Đại số tổ hợp

Có bao nhiêu số tự nhiên được viết trong hệ đếm thập phần gồm năm chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau?. Có bao nhiêu cách lập rà một số gồm ba chữ số khác nhau từ 5 s

Trang 1

Phan Httu Thiém

I.THÀNH LẬP SỐ TỪ CÁC SỐ CHO TRƯỚC

1) Các chữ số đôi một khác nhau

Bail

(ĐH An ninh, 1997) Từ bảy chit s6 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

có thể thành lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có năm chữ số

khác nhau

Giải

* Chữ số hàng đơn vị là 0 —› có 1.6.5.4.3= A¿ số

Chữ số hàng đơn vị là 2 hoặc 4, hoặc 6 —› có 3 cách chọn chữ

số hàng đơn vị, 5 cách chọn chữ số hàng vạn (khác 0), vậy có

3.5.5.4.3 = 3.5 AŠ số,

Tất cả có A4 + 3.5 A‡ = 1260 số,

Bài 2

(ĐH Huế, 1997) Có bao nhiêu số tự nhiên (được

viết trong hệ đếm thập phần) gồm năm chữ số mà các chữ số

đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau? Tính tổng của tất cả các số

tự nhiên nói trên

Giải

Mỗi số ứng với một hoán vị của năm m phần tử 5, 6, 7, 8, 9

Vậy có P; = 1.2.3.4.5 = 120 số

Sự xuất hiện của mỗi chữ số 5, 6, 7, 8, 9 ở mỗi hàng, (đơn vị,

chục, trăm, ) là như nhau, nên tổng các chữ số ở hàng đơn vị

của 120 số nêu trên là:

120 (5+6+74+8+9).— = 840

Suy ra tổng của 120 số là

840.(1.10°+ 1.10! + 1.10? + 1.10? + 1.10%) = 840.11111

= 9333240

ài3

(DH Quéc gia Ha Noi, 1997) C6 100.000 chiếc vé

xổ số được đánh số từ 00.000 đến 99.999 Hỏi số các vé gồm năm

chữ số khác nhau là bao nhiêu?

lái

Theo đầu bài thì chữ số hàng chục nghìn cũng có thể bằng

0 Suy ra có 10.9.8.7.6 = Ajo= 30240 vé gầm năm chữ số khác

nhau

Bài 4

-_ (H Thái Nguyên, 1997) Cho các số 1, 9, 5, 7, 8

Có bao nhiêu cách lập rà một số gồm ba chữ số khác nhau từ 5

số trên sao cho: :

a) Số tạo thành là một số chẫn

b) Số tạo thành không có chữ số 7

c) Số tạo thành nhỏ hơn 278

lái

a) Có 2 cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có 2.4.3 = 2 A‡=

sé chan ©

PHÂN LOẠI THEO Ý NGHĨA THỰC TẾ

Trang 4l

b) Chỉ được chọn trong 4 số, vậy có 4.3.2 =A3 = 24 số không

e) Chữ số hàng trăm là 1 hoặc 2: Nếu là 1 thì có 4.3 = A? =

12 số, nếu là 2 thì chỉ có đúng 8 số (275, 371, 258, 257, 251, 218,

217, 215) nhỏ hơn 278 Vậy có 20 số nhỏ hơn 278

(ĐH Y Hà Nội, 1997) Cho mười chữ số 0, 1, 2, 9

Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số ï khác nhau, nhỏ hơn 600000 xây dựng từ 10 chữ số đã cho

Giải

* Chữ số hàng đơn vị (chữ số đầu tiên bên phải) được chọn từ

1, 3, 5, 7, 9 Chữ số đầu tiên bên trái được chọn từ 1, 2, 3, 4, 5 Bốn chữ số ở giữa có A§ # 8.7.6.5 = 1680 cách chọn

Nếu chữ số hàng đơn vị là 7 hoặc 9 (2 cách chọn) thì chữ số

đầu tiên bên trái có 5 cách chọn, vậy có 2.5.1680 = 16800 cách chọn

Nếu chữ số hàng đơn vị là 1 hoặc 3 hoặc 5 (3 cách chọn) thì chữ số đầu tiên bên trái chỉ còn 4 cách chọn, vậy có 3.4.1680 =

20160 cách chọn

Tóm lại có 16800 + 20160 = 36960 số thỏa mãn đầu bài Bài 6

(ĐH Lâm nghiệp, 1997) Cho các chữ số 0, 2, 4; ð, 6,

8, 9)

1 Có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số mà trong mỗi số các chữ số khác nhau

2 Có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau, trong

đó nhất thiết có mặt chữ số 5

Giải

* 1, Chữ số hàng trăm phải khác 0, nên có 6 cách chọn Hai chữ số còn lại c6 6.5 = Az = 30 cách chọn Vậy có 180 số

2 Chữ số hàng nghìn phải khác 0, nếu là 5 thì ba chữ số còn

lại có 6.5.4= Aš = 120 cách chọn -> 120 sối

Nếu chữ số hàng nghìn là 2 hoặc 4, 6, 8, 9 (5 cach chon) thi trong ba chữ số còn lại phải có một số là 5 (1 cách chọn duy nhất), và hai số kia có 5.4 = A? = 20 cách chọn Vậy có 5.1.20 =

100 số Tổng cộng có 120 + 100 = 290 số

Bài 7

(Cao đẳng Sư phạm TP HCM, 1997) Cho các chữ

số 0, 1, 2, 3, 4, 5 Từ các chữ số đã cho lập được bao nhiêu:

1 Số chắn gồm 4 chữ số khác nhau

2 Số chia hết cho 5 gồm 3 chữ số khác nhau:

Giải 1 Số chin tan cùng là 0 có 5.4.3= A¿ = 60 số,

Số chẵn tận cùng là 2 hoặc 4 thì chữ số hàng nghìn phải khác 0, nên có 9.4 AGS = 2.4.4.3 = 96 số Vậy có 60 + 96 =156 số chẵn.

