Giáo án Hình học 11 chương IV

Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách điểm O một khoảng bằng R được gọi là mặt cầu tâm O bán kính R.. *Trọng tâm:Rèn luyện kỹ năng xác định tâm và bán kính mcầu ngoại tiếp hì

Trang 1

CHƯƠNG IV: MẶT CẦU VÀ MẶT TRÒN XOAY.

BÀI 1: MẶT CẦU.

I.Mục Tiªu:

*Kiến thức:Định nghĩa, tính chất của mặt cầu

-II.Phương pháp giảng dạy:

- Nêu vấn đề và giải quyết vấn đề

- Diễn giải

III.Tiến trình bài giảng:

1 Ổn định lớp: Nắm sĩ số lớp và giới thiệu bài mới

2 Kiểm tra bài cũ: /

3 Nội dung bài mới:

I/MẶT CẦU:

*Định nghĩa:Cho một điểm O cố định và một số thực

dương R Tập hợp tất cả những điểm M trong không

gian cách điểm O một khoảng bằng R được gọi là mặt

cầu tâm O bán kính R

KH: S(O;R) hay (S)

Vậy, S O ; RM OM  R

Gọi d=OA, ta có: A2

d=R: A nằm trên (S) O A1

d<R: A nằm trong (S)

d>R: A nằm ngoài (S) A3

II/BÁN KÍNH ĐƯỜNG KÍNH CỦA MẶT CẦU:

*Định nghĩa:Nếu điểm A nằm trên mcầu S(O;R) thì

đoạn thẳng OA đgl bán kính của mặt cầu (S) Trên

đgth OA lấy điểm B sao cho O là trung điểm AB thì

OB=R nên B thuộc mcầu (S).Đoạn thẳng AB đgl đk

của mcầu (S)

III/CÁC VÍ DỤ:

1)Tìm tập hợp tất cả những điểm M trong không gian

nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới góc vuông

Giải:

Gọi O là trung điểm AB.AB cố định nên O cố định

*Tương tự khái niệm đtròn trong hình học phẳng ta có khái niệm mcầu trong không gian

*Định nghĩa?

*VD thực tế?

*Một mcầu được hoàn toàn xác định khhi biết tâm và bán kính của nó

M O

Trang 2

Tam giác AMB vuông tại M nên OM=AB/2.

Vậy tập hợp các điểm M nằm trên mcầu tâm O, bk R

2)Tìm tập hợp tất cả những điểm M trong không gian

sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ M tới

hai điểm cố định A, B bằng một hằng số k2

Giải: SGK

3)Tìm tập hợp tất cả các điểm M trong không gian sao

cho MA2+MB2+MC2=k2(k là hằng số), trong đó A,B,C

là các đỉnh của tam giác, AB=c, AC=b, BC=a

Giải:

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

Ta có: MA2+MB2+MC2=3GM2+ ( a 2 b 2 c 2 )

3

1

















 2 2 ( a 2 b 2 c 2 )

3

1 k

3

1

GM

Nếu k< ( a 2 b 2 c 2 )

3

1



 : tập hợp M là tập rỗng Nếu k= ( a 2 b 2 c 2 )

3

1



 :GM=0, vậy MG

Nếu k> ( a 2 b 2 c 2 )

3

1



Đặt 2   2  ( a 2  b 2  c 2 )

3

1 k 3

1 R

Vậy tập hợp các điểm M nằm trên mcầu S(G;R)

*Tập hợp các điểm M là gì?

M O

*Biến đổi MA2+MB2+MC2? (Theo hệ thức vectơ)

*Nếu k< ( a 2 b 2 c 2 )

3

1



*Nếu k= ( a 2 b 2 c 2 )

3

1



*Nếu k> ( a 2 b 2 c 2 )

3

1



4.Củng cố:

-Định nghĩa mặt cầu?Các cách xác định mặt cầu?

