chuyên đề hàm số

chuyên đề hàm số

Chủ đề hàm số A- Bài toán về tính đồng biến nghịch biến của hàm số

1 Tìm m để hàm số y x= +3 3x2+(m+1)x+4m đồng biến trên [-1;1]

2 Tìm m để hàm số 1 3 2

(3 2) 3

m

y= − x +mx + m−

đồng biến trên R

3 Tìm m để hàm số 2 3 2 ( 2)

3

m

y= + x + +x m+

nghịch biến trên R

4 Tìm m để hàm số y= − +x3 3x2+3mx−1 nghịch biến trên (0;+∞)[A-13]

5 Tìm m để hàm số y= − +x4 2mx2−m2 nghịch biến trên (1;+∞)

6 Tìm m để hàm số y= − +x4 2mx2−m2 nghịch biến trên ( 1;0),(2;3)−

B-Bài toán về cực trị

11 Tìm m để hàm số y mx= 4+(m2−9)x2 +10có ba cực trị.[B-02]

12 Tìm m để hàm số y mx= 3−3x2+3m+6 có hai cực trị

13 Tìm m để hàm số y= −(x m)3−3x đạt cực tiểu tại điểm x=0

3

y= x + m − +m x + m + x đạt điểm cực tiểu tại x= −2

15 Tìm m để đổ thị hàm số y= − +x3 3mx2−3m−1có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng x+8y−74 0=

16 Tìm m để đồ thị hàm số y= − +x3 3mx2−3m−1 có hai điểm cự trị A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4

17 Tìm m để đồ thị hàm số y= − +x3 3mx2−3m−1có hai

điểm cực trị nằm về cùng một phía so với đường thẳng x y+ + =1 0

18 Tìm m để đồ thị hàm số y x= −3 3mx2+3m3có hai điểm cự trị ,A B sao cho tam giác OAB có

diện tích bằng 48.[B-12]

19 Tìm m để đồ thị hàm số y=2x3−3(m+1)x2+6mx có hai điểm cự trị ,A B sao cho đường thẳng

AB vuông góc với đường thảng y x= +2.[B-13]

20 Cho điểm (2;3)A Tìm m để đồ thị hàm số y x= −3 3mx+1 có hai điểm cự trị ,B C sao cho tam

giác ABC cân tai A [B-14]

21 Tìm m để đồ thị hàm số 4 2

2( 1)

y x= − m+ x +m có ba điểm cực trị , ,A B C sao cho OA BC=

với A là điểm thuộc trục tung và O là gốc tọa độ.[B11]

y= m+ x − −m x +m

a) Có cực đại mà không có cực tiêu b) có cực tiểu mà không có cực đại

23 Tìm m để đồ thị hàm số y x= 4−2mx2+2mcó ba điểm cực trị lập thành:

a) tam giác vuông b) tam giác đều c) tam giác có diện tích bằng 16

2(3 1)

y= x −mx − m − x+ có hai điểm cực trị x và1 x sao cho 2

1 2 2( 1 2) 1

x x + x +x = [D-12].

y x= + m− x + m − m+ x m+ + có hai điểm cực trị x và 1 x sao cho 2

1 2

1 2

2 x x

x + x = +

26 Tìm m để đồ thị hàm số y x= 4−2mx2 +2m2−4 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện

tích bằng 1

27 Tìm m để đồ thị hàm số y x= 4−2mx2+2có ba điểm cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ

làm trực tâm

C Bài toán về tiếp tuyến

28 Viết phương trình tiếp tuyến (pttt) của đồ thị hàm số y x= −3 3x2+2 trong các trường hợp sau:

a) Tiếp tuyến tại tiếp điểm có hoành độ bằng -1

b) Tiếp tuyến tại tiếp điểm có tung độ bằng 0

c) tiếp tuyến có hệ số góc bằng 24

d) tiếp tuyến song song với đường thẳng 9x y− +2015 0=

e) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x+45y+215 0=

f) tiếp tuyến đi qua điểm ( 1; 2)A −

g) tiếp tuyến tạo với đường thẳng x y− +100 0= một góc ϕ, biết cos 1

5

ϕ =

29 Viết pttt của đồ thị hàm số 3

x y x

−

=

− trong các trường hợp sau:

a) Tiếp tuyến tại tiếp điểm có hoành độ bằng -1

b) Tiếp tuyến tại tiếp điểm có tung độ bằng -2

c) Tiếp tuyến tại tiếp điểm là các tọa độ nguyên của đồ thị hàm số.

d) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 5

4 . e) Tiếp tuyến song song với đường thẳng 5x y− +67 0=

f) tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 20x y+ + =15 0

30 Viết pttt của đồ thị hàm số 4 2

6

y= − − +x x biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 1

6

y= x− .[D-10]

31 Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số: y x= − −3 3x 2 sao cho tiếp tuyến tại M của (C) có hệ

số góc bằng 9 [D-14]

32 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) hàm số : 2

2

x y x

=

− biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy lần lượt tại ,

A B sao cho :

a) AB= 2OA b) OA=4OB

33 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) hàm số : 3

x y x

+

= + biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy lần lượt tại ,

A B sao cho đường trung trực của đoạn AB đi qua gốc tọa O

34 Viết pttt của đồ thị hàm số (C) 2

x y x

+

= + biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại ,A B sao cho tam giác OABcân tạiO.[A-09]

35 Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) hàm số : 2

1

x y x

= + biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt Ox, Oy lần lượt tại A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1

4.[D-07]

36 Tìm tọa độ điểm ,A B thuộc đồ thị (C) hàm số: 1

2

x y x

− −

= + sao cho tiếp tuyến của (C) tại A song

song tiếp tuyến của (C) tại B và AB=2 2

37 Cho hàm số 2 1

1

x y x

−

=

− có đồ thị (C) Gọi M thuộc (C) và I là giao điểm của hai đường tiêm

cận.Tiếp tuyến tại M cắt 2 đường tiệm cận lần lượt tại , A B

a) Chứng minh M là trung điểm của AB

b) Diện tích tam giác IAB không đổi

c) Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất

d) Viết pttt sao cho khoảng cách từ I đến tiếp tuyến là lớn nhất

38 Chứng minh đường thẳng y x m= + cắt đồ thị (C) hàm số 1

x y x

− +

=

− tại hai điểm phân biệt ,A B Gọi k k lần lượt là hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại ,1, 2 A B Tìm m để k1+k2 đạt giá trị lớn

nhất.[A-11]

D Bài toán về sự tương giao

39 Cho hàm số y x= − +3 3x 2 (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Dựa vào đồ thị (C) hãy vẽ đồ thị các hàm số sau:, y=| |x 3 −3 | | 2 ( )x + C1 , y= x3− +3x 2 ( )C2

40 Cho hàm số 1

x y x

− +

=

− a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Dựa vào đồ thị (C) hãy vẽ đồ thị các hàm số sau: 1

1 ( )

x

x

− +

=

1 ( )

x

x

− +

=

−

41 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3 2

y= x − x + x−

b) Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt 3 2

2 | |x −9x +12 | |x =m [A-06]

42 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 4 2

y= x − x

b) Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt 2 2

| 2 |

x x − =m [B-09]

43 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 1 4 3 2 5

y= x − x +

b) Tìm m để phương trình sau có 8 nghiệm phân biệt |x4−6x2+ =5 | 2m2−4m

44 Tìm m để đường thẳng y= − +x 1 cắt đồ thị hàm số y=2x3−3mx2+(m−1)x+1 tại ba điểm phân biệt[D-13]

45 Chứng minh mọi đường thẳng đi qua điểm (1; 2)I với hệ số góc (k k> −3)đều cắt đồ thị hàm số

3 3 2 4

y x= − x + tại ba điểm phân biệt , ,I A B đồng thời I là trung điểm của đoạn AB [D-08]

46 Tìm m để đường thẳng y= − +x m cắt đồ thị hàm số 1

1

x y x

+

=

− tại hai điểm phân biệt.