Trang 2

Phan Httu Thiém

2 Số chia hết cho 5 phải tận cùng là 0 hoặc 5 Nếu tận cùng

là 0 sẽ có 5.4 = AZ = 20 số Nếu tận cùng là 5 thì vì chữ số hàng

trăm khác 0 nên có 4.4 = 16 số Vậy có 20 + 16 = 36 số chia hết

cho 5

Bai 8

(DH Su pham Vinh, 1999) Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3,

á, ö, 6, 7 Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số

gồm 4 chữ số, đôi một khác nhau và không chia hết cho 10

Giải

Chữ số hàng nghìn và hàng đơn vị đều phải khác không

hên có 7.6 cách chọn Hai chữ số hàng trăm và hàng chục sẽ có

6.ð cách chọn Vậy 7.6.6.5 = 1260 số thỏa mãn đầu bài

Bài 9

(ĐH Quế: gia TP.HCM, 2000)

1 Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một

trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ?

2 Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó

có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chăn (chữ số đầu tiên phải

khác 0)?

Giải

* 1, Chữ số đầu tiên là số lẻ nên có 5 cách chọn, chữ số cuối

cùng là chẵn nên có ð cách chọn, khi đó 4 chữ số đứng giữa có

Ag cach chon, vay c6 25 A4 = 42000 s6

2 Từ õ chữ số lẻ chọn ra 3 số có Cj cách, cũng như vậy đối

_ với chữ số chẵn Với 6 chữ số đã chọn có P; = 6! hoán vị, trong đó

số các số có chữ số 0 đứng đầu tiên chiếm 8 - Vậy có

C2 = 64800 số

= 08,

i10

(DH Su pham Vinh, 2000) Tìm tất cả các số tự

nhiên có đúng ð chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau

lớn hơn chữ số đứng liền trước

Giả

* Chữ số đầu tiên bên trái phải khác 0, vì nó là nhỏ nhất nên

chỉ xét 9 chữ số từ 1 đến 9 Rõ ràng các chữ số phải khác nhau

nên nếu lấy ð chữ số bất kỳ sẽ tạo được 1 số (theo thứ tự tăng

dan) Vay số các số tự nhiên cần tìm là C?= 19345“ 126

Bai ll

(Viện Đại học Mở Hà Nội, 2000) Cho bốn chữ số 1,

2, 3, 4

a) Có thể lập được bao nhiêu số hàng nghìn gồm 4 chữ số

khác nhau từ bốn chữ số đó

b) Tính tổng các số tìm được ở câu a)

Giải

a) C6 P, = 1.2.3.4 = 24 s6

b) Nhận thấy 24 số ở câu a) gdm 12 cặp số mà tổng mỗi cặp

Trang 42

là 5555 (chẳng hạn 1234 và 4321) Vậy tổng phải tìm là 12.5555 = 66660

Bài 12

(Học viện Quốc tế, 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7, 8, 9 thiết lập tất cả các số có chín chữ số khác nhau Hỏi

trong các số đó có bao nhiêu số mà chữ số 9 đứng ở vị trí chính

giữa

Giải

* Số hoán vị của 9 phần tử là 9! Số 9 là bình đẳng như các

chữ số khác nên các số có 9 ở vị trí chính giữa là ọ`= 8! = 40320 -

Bài 13

(ĐH Quếc gia TP.HCM, 2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên khác 0) trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1

Giải

* Khi chữ số 0 ở hàng đơn vị, ð vị trí còn lại được chọn từ 8

chữ số 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có 8.7.6.5.4 = AŠ = 6720 cách chọn Chữ

số 0 có thể đứng ở 5 vị trí (vì chữ số đầu tiên khác 0) nên có

5 Aš = 33600 số thỏa mãn đầu bài

Bài 14

(ĐH Sư phạm Hà Nội 2, 2001) Tính tổng các số tự

nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được thành lập từ 6 chữ

số 1, 3, 4, B, T, 8

* Mỗi số ứng với một chỉnh hợp chập ð của sáu phần tử đã

cho Vậy có A¿ = 6,5.4.3.2 = T20 số

Mỗi một trong các chữ số đã cho có số lần xuất hiện ở hàng

đơn vị là như nhau và là = = 120 Suy ra tông các chữ số hàng đơn vị của 720 số đang xét là 120.(1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8) = 3360

Đó cũng là tổng các chữ số ở mỗi hàng chục, trăm, nghìn,

nên tổng của 720 đang xét là 3360 (1 + 10 + 10? + 10°+10'+10°)

= 3360.(11111) = 37332960

Bài 15

(ĐH Ngoại thương cơ sở II - TP.HCM, 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có sáu chữ số khác nhau Hỏi trong các số thiết lập được có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau

Giải

* Vì có sáu vị trí nên nếu số 1 đứng trước thì có 5 trường hợp

số 6 đứng ngay sau Cũng có 5 trường hợp số 1 đứng ngay sau số

6 Trong mỗi trường hợp, bốn vị trí còn lại có 4.3.2.1 = P, cách

chọn Vậy có (5 + ð).P, = 240 số mà 6 và 1 đứng cạnh nhau Có tất cả Pạ = 6! = 720 số có sáu chữ số Suy ra số các số thỏa mãn

đầu bài là 720 - 240 = 480.

Trang 3

Phan Htiu Thiém

2) Các chữ số có thể trùng nhau

Bai 16

(ĐH Quốc gia TP.HCM, 1998) Xét dãy số gồm 7

chữ số (mỗi chữ số được chọn từ các số 0, 1, 2, 8, 9) thỏa mãn

các tính chất sau:

- Chữ số ở vị trí thứ 3 là một số chẵn

~ Chữ số ở vị trí cuối không chia hết cho 5

- Cac chit sé 6 vị trí thứ 4, thứ 5 và thứ 6 đôi một khác nhau

Hỏi có tất cả bao nhiêu dãy số như vậy (có giải thích)?

