chuyên đề số phức toán 12

chuyên đề số phức toán 12 tham khảo

SỐ PHỨC

I GIẢI PHÁP 1: CUNG CẤP LÍ THUYẾT VỀ SỐ PHỨC

I.1 CÁC KHÁI NIỆM

1 Định nghĩa số phức

Mỗi biểu thức dạng a bi , trong đó 2

a b i  được gọi là một số phức

Đối với số phức z a bi  , ta nói alà phần thực, blà phần ảo của z

Tập hợp các số phức kí hiệu là 

Chú ý:

 Mỗi số thực ađược coi là một số phức với phần ảo bằng 0: a a  0i

 Như vậy ta có   

 Số phức bi với b   được gọi là số thuần ảo ( hoặc số ảo)

 Số 0 được gọi là số vừa thực vừa ảo; số i được gọi là đơn vị ảo.

2 Số phức bằng nhau

Hai số phức là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng bằng nhau: a bi c di a c

3 Số phức đối và số phức liên hợp

Cho số phức z a bi  ,a b,   ,i2  1

 Số phức đối của z kí hiệu là  z và  za bi

 Số phức liên hợp của z kí hiệu là z và z a bi 

4 Biểu diễn hình học của số phức

Điểm M a b( ; )trong một hệ trục tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là

điểm biểu diễn số phức z a bi  .

5 Môđun của số phức

Giả sử số phức z a bi  được biểu diễn bởi M a b( ; ) trên mặt phẳng tọa độ Độ dàicủa vectơ OM được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là | |z

I.2 CÁC PHÉP TOÁN

1 Phép cộng và phép trừ

Phép cộng và phép trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng, trừ hai đa thức

 Cho số phức z a bi  , 2

a b  i  Ta có:z z 2a; z z  | |z 2

3 Phép chia hai số phức

Với a bi  0, để tính thương c di

Cho số phức z a bi  ,a b,   ,i2  1

 Tính chất 1: Số phức z là số thực  z z

 Tính chất 2: Số phức z là số ảo  zz

 Cho hai số phức z1 a1 b i z1 ; 2 a2 b i a b a b2 ; , , , 1 1 2 2   ta có:

I.1.4 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TRƯỜNG TẬP HỢP SỐ PHƯC

1.Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai: 2

 TH1: a, b, c là các số thực

 Nếu   0 thì phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt

2

b z

a

   



 TH2: a, b, c là các số phức

   0 thì phương trình có nghiệm kép thực

2

b z a

 Khi b là số chẵn ta có thể tính '

 và công thức nghiệm tương tự như trongtập hợp số thực

 Gọi z z1 , 2 là 2 nghiệm của phương trình az2 bz c  0 (a 0)a, b, c là các

số thực hoăc số phức Khi đó ta có:

II GIẢI PHÁP 2: CHIA THÀNH CÁC CHUYÊN ĐỂ NHỎ

II.1 CHUYÊN ĐỀ 1: Tính toán trên tập hợp số phức

II.1.1.Dạng 1: Thực hiện các phép tính trên tập hợp số phức Xác định phần thực, phần ảo và tính môđun của một số phức

;

 Trong khi tính toán về số phức ta có thể sử dụng các hằng đẳng thức đángnhớ như trong số thực

B Bài tập minh họa

Bài 1: Cho số phức 3 1

 Nhận xét: Với bài tập trên, học sinh dễ dàng tính được Qua bài tập này mục

đích giúp học sinh nhớ lại khái niệm số phức liên hợp và biết cách tính toánđơn giản về phép cộng, phép trừ số phức và phép tính luỹ thừa của một sốphức

Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

 Sau khi cho học sinh làm xong bài, chúng tôi thay đổi cách hỏi nhưsau: Tìm phần thực, phần ảo của số phức và tính mô đun của số phứcđể khắc sâu cho học sinh các khái niệm: phần thực, phần ảo, môđuncủa số phức

 Để học sinh ghi nhớ kĩ hơn, chúng tôi cho học sinh làm bài tập:

Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo và tính mô đun của số phức z biết:

a) z 2 i 2 1  i 2

b) 1 i 2 2  i z    8 i 1 2  i z

c) z 1 in,biết n là số tự nhiên thỏa mãn phương trình:

