Thầy giáo Nguyễn Đức Huấn trường THCS Phan Bội Châu huyện Tứ Kỳ, tỉnh Hải Dương xin giới thiệu dạng toán rút gọn lớp 9 để các thầy cô và các em tham khảo trong quá trình ôn tập đạt kết quả cao. Chúc các thầy cô và các em thành công
Trang 1CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN TẬP 2
x+2jx+l x-l Vx ;x>0, x41
Bai 1: Cho biéu thtrc Q -[
a) Chimg minh Q =—— xe
b) Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên
Bài 2: Cho biểu thức:
M=c 3a 3a, 1 _j.(a-D@a-xb)
atvVab+b aJa—byb va-xb_ 2a+2Nab+2b
a) Rút gọn
b) Tìm những giá trị của a nguyên để M nguyên
Giải
a) Rút gọn: M= _—~
a —]
b) Để M nguyên thì a-l phải là ước của 2
a-l =l = a=2
a-l =-l =a=0 (loại)
a-l=2 =a=3
a-l=-2 =>a=-l (loại)
Vậy M nguyên khi a = 2 hoặc a = 3
ue oA z vx +1 4x 4x Vx +1 1—-A'x
Bài 62: Cho biêu " ma thức P= 2 HÀ Jx-1 Ax31
a) Rut gon P
b) Tính giá trị của P khi x= 2-vi
c) Tim x dé P=1
2Ja +3Vb 6- Jab
Jab +2Va—3Vb-6 Jab +2Va+3Vb +6
a) Rut gon R
b+ = thi 5 là một số nguyên chia hết cho 3
— a
b) Chứng minh rằng nếu R =
1
Trang 2
c) Cho R = 2419 @ 410) Chimg minh 2-2 b-10 b 10
Jey -2y x4+Vx—2xy-2Jy 1-Vx a) RutgonA?
b) Tinh A biét: 2x?+ y’- 4x - 2xy+4 =0
HD:
vx
vy
b) 2x*+ y - 4x -2xy + 4=0 © (x- y+ (x-2) =0 © x=y=2 (t/m DK) Vay A=1
a) Rut gon B
a) A=
b) Tính giá trị của B khi x = 6 + 24/5
c) Tìm x nguyên để B nguyên
HD:
Vx-1
a) B=
Vx +2
Bài 7: Cho biểu thức : P= 2+dx_ 4x 2-vx _ x= 3vx
2-lx x-4 2+Ax) 2x-^Ax`
a) Rut gon P
b) Tìm các số nguyên của x dé P chia hết cho 4
c) Tim x sao cho P = -1
l+V¥x 1
xvx+xtVx Vx—x?
a) Tìm điêu kiện của x đê P có nghĩa
b) Rút gọn P
Bài 8: Cho P=
Trang 3
c) Tìm xeZ dé gia tri cua biêu thức QO = cũng là sô nguyên HD:
a) DK: x>0;x #1
P=1-x
2
b) ga 28 xt 9, 344
2
Bài 9: Cho biêu thức A =|——-—— —
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x để 4xx >2
1~x
DS: A=
vx
Bài 10: Cho 4-|“—#+7,_ a-4_ Ja—2) |Ja-2 Ja+2 a-4 1L _| [Ýa+2_a-2_2vz |
a) Rut gon A
b) So sánh A và -
HD:
DK: a>0;a #4
a) A= a+9
6a
2
b) Xét hiệu = —ŸÝŸ >0 (Via>0;a z4)
>A> 1,
A
Bài 11: Cho 4=| —Š—* = + ab
Vx-Jy = y-x
a) Rut gon A
b) Chứng minh 420
Trang 4Bài 12: Cho biểu thức : M= x‡2jx~7, vx-I ( 1d
[ x-9 "3 Wy Vx +3 vx -1
a) Rut gon M
b) Tìm các số nguyên của x để M là số nguyên
c) Tim x sao cho: M> 1
HD:
DK: x>0;x#9,1
vx 1
M=
a) Vx -3
a) Rút gọn M
b) Tìm các sô tự nhiên x đê M là sô nguyên
c) Tìm x thoả mãn M<0
3+vx 3-Ax = { 5 4Jx +2
Ic>-)
3-Jx 3+vx x—9
Bài 14: Cho 4 |
a) Rut gon A
b) Tìm điều kiện của x dé |4|>—A
c) Tìm x để 4ˆ =404
; a)b>0; afb
Bài 15: Cho biểu thức: A=[deb- ab ) a+Vab) a-b ~b
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm a dé A =a’
c) Chứng minh răng A < (a+l)”; với mọi a) b> 0; a #b
d) Tim a, b dé A< (-a’)
Bài 16: Cho biểu thức:
Trang 5
xy -—2y x+x4x-2 xy —2,/y l-Vx `” °
a) Rut gon A
b) Tim tất cả các số nguyên duong x dé y = 625 va A<0,2
\x-3
Vx +3 Vx -3 x—-9
Bai 17: Cho biểu thức: B -(