Giải

* Xét day s6 (a, a,, as, a,, as, a, ay) thỏa mãn các yêu cầu

của đầu bài

Vi a, chan nên có ð cách chọn (0, 2, 4, 6, 8)

Vi a, khéng chia hét cho 5 nén cé 8 cach chon (1, 2, 3, 4, 5, 6,

Vì a„ a;, a; đôi một khác nhau nên có A¥p cách chọn

Vì a;, a, tùy ý nên mỗi số có 10 cách chọn

Vậy có 5.8 AŸ› 10.10 = 5.8.(10.9.8).10.10 = 2880000 day số

thỏa mãn đầu bài

Bài 17

(ĐH Sư phạm Vĩnh, 1998) Viết các số có sáu chữ

số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 (một chữ số xuất hiện hai lần, các

chữ số còn lại xuất hiện một lần) Có bao nhiêu cách viết

Giải

* Gia su chữ số 1 được viết 2 lân > cé C3 = 72 cach chon

vị trí để viết Bốn vi trí còn lại được viết các chit s6 2, 3, 4, 5 >

có P, = 1.2.3.4 cách viết Vậy có Cả.P, cách viết có hai chữ số 1

Vì vai trò 5 chữ số 1, 9, 3, 4, 5, là như nhau nên có 5 Cả.P, =

1800 cách viết

Bai 18

(ĐH Xây dựng, 1998) Có bao nhiêu số tự nhiên

khác nhau, nhỏ hơn 10000 được tạo thành 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4

Gi Pe

* Số có 1 chữ số: có 5 số (0, 1, 2, 3, 4)

Số có 2 chữ số: số có hàng chục khác 0 — có 4.ð = 20 số

Số có 3 chit s6: sé hang tram khac 0 > c6 4.5.5 = 100 sé

Số có 4 chit s6: sé hang nghin khac 0 — c6 4.5.5.5 = 500 số

Không thể có hơn 4 chữ số nhỏ hơn 10000 Vậy có

5 + 20 + 100 + 500 = 625 sé

Bai 19

(ĐH Sư phạm Vinh, 2000) Có bao nhiêu số khác

nhau gồm bảy chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một

sé chan

Trang 43

Giải

* Chữ số đầu tiên bên trái khác 0 nên có 9 cách chọn, xét 5 chữ số tiếp theo mỗi số có 10 cách chọn, riêng chữ số hàng đơn

vị cũng có 10 cách chọn nhưng chỉ có 5 cách cho tổng các chữ số thoa man dau bai (chan) Vậy có 9.107.5 = 4500000 số

Bài 20

(DH Su pham Ha Nội 2, 2000) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần còn các chữ số khác có mặt 1 lần

Bai 21

* 8ố hoán vị của 8 phần tử là P; = 8! tức là có 8! số Nhung

trong đó có các số trùng nhau vì khi bị đổi chỗ 2 chữ số 1 vẫn chỉ

là 1 số, đổi chố 2 chữ số 6 vẫn chỉ được cùng 1 số Vậy có

9°9 8! = 10080 sé

Bai 22

(ĐH Thái Nguyên, 2000) Có bao nhiêu số gồm 5

chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ?

Giải

* Chọn các chữ số lần lượt từ trái (hàng chục nghìn) đến

phải (hàng đơn vị): chữ số thứ nhất phải khác 0 nên có 9 cách chọn, chữ số thứ hai có 10 cách, chữ số thứ ba có 10 cách, chữ số thứ tư có 10 cách, chữ số thứ năm có 10 cách nhưng sẽ có 5 cách cho tổng cả 5 chữ số của số viết ra là lẻ, 5 cách cho tổng la chan

Vay dé thỏa mãn đầu bài có 9.10.10.10.5 = 45000 số, Bài 23

_(ĐH Thái Nguyên, 2000) Từ ba chữ số 1, 2 và 3 có

thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó có

mặt đủ 3 chữ số trên?

Giải

* Để tạo được số có 5 chữ số bắt buộc có mặt 3 chữ số 1, 2, 3,

ngoài ra lấy thêm 2 chữ số nữa (trong các chữ số ], 2, 3)

THỊ: 2 chữ số lấy thêm giống nhau, giả sử lấy thêm hai số 1 Coi 5 chit s6 1a khác nhau đôi một, có 5! hoán vị nên có 5! số, Nhưng trong đó có các số giống nhau do hoán vị của 3 số 1 Vậy

chỉ có “at: = 20 86 (có chứa 3 số 1) Suy ra có 60 số thuộc THỊ Bài 24

TH2: 9 chữ số lấy thêm khác nhau, giả sử lấy thêm 2 va 3 Lập luận tương tự THỊ: có 5! số nhưng có những số giống hệt

nhau do các hoán vị của 2 số 2 hoặc 2 số 3 Vay c6 Soy = 30 số (mỗi số có chứa 1 số 1)

Suy ra có 3.30 = 90 số thuộc TH2

Tóm lại có 60 + 90 = 150 số thỏa mãn đầu bài

Ghi nhớ: Số các số gồm k chữ số, mà chữ số a có mặt kạ lần,

6 ma ân, ó mặ ân là TT 1 TỊ+

a, co mặt k¿ lần, a„ có mặt k„ lan | Kk,! k,!

Trang 4

Phan Hữu Thiểm

(ĐH Huế, 2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4

chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần

lái

* Có 9000 số tự nhiên có 4 chữ số từ 1000 đến 9999 Trong

đó 9 số có 3 chữ số 0 là a000, 8 + 9 + 9 + 9 = 3ð số có 3 chữ số 1

là b111, 1a11, 11a1, 111a với b nhận 8 giá trị (khác 0, khác 1),

a nhận 9 giá trị khác 1 Tương tự có 35 số có 3 chữ số 2, 3ð số có

3 chữ số 3, , 35 số có 3 chữ số 9 Vậy có 9000 - (9 + 35.9) = 8676

Bai 26

(DH Quéc gia TP.HCM, 2001) Có bao nhiêu số tự

nhiên gồm 7 chữ số (chữ số đầu tiên khác 0), biết rằng chữ số 2

có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt đúng ba lần và các chữ số

còn lại có mặt không quá một lần

Giải

* Xếp chữ số 2 vào hai trong 7 vị trí có C? cách Xếp chữ số 3

vào 3 trong 5 vị trí còn lại có Cý cách Xếp hai chữ số trong tám

chữ số 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 vào 2 vị trí, có 8.7 = A2 cách Như vậy

7! 5!

