phương trình đường tròn

Cũng nh chúng ta có thể trên cơ sở của các kết luận của đờng tròn, với khái niệm afin có thể là phép co theo hệ trục ta có thể giải đợc một số bài toàn về đờng elip.. Bài viết của tôi

A Đề dẫn

Trong hình học phổ thông, học sinh đợc làm quen khái niệm đờng tròn từ rất sớm Nhng trong chơng trình Hình học lớp 12 THPT, vấn đề đó đợc giải quyết theo phơng pháp toạ độ Chính vì vậy, bài toán về đờng tròn có thể đợc giải quyết bằng các kiến thức sơ cấp Quá trình giảng dạy, với kiến thức sơ cấp, tôi thờng sử dụng hoặc là minh hoạ cách giải, hoặc là tìm thêm cho phơng pháp toạ độ một nhận thức khác Từ

đó bài toán có thêm ý nghĩa mới Cũng nh chúng ta có thể trên cơ sở của các kết luận của đờng tròn, với khái niệm afin ( có thể là phép co theo hệ trục ) ta có thể giải đợc một số bài toàn về đờng elip Qua một bài tập trong sách giáo khoa ôn tập lớp 12 tôi

đã đi sâu theo hớng đó và áp dụng trong giảng dạy nâng cao Kết quả này đã đợc trình bày trong xêmine của tổ Toán Trờng THPT Kim Thành

Bài viết của tôi theo hớng

- Đa ra bài toán đơn giản, trình bày một số cách giải

- Chứng minh một số vấn đề thuộc lý luận không có trong sách giáo khoa hiện hành

- Một số kết quả cần thiết

- Tuyển bài tập tổng hợp.

Do ý định đơn giản các vấn đề, tôi không trình bày kết quả đối ngẫu là đờng elip, cũng nh do hạn chế về kiến thức tôi không có thể nhìn tổng quát đợc bức tranh về các đờng bậc hai và có thể sai sót nhiều Rất mong đợc các đồng nghiệp góp ý

Sau đây là nội dung bài viết

Một bài toán có nhiều cách giải

Bài toán

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A, B là hai điểm thuộc trục hoành có hoành

độ là nghiệm của phơng trình

x2 - 2 (m + 1)x + m = 0(*) 1/ Viết phơng tình đờng tròn đờng kính AB

2/ Cho E (0; 1) Viết phơng trình đờng tròn ngoại tiếp  AEB

Bài giải:

Câu1:

Cách 1 (Tìm tâm và bán kính đờng tròn)

Gọi x1x2 là hai nghiệm phân biệt của phơng trình (*) (chú ý phơng trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt) Theo đính lý Viét ta có:

x1x2 = 2 (2)

Đờng tròn đờng kính AB có tâm I là trung điểm của đoạn AB , A (x1; 0) B (x2; 0)

⇒ I (

2

2

2 x

x +

; 0) hay I (m + 1; 0)

Bán kính của đờng tròn là R = AB2

⇒ 2R = AB = x1 - x2

4R2 = (x1 + x2) 2 - 4x1x2 ,theo (1) và (2)

= 4 (m + 1)2 - 4m = 4 (m2 + m + 1)

⇒ R = m2 +m+ 1

Vậy đờng tròn đờng kính AB có phơng trình

(AB) [x - (m + 1)] 2 + y2 = m2 + m + 1 hay

x2 + y2 - 2 (m + 1)x + m = 0

Cách 2: (Viết phơng trình đờng tròn theo dạng đờng kính)

Bổ đề

Nếu A (x1, y1); B (x2, y2) thì phơng trình đờng tròn đờng kính AB là:

(x - x1)(x - x2) + (y - y1)(y - y2) = 0

Thật vậy: Giả sử M (x; y) trên mặt phẳng Oxy thuộc đờng tròn đờng kính

AB Nghĩa là ta có:

BM

)

; (

)

