Mot so PP cm bat dang thuc

lí do chọn đề tàiCác bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó , để giải đợc các bàitoán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơbản của bất đẳng thức

lí do chọn đề tài

Các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó , để giải đợc các bàitoán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơbản của bất đẳng thức, còn phải nắm đợc các phơng pháp chứng minh bất đẳngthức

Có nhiều phơng pháp để chứng minh bất đẳng và ta phải căn cứ vào đặcthù của mỗi bài toán mà sử dụng phơng pháp cho phù hợp Mỗi bài toán chứngminh bất đẳng thức có thể áp dụng đợc nhiều phơng pháp giải khác nhau ,cũng có bài phải phối hợp nhiều phơng pháp một cách hợp lí

Bài toán chứng minh bất đẳng thức đợc vận dụng nhiều vào các dạng bàitoán giải và biện luận phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình đặc biệt ,tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức và đợc sử dụng nhiều trong khi

ôn tập , ôn thi ngoại khoá Vì vậy học sinh cần thiết phải nắm đợc những kiếnthức cơ bản về bất đẳng thức

Trong thực tế giảng dạy ở trờng THCS , học sinh gặp nhiều khó khănkhi giải các bài toán liên quan về bất đẳng thức , vì các bài toán chứng minhbất đẳng thức thờng khong có cách giải mẫu , không theo một phơng phápnhất định nên học sinh không xác định đợc hớng giải bài toán Mặt khác vìnhận thức của học sinh THCS còn có nhiều hạn chế và khả năng t duy cha tốt

do đó học sinh còn lúng túng nhiều và không biết vận dụng kiến thức vào giảicác dạng bài tập khác

Trong nội dung của đề tài xin đợc tập trung giới thiệu một số phơngpháp hay đợc sử dụng khi chứng minh bất đẳng thức nh : dùng định nghĩa ,biến đổi tơng đơng , dùng các bất đẳng thức đã biết , phơng pháp phảnchứng và một số bài tập vận dụng , nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khigặp các bài toán về chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức , giúp học sinh cóthể tự định hớng đợc phơng pháp chứng minh và hứng thú hơn khi học về bất

đẳng thức nói riêng và bộ môn Toán nói chung

Vì thời gian có hạn , kinh nghiệm giảng dạy còn cha nhiều và khả năngnghiên cứu cha tốt nên nội dung của đề tài còn nhiều hạn chế mong các bạngóp ý thêm

b, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki :

Với mọi số a ; b; x ; y ta có : ( ax + by )2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2) Dấu đẳng thức xảy ra <=>

y

b x

phần ii : Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức

( ) (

2 a2 +b2 − a2 + ab+b2

4

1 ) 2 2

2 ( 4

- Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất

đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng

1 1

1

≥ +

 9 ≥ 4ab + 8  1 ≥ 4ab  (a + b)2 ≥ 4ab

Bất đẳng thức cuối đúng Suy ra điều phải chứng minh

Bài 2: Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn : a + b + c = 4

 3a2 - 6ab + 3b2 ≥ 3(a2 - 2ab + b2) ≥ 0

Bất đẳng thức cuối cùng đúng ; suy ra : 3 3 3

2

1

≥ 0 <=> a2 + b2 -

2

1

≥ 0 Vì a + b = 1 <=> 2a2 + 2b2 - 1 ≥ 0

<=> 2a2 + 2(1-a)2 - 1 ≥ 0 ( vì b = a -1 )

<=> 4a2 - 4a + 1 ≥ 0

<=> ( 2a - 1 )2 ≥ 0

Bất đẳng thức cuối cùng đúng Vậy a3 + b3 + ab ≥

2 1

Dấu '' = '' xảy ra khi a = b =

2 1

Bài 5 : Chứng minh bất đẳng thức : 3 3 3

Dấu '' = '' xảy ra khi a = b

Bài 6 : Với a > 0 , b > 0 Chứng minh bất đẳng thức :

b−

3 Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc

- Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức quen thuộc nh : Côsi ,Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứngminh ,

Một số hệ quả từ các bất đẳng thức trên : x2 + y2 ≥ 2xy

Với a, b > 0 , + ≥ 2

a

b b a

+

c a

c

b c

a c

b

a

+ +

≥ +

2 Tơng tự ta thu đợc :

c b a

b a

c

b

+ +

≥

+

2 ,

c b a

c b

a

c

+ +

≥ +

2 Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có :

a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đều

là số dơng )

