chuyen de vanh da thuc va ung dung

Vành P gọi là vành đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong A, hay vắn tắt vành đa thức củaẩn x trên A, và kí hiệu là A [x].. Các phần tử của vành đó gọi là đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong A..

chuyên đề:

vành đa thức và ứng dụng

lời nói đầu

Một trường hợp đặc biệt của cấu trỳc vành, đú là vành đa thức Đõy cũng là cấu trỳc mở rộng của

tập đa thức mà ta đó học ở phổ thụng Ngoài ra ta cũn nghiờn cứu cỏc bài toỏn liờn quan như là đa thức trờn vành số nguyờn Z, đa thức trờn trường số thực R,… Từ đú tỡm hiểu về đa thức Rất nhiều ứng dụng và bài tập đó được học trong chương trỡnh phổ thụng Và hụm nay, với sự hướng dẫn của

cụ Lờ Thị Hồng Hải Nhúm chỳng em đó hoàn thành chuyờn đề nhỏ về vành đa thức và một số ứng dụng trong giải toỏn phổ thụng.

Do mặt hạn chế về thời gian nờn vẫn cũn nhiều thiếu sút, mong cụ giỏo và cỏc bạn gúp ý, chỉnh sửa thờm.

Xin chõn thành cảm ơn

Phần 1: Vành đa thức một ẩn

1.Vành đa thức một ẩn

Nh vậy P là một bộ phận của luỹ thừa đề các AN

Ta định nghĩa các phép toán trong P nh sau:

Ta hóy chứng minh P là một vành giao hoỏn, cú đơn vị

i  j

k

ai (b j  c j)

Từ đó ta có phép nhân trong P là kết hợp Dãy (1, 0, …, 0, …) là phần tử đơn vị của

P Vậy P là một vị nhóm nhân giao hoán.

Cuối cùng luật phân phối trong A cho phép ta viết

với mọi k = 0, 1, 2, …, ta suy ra từ đó luật phân phối trong P

Bây giờ ta hãy xét dãy

Ta có theo quy tắc nhân (2)

X2 = (0, 0, 1, 0, 0,…,0,…)

X3 = (0, 0, 0, 1, 0,…,0,…)

Ánh xạ này hiển nhiên là một đơn cấu (vành) Do đó từ giờ ta đồng

nhất phần tử a A với dãy (a, 0,…, 0, …) P, và vì vậy A là một vành con

của vành P Vì mỗi phần tử của P là một dãy (a0, a1, ….,an,….)

trong đó các ai bằng 0 tất cả trừ một số hữu hạn, cho nên mỗi phần tử của

P có dạng

(a0, a1, ….,an, 0, ….) trong đó a0, …, an A không nhất thiết khác 0 Việc đồng nhất a với (a, 0,

…, 0, …) và việc đưa vào dãy x cho phép ta viết

Vành P gọi là vành đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong A, hay vắn tắt vành đa thức của

ẩn x trên A, và kí hiệu là A [x] Các phần tử của vành đó gọi là đa thức của ẩn x lấy

hệ tử trong A Trong một đa thức

f(x) = a0x0 + a1x + … + anxn

các ai, i = 0, 1, …, n gọi là các hệ tử của đa thức Các , n gọi là các hệ tử của đa thức Các aixi gọi là các hạng tử của đa thức, đặc biệt a0x0 = a0 gọi là hạng tử tự do Đa thức có dạng axn (a R) đợc gọi là một đơn thức

đa thức 0

Định nghĩa 2 Bậc của đa thức khác 0

f(x) = a0x0 + …+ an-1xn-1 + anxn

với an ≠ 0, n ≥ 0, là n Hệ tử an gọi là hệ tử cao nhất của f(x)

Định lí 1 Giả sử f(x) và g(x) là hai đa thức khác 0.

