Giao An 11 Giai Tich Chuong III

HS biết cách chứng minh một dãy số là tăng, giảm hoặc bị chặn.. Từ đó nêu định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm và cho ví dụ?. Tiết theo PPCT : Tuần dạy : I - Mục đích, yêu cầu: HS nắm c

Trang 1

Phần hai

Đ1: phơng pháp quy nạp toán học

Tiết theo PPCT :

Tuần dạy :

I - Mục đích, yêu cầu:

HS nẵm vững bản chất của phép chứng minh quy nạp toán học, các bớc cần tiến hành khi chứng minh bằng phơng pháp quy nạp

HS biết vận dụng phơng pháp chứng minh quy nạp toán học khi làm toán

II - Tiến hành:

A- ổ n định lớp, kiểm tra sĩ số

B - Chuẩn bị kiến thức.

GV hớng dẫn HS đọc SGK

C - Giảng bài mới:

1 Phép chứng minh quy nạp:

GV yêu cầu HS từ phần mở đầu, chuẩn hoá thành

các bớc cần tiến hành trong phép chứng minh quy

nạp

GV chính xác hoá

Giả sử ta phải chứng minh một mệnh đề phụ

thuộc số tự nhiên n là đúng với mọi n  0.

+Bớc 1: Kiểm tra rằng mệnh đề là đúng với n = 0.

+Bớc 2: Giả sử mệnh đề đúng với một số tự nhiên

bất kỳ n = k  0 (giả thiết quy nạp).

Ta chứng minh rằng mệnh đề cũng đúng

với n = k + 1.

GV đặt câu hỏi: Nếu trong chứng minh trên, thay

cho yêu cầu n  0 bằng n  p thì ta phải thay đổi

phép chứng minh nh thế nào ?

GV nêu thành chú ý

Chú ý: Nếu ta phải chứng minh một mệnh đề phụ

thuộc số tự nhiên n là đúng với mọi np (p N * ).

HS đọc phần mở đầu trong SGK

(tr85) và trình bày lại theo ý hiểu

của mình

HS suy nghĩ và trả lời

HS theo dõi và ghi chép

+Bớc 1: Kiểm tra rằng mệnh đề là đúng với n = p.

+Bớc 2: Giả sử mệnh đề đúng với một số tự nhiên

bất kỳ n = k  p (giả thiết quy nạp).

Ta chứng minh rằng mệnh đề cũng đúng

với n = k + 1.

2 Các ví dụ:

GV nêu các ví dụ

67

Trang 2

VD1 Chứng minh rằng n  N*, ta có:

(1)

GV có thể gợi ý bằng cách đặt các câu hỏi

+ Bớc 1 phải kiểm tra với n = ?

+ Nội dung bớc 2 là gì ?

+ Đâu là giả thiết quy nạp ?

+ Sử dụng giả thiết quy nạp nh thế nào ?

GV chính xác hoá phần chứng minh của HS

GV lu ý HS ghi nhớ kết quả của VD1

VD2: Chứng minh rằng n  2 ta có:

a  b (a b)(a  a  b ab   b  ) (2)

GV lu ý HS ghi nhớ kết quả của VD2

HS suy nghĩ và trình bày cách giải

Chứng minh:

* Với n = 1 thì VT = VP = 1 Mệnh đề (1) đúng

* Giả sử (1) đúng với một số thụ nhiên bất kỳ n = k  1, tức là:

1 2 3

2

k k

Ta chứng minh (1) cũng đúng với n

= k + 1, tức là:

( 1)( 2)

2

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp có:

1 2 3     k (k1)

( 1)

k

Vậy (1) đúng với mọi n  1

HS suy nghĩ và trình bày lời giải

D - Chữa bài tập:

* Xem lại lý thuyết và các ví dụ

* Ghi nhớ phơng pháp chứng minh quy nạp

* Làm các bài tập 1 - 4 (SGK trang 88)