; (x x1 y y1 BM x x2 y y2

(x - x 1 ) (x - x 2 ) + (y - y 1 ) (y - y 2 ) = 0 (đpcm)

áp dung vào bài với

A(x1; 0); B(x2; 0)

=> (x - x1) (x - x2) + y2 = 0

<=> x2 - (x1 + x2) x + x1x2 + y2 = 0

Theo (2) và (3)

<=> x2 + y2 - 2 (m + 1) x + m = 0

Cách 3: (Khôi phục từ vết của đờng tròn trên Ox Chùm eliptic– )

Đờng tròn (AB) có phơng trình:

x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 a2 + b2 > c với tâm I(a;b)

Vì tâm thuộc Ox nên b = 0

=> x2 + y2 - 2ax + c = 0 (4) đk a2 > c Cho giao với Ox (y = 0)

=> x2 - 2ax + c = 0 ta đợc 2 nghiệm phân biệt x1, x2 Mà x1, x2 cũng là nghiệm của phơng trình x2 - 2(m + 1)x + m = 0 nên

x2 - 2ax + c ≡ x2 - 2(m+1)x + m (đồng nhất)

=> a = m + 1, c = m thoả mãn a2 > c

=> từ (4), đờng tròn (AB) có phơng trình:

x2 + y2 - 2(m + 1+x + m = 0

Câu 2

Cách 1 (Dạng phơng trình đờng tròn qua 3 điểmkhông thẳng hàng).

Gọi x1, x2 là nghiệm của pt (*), x1≠ x2 Vì đờng tròn qua 3 điểm A(x1; 0) B(x

-2; 0); E(0; 1) nên đờng tròn (ABE) có phơng trình:

x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0; a2 + b2 > c

vì qua 3 điểm E; A; B nên ta cóhệ

1 - 2b + c = 0 (5)

x1 - 2ax1 + c = 0 (6)

x22 - 2ax2 + c = 0 (7)

Lấy (6) trừ (7)

> x1 - x2 - 2a(x1 - x2) = 0

< > (x1 - x2) (x1 + x2 - 2a) = 0

do x1≠ x2

<-> x1 + x2 - 2a = 0

<-> x1 + x2 = 2a mà x1 + x2 = 2(m + 1) -> a = m + 1

Lấy (6) cộng (7)

> (x12 + x22) - 2a(x1 + x2) + 2c = 0

Do x1 + x2 = 2a

< > (x1 + x2)2 - 2x1x2 - (x1 + x2)2 + 2c = 0

< > c = x1x2 mà x1x2 = m > c = m

Thay vào (5)

2b = c + 1, c = m > 2b = m + 1 Vậy đờng tròn (EAB) có phơng trình

x2 + y2 - 2 (m + 1)x - (m + 1)y + m = 0

Cách 2: (Kiểu chùm elíptíc)

Bổ đề: Cho đờng tròn (C1) x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 , a2 + b2 > c

và đờng thẳng () kx + ly + m = 0, k2 + l2 ≠ 0

cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B, thì đờng tròn (C) qua A, B có phơng trình

(x2 + y2 - 2by + c) + n (kx + ly + m) = 0, (8) n - tuỳ ý

Thật vậy Ta sẽ chứng minh (6) là phơng trình đờng tròn, đờng tròn đó đi qua

2 điểm A, B và mọi đờng tròn đi qua hai điểm A, B đều có dạng (6)

Từ điều kiện bài toán Vì đờng tròn (C1) cắt () tại hai điểm phân biệt nên khoảng cách từ tâm I (a; b) của (C1) tới () nhỏ hơn bán kính R đờng tròn (C1);

vì R= a2 +b2 +c nên

c b a l

k

m bl ak

− +

<

+

+

2

<-> (ak + bl + m)2 < (k2 + l2)(a2 + b2 - c) (9)

2 ( 2 )