+

+ +

+

c a

c

b c

4 3

0 , 0

1

2 2

y x

y x

y x

y x

Điều kiện :

2

5 2

≤ + + + +

b, áp dụng bất đẳng thức Côsi , ta có :

1 2 2

1 ) 1 (

Giải :

Ta có : + > 0

a

b b

a , a , b > 0

Ta có : + + =

c b a

1 1 1

) 1 1 1 (

c b

a + + 1 = (1 1 1)

c b

a + + (a + b + c) =1 + + + + 1 + + + + 1

b

c a

c c

b a

b c

a b a

= 3 + ( + ) + ( + ) + ( + ) ≥

c

a a

c b

c c

b a

b b

=> 1 +1 +1 ≥ 9

c b a

Dấu ''='' xảy ra khi : a = b = c =

3 1

Bài 5

a, Cho x , y > 0 Chứng minh rằng :

y x y

x+ ≥ +

4 1 1

b, Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c là độ dài các cạnhcủa tam giác ) Chứng minh rằng :

c b

1

1 + ) ≥ 4

=>

y x

1 1

4 ) ( ) (

4 1

1

=

− +

4 1

4 1 1

p c p a

=> đIều phải chứng minh

Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c  a = b = c

Khi đó tam giác ABC là tam giác đều

4 Phơng pháp 4 ; Dùng các tính chất của bất đẳng thức :

- Kiến thức : Dùng các tính chất đã đợc học để vận dụng vào giải cácbài tập

Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái nhợcnhau , từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng

Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức :

+ Dùng mệnh đề đảo

+ Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết

+ Phủ định rồi suy ra trái với đIều đúng

+ Phủ định rồi suy ra hai đIều tràI ngợc nhau

+ Phủ định rồi suy ra kết luận

Các ví dụ :

Bài 1 : Cho 0 < a,b,c,d <1 Chứng minh rằng ; ít nhất có một bất đẳng thức

sau là sai : 2a(1 - b) > 1

1 )

1

( −a ≤ a+ −a =

a => a(1 - a) ≤

4 1

Tơng tự : b(1 - b) ≤

4 1

c(1 - c) ≤

4 1

d(1 - d) ≤

4 1

Nhân từng về các bất đẳng thức ; ta có :

256

1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1

Bài 2 : ( Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngợc nhau )

Chứng minh rằng không có 3 số dơng a, b, c nào thoả mãn cả ba bất đẳngthức sau : +1 < 2

Giải

Giả sử tồn tại 3 số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức :

Cộng theo từng vế của 3 bất đẳng thức trên ta đợc :

+1 + +1+ +1 < 6

a

c c

b b

a

 ( +1) + ( +1) + ( +1) < 6

c

c b

b a

=> ( +1) + ( +1) + ( +1) ≥ 6

c

c b

b a

Vậy không tồn tại 3 số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng thức nói trên => đpcm

Bài 3 : Chứng minh rằng không có các số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bất đẳng

- Kiến thức : Thực hiện phơng pháp đổi biến số nhằm đa bài toán đã cho

về dạng đơn giản hơn , gọn hơn , dạng những bài toán đã biết cách giải Các ví dụ :

Bài 1 : Chứng minh rằng : Nếu a , b , c > 0 thì :

2

3

≥ +

+ +

+

c a c

b c

b

a

x+ +

=> a =

2

x z

y+ − , b =

2

y x

z+ − , c =

2

z y

x+ −

Khi đó :

VT =

a b

c a c

b c

b

a

+

+ +

+

z y x y

y x z x

x z y

2 2

2

− + +

− + +

− +

=

2

3 2

3 1 1 1 2

3 ) (

2

1 ) ( 2

1 ) (

2

1

=

− + +

≥

− + +

+ + +

z

y y

z z

x x

z y

x x

) 1 )(

( 4

1

2 2 2 2

2 2 2 2

≤ +

+

−

≤

y x

y x y x

Giải:

Đặt : a =

) 1 )(

1

2 2

y x

y x

+ +

− và b =

) 1 )(

1 (

1

2 2

2 2

y x

y x

+ +

−

=> ab = 2 222 22 22

) 1 ( ) 1 (

) 1

)(

(

y x

y x y

x

+ +

( 4

1

b a ab b

Mà : (a - b)2 = 2

2 1

2 1

1 2

1 2

1

2 2

+

+ +

1+ 1 +1≥ 9

z y x

Ta chứng minh đợc : (x + y + z)( 1 +1 +1) ≥ 9

z y x

Theo bất đẳng thức Côsi

Mà : x + y + z ≤ 1 nên suy ra 1+ 1 +1≥ 9

z y

7.Phơng pháp 7: Dùng phép quy nạp toán học

- Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1 bằng

ph-ơng pháp quy nạp toán học , ta tiến hành :

+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0)

+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 1 (k > n0)

+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1

+ Kết luận bất đẳng thức đúng với n > 1 (n > n0)

Vậy (**) đúng với mọi k ≥ 3

+ Kết luận : 2n > 2n + 1 với mọi số nguyên dơng n ≥ 3

1

+

n (*) (n là số nguyên dơng )

Giải :

+ Với n = 1 , ta có : VT = VP =

2

1 Vậy (*) đúng với n = 1 + Giả sử (*) đúng với n = k ≥ 1 ta có :

2

1.4

3.6

1 +

1 2

k

k

1 3

1 +

) 1 ( 2

1 2

+

+

k k

do đó chỉ cần chứng minh :

1 3

1 +

k 2 ( 1 )

1 2

1

+ +

Vậy (*) dúng với mọi số nguyên dơng n

8 Ngoài ra còn có một số phơng pháp khác để chứng minh bất đẳng thức nh : Phơng pháp làm trội , dùng bất đẳng thức trong tam giác , tam thức bậc hai ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bàI toán mà sử dụng phơng pháp cho phù hợp Trong phạm vi nhỏ của đề tàI này không hệ thống ra những phơng pháp đó

I- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị

- Kiến thức : Nếu f(x) ≥ m thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là m

Nếu f(x) ≤ M thì f(x) có giá trị lớn nhất là M

Ta thờng hay áp dụng các bất đẳng thức thông dụng nh : Côsi , Bunhiacôpxki, bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Kiểm tra trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức để tìm cực trị

Tìm cực trị của một biểu thức có dạng là đa thức , ta hay sử dụng phơngpháp biến đổi tơng đơng , đổi biến số , một số bất đẳng thức

Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng cácbất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Chú ý : A+ B ≥ A+B

Xảy ra dấu '' = '' khi AB ≥ 0

A ≥ 0 DÊu ''= '' x¶y ra khi A = 0

VËy min B =

2

1 khi a = b =

2 1

Bµi 2: a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc :

1 ≤x≤

b, T¬ng tù : minD = 9 khi : -3 ≤ x ≤ 2

c, minE = 4 khi : 2 ≤ x ≤ 3

yz

+ +

1

zx

+ +

1

xy

+ +

Từ đó suy ra : P = xyz ≤

8 1

MaxP =

8

1 khi x = y = z =

2 1

Bài 6 : Cho 3 số dơng a, b, c thảo mãn : a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức : F = ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 2

c

c b

b a

Giải:

Ta có : F = (a2 + b2 + c2) + ( 12 12 12

c b

Tơng tự : (1 1 1) 2

c b

a + + ≤ 3( 12 12 12)

c b

Mặt khác : + + =

c b a

1 1

c b a

1 1

1 + + ).1 = (

c b a

1 1

1 + + )(a + b + c) = 3 + (

a

b b

a

+ ) + (

b

c c

b

+ ) + (

c

a a

c

+ ) ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 =>

c b a

1 1

1 + + ≥ 9 => (1 1 1) 2

c b

a+ + ≥ 81 => ( 12 12 12)

c b

Vậy MinF = 33

3

1 khi : a = b = c =

3

1

Bài 7 : Cho G =

xyz

z xy y

zx x

1 2

1

3 ≤

−

z z

=> G ≤

3 2

1 2 2

1 2

1

+ +

Vậy MaxG =

3 2

1 2 2

1 2

b Tìm giá trị lớn nhất của K = x 1 −x2

HD : áp dụng bất đẳng thức Côsi và làm tơng tự nh bài 5 :

II - Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình

- Kiến thức : Nhờ vào các tính chất của bất đẳng thức , các phơng phápchứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) của phơng trình sau