5.Dặn dò:

Học bài và làm các bài tập:1-3/103/SGK

Trang 3

BÀI TẬP: MẶT CẦU.

I.Mục đích yêu cầu:

*Kiến thức:Định nghĩa, tính chất của mặt cầu.7

*Trọng tâm:Xác định tâm, bán kính mặt cầu

II.Phương pháp giảng dạy:

- Diễn giải

2 Kiểm tra bài cũ:

-Định nghĩa, tính chất của mặt cầu?

-Xác định tâm, bán kính mặt cầu bằng các cách nào ?

BÀI 2/103/SGK:

a)Ta có tam giác DAC vuông tại A

Tam giác CBD vuông tại B

Vậy các điểm A,B cùng nhìn cạnh CD dưới một

góc vuông nên bốn điểm A,B,C,D đều nằm trên

mcầu tâm O là trung điểm DC, bkính R=DC/2

b)AB=3a; BC=4a; AD=5a

Ta có DC=5 2a.(Aùp dụng Pitago)

Vậy R=5 22a

BÀI 3/103/SGK:

S.ABCD là hình chóp đều nên ta có:

*ABCD là hình vuông

* SO (ABCD)

Ta có:OA=OB=OC=OD=a22

Mặt khác ta có: OS=

2

2 a

*Các điểm S, A, B, C, D cách đều điểm O một

đoạn không đổi bằng

2

a , vậy mcầu đi qua các điểm S, A, B, C, D có tâm là O, bán kính R=

2

2 a

B D

*Muốn xác định 1 mcầu ta cần biết các yếu tố nào?

*Tập hợp các điểm M nhìn đoạn

AB dưới một góc vuông là mcầu tâm O là trung điểm AB

*Vậy tâm mcầu đi qua 4 điểm A,B,C,D là gì? bk=?

a

C

S

A

B O

*Hchóp đều có các tính chất gì?

Trang 4

*Tính OA=?OB=?OC=?OD=?OS=?

*Vậy mcầu đi qua 5 điểm S,A,B,C,D có tâm và bkính ntn?

4.Củng cố:

-Nhắc lại cách xác định mặt cầu?

5.Dặn dò:

Học bài và soạn bài” Vị trí tương đối của mặt cầu với mp và đt”

Trang 5

BÀI 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU VỚI MẶT

PHẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG.

*Kiến thức: Vị trí tương đối của mặt cầu với mp và đt

*Trọng tâm: Xác định thiết diện của mp(P) và mặt cầu

Tính khoảng cách từ tâm O đến đt d, đến mp(P)

- Diễn giải

2 Kiểm tra bài cũ:-Định nghĩa mặt cầu

- PP xác định mặt cầu?PP cm Mcầu ngoại tiếp hính chóp?

I/VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU VÀ

MỘT MP:

Cho mặt cầu S(O;R) và mp(P) bất kỳ

Gọi H=hc O/(P), d=OH là khoảng cách từ O đến (P)

Ta có:

1)d>R : EMBED Equation.3 (S)(P).

2)d=R : EMBED Equation.3 H(S),(S)(P){H},

vậy ta nói (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại tiếp điểm

H, mp(P) là tiếp diện của mặt cầu (S)

3)d<R : mp(P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn

C(H,r) với EMBED Equation.3 r  R2  d2

Chú ý: khi d=0 thì EMBED Equation.3

) , ( )

(

)

(S  P C O R

VD:Xác định thiết diện tạo bởi mp (p) và mcầu

S(O;R), biết khoảng cách từ O đến (P) là R/2

*Cho mặt cầu S(O;R) và mp(P) bất kỳ Có mấy vị trí có thể xảy

ra giữa (S) và (P)?

*Vẽ hình minh họa

1)M là một điểm bất kỳ trên (P) thì OM EMBED Equation.3  OH=d>R Vậy mọi điểm của (P) ntn?