−nk x b nl y c mn

Để (8) là phơng trình đờng tròn ta phải có:

a−nk 2 + b−nl) 2 >c+mn

2 ( ) 2 (

n c

b a

n m bl ak n l k

n mn

c n l b b n k akn a

∀

=

− +

+ +

+

−







 +

⇔

∀

>

−

− +

− + +

−

⇔

0 )

( 4

0 4

ln 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

4

2 2

>

+l

∆ = (ak+bl+m) 2 − (k2 +l2 )(a2 +b2 −c) < 0

hay (ak + bl + m)2 < (k2 + l2)(a2 + b2 - c)

Theo (7) điều đó luôn đúng

Gọi A (x1, y1) B (x2, y2) là giao điểm của ∆ và (C1) ta chứng minh toạ độ của

A, B thoả mãn phơng trình (8)

Thay ( x1; y1 ) vào (8) ta có

(x12 + y12 – 2ax1 - 2by1 + c) + n (kx1 + ly1 + m) = 0 (*)

do A ∈ (C1); A ∈ ∆ nên

x12 + y12 - 2 – 2ax1 - 2by1 + c = 0

kx1 + ly1 + m = 0 từ đó thoả mãn (*)

Vậy toạ độ điểm A thảo mãn phơng trình (8)

Tơng tự với điểm B

Vậy đờng tròn có phơng trình dạng (8) đi qua hai điểm A, B

Ngợc lại, giả sử có một đờng tròn (C / ) nào đó đi qua hai điểm A, B ta sẽ tìm

đợc một tham số n để phơng trình (8) là phơng trình đờng tròn (C / )

Thật vậy

Lấy một điểm M (x3, y3) khác với A và B nằm trên (C /) Rõ ràng M không thể thuộc đờng tròn (C ) và đờng thẳng (∆) nên một trong hai biểu thức

x33 + y32 - 2ax3 + c - 2by3 và kx3 + ly3 + m phải có một biểu thức có giá trị khác 0

Giả sử

kx3 + ly3 + m ≠0 đặt n =

m ly kx

c by ax y

x

+ +

+

−

− +

3 3

3 3

2 3 2

(còn nếu x 3 3 + y 3 2 - 2ax 3 + c - 2by 3 ≠ 0 thì ta sẽ đặt nghịch đảo lại)

lúc đó đờng tròn có phơng trình

(x2 + y2 - 2ax - 2by + c) +

m ly kx

c by ax

y x

+ +

+

−

− +

3 3

3 3

2 3

2

(kx + ly + m) = 0 (11) thoả mãn toạ độ điểm M (x3, y3)

Vậy phơng trình (11) là phơng trình đờng tròn đi qua 3 điểm A, B, M và là đ-ờng tròn (C / )

áp dụng vào bài:

Đờng tròn (EAB) đi qua 2 điểm A, B là giao của đờng tròn

(AB) x2 + y2 - 2 (m + 1) x + m = 0

và (Ox) y = 0

Nên (EAB) có phơng trình

x2 + y2 - 2 (m + 1) x + m + ny = 0 với n nào đó

Vì qua E (0; 1) ta có

1 + m + n = 0 → n = - (m + 1) Vậy (EAB) có pt

x2 + y2 - 2(m + 1)x - (m + 1)y + m = 0

Cách 3: (Sử dụng khái niệm trục đẳng phơng của hai đờng tròn)

Rõ ràng đờng tròn đờng kính (AB) và đờng tròn (EAB) nhận đờng thẳng AB

là trục đẳng phơng

mà (AB) x2 + y2 - 2(m + 1)x + m = 0

Giả sử

(EAB) x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 , a2 + b2 > c

Thì trục đẳng phơng trình của chúng có phơng trình

x2 + y2 - 2 (m+1)x + m = x2 + y2 - 2ax - 2by + c

↔ 2(a – m - 1)x + 2by + m - c = 0 (12)

mà trục đẳng phơng là AB y = 0 (13)

