Phòng Giáo duc & Đào tạo Đề thi chọn Học sinh giỏi Năm học 2009 - 2010 Môn: Toán lớp 9 Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu1 (1,0 điểm) Tỡm s t nhiờn n sao cho: n + 24 v n 65 l hai s chớnh phng Câu 2 (2,0 điểm) a) (1,0 điểm) Chứng minh rằng với ba số a, b, c bất kỳ ta có: a 2 + b 2 +c 2 ab + bc + ca b) (1,0 điểm) Tính giá trị biểu thức: 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 + + + + Câu 3. (2 điểm) a) (1,0 điểm) Chng minh: 2 2 2 2 2 2 a b c d (a c) (b d)+ + + + + + . b) (1,0 điểm) Cho đờng thẳng y = ( m - 2)x + 2 (d). Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m. Câu 4 (1,5 điểm) Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác biết: ( ) ( ) ( ) a b b c c a 8abc + + + = . Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều Câu 5: (1,75 điểm) Cho hình vuông ABCD. Điểm O thuộc miền trong của hình vuông thoả mãn OB = 2.OA và o AOB=135 . Chứng minh : OC = OA + OB. Câu 6: (1,75 điểm). Cho tam giác nhn ABC. Phân giác góc A ct cnh BC ti D. Gi K và M ln lt là hình chiu ca D trên AB và AC a) Chng minh: AD vuông vi KM. b) t góc BAC bng .Gi S là giao im ca KD và AC. Chng minh: KM=AD.sin Hết 1 Phòng GD & ĐT Hớng dẫn chấm thi chọn Học sinh giỏi Năm học 2009 - 2010 Môn: Toán lớp 9 Câu Tổng điểm Nội dung Điểm 1 1 Tacú: = =+ 2 2 65 24 hn kn 2 2 k 24 h 65 = + ( )( ) 89.189 ==+ hkhk = = = =+ 44 45 1 89 h k hk hk Vy: n = 45 2 24 = 2001 0,25 0,25 0,25 0,25 2a 1 Xét a 2 + b 2 + c 2 - (ab +bc + ca) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 (a 2ab b ) (b 2bc c ) (c 2ac a ) 2 2 2 1 1 1 (a b) (b c) (a c) 0 2 2 2 = + + + + + = + + Vy a 2 + b 2 + c 2 ab +bc + ca Dấu = xảy tra khi a=b=c 0,25 0,5 0,25 2b 1 A= 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 + + + + . A 2 3 2 3 2 2 4 2 3 2 4 2 3 + = + + + . = 2 3 2 3 (2 3)(3 3) (2 3)(3 3) 6 3 3 3 3 + + + + + = + . = + + + = 6 2 3 3 3 3 6 2 3 3 3 3 1 6 A = 2 0, 5 0,25 0,25 3a 1,5 Hai vế BĐT không âm nên bình phơng hai vế ta có: a 2 + b 2 +c 2 + d 2 +2 2 2 2 2 ( )( )a b c d+ + a 2 +2ac + c 2 + b 2 + 2bd + d 2 2 2 2 2 ( )( )a b c d+ + ac + bd (1) Nu ac + bd < 0 thỡ BT c c/m Nu ac + bd 0 0,25 0,25 0,25 2 (1) ( a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) a 2 c 2 + b 2 d 2 +2acbd a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 a 2 c 2 + b 2 d 2 +2acbd a 2 d 2 + b 2 c 2 2abcd 0 (ad bc) 2 0 ( luụn ỳng) Du = xy ra ad = bc a c b d = 0,25 0,25 0,25 3b 1 Điều kiện cần và đủ để đờng thẳng d đi qua điểm cố định H (x 0 , y 0 ) là: y 0 = ( m-2)x 0 + 2 với mọi m mx 0 -(2x 0 +y 0 -2) = 0 với mọi m 0 0 0 x 0 2x y 2 0 = + = x 0 =0; y 0 = 2 Vậy đờng thẳng d luôn đi qua điểm cố định H (0; 2) với mọi m 0,5 0,5 4 1,5 Ta có: ( )( )( ) abcaccbba 8 =+++ ( ) ( ) ( ) 0222 222222 =+++++ abccacbabcabacabcbcba ( ) ( ) ( ) 0 222 =++ abccbacab Ta có: ( ) 0 2 cab cba ,, ( ) 0 2 cba cba ,, ( ) 0 2 abc cba ,, mà 0,, cba ( ) ( ) ( ) 0 222 ++ abccbacab cba ,, Dấu bằng xảy ra khi = = = 0)( 0)( 0)( 2 2 2 cab cba bac cba == Kết luận: Vậy tam giác có 3 cạnh bằng nhau nên là tam giác đều 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 5 1,75 0,25 3 Vẽ tia Ox nằm giữa OB và OA sao cho Ox 45B = o . Lấy E trên Ox sao cho BE BO. BEA BOC = (c.g.c) Suy ra AE = OC (1) BOE vuông cân tại B EO = OB. 2 . AOEEOBAOBA == 0 90OE vuông tại O, theo Pitago ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2. ) 8. 9.AE AO EO AO BO AO AO AO= + = + = + = 2 2 9. 3.AE AO AE AO AE OA OB = = = + (2) Từ (1) và (2) OC OA OB = + 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 6a 0,75 Xét hai tam giác vuông AKD và AMD có: 1 2 A A= , AD là cạnh huyền chung D DAK AM = AK AM AKM = cân tại A Nên đờng phân giác AD cũng chính là đờng cao KM.AD 0,25 0,25 0,25 6b 1 Ta có ã ( )BAC gt = ã ã S ADMK K= (Hai góc nhọn có cạnh tơng ứng vuông góc) Mặt khác, ã ã AS ADD K= (AD là phân giác góc A). Do đó ã ã S ASMK D= . Hai tam giác KSM và ASD có góc S chung và ã ã S ASMK D= nên đồng dạng với nhau. Suy ra : S AS D K KM A = Xét tam giác vuông AKS ta có: S sin D.sin AS D K KM KM A A = = = 0,25 0,25 0,25 0,25 4 5 . c) 0 2 2 2 = + + + + + = + + Vy a 2 + b 2 + c 2 ab +bc + ca Dấu = xảy tra khi a=b=c 0,25 0,5 0,25 2b 1 A= 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 + + + + . A 2 3. vế ta có: a 2 + b 2 +c 2 + d 2 +2 2 2 2 2 ( )( )a b c d+ + a 2 +2 ac + c 2 + b 2 + 2bd + d 2 2 2 2 2 ( )( )a b c d+ + ac + bd (1) Nu ac + bd < 0 thỡ