Tài liệu Chuyên đề bất đẳng thức Cauchy doc

Nó thu hút sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà Toán học lớn, và cũng từ đó nhiều bất đẳng thức hay gắn liền với tên tuổi của những nhà Toán học nổi tiếng được ra đời như BĐT Bunhiac

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

MỞ ĐẦU 2

NỘI DUNG 3

I.Ứng dụng của BĐT Côsi tron chứng minh BĐT 4

I.Một số kỹ h ậtsử dụ g BĐT Côsi 9

1.Kỹ h ậtchọn điểm rơi tron c/m c c BĐT có điều kiện 9

2.Kỹ h ậttá h-g ép Côsi .13

I I.Ứng dụ g của BĐT Côsitrong bài toán Max-Min 15

KẾT LUẬN 20

TÀI LIỆU THAM KHẢO 21

MỞ ĐẦU

Bất đẳng thức là một trong những nội rất hay nhưng khá khó của Toán học

Nó thu hút sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà Toán học lớn, và cũng từ đó nhiều bất đẳng thức hay gắn liền với tên tuổi của những nhà Toán học nổi tiếng được ra đời như BĐT Bunhiacopski, BĐT Becnuli, BĐT Schur,…Trong đó nổi bật hơn cả mà chúng không thể không nhắc đến, đó là bất đẳng thức Cauchy (Côsi), bởi vì BĐT Côsi là một bất đẳng thức đơn giản, gần gủi nhưng lại là một bất đẳng thức mạnh và có sự ứng dụng rộng rãi trong Toán học cũng như trong nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên khác

Trong chương trình Toán học phổ thông, vấn đề bất đẳng thức được xem là một nội dung hóc búa nhất Khi nghiên cứu, tìm hiểu và học tập nội dung này hầu hết chúng ta đều e ngại và không thật sự cảm thấy thích thú với nó Tuy nhiên, bài toán bất đẳng thức lại là một bài toán hầu như góp mặt đầy đủ trong các kì thi HSG cũng như trong các kì thi tuyển sinh Đại học Như thế, chẳng lẽ khi gặp một bài toán BĐT trong một kì thi nào đó chúng ta lại bỏ qua và dễ dàng đầu hàng nó hay sao? Để giúp cho người học có cái nhìn thiện cảm và không còn e ngại vấn đề này nhiều toán học cũng như những người làm toán đã nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo và hình thành nên những phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Khi nghiên cứu và khai thác BĐT Côsi, tôi thấy tâm đắc với hai kỹ thuật

chứng minh BĐT đặc sắc, đó là kĩ thuật “chọn điểm rơi” và kỹ thuật “tách-ghép

Côsi” Với hai kỹ thuật này chúng ta có thể vận dụng để chứng minh được rất

nhiều bất đẳng thức mà thoạt nhìn chúng ta sẽ tưởng rất khó khăn Với mong muốn trao đổi kiến thức chuyên môn cũng như kinh nghiệm học toán và dạy toán cùng

đồng nghiệp, trong chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” này, tôi trình

bày chi tiết hai kỹ thuật chứng minh trên và thể hiện một cách cụ thể hai kỹ thuật

đó qua các ví dụ và bài toán Hy vọng đây là một tài liệu chuyên môn có giá trị

NỘI DUNG

 Trước hết ta nhắc lại bất đẳng thức (BĐT) Côsi cho hai số không âm:

Định lý 1: Cho hai số thực không âm a và b, ta có: 2

(4)2

a b ab

a b

a b

a b ab

 BĐT Côsi cho ba số không âm:

Định lí 2: Với ba số thực không âm a, b và c ta có:

3 (5)3

a b c

abc

 



Chứng minh: Chứng minh (5) có nhiều cách Sau đây là một số cách chứng

3

33

Cách 2: Trước hết ta chứng minh BĐT Côsi cho bốn số a, b, c, d không âm

 Tổng quát: Cho n số thực không âm a a1, 2, ,a Ta có n.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 a2     a n

(BĐT này được chứng minh bằng phương pháp qui nạp theo n)

 Một số chú ý khi sử dụng BĐT Côsi:

i) Khi áp dụng BĐT Côsi thì các số phải không âm

ii) BĐT Côsi thường được áp dụng khi trong bất đẳng thức cần chứng minh

có tổng và tích

iii) Điều kiện xảy ra dấu “=” là các số bằng nhau

SAU ĐÂY CHÚNG TA XÉT MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BĐT CÔSI

