Chuyên đề Hàm số Luyện thi THPT quốc gia môn Toán 2017 khoá học Moon Đặng Việt Hùng

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN 1.. VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN VẤN ĐỀ 1.. VIDEO BÀI GIẢNG và

Trang 2

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

1 KĨ NĂNG XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC

Nguyên tắc:

+) Phân tích biểu thức cần xét dấu hay bất phương trình về dạng tích, rồi loại bỏ những hạng tử là lũy thừa bậc chẵn +) Sắp xếp các nghiệm của các hạng tử sau khi đã “thanh lọc” các hạng tử chẵn theo thứ tự từ bé đến lớn trong bảng xét dấu

+) Tiến hành xét dấu theo quy tắc đan dấu khi biết dấu của một khoảng nào đó

+) Việc xét dấu biểu thức chúng ta chỉ được quy đồng mẫu số mà không được nhân chéo

c)

2 2

CHUẨN KĨ NĂNG ĐẠI SỐ 2017

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

fb.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 3

Nếu x = x o là một nghiệm của phương trình (1) thì ( ) ( ) ( ) ( 3 2 )

+) Nếu tổng các hệ số của phương trình bằng 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1

+) Nếu tổng các hệ số bậc chẵn của x bằng tổng hệ số bậc lẻ của x thì phương trình có một nghiệm x = − 1

+) Nếu phương trình không tuân theo hai quy tắc trên thì chúng ta nhẩm nghiệm bắt đầu từ các nghiệm đơn giản như

Tổng các hệ số đa thức là 1−(m+ −1) (m− +1) 2m− =1 0 nên f(x) = 0 có một nghiệm x = 1

Tiến hành chia đa thức ta được ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) ( 2 )

Trang 4

Xét phương trình bậc hai: f x( )=ax +bx+ =c 0, ( )1

a) Giải và biện luận phương trình (1):

Nếu a = 0 thì ( )1 ⇔bx+ =c 0, ( )*

+ nếu b = 0 và c = 0 thì (*) nghiệm đúng với mọi x

+ nếu b = 0 và c ≠ 0 thì (*) vô nghiệm

4

P x x

a Một số các kết quả cần lưu ý:

c) Tính chất nghiệm của phương trình bậc hai:

Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi

Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn α khi

Trang 5

Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều nhỏ hơn α khi

00

αα

α

22

00

b

a a

00

αα

α

2

00

b

a a

a) Giải và biện luận phương trình đã cho

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, và cả hai nghiệm đều nhỏ hơn −1

.1

2 31

Trang 6

Hai nghiệm đều dương khi 1 2

1 2

40

vn

m m

a) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt

b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm âm

c) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 thỏa mãn x12+x22+x32<7

Hướng dẫn giải :

21

Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt và khác −2

thì phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt

b) Do nghiệm x = −2 < 0 nên để (1) có 3 nghiệm trong đó 2 nghiệm âm thì (2) phải có hai nghiệm trái dấu

Từ đó ta có 0 1 2 0 1

2

P< ⇔ − m< ⇔ >m

Giá trị này thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm

c) Không mất tính tổng quát, giả sử x1 = −2 Khi đó x2 ; x3 là hai nghiệm phân biệt của (2)

Theo định lí Vi-ét ta được 2 3

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m ≠ 1

b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương trình c) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức 1 2

2 1

50

Trang 7

b) Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = −1 song song với đường thẳng d: y = −2x − 3

c) Tìm m để phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 thỏa mãn 2 2 2

1 + 2 + 3 <4

x x x

d) Tim m để phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm lớn hơn 2

Bài 3: [ĐVH] Cho phương trình mx2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn? c) Xác định m để các nghiệm x1, x2 của phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = 3

d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m

Bài 4: [ĐVH] Cho phương trình x2−mx+ − =m 1 0, (với m là tham số)

a) Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm x1, x2 với mọi m Tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình và giá trị của

Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng

c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia

d) Tim m để phương trình có hai nghiệm đều lớn hơn 1

Bài 5: [ĐVH] Cho phương trình ( ) ( 2 )

x− x + mx+ − =m

a) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt

b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt đều dương

c) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 thỏa mãn x12+x22+x32=15

d) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm âm

Trang 8

VẤN ĐỀ 1 SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

Dạng 1 Sự biến thiên của hàm không có tham số

Phương pháp:

