chủ đề hàm số ôn tốt nghiệp toán

chủ đề hàm số ôn tốt nghiệp toán tham khảo

x

c x

=o

2

1cot

sin

x

x

= −o

.( ) '

uα =α u uα−o

' 2

2

u u

u

=o

os

u u

c u

=o

2

'cot

sin

u u

u

= −o

.ln '

a =a a u

o( )' '

lnu u

u

=o

( )' 'log

.ln

a

u u

u a

=o

( )'

k v =k u

o'

2' '

cx d

a d c b y

cx d

+

=+

−

⇒ =

+o

CHỦ ĐỀ HÀM SỐ A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

I KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC 3; BẬC 4.

1 Các bước khảo sát hàm số:

+ Tập xác định: D=¡

+ Tính đạo hàm ' y , giải phương trình ' 0 y = và tìm các điểm cực trị của hàm số.

+ Tính các giới hạn lim ; lim x→−∞y x→+∞y

+ Lập bảng biến thiên, nhận xét về tính đơn điệu và cực trị của đồ thị hàm số.

+ Vẽ đồ thị: ( Tìm các điểm đặc biệt, tâm đối xứng của đồ thị, các giao điểm với truc Ox, trục Oy)

II KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC y ax b; x d

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐÉN KHẢO SÁT HÀM SỐ

BÀI TOÁN 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.

+ Nêu kết luận về các khoảng đồng biến

nghịch biến ( Hàm số đồng biến trên khoảng

1 Định lí về dấu của tam thức bậc 2:

Cho tam thức bậc 2: f x( )=ax2+ +bx c a( ≠0)có ∆ = −b2 4ac Khi đó:

- Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x∈ ¡ .

- Nếu ∆ =0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x∈¡ trừ tại

2

b x a

BÀI TOÁN 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [a;b]

Cho hàm số y= f x( )xác định trên đoạn [ ]a b;

* Vậy: max[−1;1]y=4 đạt được tại x= −1

min[−1;1]y=0 đạt được tại x=1

BÀI TOÁN 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

Phương trình tiếp tuyến (PTTT) của đồ thị hàm số y= f x( )có đồ thị (C) tại điểm

0( ; ) ( )0 0

M x y ∈ C và có hệ số góc k = f x'( )0 là: y y− 0 =k x x( − 0)= f x'( )(0 x x− 0)

Các dạng toán thường gặp: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị của ham số (C).

1) Tại điểm có hoành độ x ( tung độ 0 y ) cho trước.0

* Cách giải: + Thay x vào đồ thị (C) và rút ra 0 y0 ⇒M x y( ; )0 0

+ Thay y vào đồ thị (C) và rút ra 0 x0 ⇒M x y( ; )0 0

* Lưu ý: + Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung Ta có: x0 = ⇒0 y0

+ Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành Ta có: y0 = ⇒0 x0

2) Có hệ số góc k cho trước:

* Phương pháp: Giải pt: '( ) f x =k tìm nghiệm x … từ đó rút ra 0 y 0

3) Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d): y ax b= + .

* Phương pháp: Vì tiếp tuyến // d⇒ =k a , từ pt: '( ) f x =a ta tìm x , rồi thay 0 x vào 0hàm số để rút ra y 0

4) Biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d): y ax b= + .

* Phương pháp: Vì tiếp tuyến vuông góc với d nên k a 1 k 1

a

= − ⇒ = − , từ pt:

f x'( ) 1

a

= − ta tìm x , rồi thay 0 x vào hàm số để rút ra 0 y 0

BÀI TOÁN 5: Dùng đồ thị (C): y = f(x) biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x;m) =0

* Phương pháp:

+ Biến đôi và đưa phương trình về dạng: ( ) f x = f m( ) (1)

+ Đặt: y= f x( ) ( )C

y= f m( ) ( )d : là đường thẳng song song với trục Ox.

+ Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C) và (d) Dựa vào đồ thị, ta có:

x − x + x m− = có 3 nghiệm phân biệt

Bài 3 Cho hàm số y= − +x4 2x2 có đồ thị (C) Tìm giá trị m để phương trình x4−2x2+ − =m 2 0

có 4 nghiệm phân biệt

BÀI TOÁN 6: Định m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu

( Đối với HS bâc ba y ax= 3+bx2+ +cx d)

* Dấu của y’ là dấu của:3ax2 +2bx c+ =0

* Hàm số có cực đại, cực tiểu ' 0 y = có 2 nghiệm

phân biệt:

'

00

 Điểm x là điểm cực đại 0

Ví dụ: a) Xác định giá trị của tham số m để hàm số

y x= − x +mx+ đạt cực tiểu tại x= 1

Giải

Ta có : y' 3= x2 −4x m+

 Điểm x là điểm cực tiểu 0

Nếu hàm số đạt cực tiểu tại x= 1 thì '(1) 0y = , suy

ra m= 1

Với m= 1 thì y x= −3 2x2+ +x 1, y' 3= x2−4x+1,

" 6 4

y = x− ⇒y'(1) 0,= y"(1) 2 0= > nên hs cực tiểu tại x= 1 Vậy m= 1 là giá trị cần tìm

*Chứng tỏ f’(x,m) luôn có nghiệm và đổi

dấu khi x đi qua các nghiệm đó.

+ Với hàm số bậc ba, chứng tỏ y’ = 0 có

' 0

∆ > ∀ .

+ Với hàm số bậc bốn, tùy theo yêu cầu

của bài toán để tìm giá trị của m sao cho

y’ = 0 có 1 nghiệm ( hoặc có ba nghiệm)

ra, y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu (có thể lập bảng xét dấu với 2 nghiệm x x ) khi x đi 1; 2qua hai nghiệm đó

* Vậy, hàm số đã cho luôn có một điểm cực đại và một cực tiểu với mọi m

B Nếu f x¢( ) 0,> " x KÎ thì hàm số đồng biến trên K.

C Nếu f x¢( ) 0,³ " x KÎ thì hàm số đồng biến trên K.

D Nếu f x¢( ) 0,< " x KÎ thì hàm số nghịch biến trên K.

Câu 2: Trong các hàm số sau , hàm số nào có cực đại , cực tiểu và x CD <x CT?

Câu 4: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị (C) của hàm số 5 2.

3

x y x

+

=

−

3

Câu 5: Cho đồ thị hàm số ( )C : y x= 4−x2 Khẳng định nào sau đây là sai ?

A Đồ thị ( )C cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.

B Đồ thị ( )C cắt trục Oy tại hai điểm phân biệt.

C Đồ thị ( )C tiếp xúc với trục Ox

D Đồ thị ( )C nhận trục Oy làm trục đối xứng

Câu 6: Cho bảng biến thiên của một hàm số như hình dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào

trong các hàm số cho dưới đây ?

A y=x3- 2x2- 4x

B y=x3+ 3x2+ 3x

C y= - x3- 2x2- x

y= - x - 3x - 3x

Câu 7: Cho K là một khoảng và hàm số y=f x( ) có đạo hàm trên K Giả sử f ' x( ) =0 chỉ tại một số hữu hạn điểm trên K Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Nếu f ' x( )³ 0, x K" Î thì hàm số là hàm hằng trên K

B Nếu f ' x( )> 0, x K" Î thì hàm số nghịch biến trên K

C Nếu f ' x( )< 0, x K" Î thì hàm số đồng biến trên K

D Nếu f ' x( )£ 0, x K" Î thì hàm số nghịch biến trên K

Câu 8: Tung độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số y=3x và y 11 x= - là

Câu 9: Cho hàm số 3

y=x - 3x xác định trên ¡ Khẳng định nào sau đây là đúng?