2)Với mọi M thuộc (P) và M khác H thì OM>OH=R, vậy (S) giao (P) được gì?

3)d<R: P() cắt (S) theo thiết diện là hình gì? Tâm? Bán kính?

*Khi d=0 thì ntn?

EMBED MSPhotoEd.3

Trang 6

Gọi H là hình chiếu của O xuống mp(P)

Ta có d=OH= EMBED Equation.3 R

2

R

 Vậy mp (P) cắt mcầu (S) theo đường tròn C(H, r) với

2

3 R 2

R R

d

R

2 2

2



















II/VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MỘT MẶT CẦU VÀ

MỘT ĐƯỜNG THẲNG:

Cho mặt cầu S(O;R) và đthẳng  bất kỳ

Gọi OH=d là khoảng cách từ O tới 

Nếu  không đi qua O thì mp (O,  ) cắt (S) theo đtròn

lớn C(O,R)

1)d>R: EMBED Equation.3

















 (C) (S)

 H S  H

C    



H gọi là tiếp điểm của  và (S),  gọi là tiếp tuyến

của (S)

3)d<R :  cắt (C) tại 2 điểm suy ra  cắt (S) tại 2

điểm

III/CÁC TÍNH CHẤT CỦA TIẾP TUYẾN:

1.ĐỊNH LÝ 1: Qua điểm A nằm trên mặt cầu S(O;R)

có vô số tiếp tuyến của mặt cầu (S) Tất cả các tiếp

tuyến này đều nằm trên tiếp diện của (S) tại điểm A

CM:SGK

2.ĐỊNH LÝ 2: Qua điểm A nằm ngoài mcầu S(O;R)

có vô số tiếp tuyến với mcầu (S) Độ dài các đoạn kẻ

từ A tới các tiếp điểm đều bằng nhau

CM:SGK

IV/BÀI TẬP ÁP DỤNG:

1)VD1:Cho mặt cầu S(O,a) và một điểm A, biết

*d<R thì thiết diện của mcầu và

mp là hình gì?

*Cho mặt cầu S(O;R) và đthẳng

 bất kỳ thì có thể xảy ra mấy

vị trí tương đối của (S) và  ?

*Nếu  qua O thì ta có điều gì?

*Nếu  không qua O thì mp (  ,O) cắt (S) theo thiết diện gì?

*Vẽ hình minh họa

*d>R?

*d=R?

*d<R?

Trang 7

OA=2a, từ A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại B

và cũng từ A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại C và D, CD=

a EMBED Equation.3 3

a)Tính AB?

b)Tính d(O,CD)?

Giải:

a)Ta có AB tiếp xúc với mcầu tại B nên AB EMBED

Equation.3 OB , vậy AB= EMBED Equation.3

3 a a a 4 OB

OA2 2 2 2









b)Gọi H là hình chiếu của O lên CD ta có: OC=OD=a

EMBED Equation.3  OCD cân tại O, do đó H là

trung điểm của CD

2

a 2

3 a a HC

OC

OH

2

3 a 2

CD

OH

2 2

























Vậy khoảng cách O đến CD là a/2

*Tính AB dựa vào tam giác nào?

*Khoảng cách từ O đến CD là đoạn nào? Vì sao? Độ dài OH=?

4.Củng cố:

-Có mấy vị trí có thể xảy ra giữa mặt cầu với mp và đt?

-Các xác định mặt cầu? Thiết diện tạo bởi mặt cầu và mp(P)?

5.Dặn dò:

Học bài và chuẩn bị bài “MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP VÀ LĂNG TRỤ”

Trang 8

BÀI 3: MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP VÀ LĂNG TRỤ.

*Kiến thức:HS nắm vững khái niệm mcầu ngoại tiếp hình lăng trụ và hình chóp

*Trọng tâm:Rèn luyện kỹ năng xác định tâm và bán kính mcầu ngoại tiếp hình chóp và lăng trụ

- Diễn giải

2 Kiểm tra bài cũ: -Nêu các vị trí tương đối của mcầu và mp?

-Nêu các vị trí tương đối của mcầu và đthẳng?