E - Chữa bài tập :

Bài 1(88) Chứng minh rằng  n  N*, ta có:

6

Bài 2(88) Chứng minh rằng  n  N, ta có:

13n 1 6

n

Bài 3(88) Chứng minh rằng  n  N, n  3, ta

n

Bài 4(88) Chứng minh rằng  n  N*, ta có:

1 - 2 + 3 - 4 + - 2n + (2n + 1) = n + 1

68

1 2 3

2

n n

Trang 3

Bài tập bổ sung:

Bài 5 Chứng minh rằng  n  N*, ta có:

3

Bài 6 Chứng minh rằng  n  N*, a là hằng

số và a > -1, ta có: (1 + a)n  1 + na

Bài 7 Chứng minh rằng  n  N*, ta có:

u n n33n25n 3 3

Bài 8 Chứng minh rằng  n  N, n  5 , ta có:

2

2n n .

Đ2: dãy số

Tuần dạy :

HS nắm đợc định nghĩa dãy số và các khái niệm: dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số

bị chặn

HS biết cách chứng minh một dãy số là tăng, giảm hoặc bị chặn

B - Kiểm tra bài cũ.

GV yêu cầu HS: Nêu phơng pháp chứng minh quy

nạp toán học

GV đa ra các khái niệm: dãy núi, dãy số, dãy nhà, và

yêu cầu HS nêu điểm chung của các khái niệm đó

GV đa ra dãy số: 1, 5, 3, 2, 4, 7, Đặt u1 = 1, u2 =

Trang 4

5, u3 = 3, u4 = 2, u5 = 4, u6 = 7,

* Cách đánh số nh trên có sự tơng ứng giống nh khái

niệm nào đã học ?

* Hàm số đó đi từ tập hợp nào vào tập hợp nào ?

GV chính xác hoá thành định nghĩa

1 Định nghĩa:

Định nghĩa 1: Gọi M là tập hợp m số tự nhiên khác 0

đầu tiên M = {1, 2, , m} Hàm số u : M  R

i  u(i) = u i

cho ta tập hợp {u 1 , u 2 , , u m } gọi là một dãy số hữu

hạn và viết dới dạng: u 1 , u 2 , , u m

Định nghĩa 2: Hàm số u : N*  R

n  u(n) = u n cho ta dãy

số vô hạn : u 1 , u 2 , , u n , Trong đó u n gọi là số hạng

thứ n hay số hạng tổng quát

Kí hiệu: dãy số (u n ) hay u n

GV nêu ví dụ

HS suy nghĩ và trả lời (khái niệm hàm số)

Ví dụ:

a) Cho dãy số 1

2n

  Viết dạng khai triển và tìm số hạng tổng quát

b) Cho dãy số (un) với un = 3 Viết dạng khai triển

GV khẳng định: Dãy số trên đợc gọi là dãy hằng.

2 Các cách cho dãy số:

GV nêu các cách cho và kèm theo ví dụ

a) Cho số hạng tổng quát của dãy u n bằng công thức.

Ví dụ: Cho dãy số (un) với 2 1

n

n u n





 Viết dạng khai triển

b) Cho một mệnh đề mô tả các số hạng của dãy số.

Ví dụ: Cho dãy số (un) với un là số nguyên tố thứ n

c) Cho bằng phơng pháp truy hồi, tức là:

+ Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu).

+ Cho hệ thức truy hồi (là hệ thức biểu thị số hạng

thứ n qua số hạng hay vài số hạng đứng trớc nó).

Ví dụ 1: Cho dãy số 1

1

3

2 ( 2)

n n

u









Tìm các số hạng của dãy

Ví dụ 2: Cho dãy số 1 2

( 3)

n n n







Tìm các số hạng của dãy

GV: Dãy số cho trong ví dụ 2 gọi là dãy số Fibônaxi.