47 Tìm m để đường thẳng y=1 cắt đồ thị hàm số y x= 4−(3m+2)x2+3m tại 4 điểm phân biệt đều có hoành

độ nhỏ hơn 2.[D-09]

48 Tìm m để đồ thị hàm số y x= −3 mx2 +(m−2)x+1 cắt trục Ox taị 3 điểm phân biệt

49 Tìm m để đồ thị hàm số y x= −3 mx2 +(m−2)x+1 cắt trục Ox taị 3 điểm phân biệt có hoành độ dương

50 Tìm m để đồ thị hàm số y x= −3 2x2+ −(1 m x m) + cắt trục Ox taị 3 điểm phân biệt có hoành độ

1, ,2 3

x x x thỏa mãn điều kiện 2 2 2

x + +x x < [A-10]

51 Tìm m để đồ thị hàm số 3 2

y x= − x + −m x m+ cắt trục Ox taị 3 điểm phân biệt có hoành độ

1, ,2 3

x x x đều lớn hơn 1

2

52 Tìm m để đồ thị hàm số y= − +x3 3mx2−3m−1 cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ âm

x y x

− +

=

− (C) a) Chứng minh với mọi m đường thẳng d: y x m= + luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B

b) Chứng minh với mọi m đường thẳng d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh phân

biệt của (C)

c) Tìm mọi giá trị của k để đường thẳng y= − +2x k cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho

AB= 2

54 Cho hàm sốy x= 4−2(m+1)x2+2m+1 có đồ thị ( )C m

Tìm tất cả các giá trị của m để:

a)( )C cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt m

b)( )C cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt mà các hoành độ đều nhỏ hơn 2 m

c)( )C cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt mà hoành độ đều bé hơn 3 m

d)( )C cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng m

55 Viết phương trình đường thẳng d biết d cắt đồ thị hàm số (C) 3

:y x= − +3x 2 tại 3 điểm phân biệt , ,

M N P sao cho x M =2 và NP=2 2

56 Gọi d là đường thẳng đi qua (1;0)A và có hệ số góc k Tìm k để d cắt dồ thị hàm số (C): 2

1

x y x

+

=

− tại hai điểm phân biệt M N thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị và , AM =2AN

57 Tìm m để đường thẳng : d y x m= + cắt đồ thị hàm số (C): 2 1

1

x y x

−

= + tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho

2 2

AB=

58 Tìm m để đường thẳng y= − +2x m cắt đồ thị hàm số 2 1

1

x y x

+

= + tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho tam giác OABcó diện tích bằng 3 (O là gốc tọa độ)

59 Tìm m để đường thẳng : d y=2x+3m cắt đồ thị hàm số (C): 3

2

x y x

+

= + tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho

OA OBuuur uuur= (với O là gốc tọa độ)

60 Tìm kđể đường thẳng :d y kx= +2k+1 cắt đồ thị hàm số (C): 3

2

x y x

+

= + tại hai điểm phân biệt ,A B sao

cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.[D-11]

61 Tìm m để đồ thị hàm số y x= −3 3mx2+2m2 cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ đều lớn hơn 1.

62 Tìm m để đồ thị hàm số y= − +x3 3mx2−m cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn -1.

63 Tìm m để đồ thị hàm số y x= −3 3mx2+3(m2−1)x−(m2−1)cắt Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương

E Các bài toán tổng hợp

64 Cho hàm số y x= −3 3x2 +4 có đồ thị (C)

a) khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

b)Gọi (d) là đường thẳng đi qua (2;0)A có hệ số góc k tìm k để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt

A,M,N sao cho tiếp tuyến của (C) tại M,N vuông góc với nhau

65 Cho hàm số 2 1

1

x y x

+

=

− (C) a) Chứng minh giao điểm của hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị (C)

b) Tìm trục đối xứng của đồ thị (C)

c) Tìm hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất

d) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm

cận tại A và B với chu vi của tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất

66 Cho đồ thị hàm số

2 1 1

x x y

x

− +

=

− (C) a) Chứng minh giao điểm của hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị (C)

b) Tìm trục đối xứng của đồ thị (C)

c) Tìm hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất

d) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm

cận tại A và B với chu vi của tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất

67 Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số 2

1

x y x

+

=

− sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y= −x

bằng 2 [A-14]

68 Cho hàm số y x= −3 3mx2+3(m2−1)x m− 3+m (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi m= 0

b) Chứng minh rằng hàm số (1) luôn có cự đại,cực tiểu với mọi m.Tìm m để các điểm cự trị của hàm

số (1) cùng với điểm I(1;1), tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 5

69 Cho hàm số y = mx3−6x2+9mx−3 (1) (m là tham số)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1

b) Xác định m để đường thẳng d: y = 9 3

4x− cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt A(0,– 3), B,

C thỏa điều kiện B nằm giữa A và C đồng thời AC = 3AB

70 Cho hàm số x

y x

2 1

=

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tìm trên đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A

với A(2; 0)

2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m=−2

b) Tìm m>0để đồ thị hàm số (1) có giá trị cực đại, giá trị cực tiểu lần lượt là y , CĐ y CT thỏa mãn

2y CĐ+y CT = .

72 Cho hàm số 1

2

x y x

+

=

− .

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Gọi (d) là đường thẳng qua M( )2;0 có hệ số góc k Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt

A, B sao cho

M nằm giữa A, B và MA=2MB

73 Cho hàm số 1

2

x y x

−

=

− (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến cắt hai đường tiệm cận của (C) lần lượt

tại A và B sao cho tam giác ABI có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2− 2, với I là giao điểm của hai đường tiệm cận

74 Cho hàm số 2 1

1

x y x

−

= + ( )C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Tìm m để đường thẳng d có phương trình y= − +x m cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác ABM là tam giác đều, biết rằng M = (2; 5)

75 Cho hàm số 2 1

1

x y x

−

= + .

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho.

2 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm (0;1)I và cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt

,

A B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3 (O là gốc tọa độ).

76 Cho hàm số y = x3 + mx + 2 (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -3

2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh tại một điểm duy nhất

77 Cho hàm số 4 3 2 1

1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

2 Tìm trên trục tung điểm M mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số trên và hai tiếp tuyến đó đối xứng nhau qua trục tung và vuông góc với nhau

CHƯƠNG I HÀM SỐ BÀI 1 PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ HÀM SỐ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1 y = f (x) đồng biến / (a, b) ⇔ ∀ <x1 x2∈(a b, ) ta có f x( )1 < f x( )2

2 y = f (x) nghịch biến / (a, b) ⇔ ∀ <x1 x2∈(a b, ) ta có f x( )1 > f x( )2

3 y = f (x) đồng biến / (a, b) ⇔ƒ′(x) ≥ 0 ∀x∈(a, b) đồng thời ƒ′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm ∈ (a, b).

4 y = f (x) nghịch biến / (a, b) ⇔ƒ′(x) ≤ 0 ∀x∈(a, b) đồng thời ƒ′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm ∈

(a, b).

5 Cực trị hàm số: Hàm số đạt cực trị tại điểm x x= k ⇔ f x′( ) đổi dấu tại điểm x k

6 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

• Giả sử y =ƒ(x) liên tục trên [a, b] đồng thời đạt cực trị tại x1 , ,x n∈(a b, ) .