⁄ 3 —— — th

co C G 7.8 _ Otat 3! 9!

số bắt đầu bằng chữ số 0 trong 11760 số nêu trên Lập luận

Bài 27

tương tự cho 6 vị trí: Có C2 cach xếp chữ số 9 vào 2 vị trí, Cả

cách xếp chữ số 3 vào ba vị trí, 7 cách xếp vị trí còn lại

(chọn một trong các chữ số 1, 4, ð, 6, 7, 8, 9) Vậy phải loại bỏ

C2.C3.7 = 420 số, nên số các số thỏa mãn đầu bài là 11760 -

”

420 = 11340

II BAI TOAN CHON

Bai 28

.7.8 = 11760 sé Can phai loai di cac

(ĐH Sư phạm Quy Nhơn, 1997) Cho hai đường

thẳng song song d, và dạ Trên d, lấy 17 điểm phân biệt, trên d;

lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm

trong số 37 điểm đã chọn trên d, và dụ

* Giả sử 37 điểm đã cho không có 3 điểm nào thẳng hàng >

số tam giác tạo được là Cš; Nhưng qua 17 điểm trên dạ không

tạo được tam giác nào lại kể là C3, tam giác, 20 điểm trên d;

cũng coi là tạo được Cặo tam giác Vậy số tam giác thực sự có

được là:

1 Cấy - Củc - Cỉ; => 9 (37.36.35 — 20.19.18 - 17.16.15)

= 5950

Bai 29

(ĐH Thái Nguyên, 1997) Một lớp học có 40 học

sinh gồm 25 nam và 15 nữ Cần chọn một nhóm gồm 3 học sinh

Hỏi có bao nhiêu cách:

a) Chọn 3 học sinh bất kỳ

b) Chọn 3 học sinh gồm 1 nam và 2 nữ

c) Chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam

Giải

Trang 44

* a) Mỗi cách chọn là một tổ hợp chập 3 của 40, vậy có

| Cio = 1.2.3 ~ 2880 cách chọn

15.14

b) Có Cả; cách chọn 1 nam và Cy = 1a =105 cách chọn

2 nữ Theo qui tắc nhân có 25.105 = 2625 cach chon

15.14.13 1.2.3 câu a) có 9880 cách chọn 3 học sinh bất kỳ Suy ra số cách chọn

có ít nhất 1 hoc sinh nam 14 9880 - 455 = 9425

Bai 30

(Học viện khoa học quân sự, 1997) Có 10 câu hỏi gồm 4 câu lý thuyết va 6 câu bài tập để cấu tạo thành một đề thi gồm 3 câu có cả lý thuyết và bài tập Hỏi có bao nhiêu khả năng cấu tạo đề thi

Giải

* Chon để thi có 1 câu lý thuyết và 2 câu bài tập có C‡ + Cá =

1 + 1ð = 16 cách

Chon dé thi có 2 câu lý thuyết và 1 câu bài tập có

Cá + Cả =6+6= 12 cách

c) Có Cï = = 455 cach chon 3 hoc sinh nữ Theo ˆ

Vậy có 16 + 12 = 28 kha năng cấu tạo đề thì

Bài 31

(ĐH Kiến trúc Hà Nội, 1998) Một đội xây dựng

gồm 10 công nhân, 3 kĩ sư Để lập một tổ công tác cần chọn 1 kĩ

sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 5 công nhân tổ viên Hỏi có bao nhiêu cách thành lập tổ công tác -

Giải

* Có 3 = Cả cách chọn 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 10 =' Cio cach

chọn 1 công nhân làm tổ phó Với mỗi cách chọn tổ trưởng, tổ

phó có Cš cách chọn 5 công nhân tổ viên Vậy có

9.8.7.6.0 1.2.3.4.5

3.10 Cỗ =3 10 = 3780 cách lập tổ công tác

Bài 32

(ĐH Quốc gia TP.HCM, 1998) Một da giác lỗi n cạnh thì có bao nhiêu đường chéo?

Giải

* Vì là đa giác lổi nên không có 3 đỉnh nào thắng hàng Qua

n đỉnh đó kể được C? đường thẳng phân biệt chứa các cạnh và

đường chéo Do có n cạnh nên số đường chéo là

_ nín - l) _ nén - 3)

C2 -»

Bai 33

(ĐH Huế, 1999) Một hập dung 4 viên bi đỏ, 5 viên

bi trang va 6 viên bi vàng Chọn ra 4 viên bị từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không có đủ ba màu

Giải

Trang 5

Phan Hữu Thiểềm

* Xét khả năng có đủ ba màu:

Có 2 đỏ, 1 trắng, 1 vàng: C2.C?.C¿ =+ 2 ö.6= 180 cách

Có 1 đỏ, 2 trang, 1 vang: Cy C5 Cg = 4 12° 6 = 240 cach

Có 1 đỏ, 1 trắng, 2 vàng: C¡ C¿ Cặ= 4.5 ‘12° 300 cach

Vì có Ci = 1365 cach chon 4 vién bat ky trong hộp nên số

cách chọn để lấy ra 4 viên không đủ ba màu là

1365 - (180 + 240 + 300) = 645

Bài 34

(ĐH Cảnh sát nhân dân, 1999) Cho tam giác ABC

Xét tập hợp 4 đường thẳng song song với AB, 5 đường thẳng

song song với BC và 6 đường thẳng song song với CA Hỏi các

đưởng thẳng này tạo được bao nhiêu tam giác và bao nhiêu hình

thang (không kể hình bình hành)

Giải

* Mỗi tam giác được tạo bởi 3 đường thẳng thuộc 3 họ khác

nhau, vậy có 4.B.6= Cả C‡.Cả = 120 tam giác

Mỗt bình thang được tạo bởi 2 đường của cùng một họ, 2

đường kia thuộc 2 họ còn lại, vậy có

C2.C¿ Cả +C}.C? Cá + CÌ.C¿ Cả = 720 hình thang

Bài 35

(DH Sư phạm Hà Nội 2, 1999) Một trường tiểu học

có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ (trong đó có 4

cặp anh em sinh đôi) Cần chọn một nhóm 3 học sinh trong số

50 hoc sinh trên đi dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ, sao cho trong

nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào Hỏi có bao nhiêu cách

chọn?

