Bồi dưỡng toán 9 đề 21

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.. Qua I kẻ đường thẳng cắt cạnh AC tại M và cắt đường thẳng CD kéo dài tại N sao cho IM = IN.. Chứng minh rằng, tam giác BMN là tam giác

ĐỀ KIỂM TRA

(Thời gian làm bài: 150 phút)

Bài 1: Cho các số thực dương thỏa mãn: x3 + y3 = x – y Chứng minh rằng x2

+ y2 <1

Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên xy + 6x + 2008y + 12045= 0 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của:

với a, b, c là các số dương và a2 + b2 + c2

= 3

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của :

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi D là điểm đối

xứng của A qua H, I là 1 điểm trên đoạn thẳng HD Qua I kẻ đường thẳng cắt cạnh AC tại M và cắt đường thẳng CD kéo dài tại N sao cho IM = IN Chứng minh rằng, tam giác BMN là tam giác cân

ĐÁP ÁN ĐỀ 21

Bài 1: Cho các số thực dương thỏa mãn: x3 + y3 = x – y Chứng minh rằng x2

+ y2 <1

Lời giải:

Ta có: (x – y)(x2 + y2 – 1) = x3 + xy2 – x2y – y3 – (x – y)

= x3 + xy2 – x2y – y3 – (x3 + y3) = –y(x2 + 2y2 – xy)

(1)

Vì (x – y) > 0 nên từ (1) suy ra x2 + y2 – 1<0, hay là x2 + y2 <1 ĐPCM

Bài 2 : Giải phương trình nghiệm nguyên xy + 6x + 2008y + 12045= 0 Lời giải:

Ta có: xy + 6x + 2008y + 12045= 0

x(y + 6) +2008(y + 6) –3 =0

(x + 2008)(y + 6) = 3

Kết luận: Nghiệm của phương trình:

(x;y) = (–2007; –3), (–2005; –5), (–2009; –9), (–2011; –7)

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của:

với a, b, c là các số dương và a2 + b2 + c2 = 3

Lời giải:

Ta có: (ab2 + bc2 + ca2)(a + b + c) – (ab + bc + ca)2 =

=(ab3 + bc3 + ca3) – (a2bc + ab2c + abc2) (1)

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 7 số thực dương, ta có:

ab3 + ab3 + bc3 + ca3 + ca3 + ca3 + ca3 =7a2bc

Hay là 2ab3 + bc3 + 4ca3 7a2bc (2)

Tương tự như vậy, ta có: 4ab3 + 2bc3 + ca3 7ab2c (3)

Và ab3 + 4bc3 + 2ca3 7abc2 (4)

Từ (2), (3), (4) cộng vế theo vế, ta suy ra: 7(ab3 + bc3 + ca3) 7(a2bc + ab2c + abc2)

(ab3 + bc3 + ca3) – (a2bc + ab2c + abc2) 0 (5)

Từ (1) và (5) suy ra (ab2 + bc2 + ca2)(a + b + c) – (ab + bc + ca)2 0

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =1

Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng tại (a; b; c) = (1; 1; 1)

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của :

Lời giải:

Đặt 3x + 4 = y Khi đó và

Ta có P > 0 và do đó giá trị lớn nhất Pmax > 0, và ta chỉ cần xét trường hợp

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 6 số dương, ta có:

(2)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Từ (1) và (2) suy ra

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vậy Pmax = đạt đượt tại

(1)

Lời giải:

Xét các trường hợp sau:

– a = 1 Khi đó (1)

Trường hợp này loại vì

Xảy ra các trường hợp:

*) b ≤ 3 Khi đó

Thay vào (3) ta có Điều này vô lý, loại

*) b = 4 (2)

*) b = 5 (2)

*) b = 6 (2)

*) b ≥ 7 Khi đó:

(loại)

Vì b a 3 nên xảy ra:

b = 3 (3)

b = 4 (3)

b 5

(loại) – a 4 Khi đó

(loại) Vậy (a; b; c) = (2; 4; 15), (2; 5; 9), (2; 6; 7), (3; 3; 8), (3; 4; 5)

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi D là điểm đối

xứng của A qua H, I là 1 điểm trên đoạn thẳng HD Qua I kẻ đường thẳng cắt cạnh AC tại M và cắt đường thẳng CD kéo dài tại N sao cho IM = IN Chứng minh rằng, tam giác BMN là tam giác cân

Lời giải:

Qua I kẻ đường thẳng M’N’ vuông góc với BI ở đó M’ AC,

N’ CD

Vì D là điểm đối xứng của A qua BC nên tam giác DBC

là tam giác vuông tại D Và từ đó dễ dàng nhận thấy

các tứ giác BIDN’ và BIM’A là các tứ giác nội tiếp

BDI = BAI (Tam giác ABD là tam giác cân) (2)

Từ (1), (2), (3) suy ra BN’I = BM’I BM’N’ là tam giác cân tại B

(4)

IM’ = IN’

Bây giờ ta sẽ chứng minh MN M’N’ Thật vậy, giả sử ngược lại MN M’N’

Vì các đường thẳng MN và M’N’ cắt nhau tại I là trung điểm của mỗi đường nên tứ giác MM’NN’ là hình bình hành MM’ song song với NN’ Điều này vô lý vì MM’ cắt NN’ tại C

Vậy MN M’N’ và từ kết quả ở (4) ta suy ra BMN là tam giác cân ĐPCM