Khi đó: Max[ ], ( ) Max{ ( )1 , , ( )n , ( ), ( )};

[ ], ( ) { ( )1 ( ) ( ) ( )}

• Nếu y = f (x) đồng biến / [a, b] thì [ ] ( ) ( )

[ ] ( ) ( )

x a b f x f a x a b f x f b

• Nếu y = f (x) nghịch biến / [a, b] thì [ ] ( ) ( )

[ ] ( ) ( )

x a b f x f b x a b f x f a

• Hàm bậc nhất f x( ) = α + βx trên đoạn [ ]a b; đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút a; b

b

x − ε x x + ε

x − ε x x + ε

II PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1 Nghiệm của phương trình u(x) = v(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị y u x= ( ) với đồ thị y v x= ( )

2 Nghiệm của bất phương trình u(x) ≥ v(x) là

phần hoành độ tương ứng với phần

đồ thị y u x= ( ) nằm ở phía trên

so với phần đồ thị y v x= ( )

3 Nghiệm của bất phương trình u(x) ≤ v(x) là

phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị

( )

y u x= nằm ở phía dưới so với phần đồ thị y v x= ( )

4 Nghiệm của phương trình u(x) = m là hoành độ

giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị y u x= ( )

5 BPT u(x) ≥ m đúng ∀x∈I ⇔ MinI ( )

6 BPT u(x) ≤ m đúng ∀x∈I ⇔ MaxI ( )

7 BPT u(x) ≥ m có nghiệm x∈I ⇔ MaxI ( )

8 BPT u(x) ≤ m có nghiệm x∈I ⇔ MinI ( )

III Các bài toán minh họa phương pháp hàm số

Bài 1 Cho hàm số f x( ) =mx2 + 2mx− 3

a Tìm m để phương trình ƒ(x) = 0 có nghiệm x∈[1; 2]

b Tìm m để bất phương trình ƒ(x) ≤ 0 nghiệm đúng ∀x∈[1; 4]

c Tìm m để bất phương trình ƒ(x) ≥ 0 có nghiệm x∈[− 1;3]

Giải: a Biến đổi phương trình ƒ(x) = 0 ta có:

x x x

Để ƒ(x) = 0 có nghiệm x∈[1; 2] thì [ ] ( )

[ ] ( )

⇔ ≤ ≤

b Ta có ∀x∈[1; 4] thì f x( ) =mx2 + 2mx− ≤ 3 0 ⇔ m x( 2 + 2x) ≤ 3⇔ ( ) 2 3 , [ ]1; 4

2

x x

+ [ ] ( )

1;4

M in

∈

Do ( )

3

g x

x

=

+ − giảm trên [1; 4] nên ycbt ⇔ Min[ ]1;4 ( ) ( )4 1

8

c Ta có với x∈ [− 1;3] thì f x( ) =mx2 + 2mx− ≥ 3 0 ⇔ m x( 2 + 2x) ≥ 3

Đặt ( ) 2 3 , [ 1;3]

2

x x

+ Xét các khả năng sau đây:

+ Nếu x= 0 thì bất phương trình trở thành m.0 0 3 = ≥ nên vô nghiệm

+ Nếu x∈(0;3] thì BPT ⇔ g x( )≤m có nghiệm x∈(0;3] ( ] ( )

0;3

x Min g x m

∈

Do ( )

3

g x

x

=

+ − giảm /(0;3] nên ycbt ( ] ( ) ( )

0;3

1 3 5

x Min g x g m

∈

a

v(x) u(x)

y = m

+ Nếu x∈ −[ 1; 0) thì x2 + 2x< 0 nên BPT ⇔g x( ) ≥m có nghiệm x∈ −[ 1; 0) [ ) ( )

1;0

Max g x m

−

2

2

x

x x

Do đó g x( ) nghịch biến nên ta có [ ) ( ) ( )

Kết luận: ƒ(x) ≥ 0 có nghiệm x∈[− 1;3] ( ; 3] 1; )

5

Bài 2 Tìm m để bất phương trình: x3 3mx 2 13

x

−

x

Ta có ( )

4 2 2

−

  suy ra f x( ) tăng

1

2

3

x

≥

Bài 3 Tìm m để bất phương trình m.4x +(m− 1 2) x+2 + − >m 1 0 đúng ∀ ∈x ¡

Giải: Đặt t= 2x > 0 thì m.4x +(m− 1 2) x+2 + − >m 1 0 đúng ∀ ∈x ¡

( )