Vậy z có phần thực bằng 5; phần ảo bằng  2

và có môđun: z  5 2   22  3 3

 Nhận xét: Giáo viên hướng dẫn học sinh làm bài trên theo cách phân tích

lũy thừa của i như ý a) Tuy nhiên, việc sử dụng hằng đẳng thức ở đây ta sẽtính toán nhanh hơn và thuận tiện hơn

c) Ta có C là tổng của 11 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là

 Cách 1: Đối với học sinh học ban cơ bản

Phân tích 1 i11  1 i251 i    2i 5 1 i  32i5 32i6 32 32  i

 Cách 2: Đối với học sinh học ban nâng cao

Phân tích 1 2 1 1 2 cos sin

Thay vào biểu thức, ta có: C  32 33  i

 Nhận xét: Để làm bài tập này đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng biến đổi

biểuthức lượng giác và công thức tính tổng của cấp số nhân.Qua đó giúp họcsinh ôn lại các kiến thức về công thức lượng giác, về cấp số nhân

d)

 Cách 1: Áp dụng cho ban cơ bản

Ta có:

 Nhận xét: Qua các bài tập trên, giáo viên nêu phương pháp tính các bài toán

chứa các biểu thức sau:  1 in; 3 i n;   1 i 3n

Với cách làm tương tự, giáo viên yêu cầu học sinh về nhà làm bài sau: Hãy biểu

diễn các biểu thức sau dưới dạng lượng giác:

1  in; 1  i 3 ; n 3  in

 Trong tính toán trên tập hợp số phức, công thức nhị thức Niu-tơn (a b )n

vẫn đúng khi ta thay hai số thực a b; bởi hai số phức Để học sinh hiểu rõ

hơn và biết áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn vào tính toán trên tập hợp sốphức, chúng tôi cho học sinh làm bài tập sau:

Bài 5: Tính tổng

Cho số phức z a bi  , a b,   Tìm căn bậc hai của z

 Nếu z 0 thì zcó một căn bậc hai là: 0

 Nếu z a  0thì z có hai căn bậc hai là:  a

 Nếu z a  0 thì z có hai căn bậc hai là: i a

 Nếu z a bi b  ,  0

 Gọi z1  x yi x y,   là căn bậc hai của z

 Khi đó ta có:

2 1

 Giải hệ tìm x, y Từ đó kết luận số căn bậc hai của z

Chú ý: Mỗi một số phức khác 0 luôn có hai căn bậc hai là hai số đối nhau

B Bài tập minh họa

Bài 1:Tìm căn bậc hai của số phức sau:

a) w  4 6 5i

b) w  1 2 6i

Lời giải:

a) Gọi z x yi x y ,   là một căn bậc hai của

Khi đó ta có: 

x y x y

b) Tương tự, ta có số phức w  1 2 6i có hai căn bậc hai là:

z1 2  i 3; z2  2 i 3

II.1.3 Bài tập tự luyện

Bài 1: Tính biểu thức sau:

Học sinh khá giỏi có thể phát hiện ra cách làm của ý 1 nhưng ý 2 học sinh rất khóđịnh hướng cách làm Nhưng khi thay đổi cách hỏi thì ngay cả học sinh có lực họctrung bình cũng có thể định hướng được cách làm bài Sau khi học sinh làm songbài tôi mới thay đổi lại câu hỏi như trên, từ đó đưa ra phương pháp cụ thể của dạngcâu hỏi tìm số phức z như sau:

 Nếu trong điều kiện đề bài chỉ có duy nhất một kí hiệu z hoặc z thì ta quy

về bài toán thực hiện phép tính

 Nếu trong điều kiện đề bài có nhiều hơn một kí hiệu z hoặc z hoặc có kíhiệu môđun ta giải theo phương pháp sau:

 Có học sinh khá làm ý 1 bằng cách gọi z a bi , a, b     Tôi đã phântích cả 2 cách làm và các em nhận thấy ngay là việc quy về thực hiện phéptoán sẽ đơn giản hơn.