I/ĐỊNH NGHĨA:

Một mcầu gọi là ngoại tiếp hình chóp hoặc hình lăng

trụ nếu nó đi qua mọi đỉnh của hình chóp hoặc hình

lăng trụ đó

Pp xác định tâm và bán kính mcầu ngoại tiếp hình

chóp:

Tâm mcầu ngoại tiếp hình chóp là giao của trục đtròn

ngoại tiếp một mặt đáy và mp trung trực của một cạnh

bên

II/CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG:

1)Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng

a, mặt bên hợp với mặt đáy một góc bằng  Xác định

tâm và bán kính mcầu ngoại tiếp hình chóp.

Giải:

Gọi O là tâm của tam giác ABC vì S.ABC là hchóp

tam giác đều nên SO (ABC).Vậy O cũng là tâm của

đtròn ngoại tiếp tam giác ABC

Ta lại có: SA=SB=SC do đó SO là trục của tam giác

-Nêu định nghĩa, vẽ hình minh họa

-Có các pp nào để xác định tâm và bán kính mcầu ngoại tiếp hình chóp ?

-Trục đtròn ngoại tiếp mặt đáy được xác định ntn?

-Mp trung trực của cạnh bên là gì?

-Điều kiện để tồn tại tâm mcầu ngoại tiếp hchóp là gì? (Có đtròn ngtiếp đáy của hình chóp)

Trang 9

Trong mp(SAO) đường trung trực của SA cắt SO tại I

Ta có: IA=IS

Mà IA=IB=IC (I nằm trên trục đtngtiếp tgiác ABC)

 IA=IB=IC=IS

Vậy S,A,B,C đều nằm trên mcầu tâm I , bán kính IS

Gọi M là trung điểm SA

Ta có tứ giác MIOA nội tiếp đtròn nên áp dụng phương

tích ta có: SM.SA=SI.SB

) (

.





















2 2

2

tg 4 12

a OA

SO

SA

tg 6

3 a tg

ON

SO

SO 2

SA SO

SA

SM

SI





tg 12

tg 4 3 a tg 3 a

3 tg

4 12

2

2)Cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc

và có độ dài lần lượt là a, b, c.

Xác định tâm và bán kính mcầu ngoại tiếp tứ diện

S.ABC.

Giải:

Gọi M là trung điểm AB

Tgiác SAB vuông tại S

Vậy M là tâm đtròn ngoại tiếp tgiác SAB

Gọi d là đthẳng qua M và vuông góc với (SAB)

Vậy d là trục của đtròn ngoại tiếp tgiác SAB

Ta lại có SC (SAB ) Do đó d//SC

Gọi(P) là mp trung trực của SC và O là giáo điểm của d

và (P) thì ta có:

OS=OA=OB

OS=OC

Vậy OA=OB=OC=OS, O là tâm mcầu ngoại tiếp

hchóp S.ABC

Bán kính mcầu là R=OB

2 2 2 2

2 2

2

c b a 2

1 2

AB 2

c MB

OM































-Aùp dụng vào bài toán ta làm ntn?

A

B

C S

N O

M

I

-Vẽ hình

-Nêu pp xác định tâm của mcầu ngoại tiếp hchóp.?

d

S

A

B C

M

N

O

-Vậy tâm của mcầu là điểm nào?

-Bán kính của mcầu được xác định ntn?

4.Củng cố:

-Cách xác định tâm và bán kính mcầu ngoại tiếp hình chóp?