Nếu bậc f(x) khác bậc g(x), thì ta có

f(x) + g(x) ≠ 0 và bậc (f(x) + g(x)) = max (bậc f(x), bậc g(x))

Nếu bậc f(x) = bậc g(x), và nếu thêm nữa

n f(x)=∑ ai xi , g (x)=

m

∑ b i xi , víi an, bm ≠, m = n + k,

k > 0

n mf(x)+ g(x) = ∑ (a i  b i )xi + ∑ b i xi

Trong mục 2 ta đã thấy nếu A là một miền nguyên thì A[x] cũng là một miền nguyên Ta tự đặt câu hỏi: nếu A là một trờng thì A[x] có phải là một trờng không? Câu hỏi đợc trả lời ngay tức khắc, A[x] không phải là một trờng vì đa thức x chẳng hạn không có nghịch đảo Tuy vậy trong trờng hợp này A[x] là một miền nguyên đặc biệt, nó là một vành ơclit, nghĩa là một vành trong đó có phép chia với d.

Định lí 3 (phép chia ơclit) Giả sử A là một trờng, f(x) và g(x) ≠ 0 là hai đa thức của

vành A[x]; thế thì bao giờ cũng có hai đa thức duy nhất q(x) và r(x) thuộc A [x] sao cho

f(x) = g(x) q(x) + r(x), với bậc r(x) < bậc g(x)

nếu r(x) ≠ 0

Các đa thức q(x) và r(x) đợc gọi tơng ứng là thơng và d trong phép chia f(x) cho g(x).

Chứng minh: i) Trớc hết ta chứng minh tính duy nhất.

< bậc g(x) ≤ bậc g(x) + bậc (q(x) - q’(x)), điều này mâu thuẫn với đẳng thức trên

ii) Sự tồn tại.

Sự tồn tại của q(x) và r(x) thì suy ra từ thuật toán dới đây Tìm q(x) và r(x) gọi là thực hiện phép chia f(x) cho g(x) Đa thức q(x) gọi là thơng, đa thức r(x) là d của f(x) cho g(x) Việc tìm thơng và d là tức khắc nếu bậc f(x) < bậc g(x) Ta chỉ cần đặt q(x)

= 0, r(x) = f(x) Trong trờng hợp trái lại ta dùng nhận xét sau đây:

Nếu ta biết một đa thức h(x) sao cho

f1(x) = f(x) – g(x) h(x)

có bậc thực sự bé hơn bậc của f(x) thì bài toán trở thành đơn giản hơn: tìm thơng

và d của f1(x) cho g(x) Thật vậy, nếu f1(x) = g(x) q1(x) + r1(x)

hoặc f1(x) bằng 0 Trong trờng hợp f1(x) = 0, d r(x) = 0 và thơng q(x) = h(x) Nếu f1(x)

≠ 0 ta tiếp tục với f1(x), ta đợc f2(x)…, n gọi là các hệ tử của đa thức Các Dãy đa thức có bậc f1(x), f2(x)…, n gọi là các hệ tử của đa thức Các có bậc giảm dần Khi ta đi đến một đa thức có bậc thực sự bé hơn bậc của g(x) thì đa thức đó chính là d r(x) Nếu một đa thức của dãy bằng 0 thì d r(x) = 0 Để nhìn thấy rõ hơn ta hãy viết ra các bớc mà ta đã thực hiện để đợc dãy f1(x), f2(x)…, n gọi là các hệ tử của đa thức Các

f1(x) = f(x) – g(x) h(x)

f2(x) = f1(x) – g(x) h1(x)

………

fk(x) = fk-1(x) – g(x) hk-1(x)với = 0 hoặc bậc fk(x) < bậc g(x) Cộng vế với vế các đẳng thức đó lại, ta đợc

f(x) = g(x)( h(x) + h1(x) + … + hk-1(x)) + fk(x), từ đó

q(x) = h(x) + h1(x) + … + hk-1(x), r(x) = fk(x) (đpcm)

Ví dụ Trong thực tiễn để thực hiện phép chia f(x) cho g(x), ngời ta sắp đặt nh sau để lập dãy f1(x), f2(x)…, n gọi là các hệ tử của đa thức Các