II.2.2 Bài tập minh họa

Tìm số phức z biết:

a) ( 1).(2 ) 3

2 2

(z i ) là số ảo

d)|z  1| 1 và (1 i z)(  1) có phần ảo bằng 1

e) z2  2z là số thực và z 1

Lời giải:

a) Điều kiện z 2i Khi đó

(1)  2(z 1)(2  i) (3  i z)(  2 )i

2 (z 1)(4 2 ) 3i z 6i iz 2i

   (thỏa mãn điều kiện)

b) Gọi z a bi , a, b      z a bi  Từ giả thiết ta có:

d) Gọi số phức z cần tìm dạng: z a bi , a, b      | |z  a2 b2 Từ giả thiếtta

e) Gọi số phức z cần tìm dạng: z a bi , a, b      2 2

| |z  a b Từ giả thiết

2

2

1

cos( ) 3 1

3 sin( )

3 1

b

b b

 Nhận xét: Với dạng toán này học sinh chỉ cần nắm được các khái niệm

cơ bản của số phức như: hai số phức bằng nhau, mođun của số phức, điềukiện để số phức là số ảo, số thuần ảo, số thực, xác định được phần thực,phần ảo của một số phức, dạng lượng giác của số phức và đặc biệt là cácphép toán và sự cẩn thận khi tính toán là các em có thể biết cách làm vàlàm đúng Sau khi học sinh đã làm tốt được dạng toán trên chúng tôithay đổi đề để bài tập không đơn điệu và quan trọng là giúp các em cóthể linh hoạt để định hướng cách giải khi gặp những bài tập cùng dạng.Cụ thể là:

a) Tính mođun của số phức w z 1 i   

b) Tính tổng lũy thừa bậc 4 của tất cả các số phức vừa tìm được

c) Tìm phần ảo của z hoặc hỏi là | |z  5 và 2

(z i ) là số thuần ảo

d) Tìm phần ảo của z2015

e) Viết dạng lượng giác của z

Bài 5: Tìm số phức z thoả mãn: z3là số thực và z 2

Bài 6: Tìm số phức z thoả mãn:

1 1 3 1

II.3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP HỢP SỐ PHỨC

II 3.1 Phương pháp giải phương trình az2 bz c  0 (a 0)

 Tính  b2  4ac

 Dựa vào giá trị của  để xác định công thức nghiệm (dựa vào mục I.1.4 )

II 3.2 Bài tập minh họa

Bài 1: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

 Ngoài cách giải chuẩn mực là tính  hoặc '

 sau đó đọc nghiệm theo côngthức, thì ngay ở ý a tôi đã hướng dẫn học sinh cách làm như sau:

Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

0 1

 Kĩ năng đặt ẩn phụ để quy phương trình đã cho thành phương trình bậc 2 sẽđược minh họa trong bài tập sau:

Bài 3: Giải các phương trình:

+) z 0  không là nghiệm của phương trình

+) z 0 phương trình tương đương với:

6 0

t t

 TH1: Kiểm tra z 0 có là nghiệm của phương trình

 TH2: z 0,chia cả hai vế của phương trình cho z2 ta được:



2 2

 Đặt t z2  (a b z ) , đưa phương trình đã cho thành phương trình bậc 2 ẩn t.

 Khi giải phương trình đa thức trên tập hợp số phức thực chất chúng tôi đã ôntập cho học sinh các phương pháp giải phương trình trên tâp hợp số thực

Bài 4: Giải hệ phương trình với ẩn phức z z1 , 2 sau: 12 22

IV CHUYÊN ĐỀ 4: Biểu diễn hình học của số phức

IV.4.1 Dạng 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z thoả mãn điều kiện cho trước

A Phương pháp

 Gọi z x yi x y R( ,  )  M x y( ; ) biểu diễn cho số phức z trong mặt phẳngtoạ độ

 Dựa vào dữ kiện bài toán, thiết lập mối liên hệ giữa x và y

 Dựa vào mối liên hệ đó, để kết luận tập hợp điểm trong mặt phẳng biểu diễncho số phức z

B Bài tập minh hoạ

Bài 1: Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O 0;0   và bán kính R 1 

Giáo viên hướng dẫn khai thác: Sau khi học sinh hoàn thiện bài tập này, chúng

tôi thay đổi giả thiết và hướng dẫn các em cách làm tương ứng.