Trang 10

5.Dặn dò:

Học bài và làm các bài tập:1-5/112/SGK

BÀI TẬP: MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP VÀ LĂNG TRỤ I.Mục đích yêu cầu:

*Kiến thức:HS nắm vững khái niệm mcầu ngoại tiếp hình lăng trụ và hình chóp

*Trọng tâm:Rèn luyện kỹ năng xác định tâm và bán kính mcầu ngoại tiếp hình chóp và lăng trụ

- Diễn giải

1 Ổn định lớp: Nắm sĩ số lớp

-Nêu phương pháp xác định tâm , bán kính của mcầu ngoại tiếp hình chóp

BÀI 1/112/SGK:

GT:S.ABC là hchóp tam giác đều cạnh đáy

bằng a, cạnh bên bằng b

KL:Bán kính mcầu ngoại tiếp S.ABC.

Giải:

Gọi O là tâm của tam giác ABC

Tam giác ABC đều , suy ra O cũng là tâm

đtròn ngtiếp tam giác ABC

Ta có:SO (ABC)(Vì S.ABC là hchóp đều)

 SO là trục đtròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi M là trung điểm của SA, dựng mp trung

trực của SA, cắt SO tại I

Ta có: IA=IS (I thuộc mp trung trực của SA)

(1)

Mà: IA=IB=IC (I thuộc trục đtròn ngtiếp

ABC)(2)

Từ (1) và (2)  I là tâm mcầu ngoại tiếp

S.ABC, bán kính là SI

Ta có: SOA  SMI(g-g)

2 2 2

a b 2

b SM

SO SA SI SM

SO

SA

SI









C

N O

S

M

I

*Tâm của đtròn ngtiếp đáy ABC là gì?

*Vậy trục đtròn ngoại tiếp đáy là đường nào?

*Mp trung trục của cạnh bên nào?

*Vậy tâm của mcầu ngoại tiếp S.Abc là gì? Bán kính là đoạn nào và bằng bao

Trang 11

BÀI 2/112/SGK:

GT:S.ABC, ABC là tam giác đều cạnh a, SA 

(ABC), SA=a

KL:Bán kính mcầu ngoại tiếp S.ABC.

Giải:

Gọi O là tâm của tam giác ABC

Tam giác ABC đều , suy ra O cũng là tâm

đtròn ngtiếp tam giác ABC

Từ O kẻ d (ABC)

 d là trục đtròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi M là trung điểm của SA, dựng mp trung

trực của SA, cắt d tại I

Ta có: IA=IS (I thuộc mp trung trực của SA)

(1)

Mà: IA=IB=IC (I thuộc trục đtròn ngtiếp

ABC)(2)

Từ (1) và (2)  I là tâm mcầu ngoại tiếp

S.ABC, bán kính là AI

Trong tam giác vuông IOA ta có:

6

21 a AO

IO







BÀI 3/112/SGK:

GT: S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.

KL: Tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp

S.ABCD

Giải:

ABCD là hình vuông nên có trục đtròn

ngtiếp ABCD

Gọi O là tâm của ABCD SO là trục đtròn

ngoại tiếp ABCD(S.ABCD là hchóp đều)

Mà : SO=

2

a  SO=OA=OB=OC=OD

Vậy O là tâm mcầu ngoại tiếp S.BACD, bán

kính là SO=a22

nhiêu?

d

C

N

S

M

O I

*Xác định trục của đtròn ngoại tiếp tam giác ABC

*Xác định mp trung trực của cạnh SA

*Vậy tâm của mcầu ngoại tiếp S.ABC là đâu? Bán kính bằng bao nhiêu?

A

C

B

C D

A S

O

*Đkiện để hchóp có mcầu ngoại tiếp là gì?

4.Củng cố:

-Nhắc lại các bài tập đã làm, cách xác định trục đtròn ngoại tiếp tam giác, tứ giác đặc biệt

Trang 12

5.Dặn dò:

Học và làm lại các bài của chương IV, tiết sau ôn tập giữa chươngIV

BÀI TẬP ÔN TẬP GIỮA CHƯƠNG IV.