HS suy nghĩ và giải ví dụ

a) Dạng khai triển:

1 1 1 1 , , , , ,

1 2

n

u n

b) Dạng khai triển: 3,3,3, , 3,

70

Trang 5

3 Cách biểu diễn hình học dãy số:

GV hớng dẫn HS biểu diễn dãy số trên trục số thông

qua ví dụ cụ thể

Ví dụ Biểu diễn hình học của dãy số 1

n

 

 

  nh sau:

4 Dãy số tăng, dãy số giảm:

GV yêu cầu HS: Nhận xét về dãy số vừa biểu diễn Từ

đó nêu định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm và cho ví

dụ?

HS theo dõi ví dụ

GV chính xác hoá

Định nghĩa 1: Dãy số (u n ) đợc gọi là dãy số tăng

nếu n  N* ta có : u n < u n +1

Vậy trong dãy số tăng thì: u 1 < u 2 < < u n <

Định nghĩa 2: Dãy số (u n ) đợc gọi là dãy số giảm

nếu n  N* ta có : u n > u n +1

Vậy trong dãy số tăng thì: u 1 > u 2 > > u n >

Định nghĩa 3: Dãy số tăng và dãy số giảm đợc gọi

chung là dãy số đơn điệu.

GV nêu ví dụ

Ví dụ Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:

 

1 )

3

1 )

n

n n

a u

n

b u

c u

n











GV hớng dẫn HS nêu chú ý

Chú ý:

1 0 ) Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm.

2 0 ) Dãy số u n tăng  u n - u n -1 < 0 , n  N*.

Dãy số u n giảm  u n - u n -1 > 0 , n  N*.

3 0 ) Dãy số u n gọi là dãy số dơng nếu u n > 0,

n  N*.

Xét dãy số dơng u n , ta có:

+ Dãy số u n tăng  n 1 1

n

u u

  , n  N*.

+ Dãy số u n giảm  n 1 1

n

u u

GV nêu ví dụ

a) Dãy số giảm

b) Dãy số tăng

c) Dãy số này không là dãy số tăng, không là dãy số giảm

.

1

u

4

2

1 4

1

5

1 3

Trang 6

Ví dụ: Xét tính đơn điệu của dãy số

1

n

n u

n



 .

GV yêu cầu HS nêu cách để nhận biết một dãy số là

tăng hay giảm

5 Dãy số bị chặn:

GV yêu cầu HS nêu miền giá trị của các dãy số sau:

ĐS: Dãy số tăng

HS suy nghĩ và trả lời (viết dạng khai triển)

) , , , , ,

) 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,

a

n b

GV nêu định nghĩa

Định nghĩa:

+ Dãy số u n đợc gọi là bị chặn trên, nếu :

 M sao cho n  N*, u n M.

+ Dãy số u n đợc gọi là bị chặn dới, nếu :

 m sao cho n  N*, u n m.

+ Dãy số u n đợc gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn

trên vừa bị chặn dới, tức là:

 m, M sao cho n  N*, m  u n M.

GV đặt câu hỏi: Các số m, M nới trong định nghĩa

trên có phải là duy nhất không ?

GV nêu ví dụ

Ví dụ 1 Xét tính bị chặn của dãy số 1

n

u n



Ví dụ 2 Xét tính bị chặn của dãy số

2

1

n

n u n



1

2

n n

ĐS: dãy số bị chặn

ĐS: dãy số bị chặn dới nhng không bị chặn trên

* Ghi nhớ phơng pháp chứng minh một dãy số là tăng, giảm, bị chặn

* Làm các bài tập 1 - 7 (SGK trang 94, 95)

Bài 1(94) Viết 5 số hạng đầu của các dãy số sau:

1

2









n

a u

n

b u

n

) ( 1) 2 ;n

n

nếu n chẵn

2 4 8 16 32

2 5 8 11 14

5 7 9 11 13

a b

) 2, 4, 6, 8, 10  

c

72

1 )