a) Rut gon B
b) Tính B khi x =7 - 2V6;4- v3
c) Tìm x đề B < ¬ :B<1
d) Tim gia tri nhỏ nhất của B
e) Tìmx e Z để B e Z
Bài 18: Cho biểu thức: 4-4 Bvx ot) (A 1
a) Rut gon A
b) So sanh A voi 1
{1+2x 2x (#2 on
Bai 19: Cho biểu thức: A= (+ 4x |
I-4x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm các gia tri cha x dé A> A’
c) tìm các giá trị của x dé |A| > 1/4
DS:
Vx-1
10x+Vx
b)A>A’? & A(A-1)<0 6 0<AK<1
A>O x>l1
a) A=
>
A<l Vx
Axl
4
1
0) |Al> ae
A<-— 4
Trang 6N oa, 1 Wx -2 1 2
Bài 20: Cho biêu thức: 4= (— — | (5 4 : —
voix >0;xF#1
a) Rút gọn biêu thức A
b) Tìm giá trị của x để A đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 21: Cho biểu thức: A= 1 1 +1; với a>0, aZl
va-1 Va+1
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm số nguyên a để A là số nguyên nhỏ nhất
,2-2va |
a-l
Bài 22: Cho biêu thức A =| I : —
a) Rút gọn biêu thức A
b)Tìm giá trị lớn nhất của A
2
1 +
a) Tìm z để 4, B có nghĩa
b) Rút gọn A, B
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của Ö
¥ (2 + —| eae a) Rut gon y
b) Vẽ đồ thị hàm số y
c) Cho A(2;5) ; B(-1;-1) ; C(4;9) Chứng minh A, B, C thắng hàng và đường thắng ABC song song với đường thăng y
d) Chứng minh đường thắng BC và 2 đường thắng y = 3 và 2y + x - 7 = 0
là 3 đường thăng đồng quy
Bài 25: Xét biểu thức P = _
x-l x42 x41 2
a) Rut gon P
b) Chimg minh rang néu 0<x <1 thiP>0
6
Trang 7c) Tìm giá trị lớn nhất của P
2
Bài 26: G=-” Se 2a 20)
a) Rut gon G
b) Tìm x để G nhận giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó
vxt+1) \Vvx4+1 1-x
Bài 27: Cho biểu thức P= [vi —
a) Rut gon P
b) Tim cac gia tri cua x thoa man P < 0
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
1 a?+2
1
' ° 20+Va) 20—Va) 1—a
a) Rút gọn A
b) Tim min A
2 2 _
Bài 29: Cho biểu thức: A = v3| 1, + | x? Vx xx ~vx
Vx-1 Vx4+1) x+Nx+l Yx-—l a) Rut gon biéu thirc A
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A là số nguyên
Bài 30: Cho biêu thức A=|- ——-—-———|:|1!-——
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A là số nguyên
sân sáu) 2p an)
x-ljx x4vVx J x-1 Bài 31: Cho biểu thức A=
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị nguyên x để A là số nguyên
Bai 32: Cho M =1-
a) Tim diéu kién cua x dé M co nghia
b) Rut gon M
Trang 8c) Tìm xeZ dé MeZ
Bài 33: Cho biểu thức: pai(32 vx +1 e+) mm x-1
a) Rut gon P
b) So sánh P với 3
Bài 34: Cho biểu thức P= + +
xlx-1 x+Nx+1 1-vx
a) Rút gọn P
b) Tinh giá trị của P biết x = 28- 64/3
c) Chứng minh P<3
đ) Tìm x đê P=:
Bài 35 : Cho biểu thie: P= { 7") vx H 3 can
Vx? -1 xtvx4+1 Vx] l—x
a) Rút gọn P
b) Tinh gia tri cua P khi x = ——— ) gia tri 3-5
c) Tìm x nguyên đề P là số tự nhiên
d) Tim x để P < -l
Bài 36: Xét biểu thức A = — + _ mat +1,
a) Rút gọn A
b) Biết a > 1, hãy so sánh A với |A|
c) Tìm a để A = 2
d) Tim gia tri nhỏ nhất của A
x + Vx _ 2x+x
+]
Bai 37: Cho biểu thức: 8 =
a) Rut gon B
b) Tim x dé B = 2.