đó suy luận để chỉ ra nghiệm của phơng trình

Nếu VT = VP tại một hoặc một số giá trị nào đó của ẩn ( thoả mãnTXĐ)

=> phơng trình có nghiệm

Nếu VT > VP hoặc VT < VP tại mọi giá trị của ẩn

=> phơng trình vô nghiệm

- Các ví dụ :

−

2

3 1 2

1 1

Phơng trình (1) có nghiệm  dấu '' = '' ở (2) xảy ra

3 ≤ x≤ (*)  2x− 3 + 5 − 2x = x2 - 4x + 6

VP = (x - 2)2 + 2 ≥ 2 , dấu '' = '' xảy ra khi x = 2

=> VT ≤ 4 , dấu '' = '' xảy ra khi 6−x = x+2  x = 2

=> không có giá trị nào của x để VT = VP => Phơng trình vô nghiệm

0 2

=> phơng trình có nghiệm : x = 2 ; y = 2

III - Dùng bất đẳng thức để giải hệ phơng trình :

- Kiến thức : Dùng bất đẳng thức để biến đổi từng phơng trình của hệ , suyluận và kết luận nghiệm

= +

− +

0 2

0 3 4 2

2 2 2

2 3

y y x x

y y x

=> Hệ phơng trình có nghiệm duy nhất : x = -1 ; y = 1

- Kiến thức : Biến đổi một phơng trình của hệ , sau đó so sánh với phơngtrình còn lại , lu ý dùng các bất đẳng thức quen thuộc

= + +

xyz z

y x

z y x

4 4 4

Vậy hệ phơng trình có nghiệm : x = y = z =

3 1

+

= + +

1 ) 6 3 2

)(

6

1 3

1 2

1 (

14

3 2

z y x z y x

z y x

(2)  (3+ 2 +1)( 3x+ 2y+z) = 36

z y x

 6( + ) + 3 ( + ) + 2 ( + ) = 22

y

z z

y x

z z

x x

y y x

Mặt khác : vì x, y, z > nên 6( + ) ≥ 12

x

y y

x ; 2 ( + ) ≥ 4

z

y y z

( + ) + 3 ( + ) + 2 ( + ) ≥ 22

y

z z

y x

z z

x x

y y x

Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = z , thay vào (1) ta đợc :

x + x2 + x3 = 14 <=> (x - 2)(x2 + 3x + 7) = 0

<=> x - 2 = 0 <=> x = 2

Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất : x = y = z = 2

* Ngoài ra còn có một số những ứng dụng khác của bất đẳng thức , đòihỏi học sinh phải linh hoạt và sáng tạo trong khi giải , học sinh phải nắm chắc

đợc các kiến thức về bất đẳng thức thì mới vận dụng đợc

Ví dụ : Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình nghiệm nguyên

Bài 1 : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình :

z y x

1 1 1

1 1

1 + + ≤

z

3 => 2z ≤ 3 , mà z nguyên dơng Vậy z = 1 Thay z = 1 vào phơng trình ta đợc :

1

1 + ≤

y

2

Y nguyên dơng nên y = 1 hoặc y = 2

Với y = 1 không thích hợp

Với y = 2 ta có : x = 2

Vậy (2 ; 2 ; 1) là một nghiệm của phơng trình

Hoán vị các số trên , ta đợc nghiệm của phơng trình là :

- Hình thành kỹ năng giải phơng trình nhờ vận dụng kiến thức bất đẳngthức thông qua việc chữa các bài tập đợc đa ra trên cơ sở các bài toán chứngminh bất đẳng thức , kết quả suy ra từ các bất đẳng thức quen thuộc hay tínhchất của bất đẳng thức

- Học sinh nắm đợc ph]ơng pháp giải , nhận dạng đợc dạng bài tập vàbiết vận dụng vào giải các bài tập tơng tự

- học sinh đợc rèn cách trình bày lời giải , lập luận chặt chẽ và chính xác, phát huy tính tích cực và sáng tạo của học sinh

GV: Chữa bài HS1: M = x2 - 6x + 9 + 4 = (x - 3)2 + 4 ≥ 4 => Min M = 4 khi x = 3

HS2 : Vận dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có : ( 2x−3.1 + 5−2x.1)2 ≤ (1 + 1)(2x - 3 + 5 - 2x) = 4

HS : Có dạng A(x) = B(x) , trong đó A(x) , B(x) là các biểu thứcbiến x

Cách giải : Tìm ĐKXĐ (nếu có)

Tìm tất cả ác giá trị của biến thoả mãn ĐKXĐnghiệm đúng phơng trình đã cho

GV : Nếu ta có A(x) ≥ a ; B(x) ≤ a , vậy phơng trình A(x) = B(x)

có nghoiệm khi nào ?