đồng nhất (10 ) và (11) sai khác hệ số k

< > 2b = k < > 2b = k với k nào đó

Vậy đờng tròn (EAB) có phơng trình dạng

x2 + y2 - 2 (m + 1)x - ky + m = 0 Nhng (EAB) chứa E(0;1) nên

1 - k + m = 0 <-> k = m + 1 (EAB) x2 + y2 - 2(m + 1)x - (m+1)y + m = 0

B Những vấn đề có đợc khi giải bài toán

I) Một số phơng pháp lập phơng trình tròn khi biết các điều kiện.

a/ Tâm I (x0 - y0), bán kính R

(x - x0)2 + (y - y0)2 = R2

(dạng chính tắc)

b/ Biết đờng kính AB; A(x1;y1) B (x2,y2)

(x - x1)(x - x2) + (y-y1)(y - y2) = 0 (dạng tích vô hớng)

c/ Biết toạ độ ba điểm A(x1y1); B(x2y2); C(x3 ;y3)

Xuất phát từ phơng trình tổng quát

x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 a2 + b2 > c Giải hệ 3 pt bậc nhất, 3 ẩn a, b, c

x12 + y12 - 2ax1 - 2by1 + c = 0

x22 + y22 - 2ax2 - 2by2 + c = 0

x3 + y3 - 2ax3 - 2by3 + c = 0 d/ Đi qua giao điểm của hai đờng tròn hoặc đờng tròn và đờng thẳng

(chùm eliptic) Dạng tổng quát : (x2 + y2 - 2ax - 2by + c) + n (kx + ly + m) = 0

Riêng trờng hợp đờng tròn đi qua hai điểm là giao điểm của đờng thẳng và đ-ờng tròn ta có thể làm theo quan điểm trục đẳng phơng)

e/ Hai đờng tròn tiếp xúc nhau thì điều kiện cần và đủ là chúng tiếp xúc với trục đẳng phơng (chùm farabolic)

VD Tìm các giá trị của m để đờng tròn

(Cm) x2 + y2 - 2mx + 2 (1 - m)y - 5 = 0

tiếp xúc với đờng tròn

(C) x2 + y2 = 1

HD : Lập phơng trình trục đẳng phơng của (Cm) và (C)

Cho (C) tiếp xúc với trục đẳng phơng đó.

Chú ý.

Trong quá trình đồng nhất các phơng trình chú ý các hệ số tỷ lệ (hay sai khác nhau hệ số k nào đó).

II) Lập phơng trình đờng tròn theo phơng pháp tìm tập hợp điểm.

VD: Tìm quý tích điểm M sao cho MA2 + MB2 = 25 Biết A(-1; 4) B(2; 8)

C một số bài toán tổng hợp về đờng tròn.

1) Lập phơng trình đờng tròn qua A(1; -2) và các giao điểm của đờng thẳng x

- 7y + 10 = 0 với đờng tròn x2 + y2 - 2x + 4y - 20 = 0

HD: Kiểu Trục đẳng phơng

2) Cho A(a; 0) B (0; a) (a > 0)

a/ Viết phơng trình đờng tròn (C) tiếp xúc tại Ox tại A , tâm C có tung độ

yc =

2

2

thẳng AB

b/ Viết phơng trình đờng tròn (C / ) tiếp xúc với Oy tại B và đi qua P

c/ hai đờng tròn (C) và ( C' ) cắt nhau tai P, Q

Chứng minh đờng thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi

3)Cho 3 điểm

A (0; a) B(b; 0) C (-b; 0) với a>0, b>0

a/ Viết phơng trình đờng tròn tiếp xúc với AB tại B; AC tại C

b/ Gọi M là điểm nằm trên đờng tròn trên, d1, d2, d3 lần lợt là khoảng cách từ

M tới AB, AC, BC, BC Chứng minh:

d1.d2 = d3

4/ Cho họ đờng cong phụ thuộc tham số m có phơng trình :

