Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Xác định toạ độ các véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng.. khi và chỉ khi toạ độ điểm Mo thoả mãn ph ơng trình mặt phẳng ... Định lý: Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của đều có ph ơng trình dạ

Bài 3 : Vị trí t ơng đối của hai mặt phẳng

Chùm mặt phẳng ( tiết 41)

1/ Cho hai mặt phẳng :

a Xác định toạ độ các véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng

b Khi nào thì điểm Mo=(x0; y0; z0) thuộc mặt phẳng ()

Trả lời:

() Ax + By + Cz + D = 0

(’) A’x + B’y + C’z + D’ = 0

Kiểm tra bài cũ:

( ; ; ); ' ( '; '; ')

n A B C n  A B C

b Điểm Mo= (xo; yo; zo) thuộc mặt phẳng () khi và chỉ khi toạ độ điểm Mo thoả mãn ph ơng trình mặt phẳng ()

Hay:

Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0

a Ta có :

Bµi míi

1 Mét sè qui íc:

A1 = t A’1; A2 = tA’2 ; A3 = tA’3 ; ; An = tA’n

VÝ dô:

Cho bé ba sè : (2; 4; 6) vµ (1; 2; 3) hai bé sè nµy cã tû lÖ

hay kh«ng?

Tr¶ lêi: Hai bé sè: (2; 4; 6) vµ (1; 2; 3) lµ tû lÖ víi nhau

Ta viÕt : 2: 4: 6 = 1: 2: 3

Ký hiÖu : A1 : A2 : A3 : : An = A’1 : A’2 : A’3 : : A’n

0



t

sè ® îc gäi lµ hÖ sè tØ lÖ

a/ Hai bé n sè (A1; A2; A3; ; An) Vµ (A’1; A’2; A’3; ; A’n) :

0



t

® îc gäi lµ tû lÖ víi nhau nÕu cã sè sao cho

Ngoµi ra cßn ký hiÖu kh¸c:

Hai bé sè : (A1 ; A2 ; A3 ; ; An) vµ ( A’1 ; A’2 ; A’3 ; ; A’n )

Kh«ng tû lÖ ta ký hiÖu:

3

1 2

1 2 3

n

n

Chó ý : NÕu Ai’= 0 Th× hiÓn nhiªn Ai = 0

A’1 : A’2 : A’3 : : A’n

NhËn xÐt n  ( ; ; )A B C n'  ( '; '; ')A B C

' ' '

A B C

A B C

Hai vÐc t¬ vµ cïng ph ¬ng khi vµ chØ khi : A : B : C = A’: B’ : C’ hay

A1 : A2 : A3 : : An 

2 Vị trí t ơng đối của hai mặt phẳng

Trong không gian cho hai mặt phẳng () và (’) nêu các vị trí

t ơng đối của hai mặt phẳng?

Trả lời: Vị trí t ơng đối của () và (’) là:

1 () cắt (’)

2 () trùng với (’)

3 () song song với (’)

•Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz cho hai mặt phẳng () và (’) lần l ợt có ph ơng trình

() Ax + By + Cz + D = 0 ; (’) A’x + B’y + C’z + D’ = 0 Xác định toạ độ các véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng

n  n '



’

() trùng với (’)



'

n 

’

() song song với (’)



’

'

n 

() cắt (’)

Quan sát vị trí t ơng đối của hai mặt phẳng

n 



’

'

n 

() cắt (’)

Em có nhận xét gí về vị trí t ơng đối của hai véc tơ pháp

tuyến của hai mặt phẳng?

n  n '

không cùng ph ơng

Trả lời:

Hai véc tơ và

A : B : C A’: B’ : C’

và

n  n ' không cùng ph ơng

n  n '



’

() trùng với (’)

. M0

Em hãy tìm điều kiện cần và đủ để () trùng với (’) ?

