Khái niệm về tính lồi, lõm và điểm uốn.. Xét đồ thị ACB của hàm số y = fx biểu diễn trong hình dưới đây.. Ta giả thiết rằng tại mọi điểm của nó, đồ thị đã cho đều có tiếp tuyến... CB là
Trang 2M
M
C A
B
1 Khái niệm về tính lồi, lõm và điểm uốn.
Xét đồ thị ACB của hàm số y = f(x) biểu diễn trong hình dưới
đây.
Ta giả thiết rằng tại mọi điểm của nó, đồ thị đã cho đều có tiếp tuyến Gọi a, b, c tương ứng là hoành độ của các điểm A, B, C
Trang 3O
M
M
C A
B
AC là một cung lồi, khoảng (a;c) được gọi là khoảng lồi của đồ thị.
CB là một cung lõm, khoảng (c;b) được gọi là khoảng lõm của đồ thị.
Điểm phân cách giữa cung lồi và cung lõm được gọi là điểm uốn Điểm C của đồ thị trong hình vẽ trên là một điểm uốn
X
Trang 42 Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn.
Định lí 1 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên
Khoảng (a;b).
1) Nếu f’’(x) < 0 với mọi x (a;b) thì đồ thị của hàm số lồi trên khoảng đó
2) Nếu f’’(x) > 0 với mọi x (a;b) thì đồ thị của hàm số lõm trên Khoảng đó
Định lí 2 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên một lân cận nào đó
của điểm x 0 và có đạo hàm tới cấp hai trong lân cận đó ( có thể trừ tại điểm x 0 ) Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu khi x đi qua x 0 thì
M 0 (x 0 ; f(x 0 )) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho
Chứng minh đ/ lí 2
Trang 5Giả sử f’’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x 0
x f’’(x)
Đồ thị của
hàm số
M 0 (x 0 ;f(x 0 ))
Vậy điểm M 0 (x 0 ;f(x 0 )) là điểm uốn của đồ thị
Chú ý: Tại điểm uốn tiếp tuyến phải xuyên qua đồ thị
Trang 6Ví dụ 1: Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số
y = x 3 – 3x 2 – 9x + 2
Giải
Tập xác định: R.
Ta có: y’ = 3x 2 – 6x – 9
y’’ = 6x – 6 ; y’’ = 0 x = 1
Bảng xét dấu y’’ :
x y’’
Đồ thị
của
Điểm uốn
9 )
0
Trang 7Ví dụ 2 Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số
y = 3 x
Giải Tập xác định : R
Ta có : y’ =
3 2
1
3 x xác định với mọi x 0 y’’ = 32 2
9x x
− xác định với mọi x 0
Bảng xét dấu y’’ :
x y’’
Đồ thị của
hàm số
+
Điểm uốn
C (0; 0 ) lồi lõm
_
Trang 8Ví dụ 3 Tìm các khoảng lồi, lõm của đồ thị hàm số
y = x2 x 4 x 1 4
− + = − +
Giải Tập xác định : R\ { 0}
y’ = 42
1
x
− xác định với mọi x 0
y’’ = 83
x xác định với mọi x 0
Bảng xét dấu y’’ :
x y’’
Đồ thị của
+
_