Giải

* Dé chon 3 học sinh bất kỳ trong 50 học sinh có

5 _ 50.49.48,

50 4.9.3 Caen

Có 48 cách chọn 1 học sinh để ghép cùng hai anh em sinh

đôi A và A' để tạo nên nhóm 3 học sinh trong đó có A, Á' Suy ra

số nhóm 3 người có 2 anh em sinh đôi nào đó là 48.4 = 192 Vậy

số nhóm 3 người không có cặp sinh đôi nào là Cặa-192 = 19408

Bài 36

(ĐH Sư phạm Vinh, 1999) Một tổ sinh viên có 20

em, trong đó 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết tiếng Pháp

và 5 em chỉ biết tiếng Đức Cần lập một nhóm ởi thực tế gồm 3

em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp và 2 em biết tiếng Đức

Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm đi thực tế từ tổ sinh viên ấy

Kết quả

8.7 6.5

#0203 Có Úạ.Ú7.Úã 123-1934: (4 2 -——— ———— a ~1 Da on

= 19600 cach

Bai 37

Trang 45

(Học viện kĩ thuật quân sự, 2000) Một đổn cảnh sát khu vực có 9 người Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm

vụ ở địa điểm A, 2 người ở địa điểm B, còn 4 người thường trực

tại đôn Hỏi có bao nhiêu cách phân công

Giải

* Cử 3 người làm nhiệm ở địa điểm A có Cỷ cách Cử 2 người (trong 6 người còn lại) có c cách Số người còn lại là 4 sẽ

thường trực ở đồn Vậy có Cả Cá = *1o3- Bài 38

o> on

1 = 1260 cách

(ĐH Huế, 2000) Một lớp học có 30 học sinh nam và

1ỗ học sinh nữ Có 6 học sinh được chọn ra để lập một tốp ca

Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau:

1 Nếu phảt có ít nhất 2 nữ?

2 Nếu chọn tùy ý?

Giải

_ 45.44.43.42.41.40

* 2 Nếu chọn tùy ý thì có Cis 1.2.3.4.5.6

8145060 cach

1 Chọn 6 học sinh, không có nữ: Cấn cách

Chọn 6 học sinh trong đó có đúng 1 nữ: 15 Cổ, cách

Suy ra chợn 6 học sinh trong đó có ít nhất 2 nữ có

- (Cẩn + 16 Ca) = 8145060 - 2731365 = 5413695 cach

Bài 32

(ĐH Thái Nguyên, 2000) Một đội văn nghệ có 20

người gồm 10 nam và 10 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5

người sao cho:

a) Có đúng 2 nam trong ð người đó

b) Cé it nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó

Giải

* a) Chọn 2 nam và 3 nữ sẽ có C?a C?o = 5400 cách

b) chon 3 nam va 2 nit sé c6 Cfo Cía = 5400 cách

Chọn 4 nam và 1 nữ sẽ có C‡o Clạ= 2100 cách

Vậy muốn chọn 5 người có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ (tức

là có 2 hoặc 3 hoặc 4 nam) có:

_ ð400+ð400 + 2100 = 19900 cách

Bài 40

(ĐH Cần Thơ, 2000) Có 9 viên bi xanh, ð viên bi

đỏ, 4 viên bị vàng có kích thước đôi một khác nhau

1 Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bì, trong đó có đúng 2

viên bị đỏ

2 Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ

Giải

Trang 6

Phan Hữu Thiểm

*1 Chọn 2 bi đỏ có C? cách, chọn 4 bi trong số 9 + 4 = 13 bi

5.4 13.12.11.10

xanh hoặc vàng có: Cƒs cách, vay c6 CZ Cis = 12° 1234

= 7150 cach

2 Chọn 3 trong 9 bi xanh, 3 trong 5 bị đồ có

9.8.7 5.4.3

o3.c3 = 282 548 =723°1,2.3 ~ 940 cach

Bai 41

(DH Quéc gia TP.HCM, 9000) Thây giáo có 12

cuốn sách đôi một khác nhau gồm 5 cuốn văn học, 4 cuốn âm

nhạc và 3 cuốn hội họa Ông lấy ra 6 cuốn để tặng 6 học sinh A,

B, C, D, E, F méi em một cuốn

1 Có bao nhiêu cách nếu thầy chỉ muốn tặng sách văn học

và âm nhạc

2 Có bao nhiêu cách để sau khi tặng, thầy vẫn còn ít nhất 1

cuốn văn học, ít nhất 1 cuốn âm nhạc và ít nhất 1 cuốn hội họa

Giải

* 1, 6 học sinh được nhận 6 trong 9 cuốn sách (văn học và

âm nhạc), vậy có 9.8.7.6.5.4 = 60480 cach

9, Thây giữ lại mỗi thể loại một cuốn, 6 học sinh được nhận 6

cuốn từ 9 cuốn, vậy có 9.8.7.6.5.4 = 60480 cách :

Bài 42

_ (Họ viện Kĩ thuật quân sự, 2001) Trong số 16 học

sinh có 3 học sinh giỏi, ð khá, 8 trung bình Có bao nhiêu cách

chia 16 học sinh đó thành 9 tổ, mỗi tổ 8 người sao cho mỗi tổ

đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá

Giải

* Cần tìm số cách chọn 8 học sinh có 1 hoặc 2 giỏi, 2 hoặc 3

khá, còn lại là trung bình (từ 3 giỏi, 5 khá, 8 trung bình):

e 1 gidi, 2 kha, 5 trung binh: C}.C?.C3= 3.10.56 = 1680

cach

e 1 gidi, 3 kha, 4 trung binh: C4.C3.C$=3.10.70 = 2100

cach, =,

¢ 2 gidi, 2 kha, 4 trung bình: C§.C?.Cả= 3.10.70 = 2100

cách

e 2 giỏi, 3 khá, 3 trung bình: C§.Cỷ.Cả= 3.10.56 = 1680

cách

Vậy có (1680 + 2100).2 = 7560 cách

Bài 43

(ĐH Ngoại thương, 2001) Trên mặt phẳng cho

hình 10 cạnh lôi Á;A¿ A¡s Xét các tam giác có 3 đỉnh của nó là

3 đỉnh của hình 10 cạnh lồi Hỏi trong số tam giác đó có bao

nhiêu tam giác mà cả 3 cạnh của nó đều không phải là cạnh của

hình 10 cạnh lôi

QO jpmmio OS» _

Trang 46

* Có tat ca Củ =793 120 tam giác Trong đó có 10.6 =

60 tam giác chứa đúng một cạnh của hình 10 cạnh (6 tam giác chứa canh A,A,, , 6 tam gidc canh A, A,) và 10 tam giác chứa đúng 2 cạnh của hình 10 cạnh Vậy có 120 - 60 - 10 = 50 tam

giác thỏa mãn đầu bài

Bài 44

(Học viện Kĩ thuật quân sự, 1998) Có n học sinh nam và n học sinh nữ ngổi quanh một bàn tròn Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để không có hai học sinh cùng giới ngồi cạnh nhau