+ Tìm tập xác định của hàm số

+ Tính ' y và giải phương trình ' y =0 để tìm các nghiệm

+ Lập bảng biến thiên (hoặc chỉ cần bảng xét dấu ' y ) và kết luận trên cơ sở các điểm tới hạn

Chú ý: Quy tắc xét dấu của hàm đa thức và phân thức

x+ ≥ ∀x nên dấu của 'y chỉ phụ thuộc vào biểu thức (x − 1)(x − 2)

SỰ BIẾN THIÊN và CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Trang 9

Bảng xét dấu của đạo hàm:

x −∞ −1 1 2 +∞

'

y + 0 + 0 − 0 +

Hàm số đồng biến trên (−∞; 1) và (2; +∞); hàm số nghịch biến trên (1; 2)

Ví dụ 2: [ĐVH].Xét sự biến thiên của các hàm số cho dưới đây:

x x y

x

=+

Trang 10

Bảng xét dấu của đạo hàm:

x 0 1 2 '

y + 0 − Hàm số đồng biến trên (0; 1) và nghịch biến trên (1; 2)

x y x

−

=+

11) 1

3 2

x y

x x y

x

=+

Dạng 2 Sự biến thiên của hàm có tham số

Phương pháp: Sử dụng các tính chất của tam thức bậc hai để giải

00

2 1

00

α β

x x a

x

y= −x + m− x+m đồng biến trên R

Trang 11

Hàm số đồng biến trên R khi y′≥ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤ ⇔ −0, x R ′ 0 1 (m− ≤ ⇔ ≥1) 0 m 2.

Vậy hàm số đồng biến trên R khi m ≥ 2

+ Tính ' y và giải phương trình ' y =0 để tìm các nghiệm

+ Lập bảng biến thiên và dựa vào bảng biến thiên để kết luận về điểm cực đại, cực tiểu của hàm số

Chú ý: Với một số dạng hàm đặc biệt (thường là hàm vô tỉ) thì ta phải tính giới hạn tại các điểm biên để cho bảng biến thiên được chặt chẽ hơn

Các ví dụ điển hình:

Ví dụ 1: [ĐVH].Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:

Trang 12

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; 3) và (2; +∞); hàm số nghịch biến trên (−3; 2)

Hàm số đạt cực đại tại x = −3; y = 71 và đạt cực tiểu tại x = 2; y = −54

Trang 13

Dấu của y’ chỉ phụ thuộc vào dấu của biểu thức (x − 3) nên ta có bảng biến thiên như hình vẽ

+

=+

y − 0 + 0 −

y

0 1

2 1

Trang 14

x x

+) Tính ' y và giải phương trình ' y =0 để tìm các nghiệm

+) Tính '' y tại các giá trị nghiệm tìm được ở trên rồi kết luận

Chú ý: Quy tắc II tìm cực trị thường được áp dụng cho các hàm số khó lập bảng biến thiên như hàm lượng giác,

hàm siêu việt, hàm vô tỉ

Các ví dụ điển hình:

Ví dụ 1: [ĐVH].Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:

a) y=sin 2x−x b) cos 1cos 2

Trang 15

2 2

12

02

Trang 16

3 2

x y x

+) Hàm số có cực trị khi ' y =0 có nghiệm và đổi dấu qua các nghiệm

+) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1; x2 thì khi đó x1; x2 là hai nghiệm của ' y =0

+) Hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x0 khi ( )

( )

0

00

b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 3

c) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 2

d) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = –1

Lời giải:

a) Ta có y′ =3x2−6mx+2

Hàm số đã cho có cực trị khi 'y =0 có nghiệm và đổi dấu khi qua các nghiệm

⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt 2 2

m> m< − thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu

b) Gọi x1; x2 là hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu Khi đó x1; x2 là nghiệm của phương trình 'y =0

Theo định lí Vi-ét ta có

1 2

223

→ − + = ⇔ − + = → phương trình vô nghiệm

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn đề bài

m= thỏa mãn điều kiện tồn tại cực trị nên là giá trị cần tìm

d) Hàm số đạt cực đại tại x = –1 khi ( )

( )

5

.6

Trang 17

b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn 2x1 + 3x2 = –2

c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 0

d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = –2

x x

+

c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 1

d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0

Bài 3: [ĐVH].Tìm m để các hàm số sau không có cực trị ?