I Ứng dụng của BĐT Côsi trong chứng minh BĐT

 Ví dụ 1: Cho hai số thực không âm a và b Chứng minh:

Nhận xét: BĐT sau còn được viết lại dưới dạng sau: 1 1 4 (I)

(I')4

Cộng các BĐT này ta được:

Nhận xét: BĐT trên còn được viết lại dưới các dạng sau: 1 1 1 9 (II)

Chú thích: BĐT này có tên gọi là BĐT Nesbit cho ba số dương Có nhiều cách để

chứng minh BĐT này, sau đây là một số cách Cm có sử dụng BĐT Côsi

Cách 1: Biến đổi vế trái của BĐT cần chứng minh như sau:

BĐT này được chứng minh theo cách của bài toán trên kết hợp với việc sử dụng BĐT (III)

II Một số kỹ thuật sử dụng BĐT Côsi trong chứng minh BĐT

1 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng các BĐT có điều kiện

2 2

4 4

8 8

1

18

 Các BĐT là những trường hợp riêng của BĐT tổng quát sau:

“Cho a và b là các số dương có tổng bằng 1 Chứng minh rằng:

2 2

2 1

12

n n

n

a b   , với mọi *

n   ”

BĐT này được chứng minh bằng phương pháp qui nạp theo n

Ta nhận thấy rằng đây là các bất đẳng thức đối xứng, nên đẳng thức xảy ra

12

a) Áp dụng BĐT Côsi, ta có:

3 3 3

3 3

3 3 3

Tổng quát: Ta có bài toán sau: “Cho a và b là hai số thực dương và a b  Khi

n

n

A B N

 Từ các trường hợp riêng trên, ta thử tổng quát thành một bài toán lớn:

Bài toán: Cho k số thực dương a a1, 2, ,a thỏa k a1a2    a k . Chứng

Chứng minh

Áp dụng BĐT Côsi, ta có:

không chứa biến ở mẫu Nhưng tại sao lại ghép

bcca ac 

 Phương pháp trên được sử dụng rất nhiều trong chứng minh BĐT

 Bài toán 2.3: Cho , ,a b c0 &abc Chứng minh rằng 1

 Tổng quát, ta có bài toán sau:

“Cho k số thực a a1, 2, ,a không âm và có tích bằng 1 Chứng minh rằng: k

rằng:

III Ứng dụng của BĐT Côsi trong bài toán Max-Min

Vậy Pmin 3 3 đạt được khi x yz1.

Vậy Amin  đạt được khi 6 x yz0

Đẳng thức xảy ra  x y z 2.

Vậy Smin  đạt được khi 6 x y z 2

x y

KẾT LUẬN

Trong chuyên đề này, chúng ta đã đi nghiên cứu và sử dụng hai kỹ thuật đặc sắc trong chứng minh BĐT và ứng dụng của nó trong bài toán Max-Min đại số Như chúng ta đã biết, BĐT Côsi là một BĐT khá nổi tiếng bởi phạm vi ứng dụng rộng rãi của nó Ngoài việc được vận dụng để chứng minh các bất đẳng thức Đại

số, BĐT Côsi còn được sử dụng trong các các bài chứng minh BĐT lượng giác hay các bài toán cực trị Hình học Tuy nhiên, do thời gian nghiên cứu không nhiều nên trong chuyên đề này những vấn đề thú vị đó vẫn chưa được đề cập đến

BĐT là một nội dung Toán học khá rộng, càng đi sâu chúng ta càng thấy được sự thú vị cũng như cảm nhận được ngày càng rõ sự phức tạp của nó Mặc dù

đã cố gắng rất nhiều nhưng nhũng gì được đề cập trong chuyên đề này chắc chắn còn rất khiêm tốn Mong nhận được sự góp ý chân thành của quý thầy cô và các bạn động nghiệp về cả nội dung và hình thức trình bày để chuyên đề được hoàn thiện hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Võ Đại Mau, Tuyển tập 216 bài toán Bất đẳng thức, NXB Trẻ, 1996 [2] Nguyễn Vũ Thanh, Bất đẳng thức và GTLN-GTNN, NXB Tổng hợp