HS : Khi A(x) = B(x) = a ( xảy ra trờng hợp dấu bằng )

GV : Đặt vấn đề vào bài

B, Bài giảng :

Hoạt động của thày và trò Nội dung

Hoạt động 1: Dạng 1:

GV: yêu cầu HS giải bài tập

Gợi ý: ? Nhận xét vế trái của (1)

HS : VT ≤ 2

Vậy phơng trình (1) có nghiệm khi nào ?

GV : yêu cầu hs làm câu b

Hs trình bày lời giải

3 ≤ x≤

VT ≤ 2; xảy ra '' = '  x = 2 Vậy 91) có nghiệm x = 2.

b, Đk : 1 ≤ x ≤ 5 (3 x− 1 + 4 5 −x )2 ≤ (9+ 16)(x - 1 + 5 - x)

= 25 4 = 100 => VT ≤ 10 Dấu '' = '' xảy ra khi

HS: trình bày lời giải

GV : Yêu cầu HS làm bài tập

? Em hãy nêu cách giải phơng trình

5 3

2x− + − x−x2 + x− =

 2x− 3 + 5 − 2x = x2 − 4x+ 6

HD :

VT ≤ 2 Dấu '' = '' xảy ra khi x = 2

VP ≥ 2 Dấu '' = '' xảy ra khi x = 2 Vậy phơng trình có nghiệm khi

x = 2

Bài 3 : Giải phơng trình :

13 x−1 + 9 x+ 1 = 16x

Điều kiện : x ≥ 1 (*) Cách 1 : áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :

13 x−1 + 9 x+ 1 = 13.2 1

4

9 ) = 16x Dấu '' = '' xảy ra

=

−

2

3 1 2

1 1

PT (1) có nghiệm  dấu '' = '' ở (2) xảy ra Vậy (1) có nghiệm x =

4 5

Hoạt động 3: Dạng 2

GV : Lu ý A ≥0; A2 ≥ 0

Xảy ra dấu '' = '' khi nào ?

HS : dấu '' = '' xảy ra khi A = 0

Gv: yêu cầu hs tìm min L ? áh trình bày

lời giải

GV : hớng dẫn HS tìm GTNN của

9 10

5x2 − x+ ? => đpcm

GV đề xuất bài toán mới ;

? Nêu đặc điểm của biểu thức trong

3x2 + x+ + x2 − x+ ≥

giải:

a, Ta có : 3(x + 1) 2 + 9 ≥ 9

=> L = 3x2 +6x+12 ≥ 3 Xảy ra dấu '' = '' khi x = -1 Vậy min L = 3 khi x = -1

b, Tơng tự ; 5x2 −10x+9 ≥2

Vậy : 3x2 +6x+12+ 5x2 −10x+9 ≥5

Bài 4 : Giải PT

5 9 10 5 12 6

3x2 + x+ + x2 − x+ =

HD :

3x2 +6x+12 ≥ 3 dấu '' = '' xảy ra khi x - 1

5x2 −10x+9 ≥2

dấu '' = '' xảy ra khi x = 1 Vậy PT vô nghiệm

4 Hoạt động 4 : Vận dụng

GV : yêu cầu HS giải phơng trình

HS lên bảng trình bày lời giải

HS dới lớp làm vào vở BT

Bài 5 : GPT

2 2

2 6 7 5 10 14 4 2

3x + x+ + x + x+ = − x−x

Giải;

2 4 ) 1 ( 3 7 6

3x2 + x+ = x+ 2 + ≥

Xảy ra dấu '' = '' khi x = -1

3 9 ) 1 ( 5 14 10

A(x) ≥ m xảy ra dấu '' = '' khi x = a

B(x) ≤ m xảy ra dấu '' = '' khi x = b

=> PT có nghiệm x = a nếu a = b

Nếu a # b => PT vô nghiệm

4, Hớng dẫn học ở nhà :

Xem lại cách giải các bài tập đã chữa tại lớp

Vận dụng tốt các kiến thức đã học để giải các bài tập