F (x, y): = x2 + y2 - 2m ( x - a) = 0 (với a>0 không đổi cho trớc )

a/ Với giá trị nào của m thì phơng trình trên là phơng trình đờng tròn Ký hiệu (Cm) là đờng tròn ứng với giá trị của m

b/ Chứng tỏ đoạn thẳng nối O (gốc toạ độ) với A (2a; 0) luôn cắt đờng tròn (Cm)

c/ Chứng minh rằng tồn tại một đờng thẳng là trục đẳng phơng của tất cả các đờng tròn (Cm)

5/ Cho (Cm) x2 + y2 + 2my - 1 = 0

a/ Tìm quỹ tích tâm của (Cm)

b/ Chứng minh (Cm) luôn đi qua hai điểm cố định

c/ Chứng minh rằng họ (Cm) luôn nhận một đờng thẳng cố định làm trục

đẳng phơng

d/ Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn C- 2 , biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A (0; -1)

6/ Viết phơng trình đờng tròn qua 3 điểm:

7/ Cho F (3; 0) và đờng thẳng (d) có phơng trình 3x - 4y + 16 = 0

Viết phơng trình đờng tròn tâm F, tiếp xúc với (d)

8/ Cho 3 đờng thẳng:

(d1): 3x + 4y - 6 = 0 (d2): 4x + 3y - 1 = 0 (d3): y = 0 (d1) cắt (d2), (d2) cắt (d3), (d3) cắt (d1) theo thứ

a/ Viết phơng trình đờng phân giác trong của góc A của ∆ABC Tính diện tích tam giác

b/ Viết phơng trình đờng tròn nội tiếp ∆ABC

9/ Cho đờng tròn (C1) x2 + y2 - 4x + 2y - 4 = 0 có tâm I

và đờng tròn (C2) x2 + y2 - 10x - 6y + 30 = 0 có tâm J

a/ Chứng minh (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài, tìm toạ độ tiếp điểm H

b/ Gọi (d ) là tiếp tuyến chung của (C1) ,( C2); (d) không qua H Tìm toạ

độ giao điểm K của (d) và đờng thẳng IJ Viết phơng trình đờng tròn (C) qua K và tiếp xúc với (C1), (C2)

10/ Cho 2 họ đờng tròn có pt:

(Cm) x2 + y2 - 2mx - 2 (m + 1)y - 1 = 0 (Cm) x2 + y2 - x - 2 (m - 1)y + 3 = 0 Tìm trục đẳng phơng của 2 đờng tròn Chứng minh rằng trục đẳng phơng luôn

đi qua một điểm cố định

11/ Cho đờng tròn x2 + y2 = R2 và một điểm M (x0, y0) ở ngoài đờng tròn Từ

M kẻ hai tiếp tuyến MT1, MT2 tới đờng tròn; T1, T2 là tiếp điểm

a/ Viết phơng trình đờng thẳng T1T2.

b/ Giả sử M chạy trên đờng thẳng (d) , không cắt đờng tròn đã cho Chứng minh rằng khi đó đờng thẳng T1T2 luôn đi qua một điểm cố định

12/ Cho (C): (x - 1)2 + (y - 2)2 = 9

Viết phơng trình đờng thẳng qua A(2; 1), cắt (C) tại E, F sao cho A là trung

điểm của EF

13/ Cho (C): x2 + y2 - 6x - 8y + 21 = 0 và hai điểm A(4; 5) B(5; 1)

a/ Chứng minh rằng đờng thẳng AB cắt đờng tròn

b/ Giả sử đờng thẳng AB cắt đ tròn tại E, F Tính độ dài đoạn EF

14/ Cho đờng tròn x2 + y2 - 2x - 6y + 6 = 0 và M(2; 4)

a) Viết phơng trình đờng thẳng qua M cắt đờng tròn tròn tại 2 điểm A,

B sao cho M là trung điểm của AB

b/ Viết phgơng trình các tiếp tuyến của đờng tròn có hệ số góc k=1

15/ Xét họ đờng tròn

(Cm) x2 + y2 - 2(m + 1)x - 2(m + 2)y + 6m + 7 = 0 (m - tham số)