2

4 1

t

t t

+

2 2 2

4 1

t t

g t

t t

+ + nên g t( ) nghịch biến trên [0; +∞) suy

ra ycbt ⇔ 0 ( ) ( )0 1

t

Max g t g m

Bài 4 Tìm m để phương trình: x x+ x+ 12 =m( 5 − +x 4 −x) có nghiệm

Giải: Điều kiện 0 ≤ ≤x 4 Biến đổi PT ( ) 12

x x x

Chú ý: Nếu tính f x′( ) rồi xét dấu thì thao tác rất phức tạp, dễ nhầm lẫn

x

′

+

−

′

Suy ra: g x( ) > 0 và tăng; h x( ) > 0 và giảm hay h x( )1 >0 và tăng

( )

g x

f x

h x

= tăng Suy ra f x( ) =m có nghiệm

[ ] ( )

[ ] ( ) [ ( ) ( )] ( )

0;4 0;4

Bài 5 Tìm m để bất phương trình: 3 2 ( )3

x + x − ≤m x− x− có nghiệm

Giải: Điều kiện x≥ 1 Nhân cả hai vế BPT với ( )3

x + x− > ta nhận được bất phương trình ( ) ( 3 2 ) ( )3

f x = x + x − x + x− ≤m

g x =x + x − h x = x + x−

Ta có ( ) 3 2 6 0, 1; ( ) 3( 1)2 1 1 0

−

Do g x( ) > 0 và tăng ∀ ≥x 1; h x( ) > 0 và tăng nên f x( ) =g x h x( ) ( ). tăng ∀ ≥x 1

Khi đó bất phương trình f x( ) ≤m có nghiệm ( ) ( )

1

≥

Bài 6 Tìm m để (4 +x) (6 −x) ≤x2 − 2x m+ nghiệm đúng ∀ ∈ −x [ 4, 6]

Cách 1 BPT ⇔ f x( ) = −x2 + 2x+ (4 +x) (6 −x) ≤m đúng ∀ ∈ −x [ 4, 6]

( )

x

Lập bảng biến thiên suy ra Max [ ] ( ) ( )

Max f x f m

Cách 2 Đặt (4 ) (6 ) (4 ) (6 ) 5

2

t= +x −x ≤ + + − =

Ta có t2 = −x2 + 2x+ 24 Khi đó bất phương trình trở thành

f t′ = + >t ⇒f t( ) tăng nên f t( )≤m t; ∀ ∈[ ]0;5 ⇔ [ ] ( ) ( )

0;5

max f t = f 5 = ≤ 6 m

Bài 7 Tìm m để 3 + +x 6 − −x 18 3 + x x− 2 ≤m2 − +m 1 đúng∀ ∈ −x [ 3, 6]

Giải:

Đặt t= 3 + +x 6 − >x 0 ⇒ t2 =( 3 + +x 6 −x)2 = + 9 2 3( +x) (6 −x)

⇒ 9 ≤t2 = + 9 2 3( +x) (6 −x) ≤ + + 9 (3 x) (+ 6 −x) = 18

2

3;3 2

9

 

 

′

3;3 2

 

 

Bài 8 (Đề TSĐH khối A, 2007)

Tìm m để phương trình 3 x− + 1 m x+ = 1 2 4 x2 − 1 có nghiệm thực

Giải: ĐK: x≥ 1, biến đổi phương trình

4

x− x−

Đặt 4 1 41 2 [0,1)

x

u

Khi đó g t( ) = − 3t2 + = 2t m

3

3

m

⇔ − < ≤

Bài 9 (Đề TSĐH khối B, 2007): Chứng minh rằng: Với mọi m> 0, phương trình

x + x− = m x− luôn có đúng hai nghiệm phân biệt

Giải: Điều kiện: x≥ 2

Biến đổi phương trình ta có:

(x 2) (x 6) m x( 2)

t01+0–0– 1

x2+0