4 NghiÖm cña mét ®a thøc.

§Þnh nghÜa 3 Gi¶ sö c lµ mét phÇn tö tuú ý cña vµnh A, f(x) = a0 + a1x + … + anxn

lµ mét ®a thøc tuú ý cña vµnh A[x]; phÇn tö

Vì r = f(c), ta suy ra một phơng pháp (phơng pháp Hoocne) để tính f(c) bằng sơ đồ

sau đây:

a0 a1 … an-1 an

c b0 b1 bn-1 rtrong đó mỗi phần tử của dòng thứ nhì đợc bằng cách cộng vào phần tử tơng ứng của dòng thứ nhất tích của c với phần tử đứng trớc dòng thứ nhì

Định nghĩa 4 Giả sử A là một trờng, c A, f(x) A[x] và m là một số tự nhiên ≥ 1,

c là nghiệm bội cấp m nếu và chỉ nếu f(x) chia hết cho (x – c)m và f(x) không chia hết cho x – c)m + 1 Trong trờng hợp m = 1, ngời ta còn gọi c là nghiệm đơn, m = 2 thì c là nghiệm kép.

Ngời ta coi một đa thức có một nghiệm bội cấp m nh một đa thức có m nghiệm trùng với nhau

5 Phần tử đại số và phần tử siêu việt.

Định nghĩa 5 Giả sử A là một trờng con của một trờng K Một phần tử c K gọi là

đại số trên A nếu c là nghiệm của đa thức khác 0 lấy hệ tử trong A; c gọi là siêu việt

trên A trong trờng hợp trái lại

Ví dụ:

Các phần tử của trờng A đều đại số trên A

Trong trờng số thực R, 2 là đại số trên trờng số hữu tỉ Q, л là siêu việt trên Q.Trong trờng số phức C, mọi số phức là đại số trên trờng số thực R Thực vậy, mọi số phức z = a + bi là nghiệm của đa thức x2 – 2ax + a2 + b2

Định lí 5 Giả sử A là một trờng con của một trờng K và c là một phần tử của K Nếu

c là siêu việt trên A thì A[c] đẳng cấu với vành đa thức A[x] của ẩn x Nếu c là đại số trên A thì A[c] đẳng cấu với một vành thơng của vành A[x]

Chứng minh Xét ánh xạ

φ = A[x] → K

f(x) → f(c)

Hiển nhiên φ là một đồng cấu (vành) và Im φ = A[c].

Theo hệ quả của định lí 13 trong (ch III, Đ1, 5_GT Đại số đại cơng) ta có

A[c]  A[x] / Ker φ

Trong trờng hợp c là siêu việt trên A, f(c) = 0 khi và chỉ khi f(x) = 0 Vậy Ker φ = {0} Do đó

A[c]  A[x] / {0}  A[x] (đpcm)

Phần 2 Vành đa thức nhiều ẩn.

1 Vành đa thức nhiều ẩn.

Với A là một vành giao hoán, có đơn vị Ta đã xây dựng vành đa thức P của ẩn x, kí hệu là vành đa thức A[x] Ta đã biết A[x] cũng là một vành giao hoán, có đơn vị, nh vậy hoàn toàn có thể xây dựng một vành đa thức mới lấy hệ

tử trong vành đa thức một ẩn A[x]

Để cho tiện ta kí hiệu: A1 = A[x1]; A2 = A[x2]; …, An = An-1[xn]

Định nghĩa 1 Giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị Ta đặt

x1, x2, …, xn lấy hệ tử trong vành A Một phần tử của An gọi là một đa thức của n ẩn

x1, x2, …, xn lấy hệ tử trong vành A, ngời ta kí hiệu nó bằng f(x1, x2, …, xn) hay g(x1, x2, …, xn)…

Từ định nghĩa 1 ta có dãy vành

A0 = A  A1  A2  …  An

trong đó Ai-1 là vành con của Ai, i = 1, 2, …, n

Bây giờ ta hãy xét vành A1[x2] = A[x1, x2] Đó là vành đa thức của ẩn x2 lấy

hệ tử trong A1 = A[x1] Vậy mỗi phần tử của A[x1, x2] có thể viết dới dạng

(1) f(x1,x2) = a0(x1) + a1(x1)x2 +…+ an(x1) xn

2 với các ai(x1) A[x 1]