Giải

* Đánh số các ghế từ 1 tới 2n Nếu nam ngôi ghế lẻ, nữ ngồi ghế chắn sẽ có È, = n' cách xếp cho nam, P, cách xếp cho nữ, vậy có (n!)? cách xếp Đổi lại nam ngôi ghế chẫn, nữ ngồi ghế lẻ cũng có (n)? cách xếp Tổng cộng có 2.(n!)? cach xép

Bài 45

(ĐH Cần Thơ, 1999) Xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ vào hai bàn, mỗi bàn có ð ghế Hỏi có bao

nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi, nếu:

1 Các học sinh ngôi tùy ý

2 Các học sinh nam ngồi 1 bàn, các học sinh nữ ngồi 1 bàn Giải

# 1, Có P; = 10! cách xếp các học sinh ngôi tùy ý

9 Có P; = 5! cách xếp 5 học sinh nam vào bàn A, 5! cách xếp

5 học sinh nữ vào bàn B -› có (ð! cách xếp Nếu nam ngồi bàn

B, nữ ngồi ban A cing có (5!) cách xếp

Vậy có 2.(5!)” = 28800 cách xếp

Bài 46

(ĐH Hàng hải TP.HCM, 1999) Có bao nhiêu cách xếp năm học sinh A, B, C, D, E vào một ghế dài sao cho:

a) Ở ngồi ở chính giữa

b) A và E ngồi ở hai đầu ghế

Giải

* a) C ngồi chính giữa, 4 người còn lại đổi chỗ cho nhau nên

có P„ = 4! = 4.3.2.1 = 24 cách xếp

b) A va E có 2 cách ngôi ở 2 đầu ghế, 3 người còn lại đối chỗ cho nhau, vậy có 2.Pa = 2.(1.2.3) = 12 cách

Nếu yêu cầu thỏa mãn cùng lúc cả 2 điều kiện a) và b) thì có 1.2.2 = 4 cách

Bài 47

(ĐH Luật Hà Nội, 1999) Một đoàn tàu có 3 toa chở

khach 1a toa I, toa II, toa HI Trên sân ga có 4 hành khách

chuẩn bị đi tàu Biết rằng mỗi toa có ít nhất 4 chỗ trống

a) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên 3 toa tàu đó b) Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 4 vị khách lên tàu để có 1

toa có 3 trong 4 vị khách nói trên

Giải

Trang 7

Phan Hữu Thiểm

* a) Cả 4 khách lên toa Ï, có 1 cách

Có 3 khách lên toa I, khách thứ 4 lên toa IÍ hoặc II, c6 C3

cách

Có,2 khách lên toa I, C2 cách, 2 khách còn lại có 4 cách chọn

lựa (cùng lên 1 toa II hoặc III, mỗi người lên một toa II hoặc

II), vậy có 4.C2 cách

Vì tó 4 khách lên 3 toa tàu nên ít nhất có 1 toa có 2

khách trở lên Giả sử đó là toa I Lap luận trên cho thấy có

(1+ C3 +4 C ).3 = 99 cach (do vai trò các toa như nhau)

Bai 48

(DH Can Thơ, 2001) Một nhóm gồm 10 học sinh:

ï nam và 3 nữ Có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên

thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam đứng liền nhau

Giải

* Đánh số các vị trí từ 1 đến 10 Có 4 trường hợp các học

sinh nam đứng liền nhau (từ 1 đến 7, từ 2 đến 8, từ 3 đến 9, từ 4

đến 10) Trong mỗi trường hợp, 3 nữ sinh có 3! cách hoán VỊ,

7 nam sinh có 7Ì cách hoán vị Vậy có 4.3!.7! = 120960 cách sắp

xếp

IH CÁC BÀI TOÁN VE NHI THUC NEWTON

Bài 49

(Học viện Kĩ thuật quân sự, 1997) Đa thức

P(x) = (1 +x) + 2(1 +x)’ + 3(1 + x)” + + 20(1 + x)” được viết lại

dưới dạng P(+) = ao † a¡.X + a;.X” + + a;y.x””, Tìm a¿

Giải

ays= 15.C]2 + 16 C18 +17 CH +18 C13 +19, C15 +20 035

= 15.Cj5 +16 Cle +17.C?, +18 C3, +19 C4 + 20 C8

= 15 + 16.16 +17.——“ 1631616117 1Ô +18 122 +19 1aaa +18” —

20:19.18.17.16 _ 2325 = 400095,

Bai 50

(ĐH Kinh tế quốc dân, 1997) Tìm số hạng không

12

chứa x trong khai triển Niutơn của (x + 4)

Giải

12

tha =] = † Củ xa + = † Cía v2 2k}

Theo đầu bài thì 0 = 12 - 2k o k = 6, vậy số hạng không

12.11.10.9.8.7

chứa x phải tìm là Cïa X” = 193406 7924

Bài 51

(ĐH Đà Lạt, 1999) Tính hệ số của x”.y!° trong

khai trién (x? + xy)”

Giai

Trang 47

* Theo khai trién Niu ton (x? + xy) = + Ch E(xy) + st CR ye Theo gia thiét thi 25 = 2k + 15, 10 = 15 - k —> k = 5 -> hệ số

của x”.y!° là C7; = si = 3003

Bai 51

(ĐH Sư phạm Hà Nội, 2000) Biết tổng các hệ số của khai triển nhị thức (x? + 1)" bằng 1024, hãy tìm hệ số a (a là

số tự nhiên) của số hang ax” trong khai trién dé

Giai

*# (x” + 1)" = 3 01x, Thay x = 1 được 1024 = 5Q =

(2+1"= 2"

Vậy n = 10 Số hạng ax” ing véi 12 = 2k o k = 6 nên a= C8, = 210

Bai 52

(ĐH Sư phạm Hà Nội, 2000) Trong khai triển nhị thức (xÄx +x ?!!5)" hãy tìm số hạng không phụ thuộc x, biết rang C2 + C84 CB? = 79 (1),