A xCD=3xCT B yCD+ yCT =0

C xCT =3xCD D yCD- yCT=0

Câu 10: Tìm phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số = + +

-3 (C) : y x 1

x 1

x −∞ −1

+∞ y' − 0 −

y +∞

1

−∞

A x= - 1 B x 1=

C x 3= D (C) không có tiệm cận đứng

Câu 12: Cho hàm số y=f x( ) liên tục trên nửa khoảng [- 1; 2) có bảng biến thiên như hình bên Khẳng định nào sau đây là sai?

A Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1)

B Đồ thị hàm số không đi qua điểm M 2;5( )

C [min y1;2 ) 2

D max y[ 1;2) 5

Câu 13: Tìm tọa độ giao điểm m của đồ thị hàm số y 2x 1

x 2

-= + và trục tung

A M 0; 1

2

ç - ÷

çè ø B M 0; 2( - ) C M 1;0

2

æ ö÷

2

Câu 14: Đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau đây có tiệm cận ngang?

A =2−x

y

1

−

= +

x y x

C y x= − + −3 x2 x 3 D y x= 4− −x2 2

Câu 15: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y=cos2x+sinx+3 trên ¡

A max =4.

4

=

4

=

¡ y

Câu 16: Cho bảng biên thiên dưới đây Hỏi bảng đó là bảng biến thiên của hàm số nào?

x −∞ −2 +∞

y′ + +

y +∞ 2

2 −∞

A 2 1 2 x y x + = + B 3 2 3 3 y x= + x + x C − −x3 2x2−x D 3 2 2 4 y x= − x − x Câu 17: Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 3 1 2 x y x − = − x −1 2

y' +

y 5

2

Câu 18 Cho hàm số y= f x( )liên tục trên đoạn [−1;3], có bảng biến thiên như hình bên

Khẳng định nào sau đây là sai?

x -1 0 2 3y’ + 0 - +

y

5 2

−

=+ có bảng biến thiên là bảng nào trong các bảng dưới đây?

+

=

− Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng (− +∞1; ) B Hàm số nghịch biến trên ¡

C Hàm sốđồng biến trên (2;+∞) . D Hàm số nghịch biến trên (−∞; 2).

Câu 21 Hàm số y= − − +x3 x 5 có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

C có 2 điểm cực trị D có vô số điểm cực trị.

Câu 21 Tìm tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số 3

y x= − +x

A (−1;4) B ( )0;2

C ( )1;0 D.Đồ thị không có tâm đối xứng.

Câu 22 Tìm giá trị cực tiểu yCT của hàm số 1 3 2

+

= + .

Câu 24 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 25 Hàm số y= sinx x− có tất cả bao nhiêu cực trị?

A.Có 1 điểm cực trị B.Không có cực trị

C.Có 2 điểm cực trị D.Có vô số điểm cực trị

THÔNG HIỂU

Câu 1 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ¡ và có đạo hàm 3( ) (2 )

f x′ =x x+ x− Hàm số ( )

y= f x có bao nhiêu cực trị?

A Có 3 điểm cực trị B Có 1 điểm cực trị.

Câu 2 Cho hàm số y=| | x Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;+¥ )

B Hàm số đã cho đồng biến trên ¡

C Hàm số đã cho nghịch biến trên ¡

D Hàm số đã cho là hàm hằng trên khoảng ( - ¥ ;0 )

Câu 3 Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để phương trình x3+3x2 =m có ba nghiệm phân biệt

A.m= 2. B 0 < <m 4. C m< 0. D m> 4.

Câu 4 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên Khẳng

định nào sau đây là sai ?

A f x đồng biến trên khoảng ( ) (−1;3) B f x nghịch biến trên khoảng ( ) (−∞ −; 1).

C f x nghịch biến trên khoảng ( ) (3;+∞) D f x đồng biến trên khoảng ( ) ( )0;6

Câu 5 Cho đồ thị hàm số (C) y x= − +3 3x 3. Khẳng định nào sau đây là sai?