1

n

d u

n n

ỡùù

ùùù

=ớù

-ùù

ùùợ

Trang 7

nếu n lẻ 1 2 1 4

) 0, , , ,

2 3 4 5

d

Bài 2(94) Cho 1 ( 1)n

n

u

n

 

 Tìm u7, u24, u2n, u2n+1

Bài 3(94) Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng

gồm tất cả các số nguyên dơng mà mỗi số hạng của

nó:

a) Đều chia hết cho 3;

b) Khi chia cho 5 còn d 2

Bài 4(94) Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau:

1

3

u









Bài 5(94) Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:

2

1

2

n

n n

n

c u





  

Bài 6(95) Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn

trên; bị chặn dới; bị chặn ?

1

( 1) 1

3

n n



Bài 7(95) Chứng minh dãy số (un) xác định bởi:

1

2

1

( 1) 2

n

u







là dãy số giảm và bị chặn dới

a) un = 3n ; b) un = 5n + 2

un = 2n - 1.3

a) Dãy số giảm

b) Dãy số tăng

c) Dãy số không phải là dãy số tăng, không phải là dãy số giảm

a) Dãy số bị chặn dới nhng không

bị chặn trên

b) Dãy số bị chặn

c) Dãy số bị chặn dới nhng không

bị chặn trên

d) Dãy số bị chặn trên nhng không bị chặn dới

HD: Chứng minh bằng phơng pháp quy nạp

Đ3: cấp số cộng

Trang 8

Tuần dạy :

HS nắm chắc định nghĩa, công thức tính số hạng tổng quát, tính chất các số hạng của cấp số cộng; đặc biệt là công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

HS biết cách vận dụng các tính chất của cấp số cộng để giải toán

GV đặt câu hỏi kiểm tra bài cũ:

1 Nêu định nghĩa dãy số (vô hạn, hữu hạn)

2 Thế nào là dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn ?

Cho ví dụ

2

n n

u   

GV yêu cầu HS nhận xét về các dãy số sau:

a) 3, 5, 2, 7, 9

b) 2, 5, 8, 11, 14,

c) 9, 7, 5, 3, 1, -1, -3,

GV khẳng định: Dãy số có tính chất trên gọi là cấp số

cộng.

GV yêu cầu HS nêu định nghĩa

GV chính xác hoá

1 Định nghĩa:

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn),

trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng

của số hạng đứng ngay trớc nó với một số không đổi d

gọi là công sai.

Vậy n = 1, 2, (1)

Kí hiệu cấp số cộng là:  u 1 , u 2 , u 3 , , u n ,

HS suy nghĩ và nêu nhận xét (về quan hệ giữa các số hạng): hai dãy số sau có các phần tử liên tiếp cách đều nhau

Nếu d = 0 thì dãy số có dạng: u 1 , u 1 , u 1 , gọi là dãy

hằng.

GV nêu ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho 10, 6, 4, -2, -6, -10 Tìm u1 và d

Ví dụ 2 Cho cấp số cộng (un) gồm 5 số hạng với

u1= 3, d = 3 Viết dạng khai triển

2 Số hạng tổng quát:

74

u n +1 = u n + d

Trang 9

GV yêu cầu HS từ các VD trên, hãy tìm công thức

tính un theo u1 và d

GV chính xác hoá thành định lý

Định lý : Số hạng tổng quát u n của một cấp số cộng

có số hạng đầu u 1 và công sai d đợc cho bởi

công thức : (2)

GV yêu cầu HS chứng minh định lý

GV nêu ví dụ

Ví dụ: Tìm số tự nhiên chia hết cho 7 thứ 117.

3 Tính chất các số hạng của một cấp số cộng:

GV đặt câu hỏi: Nêu quan hệ của uk -1, uk và uk +1?

GV chính xác hoá thành định lý

Định lý: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ

số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối của cấp số cộng

hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng kề

nó.

