Chuyên đề: Bất đẳng thức kỳ 2

CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẢNG THỨC TỔNG HỢP Dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi và LTĐH-CĐ Bài 4... Còn tiếp vào tuần sau!.

CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẢNG THỨC TỔNG HỢP (Dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi và LTĐH-CĐ) Bài 4 Cho a b   thỏa ab + a + b = 3 Chứng minh: , * a b 23

b a

ab 1 a

b 1 b















Hướng dẫn

Từ giả thiết a, b > 0 và ab + a + b = 3

Suy ra: ab 3 (a b)   , (a+1)(b+1) = ab +a +b + 1 = 4

BĐT đã cho tương đương với BĐT: a2 b2 3 3a(a 1) 3b(b 1) 3 1

2 (a 1)(b 1) a b

b a

3 b a 4

3 b a 4

3 2

3 b



















b a

12 b a 3 b a 3 6 b a





















 

a b

 (A) Đặt x = a+b > 0  x2 (a b) 24ab 4(3 x)   x24x 12 0   x6 hay x 2

x 2

  ( vì x > 0)

2 2 2

x a b 2ab  a2b2 x2 2(3 x) x  22x 6

Thế x như trên , (A) thành

2 12

x

    , với x 2  x3 x24x 12 0  , với x 2

x 2 x   2 x 6 0, với x 2 (hiển nhiên đúng)Vậy bđt cho đã được chứng minh

Bài 5 Cho x, y, z là các số dương Chứng minh :3x2y4z xy3 yz5 zx

Hướng dẫn:

- Phân tích để áp dựng BĐ Cauchy

- Ta có

 

 

 

1 2 3

3 2

5

5 2

 

- Cộng vế điều phải chứng minh

Bài 6 Cho 3 số dương a, b, c

Chứng minh rằng: 21 21 2 1

2

a b c

 

Hướng dẫn:

ab c ab c ab c ab

c

ca b ca b ca b ca

b

bc a bc a bc a bc

a

2

1 1

2

2

1 1

2

2

1 1

2

2 2

2 2

2 2































Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Còn tiếp vào tuần sau!