Trả lời: Điều kiện cần và đủ để () trùng với (’) là:

 Mn 0 cùng ph ơng với() M 0  (’) n '

t

Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0

A’x0 + B’y0 + C’z0 + D’ = 0

'

n 

 Mn 0 cùng ph ơng với() M 0  (’)

  ' ' ' ( t 0)

t

A B C  

Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0

A’x0 + B’y0 + C’z0 + D’ = 0

  tA’x0 + tB’y0 + tC’z0 = - D

A’x0 + B’y0 + C’z0 = - D’

( t 0)

t

A B C  



 t(A’x0 + B’y0 + C’z0) = - D

A’x0 + B’y0 + C’z0 = - D’

( t 0)

t

A B C  





tD’ = D

'

D

t



( t 0)

t

A B C  



A B C D

n 



'

n 

’

() song song với (’)

Em hãy tìm điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng song song?

Trả lời :

Ví dụ: Xét vị trí t ơng đối của hai mặt phẳng:

() 2x - y + z + 1 = 0

(’) x + y + z - 2 = 0

Trả lời:

Hai véc tơ không cùng ph ơng do dó hai mặt phẳng đã cho cắt nhau

(2; 1;1) ; n' (1;1;1)

Ta có :

Cho hai mặt phẳng () và (’) cắt nhau lần l ợt có ph ơng trình: () Ax + By + Cz + D = 0

(’) A’x + B’y + C’z + D’ = 0

a Định lý: Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của đều có ph

ơng trình dạng:

Ng ợc lại mỗi ph ơng trình dạng (*) đều là ph ơng trình của một mặt phẳng qua giao tuyến của () và (’)

b Định nghĩa: Tập hợp các mặt phẳng qua giao tuyến của () và

(’) gọi là chùm mặt phẳng Ph ơng trình đ ợc gọi là ph ơng trình của chùm mặt phẳng

(*)

0 ) ' '

' '

( )



















 Ax By Cz D A x B y C z D

3 Chùm mặt phẳng

Ví dụ: Cho hai mặt phẳng () và (’) có ph ơng trình:

() 2x - y + z + 1 = 0

(’) x + y + z - 2 = 0

1 Chứng minh rằng () và (’) cắt nhau

2 Viết ph ơng trình mặt phẳng (1) qua giao tuyến của () và

(’) và đi qua M= (1; 1; 1)

áp dụng:

Sử dụng ph ơng trình chùm mặt phẳng để viết ph

ơng trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng và thoả mãn thêm một tính chất nào đó nh : qua một điểm, song song với một mặt phẳng,

vuông góc với một mặt phẳng…

Trả lời:

2 Mặt phẳng (1) qua giao tuyến của () và (’) nên nó có ph

ơng trình:

3 thi

-1

Chọn

).1 (2

: n nê 1)

1;

(1;

qua M )

( Mặt khác

) (2

với

1

2





















































































































0 3

0 2

1 )

( 1

)

(

0 2

) (

) (

0 0

) 2 (

) 1 2

z y

x

z y

x z

y x

Hai véc tơ không cùng ph ơng do dó hai mặt phẳng đã cho

cắt nhau

(2; 1;1) ; n' (1;1;1)

Ta có :

1

Ta đ ợc :

x + 4y + 2z – 7 = 0

Tóm lại, qua bài học này các em cần nắm đ ợc các vấn đề sau:

1 Vị trí t ơng đối của hai mặt phẳng:

Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz cho hai mặt phẳng () và (’) lần l ợt có ph ơng trình

() Ax + By + Cz + D = 0 ; (’) A’x + B’y + C’z + D’ = 0

' '

) (

' '

) (

) (

D

D C

C

B c

D

D C

C B

a





















B' A'

A )

' ( với song

song

B' A'

A )

' ( với trùng

b

C' : B' : A' C

: B : A )

' ( cắt













2 áp dụng ph ơng trình chùm mặt phẳng :

Cho hai mặt phẳng () và (’) cắt nhau lần l ợt có ph ơng trình: (): Ax + By + Cz + D = 0 ; (’): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 Mặt phẳng qua giao tuyến của () và (’) có ph ơng trình dạng:

0 0

) ' '

' '

( )