Trang 18

VẤN ĐỀ 1 ĐIỂM UỐN, TÍNH LỒI LÕM

Quy tắc xét tính lồi lõm, tìm điểm uốn:

Tính đạo hàm ' y rồi tính tiếp '' y

Giải phương trình '' y =0, từ đó tìm được tọa độ điểm uốn

Xét dấu của '' y để kết luận:

Bài 1: [ĐVH].Tìm m để tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số

a) y = x3 + 3x2 – mx + 2 song song với đường thẳng d: y = 3x – 5

b) y = x3 + 3mx2 – 2mx + 3 vuông góc với đường thẳng ∆: y = x – 3

a) y = x3 – 3mx2 + 9x + 1 có điểm uốn thuộc đường thẳng d: y = x + 1

b) y = 3x3 – 9x2 + 6x + m – 2 có điểm uốn nằm trên trục hoành

c) y = x3– 3mx2 + (3 + 2m2)x + m2 + 3 có điểm uốn cách đều hai trục tọa độ Ox, Oy

0

1lim1

lim

1lim

x

x x

x

TÍNH LỒI LÕM và TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Trang 19

x x

+

=+ −

a) Ta có

2 3

2 5

2lim

4 5

1; 52

x x m

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm khác 2 của phương trình x2 + 3x + m = 0

Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi x2 + 3x + m = 0 vô nghiệm 0 9 4 0 9

x a

3) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Định nghĩa: Đường thẳng y = b được gọi là tiệm cận ngang (TCN) của đồ thị y = f(x) khi lim ( )

Trang 20

Đồ thị hàm phân thức chỉ có tiệm cận ngang khi bậc của tử số không lớn hơn bậc của mẫu số Thông thường, với hàm phân thức ta thường chia cả tử và mẫu số cho lũy thừa mũ cao nhất của x để tìm tiệm cận ngang

Chú ý: Với các giới hạn mà hàm số có chứa căn thì chúng ta thực hiện theo quy tắc sau:

−

=+

x y

1

x x

d)

2

2.3

+

=+

x y x

a) Ta có

3 2

11

2

1 11

33

Trang 21

Khi x→+∞ thì |x| = x nên ta được

11

Cách tìm tiệm cân xiên:

Đồ thị hàm phân thức chỉ có tiệm cận xiên khi bậc của tử số phải lớn hơn bậc của mẫu số một bậc

Cách 1:

+ Tìm hệ số lim ( )

x

f x a

x x y

x

+ +

=+

a)

2

1.2

Trang 22

=+ có tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ một tam giác có

Đồ thị có tiệm cận xiên khi m≠0

Với m≠0 thì tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y = 2x + m – 2, (d)

m m

a) tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đường thẳng y = 3x – 5

b) tiệm cận xiên của đồ thị cách gốc tọa độ O một khoảng bằng 1

y x

=

14

y x

x y

x

−

=+ f)

221

x y x

=

2 2

3 41

x x y

x

+ +

=+

4)

3

2

21

x x

=+ − 6)

2 2

5 31

x y

=

21

y= x + +x 10) y= −x x2+1 11)

2

24

=+

x y x

12)

21

x y

x x

=+ +

x y

x m

+

=+ d)

3 2

1

3 2

mx y

Trang 23

a) Tìm m để đồ thị có tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 1)

b) Tìm m để giao của hai tiệm cận thuộc (P): y=x2+3

Bài 6: [ĐVH].Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị hàm số

a)

2

( 2) 21

mx

+

=

− Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và các tiệm cận

cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8

x

=

Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên ∆ biết ∆ tiếp xúc với đường tròn tâm I(1; 2), bán kính R= 2

Bài 9: [ĐVH].Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị của các hàm số sau đến hai tiệm cận luôn là một hằng số

a)

2

11

x x y

Trang 24

Nhận xét: Hàm số đạt cực đại tại x=0 và y CD = −4; hàm số đạt cực tiểu tại x=2 và y CT = −8

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (2;+∞).; hàm số nghịch biến trên khoảng ( )0; 2

Trang 25

0 −∞

Nhận xét: Hàm số đạt cực tiểu tại x= −1 và y CT =0; hàm số đạt cực đại tại x=1 và y CD=4