Giai

* DK: n-2200n22

@)-+1+n+48~9 = 79 ->n= 19, loại n=~ 18< 9

C6 (xe x +x ?815)12~ +

= 4 ck x48U15-112/5 4p —-

ck (x43) (188 12k +

Số hạng không phụ thuộc x c> TT” —B—- =00k=7

Sé hang khéng phu thuéc x la C/, = 792

Bai 53

(Học viện Kĩ thuật quân sự, 2000) Khai triển da

thức P(x) = (1 + 2x)” thành đạng ay + a,x! + a;X? + + a,›.xẺ Tim max (aj, a) yp)

Giải

12

* P(x) = (1 + 2x)? = ` trong đó ay = ck 0}

k=0

Gia sua <a OF]! <(k+ Dw! OFS Suy ra ay <a; < ay < < ay VA Ag > Ag > Ay) > Ay; > Arp

ag = 126720

Bai 54

Trang 8

Phan Hiiu Thiém

(DH Thủy lợi, 2000) Cho đa thức

P(x) = (1 + x)? + (1 +x) + + (1 + x)" có dạng khai triển là

P(x) = a + ay + a,x? + +.a,,.x", Tinh hé 86 ag

# Ta có (1 + x)"= CO+CÌ x+C2.x?+ + C9 x?+ +CP x",

Từ đó suy ra aạ = C3 +Ci +09, +09, +09 +09, = 3003

Bai 55

(DH Su pham Ha Néi, 2001) Trong khai trién cua

( +3 | thành đa thức aạ + ay.x † a„X” + + ayo.x"”, (a, € R),

hãy tìm hệ số ay lớn nhất (0 < k < 10)

Giải

k

* 442) = » (2) (2) x Gia su a, $a, 0

G 3 d 10 3 3 k-1 Š 8y

ki ak 2 22 vụ, Cịa.2!

Cio’ gid < Clog ks" Vay maxa, = a= 3

Bai 56

Bai 271 (DH Bach khoa Ha Noi, 1998) Viết khai triển

Niutơn của biểu thức (3x - 1)'Ê Từ đó chứng minh rằng

3', 1c — 35,1 + 31.Cïc — + Giá = 2%,

Giải

* (8x — 1)! = [3x + (—U]'* = CP, (3x) + Gja.(3x)'.(1)! +

Ca (3x)!(—1)2+ .+ C]Ế (3x)°(-1)" = 3% C8, x — 315, Ca ,x'5

+ 34.02, x — 3 OF, xB + + C18

Cho x = 1 sẽ được đẳng thức phải chứng minh

Bài 57

(ĐH Y dược TP.HCM, 2000) Với n là các số nguyên

dương chứng mình các hệ thức sau:

a) c? +! + Cỷ + +CP =2

b) Cận + Cần + Cần + cận = cot C2 +C5, $a +02

Giai

* a) Theo khai trién Niuton (1+xy=

0 1 2 v2 n

Ca + C¡.x+ Cá.x + tƠn X”

Thay x= 1 được 2"= Cộ + CÌ + CỆ + +C?, đpem |

b) Cũng theo khai triển Niutơn

(1+ x)= C9, + Ch xt C3, x? + + C2 x,

Thay x =-1 dude

o= C9, - ch, + 03, - CR, + +038 (1),

1 3 2n-l_ n0 2 2n

> Cont Coq + + Con = Cog + Con + + Cấn, đpem

Bai 58

Trang 48

(ĐH Hồng Đức, 2000) Cho k, n là các số tự nhiên

và 5 <k <n Chứng minh |

C8.ck + ch ck + +08 ck5= ck,

Giai

* Dễ thấy rằng (1 + x)”.(1 + x)" = (1 + x)"", và:

M=(1+x)"= C?+C}.x +Cễ.x? + Cả x'+ C{ x*+ Cễ ”

N=(1+x)"= Cộ + CÌ.x+ C2.x?+ +CR x*+ + CP x®,

P=(1+x)*"= Ce tCh xt + CE xk ++ CBE xh, Nhan thay CK, là hệ số của x* trong P Vì P =M.N mà số

hạng chứa x trong M.N là:

C?.CỀ x*+C}.x CÈTL x H+ „+ Cễ x5, CÀ-Š xk 6 nén Cf, = Cÿ.CÈ+C‡.CR-l+ + Cš.CẰ~Š (dpem) Bài 59

(DH Su pham Vinh, 2001) CMR

Copo1 +3% Coppi + 3° Cdgy + «+ 3 CH = 22° (2° 1) (1)

Giai + 2,VP (1) = 420! — 2201 = (3 + 1)?! + (-3 + 1)! do dé tix hai

(x + 1)" = Coon + Xt Cẩm xu +02001 xm (2) (—x + 1)! = C8591 —Choo1 -X+ C3901 X74 «at C3907 x7 (3) Cộng lại rồi thay x = 3 sẽ được (1)

Bài 60

.(ĐH Hang hai, 2001) CMR

Gộ, +(ậ, 3? +(2p 39+ + Cân an = 21,02 +1) (1)

Giải

* Theo khai triển Niutơn (1+x)”= CÔ + GÌ, xt CH, x”+ + Cấp x?

ta có (1+ 8)"= CŨ +C} 3+G2,.32+ + Cấn 3" (2)

và (1— 3)" =C0 -C} 8+C?a.3?— †+ — + Cận 3?" (3)

(2) + (3); 4™42=2.(C9 +02, 3+ C4, 3t +323) = (1)

Bai 60

(ĐH Đà Lạt, 2001) CMR với mọi số x:

x” — >Ck (2x — 1)*, với n là số tự nhiên

k=0

Giải

Trang 9

Phan Hữu Thiểềm

* Đặt X= 2x - 1 thì phải chứng minh

tm + y=} | > ck ye ()

k=0 (2) chính là công thức khai trién Niuton Vay suy ra dpem

Bai 61

(DH Kinh tế quốc dân, 2000) Chứng minh rằng

2m1 G1 + 21 C2 +3, 95, 2+ +n,CP =n.3"1 (1)