*Kiến thức:HS nắm được các kiến thức trong các bài hai mp vuông góc, khoảng cách, góc, mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

*Trọng tâm: HS vận dụng được các pp để cm 2 mp vuông góc, tính các khoảng cách, tính góc, xác định được tâm và bán kính mcầu ngoại tiếp hchóp

- Diễn giải

1 Ổn định lớp: Nắm sĩ số lớp

-Nêu pp chứng minh hai mp vuông góc

-Nêu pp xác định khoảng cách từ 1 điểm đến 1mp?

-Nêu pp xác định góc giữa 2 đthẳng chéo nhau

-Nêu pp xác định góc giữa 2đt, giữa đt và mp, giữa mp và mp

-Nêu pp xác định tâm và bán kính mcầu ngtiếp hchóp

Đề bài:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O

cạnh a, SA(ABCD), SA=a.

1)CM các mặt bên của hchóp là các tam giác vuông.

2)CM:a)(SAC)(SBD)

b)(SAB)(SBC)

3)Tính tg góc giữa AD và SC.

4)Tính góc giữa SB và (ABCD)

5)Tính khoảng cách từ A đến (SBD).

6)Tính khoảng cách giữa SC và BD.

7)Tính tg góc giữa (SBD) và (ABD).

8))Gọi AE là đcao tam giác SAB, AF là đcao tam giác

SAD.CMR: SC(AEF).

9)Xác định tâm và bán kính mcầu ngoại tiếp hchóp

S.ABCD.

A

C

B

C D

A S

O

H

N

I E F

Trang 13

Giải:

1)SADvuông tại A

SAB vuông tại A

SDC

 vuông tại D

SBC

 vuông tại B

2)a)(SAC) (SBD).(SA BD,AC BD)

b)(SAB)(SBC).(BC (SAB))

3)(AD,SC)=(BC,SC)=SCB

tgSCB= 2

a

2 a BC

SB



4)C1:AB=hcSB/(ABCD)

Vậy, (SB,(ABCD))=(SB,AB)=SBA

C2:SAB vuông cân nên SBA=450

5)(SAC) (SBD)

(SAC)(SBD)=SO  AH=d(A,(SDB))

Từ A kẻ AH SO

AH(SAC)

Tam giác SAO vuông tại A nên ta có hệ thức sau:

3

3 a AH

a 3

2

2 a

1 a

1 AO

1 SA

1 AH

1

2 2 2



























6)Ta có: BD (SAC) tại O

Từ O kẻ ON SC  ON  BD

ON(SAC)

Vậy ON là đoạn vuông góc chung của BD và SC

Vậy d(SC,BD)=ON

Ta có :

SC

OC SA ON SC

OC SA

ON ONC













7)Ta có: (ABD)(SBD)=BD

Mà BD SO

BD AO

 ((ABD),(SBD))=(SO,AO)=SOA

tgSOA= 2

AO

SA



8)AE SC

AF SC  SC (AEF)

*Vẽ hình

*Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông tại đâu?

*Nhắc lại phương pháp chứng minh hai mp vuông góc

*Gọi HS lên bảng làm bài

*Góc giữa dthẳng AD và SC là góc nào? Tg của góc đó bằng bao nhiêu?

*Góc giữa SB và mp(ABCD) là góc nào?Có các cách nào để xác định góc đó?

*Góc đó bằng bao niêu Độ?

*Khoảng cách từ A đến (SBD) là đoạn nào?

*Bằng bao nhiêu?

*Nhắc lại các cách tìm đoạn vuông góc chung của 2đt?

*Vậy khoảng cách từ BD đến

SC là đoạn nào? Bằng bao nhiêu?

*Góc giữa 2 mp khác góc nhị diện chỗ nào?

*Nêu PP xác định góc giữa 2 mp?

Tiêu đề	Mặt Cầu
Chuyên ngành	Hình Học
Thể loại	Giáo án

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	2,55 MB