Hàm số đồng biến trên khoảng (−1;1); hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;1) và (1;+∞)

23

Trang 27

3 −∞

Nhận xét: Hàm số đạt cực tiểu tại x= −1 và y CT =0; hàm số đạt cực đại tại x=1 và y CD=4

Hàm số đồng biến trên khoảng 0;4

− +∞

−∞ -1 fb.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 28

Nhận xét: Hàm số đạt cực đại tại x=0 và y CD = −4; hàm số đạt cực tiểu tại x=2 và y CT = −8

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (2;+∞).; hàm số nghịch biến trên khoảng ( )0; 2

• Đồ thị

Thầy Đặng Việt Hùng

Trang 29

Trang 31

−∞

Nhận xét: Hàm số không có cực trị và nghịch biến trên R

• Đồ thị

Trang 33

Trang 34

Trang 35

y= − x + x C Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C

Trang 36

- Giới hạn: lim lim 1 4 2 2

Nhận xét: Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 2) và ( )0; 2 ; hàm số nghịch biến trên các khoảng

Trang 37

Nhận xét: Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 3) và ( )0; 3 ; hàm số nghịch biến trên các khoảng

Trang 38

 

 

  Hàm số đạt cực đại tại điểm x=0 và y CD =1; hàm số đạt cực tiểu tại 1

Trang 39

Trang 41

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0; y CT = −4

• Đồ thị

Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng

Ví dụ 4: [ĐVH] Cho hàm số: 1 4 2 ( )

22

y= − x − +x C Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )C

Nhận xét: Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0); hàm số nghịch biến trên khoảng(0;+∞)

Hàm số đạt cực đạt tại điểm x=0 và y CD =2

Trang 42

Nhận xét: Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0); hàm số nghịch biến trên khoảng(0;+∞)

Hàm số đạt cực đạt tại điểm x=0 và y CD =0

• Đồ thị

Trang 43

Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng

Trang 44

2

x y

2

x y

Trang 45

x y

1

x y

Trang 46

- Giới hạn và tiệm cận:

2 1lim lim

3

x y

3

x y

2

x y

2

x y

Trang 47

x y

3

x y

• Đồ thị

Trang 48

Đồ thị hàm số nhận I( )3;1 là tâm đối xứng.

Trang 49

2 1

x y

2 1

x y

Trang 50

x y

2

x y

Trang 51

− ; limx xlim 1 1

x y

x

− Suy ra đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x=3và một tiệm cận ngang là y=2

• Đồ thị

Trang 52

x y

1

x y

Trang 53

x y

3

x y

Đồ thị

Trang 54

Đồ thị hàm số nhận I( )3;1 là tâm đối xứng

Trang 55

DẠNG 1 TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ

+) Nếu cho y o thì tìm x o bằng cách giải phương trình f(x) = y o

+) Tính y′ = f′(x) Suy ra y′(x o ) = f′(x o)

+) Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y = f′(xo ).(x – x o ) + y o

Dạng toán trọng tâm cần lưu ý :

+) Tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị hàm phân thức y ax b

cx d

+

=+ cắt các trục tọa độ Ox, Oy tại các

cx d

+

=+ đến tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị

đạt giá trị lớn nhất, hoặc bằng một hằng số cho trước

Câu 1: [ĐVH] Cho hàm số 2

2

x y x

=

− , có đồ thị ( )C Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại các giao điểm của ( )C với đường thẳng y=3x−3

Câu 2: [ĐVH] Cho hàm số y=2x3−2x2+5, có đồ thị ( )C Tìm M∈( )C sao cho tiếp tuyến với ( )C

tại M vuông góc với đường thẳng x+2y− =6 0

Câu 3: [ĐVH] Cho hàm số y=x4−4x2 ( )C Tìm M∈( )C sao cho tiếp tuyến với ( )C tại M đi qua

+

=

− , có đồ thị ( )C Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm x 0

biết x là nghiệm của phương trình 0 y′′ + − =y 15 0

y= x − m+ x − −m C Gọi A là điểm có hoành độ dương mà

( )C m luôn đi qua với mọi m Viết phương trình tiếp của hàm số tại A khi m=1

a) Giao điểm của ( )C với trục hoành

b) Giao điểm của ( )C với trục tung

TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P1 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn

Định dạng
Số trang	114
Dung lượng	7,66 MB