A Đồ thị (C) nhận điểm I( )0;3 làm tâm đối xứng

B Đồ thị (C) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt

C Đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y=5

Câu 7 Cho hàm số y= f x( ) = −x cos 2x+3 Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A f x đạt cực đại tại điểm ( )

Câu 8 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên Khẳng

định nào sau đây là sai ?

A f x đồng biến trên khoảng ( ) (−1;3) B f x nghịch biến trên khoảng ( ) (−∞ −; 1).

C f x nghịch biến trên khoảng ( ) (3;+∞) D f x đồng biến trên khoảng ( ) ( )0;6

x với đồ thị (C) Khẳng định nào sao đây là sai?

A Đồ thị (C) cắt đường thẳng d: y=2 tại điểm 3; 2

D.Đồ thị (C) đi qua điểm M( )2;5

Câu 10 Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số (C): 1

1

−

=+

x y

x với trục tung Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M.

Câu 11 Cho hàm số y=(x2−4) 3 x2 xác định trên ¡. Khẳng định nào sau đây là sai?

A Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm x= 0.

B Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm x=1

C Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm x= − 1.

D Đạo hàm của hàm số đã cho không xác định tại điểmx=0

Câu 12 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm sốy x2 21

y f x x Khẳng định nào sau đây là sai?

A f x( ) đạt cực tiểu tại điểm

Câu 15 Đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau không cắt trục tung ?

+

=+ đi qua điểm M(2;1)

+

= + Khẳng định nào sau đây sai?

A Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=1 B.Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=1

Câu 24 Cho hàm số y f (x)= liên tục trên R, có đồ thị (C) như hình vẽ Tìm tất cả cá giá trị thực của tham số mđể đường thẳng y 2m 1= − cắt đồ thị(C) tại hai điểm phân biệt

Câu 30 Cho hàm số y=x4 + 4mx3 + 3(m+ 1)x2 + 1, với m là tham số thực Hỏi hàm số không

có ba điểm cực trị nếu m nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

A.m=2 B.m= −1 C.m= −2 D.m=1

VẬN DỤNG THẤP

Câu 1 Hàm số y= 3 x có bao nhiêu điểm cực trị?

A Không có cực trị B Có 1 điểm cực trị C.Có hai điểm cực trị D Có vô số

điểm cực trị

Câu 2 Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số y x= 3−3mx2+2x+1 nhận điểm x= 1

làm điểm cực đại

A Không tồn tại m. B Có vô số m C m=6. D 5

x nghịch biến trong khoảng ;

+

=+

Câu 9 Tìm tiêm cận đứng của đồ thị hàm số ( ) 2

Câu 10 Cho hàm sốy= f x( ) liên tục trên đoạn [− 2;3], có đồ thị như hình bên Khẳng định nào

sau đây sai ?

A Hàm số không có đạo hàm tại điểm x=0 B Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng −3

C Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 1 D Hàm số nghịch biến trên khoảng

( )1;3

Câu 11 Cho hàm sốy x= +3 6x2+12x+8có đồ thị ( )C Khẳng định nào sau đây sai ?

A Hàm số đồng biến trên ¡ B Đồ thị ( )C tiếp xúc với trục hoành.

C Phương trìnhx3+6x2+12x+ =8 m có nghiệm với mọi m

y=f x có đồ thị ( C) như hình vẽ bên Khẳng định nào sau đây là sai?

A Hàm số đã cho không có đạo hàm tại x = 0

B Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị

C Hàm số đã cho liện tục trên R

D Hàm số đã cho đồng biến trên R

Câu 14 Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào đi qua điểm A( )3;0 và tiếp xúc với đồ thị hàm số 1 3

3 ?3

Câu 17 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

M

x

Câu 21 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể đồ thị hàm số y= −(x 1)(x2+ +x m)cắt

Oxtại 3 điểm phân biệt

Câu 22 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f x( )= − −x2 2x+3 ?

A.ymax = 2.; B.ymax = 2. C.ymax = 0. D.ymax = 3..

Câu 23 Tìm m để đồ thị hàm số y = (m−2)x4+2(m−4)x2+ −m 5 có 1 cực đại và 2 cực tiểu?