(2) ai(x1) = bi0 + bi1x1 +…+ bim i x1m i

, i = 0, 1, …, nVì A[x1, x2] là một vành nên ta có phép nhân phân phối đối với phép cộng, do đó f(x1, x2) còn có thể viết

Thật vậy, nếu các ci = 0 thì rõ ràng f(x1, x2) = 0

Đảo lại, giả sử f(x1, x2) = 0 Viết f(x1, x2) dới dạng (1), ta đợc các đa thức (2) bằng 0tất cả, tức là

bi0 =…= bim i =0, i = 0, …, n Nhng các c1, …, cm trong (3) chính là các bi0, …, bim i , i = 0, …, n do đó

1 …xa in

n gọi

là các hạng tử của đa thức f(x1, x2, …, xn)

Đa thức f(x1, x2, …, xn) = 0 khi và chỉ khi các hệ tử của nó bằng 0 tất cả

Cho hai đa thức f(x1, …, xn) và g(x1, …, xn) bao giờ ta cũng có thể viết chúng

d-ới dạng sau đây

Do các tính chất của các phép toán trong vành A[x1, …, xn] ta có tổng, hiệu, tíchcủa f(x1, …, xn) và g(x1, …, xn) là

Do đó

f(x1, …, xn) - g(x1, …, xn) = 0 khi và chỉ khi ci – di =0, i = 1, …, m, tức là f(x1, …, xn) = g(x1, …, xn) khi và chỉ khi ci = di, i = 1, …, m

với các ci ≠ 0, i = 1, …, m và (ai1, …, ain) ≠ (aj1,…, ajn) khi i ≠ j Ta gọi

là bậc của đa thức f(x1, …, xn) đối với ẩn xi số mũ cao nhất mà xi có đợc trong các hạng tử của đa thức

Nếu trong đa thức f(x1, …, xn) ẩn xi không có mặt thì bậc của f(x1, …, xn)

đối với nó là 0

Ta gọi là bậc của hạng tử cixa i1

1 … xa in

n tổng các số mũ ai1 +…+ ain của các ẩn

Bậc của đa thức (đối với toàn thể các ẩn) là số lớn nhất trong các bậc của các hạng tử của nó

Đa thức 0 là đa thức không có bậc

Nếu các hạng tử của f(x1, …, xn) có cùng bậc k thì f(x1, …, xn) gọi là

một đa thức đẳng cấp bậc k Đặc biệt một dạng bậc nhất gọi là dạng tuyến

tính, một dạng bậc hai gọi là dạng toàn phơng, một dạng bậc ba gọi là dạng lập phơng.

Có hai cách sắp xếp các hạng tử của một đa thức là: sắp xếp nó theo các luỹ thừa tăng hay giảm đối với một ẩn nào đó và sắp xếp theo lối từ điển (giống cách sắp xếp các chữ trong từ điển) Các ví dụ trong GT Đại số đại c-

Hệ quả Nếu (a1, …, an) > (b1, …, bn) và (c1, …, cn) > (d1, …, dn) thì

(a1 + c1,…, an + cn) > (b1 + d1,…, bn + dn) (Chứng minh: GT Đại số đại cơng_ tr 115)

Định lí 2 Giả sử f(x1, …, xn) và g(x1, …, xn) là hai đa thức khác 0 của vành A[x1, …, xn] có các hạng tử cao nhất theo thứ tự là c1xa11

(Chứng minh: GT Đại số đại cơng_ tr 115)

Hệ quả Nếu A là một miền nguyên thì A[x1, …, xn] cũng vậy

1 2…, n gọi là các hệ tử của đa thức Các n

τ = τ(1) τ(2)… τ(n)f(xτ(1), …, xτ(n)) suy ra từ f(x1, …, xn) bằng cách thay trong f(x1, …, xn), x1 bởi

xτ(1),…, xn bởi xτ(n)