Từ đó học sinh có thể tự trình bày lời giải cho bài tập:

b)1  z   2 Tập hợp những điểm M là những điểm nằm ngoài hình tròn tâm

d) Ta có 2 3 3 * ( 2) ( 3) 3 ( 2)2 ( 3)2 9

z  i   x  y i   x  y  Tập hợp M là đường tròn(C) tâm I2; - 3  và bán kính 3

0 (1 ) 0

( ; ) (0;1)

x xy

Ta có z 3i   z i MA MB Vậy M nằm trên đường trung trực của AB tức là

M nằm trên đường thẳngy 1 

Bài 3: Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều

Suy ra tập hợp M là elíp (E) có 2 tiêu điểm là F F1 , 2

Gọi (E) có phương trình

y x

Gọi z a bi a b R  ( ;  )và   x yi x y R( ;  )  M x y( ; ) biểu diễn cho só phức 

trong mặt phẳng toạ độ

Ta có:

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hình tròn tâm I(3; 3), bán kính R 4.

II.4.2 Dạng 2 Tìm số phức z có hình biểu diễn cho trước.

A Phương pháp

 Tìm toạ độ điểm M (phụ thuộc tham số) biểu diễn cho số phức z trên mặtphẳng toạ độ

 Cho M thuộc và hình biểu diễn của z, ta tìm được giá trị của tham số

 Kết luận số phức z cần tìm

B Bài tập minh hoạ

Bài 1: Cho số phức z m  (m 3) ,i m R

a) Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên đường phân giác thứ haiyx.b) Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên hybebol y 2

( 3)

   nhỏ nhất2

Lời giải:

a) Để điểm biểu diễn chúng nằm trong giải giữa 2 đường thẳng x  2 và x 2 thì

c) Để điểm biểu diễn chúng nằm trong hình tròn tâm O, bán kính 2 thì a2 b2  4.

II.4.3 Dạng 3: Chứng minh tính chất liên quan đến hình biểu diễn của số phức hoặc dùng hình biểu diễn của số phức chứng minh tính chất của số phức.

A Phương pháp: Để chứng minh các điểm biểudiễn cho các số phức thoả mãn điều kiện (T), thông thường ta làm như sau

 Đọc toạ độ các điểm biểu diễn cho các số phức đã cho

 Dựa vào điểu kiện (T), ta qui được bài toán về bài toán hình giải tích trongmặt phẳng

B Bài tập minh hoạ

Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A, B là hai điểm lần lượt biểu diễn hai

nghiệm phức của phương trình 2

số phức z2có biểu diễn là B 3; 3  

nên ABC vuông tại O

Vậy OAB vuông cân tại O

Bài 2: Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số



 a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân

b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông

Suy ra tam giác ABC vuông cân tại B vì AB BC2 2 2

Vậy D biểu diễn số phứcz   1 i

Bài 3 : Cho A, B, C không thẳng hàng biểu diễn số phức z z z1 , , 2 3

a) Trọng tâm tam giác ABC biểu diễn số phức nào?

b) z z z1 , , 2 3 thoả mãn z1 z2 z3 Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh một tamgiác đều  z1 z2 z3  0

Vì z1 z2 z3  OA OB OC   A,B,C thuộc đường tròn tâm O, bán kính1

 Nhận xét: Tương tự giáo viên có thể khai thác thêm các câu hỏi nhằm củng

cố cả kiến thức về hình giải tích trong mặt phẳng như sau:

c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biểu diễn số phức nào?

d) Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC biểu diễn số phức nào?

Như vậy qua các bài tập này sẽ giúp các em ôn tập lại một số bài toán hình giảitích trong mặt phẳng

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số phức z, w ta có: z w z  w Đẳng thứcxảy ra khi nào?

Hơn nữa: OC OA AC  khi và chỉ khi O, A,C thẳng hàng và A thuộc đoạn thẳng

OC Khi O  A ( hayz 0  ), điều đó có nghĩa là có số k 0  để AC kOA tức là

w kz 

( Còn khiz 0  , rõ ràng z w z  w )

Vậy z w z  w khi và chỉ khi z 0  hoặc nếu z 0  thì tồn tại k R  để

w kz 

IV.4.3 Bài tập tự luyện:

Bài 1: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều

b) Cho O, A biểu diễn số 1, B biểu diễn số phức z không thực; A’ biểu diễn sốphức z ' 0và B’ biểu diễn số phức z.z’ Chứng minh rằng hai tam giácOAB và OA’B’ đồng dạng

II.5 CHUYÊN ĐỀ 5: Cực trị của số phức

II.5.1 Các bài toán qui về bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm một biến

B Bài tập minh hoạ

Bài tập 1: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện z  1 5i   z 3 i , tìm số phức có môđun nhỏ nhất