Tức là : k ³ 2 (3)

4 Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng:

Cho u1, u2, u3, , un, với công sai d

Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + + un

GV nêu định lý

Định lý Các công thức tính S n là:

a) S n tính theo u 1 và d:

HS suy nghĩ và chứng minh định

lý bằng phơng pháp quy nạp

ĐS: 812

HS suy nghĩ và chứng minh định lý

b) S n tính theo u 1 và u n:

GV nêu ví dụ

Ví dụ Tính tổng của 1000 số tự nhiên chia hết cho

3 đầu tiên

HS suy nghĩ và chứng minh định lý

ĐS: 149 850

* Ghi nhớ định nghĩa, công thức số hạng tổng quát, tính chất của các số hạng và công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

* Làm các bài tập 1 - 9 (SGK trang 99, 100)

u n +1 = u 1 + (n - 1)d

2

k



2

n

1

2

n

Trang 10

Bài 1(99) Trong các cấp số cộng dới đây, hãy tìm số

hạng un đã chỉ ra:

10

Bài 2(99) Tìm công sai d của một cấp số cộng hữu hạn,

biết số hạng đầu u1 = 1 và số hạng cuối u15 = 43

Bài 3(99) Trong các dãy số (un) dới đây, dãy số nào là

cấp số cộng, khi đó cho biết số hạng đầu và công sai

của nó

2

5 )

n





Bài 4(99) Xác định số hạng đầu và công sai của mỗi

cấp số cộng dới đây, biết:

Bài 5(99) Tính tổng 10 số hạng đầu của mỗi cấp số

cộng dới đây, biết:



17

10

a u

b u



d = 3

1 1

3

5

c) Dãy số này không phải là cấp

số cộng

1

)

1 )

3

u b d











10 10

a S

b S



Bài 6(99) Ba góc của một tam giác lập thành một cấp

số cộng Tìm ba góc đó

Bài 7(100) Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng các

số hạng là 176 Hiệu giữa số hạng cuối và số hạng đầu

là 30 Tìm cấp số đó

Bài 8(100) Bốn số lập thành một cấp số cộng Tổng

của chúng bằng 22 Tổng các bình phơng của chúng

bằng 166 Tìm bốn số đó

Bài 9(100) Ngời ta trồng 3 003 cây theo hình một tam

giác nh sau: hàng thứ nhất có một cây, hàng thứ hai có

hai cây, hàng trứ ba có ba cây, v.v Hỏi có bao nhiêu

hàng cây ?

Ba góc của tam giác đó là 300,

600 và 900

Cấp số cộng đó là: 1, 4, 7, 10,

13, 16, 19, 22, 25, 28, 31

Bốn số đó là: 1, 4, 7, 10

Có 77 hàng cây

76

Trang 11

Đ4: cấp số nhân

Tuần dạy :

HS nắm vững định nghĩa, công thức tính số hạng tổng quát, tính chất của các số hạng của một cấp số nhân, đặc biệt là công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

(vì còn ứng dụng trong vật lý 12 ).

HS biết cách vận dụng các công thức về cấp số nhân để giải toán

GV nêu câu hỏi kiểm tra bài cũ: Hãy nêu

+ Định nghĩa cấp số cộng;

+ Công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng;

+ Tính chất các số hạng của cấp số cộng;

+ Công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số

cộng

GV nêu ví dụ

Ví dụ Xét dãy số: 1, -2, 4, -8, , (-2)n-1,

GV yêu cầu HS nêu nhận xét về dãy số trên

GV chính xác hoá: un+1 = -2.un , n  N*

GV khẳng định: dãy số có tính chất đó đợc gọi là cấp

 

1 1

1

2

2 2



     

n n n

k k k

n

u n

n

Tiêu đề	Dãy số - cấp số cộng - cấp số nhân
Tác giả	Phạm Văn Sơn
Trường học	Trường Trung Học Phổ Thông
Chuyên ngành	Giải tích
Thể loại	Giáo án

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	339 KB