Giải

* Có (1 + x)" =C§ +CÌ xt C2 x74 +C2.x" Đạo hàm hai vế

n(1+x)"?=0+C) +2x, C24 + nx), C2 (2)

Thay x=3:n(3) = C1+02 tổ 084+ Cit tom an Cn

— n.871=2"1= Cả +21, C2+3, 23, CỔ + +n C? (đpem)

Ghi nhé: Vế trái của (1) có dạng 3k.2"*, CỀ nên cân xét

k=1

dao ham cua (1+ x)" So sánh (1) và (2) sẽ biết cần thay x bằng

(ĐH Tài chính kế toán Hà Nội, 2000) Chứng minh

rằng với mọi số tự nhiên n: Œ} +2 C2 +3 CỶ+ + n C?h=n2"

Giải

_*#Œ6(1+x)"= Co+C) x+C2 ,x?+ +CP x", Đạo hàm hai vế

n(1+x)™=0+ Cl +9x.02 + ¢nx™ C2,

Thay x = 1 được đẳng thức phải chứng minh

Bài 63

(DH Su phạm TP.HCM, 2001) CMR:

Cy 31+ 2.053"? + 3.02.872+ + na =n.4"1 (1)

Giải

* Nhận thấy vế trái của (1) có chứa hàm số mũ của 3 nên áp

dụng khai triển Niutơn cho (x + 3)" được

f(x) = Œ + 3)"= Có 8" +Cn 31x + +ƠN,

Đạo hàm hai vế được:

n(x + 3)"?= (0 +C) 34402 32x 4 + Ott xt)

Cho x=1-> (1)

(ĐH Tài chính kế toán TP.HCM; 1995)

1

Tinh I = fa - x®".dx (n là số nguyên dương) Từ kết quả đó

0 chứng tỏ rằng: - coc C (-1)".C2 _ 2.4.6 (2n - 2).2n

ote tet Gay, > 185 Gat)

Giải

* Dat x= sinx > 1= {a - sin’t)".cost.dt = feos?" t dt

0

ad = a 2).2n

Su dụng phương pháp truy hồi sé c6 I= On + 1) (1) Theo khai triển Niutơn thì:

(1-x9)"=1- CÍ x" +C2.xt~ Cả xP+ + C1)", Ca x”, Lấy tích phân hai vế, được:

2n+l 1

= _l 1 v3 1@ BS at -1)8,¢2 X

l=|x zon on it ( ) ontto

Từ (1), (2) có đpem

Bài 65

(ĐH Bách khoa Hà Nội, 1997) Gọi n là số nguyên dương bất kỳ

|

a) Tinh J= fx.(1-x).dx

0

Giai

1 1

*a)J=~Ð fa- - xP - x) = an T80

0

b) Theo khai triển Niutơn

_(1+x)"= CP+CÌ x+CỆ x?+ +CP x"

ta có (1 x2)" =C? +C¡ (—x?) +C2 (—x2? + +CP (-x®n"

— X(1~X9*=x.Cn - XẺ.Cn +x®,Ca † +(-1)"x C8

I= fx (1-3) d= J ci -* “pont X 24,4 CUP™ on

Từ (1), (2) có đpcm.

Trang 10

Phan Hữu Thiểm

(ĐH Kiến trúc Hà Nội, 1999) CMR với mọi n

nguyên dương ta có

Giải

* VT (1) =(C, xt Ch x43 Ủn X + + Cn 0 J n 2 2 v3 nN x Mo vn+l 1

Vi FQ)

1

= [fo dx, trong đó f(x) là đạo hàm của F(x) nên

0

1

VT()= [Ca +Ca x+ CỆ x” + + C? x9.dx=

0

lu + x)°.dx = {a + x)".d(1 + ye 2“ n+i =

= VP (1) (dpem)

Bai 67

(ĐHDL Phương Đông, 1996) Chứng mình rằng với

moi k, n € Z* thỏa mãn 3 < k < n, ta đều có:

ck +3.ck143.ck24+ck3 = ck,

Giai

* Ấp dụng liên tiép cing thite CP = C¡'¡† ni 11 để tách

một số hạng thành hai số hạng sẽ được:

Chis = Chua +Chap

= (Chat Cnst) + (Coat + Coat)

= (CE+0ˆ1)a(0171+02)x(0471+CE-®) (GE 2+07-5)

Bai 68

(Học viện Công nghệ Bưu chính viễn thông, 1998)

Tìm các số nguyên, dương x, y thỏa mãn

Giải

*ĐK:y<x†ly+1<x

y(x+l-y)! (y+Jl«-y-DÌ

By + 1).(x +1) = 6 -y).x-y + 1) (1)

5.0 =6.Ì?! ©

Vi cing bing 6(x-y).(x - y+1) nén 5.(y + 1).(x +1) = 15y.(y+1)

+ x+1= 3y (3)

x=8 Vậy x= 8, y= 3

(Học viện Ngân hàng, phân viện TP.HCM, 1999)

Tìm các số x nguyên dương thỏa mãn phương trình

Giải

*DK: x23

x.(x — 1) | x.(x — 1).(x — 2)

Vay x = 7, loại x = 2 < 3

Bai 70

| (Cao đẳng Sư phạm TP.HCM, 1999) Tìm số tự nhiên k thỏa mãn đẳng thức C#, +CK?? =o, ()

Giải

*ĐK:k+2<14<›k< 12

kl14—-k)! @&+2)!12—k)! _+1U!(13-k)!

«> k? — 12k + 32 =0, vậy k = 4, k = 8 đều thỏa mãn ĐK Bài 71

(ĐH Quếc gia Hà Nội, 2001) Giải PT

x là số nguyên dương

Bài 72

(DH An ninh nhân dân, 2001) CMR với n là số tự

nhiên, n > 2, ta Có: ++i + -1= (p

Giai

6-9) +-2) «GG 2) \@ 3) (3-4 -lon te n

1-7 = n (đpcm)

Bài 73

.(ĐH Bách khoa Hà Nội, 2001) Giải hệ PT

2.A¥ +5.C% = 90

5 AY - 2.CY = 80

Tiêu đề	Phân loại theo ý nghĩa thực tế
Tác giả	Phan Hữu Thiệm
Chuyên ngành	Đại Số Tổ Hợp
Thể loại	Bài tập
Năm xuất bản	1997

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	1,65 MB