Định lí 3 Bộ phận gồm các đa thức đối xứng của vành A[x1, …, xn] là một vành con của vành A[x1, …, xn] (Chứng minh: GT Đại số đại cơng_ tr 117)

Bổ đề 2 Giả sử f(x1, …, xn) là một đa thức đối xứng khác 0 và α xa1

n (Chứng minh: GT Đại số đại cơng_ tr 120)

Bổ đề 4 Giả sử a1 là một số tự nhiên Bộ phận M của Nn, với N là tập hợp các số tự nhiên , gồm các phần tử (t1, t2, …, tn) sao cho

là hai đa thức trong đó (ai1, …, ain) ≠ (aj1,…, ajn) khi i ≠ j, sao cho

h(σ1, …, σ n) = h’(σ1, …, σ n);

thế thì ci = c’i, i = 1, 2, …, m (Chứng minh: GT Đại số đại cơng_ tr 122)

Định lí 4 Giả sử f(x1, x2, …, xn) A[x1, x2, …, xn] là một đa thức đối xứngkhác 0 Thế thì có một và chỉ một đa thức

h(x1, x2, …, xn) A[x 1, x2, …, xn]sao cho f(x1, x2, …, xn) = h(σ1, σ 2, …, σ n)

trong đó σ1, σ 2, …, σ n là các đa thức đối xứng cơ bản

(Chứng minh: GT Đại số đại cơng_ tr 123-124)

Một số ví dụ:

1, Cho đa thức đối xứng trên Z[x1, x2, x3]:

f(x1, x2, x3) = x12x2 + x1x22 + x12x3 + x1x32 + x22x3 + x2x32 Hãy biểu diễn f(x1, x2, x3) qua các đa thức đối xứng cơ bản s1, s2, s3

2, Ví dụ SGK: Tr 125 (GT Đại số đại cơng)

 Sử dụng phơng pháp hệ số bất định (để biểu diễn một đa thức đối

xứng qua các đa thức đối xứng cơ bản) → Xem GT Đại số đại cơng

Tr 126-127

Phần 3 Ưng dụng đa thức đối xứng trong toán sơ cấp ở phổ thông

2 Tìm các số nguyên thoả mãn hệ điều kiện.

Ví dụ1: Hóy tỡm những giỏ trị của tham số a sao cho những nghiệm

Lời giải:: Chỳ ý tới cụng thức Viốte và điều kiện đó cho của nghiệm x1,x2,x3 và

0 x  2x ax  4 2  x  2a Nghĩa là x3=a hoặc là a2=2-a

Giải phương trỡnh trờn ta nhận được : a=1 hoặc a=-2

Ví dụ 2 :

3 Chứng minh hằng đẳng thức.

4 Chứng minh bất đẳng thức.

Hóy tỡm những giỏ trị của tham số a sao cho những

nghiệm x1,x2,x3 của đa thức thỏa món điều kiện

Hướng dẫn :tương tự vớ dụ 1,

Tài liệu tham khảo:

1 Sách giáo khoa Đại Số 7 NXB Giáo Dục.

2 Sách giáo khoa Đại Số 8 NXB Giáo Dục.

3 Một số vấn đề phát triển Đại Số 8 Vũ Hữu Bình.

4 Giáo trình Đại số đại cơng _ Hoàng Xuân Sính NXB Giáo Dục

lời kết

Cho đến giờ phỳt này, nhờ tấm lũng nhiệt thành chỉ dẫn của cụ giỏo, chỳng em đó hoàn thành chuyờn đề đầu tiờn của mỡnh Dẫu cũn nhiều thiếu sút trong quỏ trỡnh biờn soạn nhưng tập thể nhúm mong rằng, nú sẽ mang lại một số kiến thức bổ ớch về khả năng giải toỏn đa thức.

Xin chõn thành cảm ơnGiỏo viờn hướng dẫn: Dơng Thị Hồng Hải

Thành viờn:

1 Nguyễn văn Ba (Nhóm trởng)

2 Nguyễn văn Đỉnh

3 Đinh văn Tùng