<

A m B m <2 .  ≤ > 24

m C

D f x đồng biến trên khoảng ( ) ( )0;6

Câu 3 Biết rằng đường thẳng :d y=3x m+ (với m là tham số thực) tiếp xúc với đồ thị hàm

số ( )C : y x= 2 −5x−8 Tìm tọa độ tiếp điểm của d và đồ thị ( )C

− + Tìm điểm M trên đồ thị ( )C sao cho M

cách đều hai trục tọa độ

Câu 10 Cho hàm số y= f x( ) = −x cos 2x+3 Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A f x đạt cực đại tại điểm ( )

Câu 11 Kí hiệu n (n∈¥ là số các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số )

3 2:

− + Tìm điểm M trên đồ thị ( )C sao cho M

cách đều hai trục tọa độ

x y

x Gọi I là trung điểm của MN Tìm hoành độ giao điểm x i của điểm I.

x Hỏi có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị hàm số (C) có

tọa độ nguyên (hoành độ và tung độ là những số nguyên)?

Câu 20 Với điều kiện nào của tham số m cho dưới đây, đồ thị hàm số 2 2

2( ) :

A Biểu thứcSkhông có giá trị lớn nhất B Biểu thứcSkhông có giá trị nhỏ nhất

Câu 27 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y m 2x= − cắt đồ thị hàm

Câu 29 Một nông dân có 2400m hàng rào và muốn rào lại cánh đồng hình chữ nhật tiếp giáp

với một con sông Ông không cần rào phía giáp bờ sông Hỏi ông có thể rào được cánh đồng với diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

A 72000m2 B 702000m2 C.720000m2 D 270000m2

Câu 30 Cho ( )C là đồ thị hàm số 3

1

−

= +

x y

x Điểm M cách đều hai trục tọa độ có tọa độ nào sau đây?

− +

=

12 Hàm số y=3x3+mx2−2x−1 đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi:

13 Cho hàm số y=x3−3x2 −9x+5 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.Hàm số đồng biến trên(−1;3) B Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;−1)

C Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞;−1),(3;+∞)D Hàm số chỉ đồng biến trên khoảng (3;+∞)

1

mx x m y

17 Cho hàm số y= − +x3 3x2+3x+1 Kết luận nào sau đây sai

(1− 2;1+ 2)

18 Với giá trị nào của m thì hàm số y= x2+2mx m+ 2+3 đồng biến trên khoảng (2;+∞)

19 Cho hàm số y x= −3 (m+1)x2−(2m2−3m+2)x+1 Kết luận nào sau đây đúng

m m

A m= 0 B m= 3 C 1

3

20 Cho hàm số y=cos 2x x+ , x∈ −( π;0) thì khẳng định nào sau đây sai:

−

=+ trên đoạn [ ]0; 2 là:

9 Gọi M, N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3

3 sin

x y

+

=+ trên đoạn [−1; 2] lần lượt

C Hàm số không tồn tại giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

D Hàm số không tồn tại giá trị nhỏ nhất

15 Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= − +x4 8x2+3 trên đoạn [−3;1] là:

A B C D

19.Miền giá trị của hàm số y= +(x 2) 4−x2

20 Cho x là số thực, kết luận nào sau đây sai?

A max{x2; 2x+ =3} x2khi x< 3 B max{x2; 2x+ =3} 2x−3khi − < < 1 x 3

C max{x2; 2x+ =3} x2khi x< − 1 D max{x2; 2x+ =3} x2khi x< 3

1.4Tiệm cận

3

x y

x

−

=

+

=+ là:

2 4

x y

=+ là:

x y x

− +

=

22

x y x

−

=

22

y x

=

−

8 Cho hàm số

1

ax b y

x

−

=

− , 2

x y

x

−

=

hai đường tiệm cận đứng của hai đồ thị hàm số trên trùng nhau là:

13

x y x

y x

=

2 2

1

15 3

x y

x x

−

=