 ðường thẳng y= − +x 7 tiếp xúc ñồ thị hàm số 2 ( 1) 1 x m y m x + = ≠ − − khi giá trị m là: ð iền vào chổ trống

-

-

Bài 6 Với giá trị nào của m thì ñồ thị hàm số y= −2x3+6x2+1 cắt ñường thẳng d y: =mx+1 tại 3 ñiểm phân biệt (A) 9 2 0 m m   <   ≠  (B) 9 2 0 m m   >   ≠  (C) 9 2 0 m m   < −   ≠  (D) 9 2 0 m m   > −   ≠ 

-

-

 Phương trình tiếp tuyến của hàm số y= f x( ) ( )C



 Lý thuyết



 Phương trình tiếp tuyến tại ñiểm M x y ( 0; 0)

 Gọi phương trình tiếp tuyến là y=y x'( 0)(x−x0)+y0

 Tìm ba yếu tố

0 0 0

'( )

x y

y x











, thông thường cho một yếu tố, tìm hai yếu tố còn lại

Viết phương trình tiếp tuyến



 Chú ý:

Nếu tiếp tuyến song song với ñường thẳng : y kx m∆ = + ⇒ y x'( 0)=k

Nếu tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng : y kx m∆ = + y x'( 0) 1

k

−

Nếu tiếp tuyến hợp với trục Ox một góc α ⇒ y x'( 0)= ±tanα



 Phương trình tiếp tuyến ñi qua ( ;A x A y A) không thuộc ñồ thị hàm số y= f x( ) ( )C

 Gọi (T) là ñường thẳng ñi qua ( ;A x A y A) và có hệ số góc là k,

(T) có dạng: ( )g x = =y k x( −x A)+y A

 ðiều kiện tiếp xúc: ( ) ( )

'( ) '( )

f x g x

f x g x

=





=

 giải hệ tìm k =……

  Các ví dụ: * Ví dụ 1 Phương trình tiếp tuyến của ñường cong (C): y = − x3 2 x tại ñiểm có hoành ñộ x = − 1 là: (A) y = + x 2 (B) y = − x 2 (C) y = − + x 2 (D) y = − x 2

-

-

* Ví dụ 2 Tìm m ñể tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y = − x3 3 x2 + mx tại ñiểm có hoành ñộ bằng -1 song song với ñường thẳng d y : = 7 x + 2017 ð iền vào chổ trống

-

-

* Ví dụ 3 Phương trình các tiếp tuyến của hàm số y = − x3 2 x2 + x ñi qua ñểm M(1;0) là:

0;

y = y = − x +

0;

y = y = x −

1;

1;

y = − x y = x −

-

-

* Ví dụ 4 Tiếp tuyến của ñồ thị hàm số 1 4 2 3 3 2 2 y= x − x + tại ñiểm có hoành ñộ là nghiệm của phương trình "( ) 0 f x = là: ð iền vào chổ trống

-

-

* Ví dụ 5 ðường thẳng y=3x+m là tiếp tuyến của ñồ thị hàm số 3 2 y= +x khi m bằng (A) 1 1 m m = −   =  (B) 4 0 m m =   =  (C) 2 2 m m =   = −  (D) m= ±3

-

-

* Ví dụ 6 Với giá trị nào của m thì ñường thẳng y=8x+m là tiếp tuyến của ñồ thị hàm số 4 2 2 3 y= − −x x + (A) m = 8 (B) m = − 8 (C) m = 18 (D) m = − 18

-

-

* Ví dụ 7 Cho hàm số 1

2

x y x

+

= + Tìm tọa ñộ các ñiểm thuộc vào ñồ thị hàm số mà tiếp tuyến tại ñó tạo với trục Ox

một góc 450

ð iền vào chổ trống

-

-

  Bài tập về nhà Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C 3 1 3 x y x + = − , biết hoành ñộ của tiếp ñiểm là nghiệm của phương trình (7x−11 ') ( )y x =10 ð iền vào chổ trống

-

-

Bài 2 Cho hàm số y=x3− +3x 2 Viết phương trình tiếp tuyến với hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng y = 1 3 − x + 2 ð iền vào chổ trống

-

-

Bài 3 Cho hàm số y=x2−2x+3 có ñồ thị là (C) Hoành ñộ các ñiểm có tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục Ox một góc 1350 là: (A) 1 2 x = (B) 1 4 x = (C) 1 2 x = − (D) x = 1

-

Bài ðồ thị hàm số 1 x y x − = + cắt ñường thẳng d: y = x + m cắt ñồ thị hàm số hai ñiểm phân biệt khi: (A) 3( 3− <... class="page_container" data-page="18">

Bài Cho hàm số y=x3−2x2+ −(1 m x) +m(1) Tìm m để hàm số (1) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh... class="page_container" data-page="21">

* Ví dụ Cho hàm số 1

2

x y x

+

= + Tìm tọa ñộ ñiểm thuộc vào ñồ thị hàm số mà tiếp tuyến tạo với trục Ox