a/ Tìm quỹ tích tâm của họ (Cm)

b/ Xác định tâm của các đờng tròn đã cho tiếp xúc với Oy

16/ Cho (C) x2 + y2 = 1 và họ đờng tròn

(Cm) x2 + y2 - 2(m + 1)x + 4my - 5 = 0

a/ Tìm quỹ tích tâm của họ (Cm)

b/ Chứng minh rằng có 2 đờng tròn của họ (Cm) tiếp xúc với (C) Viết phơng trình tiếp tuyến chung của hai đờng tròn đó:

Cách 1: R 1 - R 2 = OI

Cách 2: Cho (C) tiếp xúc với trục đẳng phơng.

Lúc đó hai đờng tròn tìm đợc cắt nhau nên chỉ có hai tiếp tuyến chung ngoài

17/ Cho họ đờng tròn

(Cm) x2 + y2 - 2mx - 2(m + 1)y + 2m - 1 = 0

a/ Chứng minh rằng họ (Cm) luôn đi qua 2 điểm cố định

b/ Chứng minh rằng họ (Cm) luôn cắt trục trung tại hai điểm phân biệt

18/ Trong mặt phẳng toạ độ Đêcác vuông góc với Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình

(C): (x - 1)2 +(y-12 )2 = 1 và điểm A (1; 0); B (0; 2)

Đờng tròn đờng kính (AB) cắt đờng tròn (C) tại hai điểm P, Q

Lập đờng thẳng PQ (đề thi ĐH 2002)

19/ Cho họ đờng thẳng phụ thuộc tham số:

(Dα ) (x - 1) cosα + (y - 1) sinα - 4 = 0

a/ Tìm các điểm của mặt phẳng không thuộc bất kỳ đờng thẳng nào

b/ Chứng minh rằng các đờng thẳng trên đều tiếp xúc với một đờng tròn cố

định

20/ Cho họ đờng thẳng phụ thuộc tham số:

(Dα): x cosα + y sinα + 2 cosα + 1 = 0

a/ Chứng minh họ (Dx) luôn tiếp xúc với 1 đờng tròn cố định

b/ Cho I (-2; 1) kẻ IH ⊥ (Dx) Trên tia IH lấy N sao cho HN = 2IH Tìm toạ độ điểm N

21/ Viết phơng trình tiếp tuyến chung của hai đờng tròn

x2 + y2 - 10x + 24y = 56

x2 + y2 - 2x + 4y = 20

22/ Viết phơng trìng tiếp tuyến của đờng tròn

x2 + y2 + 8x - 4y + 5 = 0 Biết rằng tiếp tuyến đi qua A (0; -1)

23/ Qua điểm A (1; 0), hãy viết các phơng trình tiếp tuyến với đờng tròn

x2 + y2 - 2x - 4y - 4 = 0 Tính góc giữa hai tiếp tuyến ấy

24/ Cho họ đờng tròn (Ca ) x2 + y2 - 2(a + 1)x - 4 (a - 1)y + 5 - a = 0

a/ Tìm đk của a để đ tròn (Ca) là đ tròn

b/ Tìm a để (Ca) tiếp xúc với đt y = x

25/ Viết phơng trình tiếp tuyến chung của 2 đờng tròn

( C1 ) x2 + y2 - 1 = 0 ( C2 ) (x - 8) 2 + (y - 6) 2 = 16 26) Cho đờng tròn (C) có phơng trình x2 + y2 = 9 và đờng thẳng (∆ ) có phơng trình y = m ( m là tham số ) Tìm các giá trị của m để trên đờng thẳng (∆ ) có 4 điểm

mà từ đó kẻ đợc 2 tiếp tuyến tới đờng tròn tạo với nhau góc 45 0

Kim Thành, ngày 28/08/ 2002

Ngời viết