Chuyên đề: Bất đẳng thức Cauchy

PHƯƠNG PHÁP 2: SỬ DỤNG BĐT CAUCHY1... Tìm GTNN của biểu thức.

PHƯƠNG PHÁP 2: SỬ DỤNG BĐT CAUCHY

1 Bất đẳng thức CauChy:

a) Cho 0, b 0 a+b

2

b) Cho 0, b 0, c 0 a+b+c 3

3

c) Cho 1 0, 2 0, , 0 a +a + +a1 2 n 1 2

n

khi a1a2   a n

2 Ví dụ:

1) Cho 2 số dương a, b Chứng minh rằng:

a) a b 2

b a b) a b ab   1 4ab

2) Chứng minh: 1a 1b 1c  1 3abc3 với a, b, c không âm.

3) Chứng minh: 2 a33b44c99abc

4) Chứng minh: xy  yz  zx   

x y z

z x y với x, y, z > 0

2

b c c a a b với a, b, c > 0

b)

2

 

3 Bài tập:

1) Cho a, b, c > 0 Chứnng minh:

a)   1 1 4

a b

a b b)    1 1 1  9

a b c

a b c

c) 2 2 2

a b c ab bc ca d) a b c a    2b2c2 9abc

e) bc ca ab    

a b c

2) Cho a a1, , ,2 a n là các số thực dương thoả a a1 2 .a n 1 Chứng minh:

1a1 1a2 1 a n 2n

3) Cho x, y, z > 0 Chứng minh

4) Chứng minh: 1

! ; n N 2



n

n

5) Cho ba số dương x, y, z thoả x + y + z =1 Chứng minh:       8

729

x y y z z x xyz   

6) Cho a1; b 1 Chứng minh rằng: a b 1b a 1ab

7) Cho a > 0, b > 0, c > 0 thoả a + b + c = 1 Chứng minh: a b  b c  c a  6

8) Chứng minh x y y z z x        8xyz với x, y, z > 0

9) Cho các số dương x, y, z thoả xyz=1 và n là 1 số nguyên dương Chứng minh

3

10) Cho x, y, z là 3 số dương Chứng minh 3x2y4z xy 3 yz 5 zx

11) Cho a, b, c là 3 số thực bất kỳ thoả a+b+c = 0 Chứng minh 8a 8b8c 2a 2b2c

12) Chứng minh với mọi số thực a, ta có: 3 2 4 34  8 2

13) Cho , ,x y z  và thỏa 0 x y z   Chứng minh rằng 1 18

2

xyz

xy yz zx

xyz

 14) Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh

15) Cho x, y, z tuỳ ý khác không Chứng minh 12 12 12 2 92 2

 

16) Chứng minh với x, y là 2 số không âm tuỳ ý, ta luôn có: 3x317y318xy2

17) Chứng minh 4 5  4  3  6 1

4



  

a b c d với a 5,b 4,c3,d 6

18) Cho a, b, c > 0 Chứng minh  2 2 2 1 1 1 3 

2

a b b c c a

19) Cho x, y, z > 0 Chứng minh 1   1   1 8

   

20) Chứng minh

2 2

3

2 2

x

x x



  





21) Chứng minh 8

6 >1 1

x

x x



 



22) Cho n số a a1, , ,2 a nkhông âm thoả a1a2 a n 1 Chứng minh

2





   n n n

n

24) Cho x, y, z > 0 và x+ y + z = 1 Chứng minh : 1 1 1

     

 x y z

25) Cho x0,y0,z0 và 1 1 1

1

1x1y1z  Chứng minh 1

8



xyz

26) Chứng minh:

1

1

n





27) Chứng minh 1.3.5 2 n 1 n n   n +

28) Cho x2y2 1 Chứng minh  2 x y 2

29) Cho 3 số thực x, y, z thỏa x3; y 4 ; z 2  Chứng minh

4 6



xyz

30) Cho f x( )x4 5   x với 4 x 5 Xác định x sao cho f(x) đạt GTLN

31) Tìm GTNN của các hàm số sau:

( )  

1 ( )

1

 



x với x > 1

32) Cho 0 x 4; 0 y 3  Tìm GTLN của A3 y 4 x 2y3x

33) Tìm GTLN của biểu thức:

ab c bc a ca b F

abc với a3; b 4; c 2 

34) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Tìm GTLN của

P

35) Cho 3 số dương a, b, c thỏa a.b.c=1 Tìm GTNN của biểu thức:

P

a b a c b c b a c a c b (ĐHNN – 2000)

36) Chứng minh các bất đẳng thức sau với giả thiết a b c , , 0:

1

2 a5 b5 c5 a3 b3 c3

bc ca ab    

3

4

a b c

bc ca ab   

a b b  c c  a   

6

1

4

a b c

7

a b c

a b b c   b c c a   c a a b    

37) Cho x y z, , là ba số dương thỏa mãn xyz 1 Chứng minh rằng 2 2 2 3

2005) 38) Cho x y z, , là các số dương Chứng minh rằng 4 4 4 1 3 3 3

2

y z  z x  x y    (ĐH 2006)

39) Giả sử x y, là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 5

4

x y  Tìm GTNN của biểu thức

4 1 4

S

  (ĐH 2002) 40) Cho x y z, , là các số dương và x y z  1 Chứng minh rằng:

82

41) Cho x y z, , là các số dương thỏa mãn 1 1 1

4

x y z  Chứng minh rằng:

1

2x y z   x2y z  x y 2z  (ĐH 2005) 42) Chứng minh rằng với mọi x   thì 12 15 20

3 4 5

     

     

43) Cho x y z, , là các số dương thỏa mãn xyz 1 Chứng minh rằng:

3 3

44) Chứng minh rằng với mọi x y , 0 thì

2 9 (1 x) 1 y 1 256

        

(ĐH 2005) 45) Cho x y z, , thỏa mãn x y z  0 Chứng minh 3 4 x  3 4 y  3 4 z 6(ĐH 2005) 46) Cho a b c, , là ba số dương thỏa mãn 3

4

a b c   Chứng minh rằng:

3a3b3b3c3c3a 3(ĐH 2005) 47) Cho x y z, , thỏa mãn 3x 3 y 3z 1

   Chứng minh

4

 

48) Tìm GTNN của hàm số 11 72

4 1 ( 0) 2

      

49) Cho x y, là hai số dương thỏa mãn điều kiện x y 4 Tìm GTNN của biểu thức

2

4

A

50) Ba số dương a b c, , thỏa mãn 1 1 1

3

a b c   Chứng minh rằng: (1a)(1b)(1c) 8 (ĐH

2001) 51) Giả sử x và y là hai số dương và x y 1 Tìm GTNN của

P

  (ĐH 2001) 52) Cho hai số thực x0,y0 thỏa mãn (x y xy x )  2y2 xy Tìm GTLN của biểu thức

1 1

A

  (ĐH 2006)

53) Chứng minh rằng nếu 0  y x 1 thì 1

4

x y  y x  (ĐH 2006)