Trang 9c) Tìm giá trị nhỏ nhất của B
_242+4 1 1
Bài 38: Cho biểu thức: 4 ụ t-a 1+Ja 1-Va _ _
a) Rut gon biêu thức A
b) Tìm giá trị lớn nhất của A
HD:
2224 1 j1 )_ 2
l-a 1+Nla 1-NaC a?+a+l
b)Vìa>0—=a“+a+l>1l>— <2
a +a+l
Dấu "=" xảy ra © a= 0
Vay maxA 2 a=0
a—] Ie =A
a) Rut gon A
b) Tìm giá tri cua a dé A dat gid trị lớn nhất
Qxvx+x—-Vx xtvx x-l + Vx
xvx—1 x—1 }2x+4x_—1 2Nx-I1
Bài 40: Cho biêu thức A =
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tim x dé A dat giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị ấy
tx 2x+x'x
+1—
x-vx+l Vx
a) Rut gon y Tim x dé y =2
Bài 41: Cho biểu thức y=
b) Giả sử x > 1 Chứng minh rằng y-|y|=0
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của y 7
HD:
DK: x>0;x # 1
a) y=x-vx
b) Với x> 1 > Vx >1= Vx-1>0= Vx(Vx-1)>0=> y>0 => |y\=y>|r|-y =0
Trang 10
2) 4 4
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa
b) Rút gọn M
c) Với giá trị nào của x thì biêu thức M đạt GTNN và tìm GTNN đó của M HD:
DK: x>0x# lx #2
b)M= xay
x+Nx+l
_ 1
c) M= 1-——_—
xt+vx4+1
Vix>0=>—}—<I>i-—E—<0 hay M <0
x+Ax+l x+vVx4+1
Dấu "=" xảy ra © x =0 (thoả mãn ĐK)
Vậy minA =0 x=0
Bài 43: Cho biểu thức: A= 1: xi2jx~2 vx-l "-
xvVx4+1 x-Nx+rÌ] Ax+I
a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của A nếu x =7 - 443
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
x+1) (Jx-1 x/x+Xx-x-I1
a) Rút gọn biêu thức A
b) Tìm các giá trị nguyên của x đề B = A - vx là số nguyên
2x —9 Vx +3 2Vx +1
Bai 45: Xét biểu thức Q= ~ ~
, Diệu tức € x-5jx+6 Ax-2 3 +x
a) Rút gọn Q
10
Trang 11b) Tìm các giá trị của x để Q < 1
c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của Q cũng là số nguyên HD:
a) DK: x>0;x#4,x #9
_ vx +1
QF 3
b)Q<1= Na c© T-<02x-3<0©x<9
Kết hợp với ĐK ta được 0< x<9;x#4
a) Rút gọn P
b) Tìm xeZ để A >0
DS:
Vx +1
vx -2
a) P=
xíx-3 2(Vx-3) Joa +
x-2jx-3 Ax+1 3-Vx
Bài 47: Cho biều thức A =
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính A biết x=14- 6/5
c) Tìm x, biết A = 8
d) Tìm các giá trị nguyên của x để A là số nguyên
e) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
HD: ĐK x>0;xz9
_ x+8
A= ral
_ A( vx +1)4(x-4vx +4) (vx-2}
Dấu "=" xáy ra © x =4 (/mđk)
11
Trang 12` ® tA z 1 5 ýx-2
Bai 48: Cho biêu thức A = — —
'x+2 x-Nx-6 3-Vx
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm các giá trị nguyên của x để A là số nguyên
c) Tìm giá trị lớn nhất của A
x+26/x-19 2jx Vx-3 Bài 49: Cho biểu thức P=Š _
x+2\'x-3 Jeol Ve43
a) Rut gon P
b) Tính giá trị của P khi x=7—4x/3
c) Với giá tr nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó
HD:
ĐK: x>0;xzl
_ x+16
2) PS
_(W-2} +4(dx+3) (vx-2}
c) P= Jx+3 = Tea3 +4>4
Bài 50 : Cho (8 | 25—x — — Vx+3 mm] +
x—25 xt2Vx-15 vx+5 Vx-3
a) Rut gon A
b) Tim xeZ dé AeZ
Bx+v9x—-3_ Vx+1 Vx-2
xtV¥x-2 Vx42 1-Vx
Bai 51: Cho biểu thức: K =
a) Rut gon K
b) Tính K khi x = 3 + 242
c) Tìm x nguyên dương để K nhận giá trị nguyên
Vx -3
DS: K =
Vx-1
Bài 52: Cho biểu thức : A= (2 — 3 + | |
Vx+3 x+Xx-6 2-Yx
a) Rút gọn A
12
Trang 13b) Tính giá trị của A nếu x = 2
2+43 c) Tìm x nguyên để A nguyên
b a+b
Bài 53: Cho biểu thức N=——Ê—+ _
Jab +b Jab —a Jab
a) Rut gon biéu thức N
b) Tính giá trị của N khi a = 44+ 2V3, b=/4-2N3 ;
a=6+2V5 ; b= 6-215
c) Chimg minh rang néu ¬ _
HD:
ab>0
Jab +b+0
Vab-—a#0
Chi y: Jab = Ja./b a>0;b>0
a) w- (4b —a)+bGlab +b) _ a+b
(Äab+b)\(ab-a) — Vab
_ Vab(a+b)+(? Ta”) _a+b
bAlab — aNab Jab
_Vab(a+b) +(a+b)(b-a) a+b _Vab(a+b) a+b _at+b_atb
Vab(b—a) Jab Jab(b—a) Jab Jab b—a
Bài 54: Cho biểu thức A= vx+1 SKE $5) (x-3Vx+2) (v6i x20; x# 4) 1
a) Rut gon A
b) Tìm x để A < ;
c) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
HD:
b) 0<x<4 c) x=1
13
Trang 14
Bài55: Cho biểu thứcM=|#!2-_ ai o biêu thức = T3 y3 } vx (với x>0; xz 9) si x>0; x¥ 9
a) Rút gọn M
b) Tính giá trị của M khi x = /27+10V2 —V18+8V2
c) Chứng minh M > ;
HD:
Vx +1
Vx +3
a) M =
1
M=—
cẶM-¿=— 2" »0 =M>;
3 3(Vx +3)
Vx+3 Vx-3 x-9) ( vx-3
Bai 56: Cho P |
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P<—
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 57: Cho biêu thức P = | ———_ +———_|:—_——. cm xin (TỚI x>9 x#l) (voi x>0; 1 a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x = J3+2V2 -¥3-2V2
c) Tim x dé P= Vx
d) Véi x > 1 hãy so sánh P với JP
HD:
ayP= b) P= (V2 +1) c) x = (V2+1)
đ) x> 1 suy ra P > 0 nên 4P có nghĩa
XétI-P=1- YŠ—=-=—<0 é Trad TS suy ra P>1 đo đó VP >1 o dé VP>
14
Trang 15Vậy P - JP= ýP(ýP-1)>0 nên P> JP
x-vx+2 1 | x+2Vx +1 (voi x>0; x¥ 1)
Bai 58: Cho biéu thttc M = (
x-1 ¥x-1) 2x-2Vx a) Rut gon M
b) Tìm giá trị của a để phương trình M = a có nghiệm
c) Tìm x để Trẻ
HD:
a) M= m (với x>0; xz 1)
b)M=a œ X*#!~a (1) ©(2a-1)\x=1 (2) 2x
- Nếu a= 5 thì phương trình vô nghiệm
1 2a-1
- Nếu a # 2 thì(2) © Vx = (3)
2a—-1>0 a>0
Đê (1) có nghiệm thì (3) phải có nghiệm x >0,xz Ï ©+ 1 © 1
#1 a#— 2a—] 2
c)x=9
Bài 59: Cho biêu thức Q = i u Q ng — et | (Ae : —] J@ x>0;xz9) O1x>0; x49
a) Rút gọn Q
b) Tìm giá trị của x để Q < - ý
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của Q
HD:
a) Q= za (với x>0; xz9)
b) 0<x<36 vax#9
<l 0< 2 <I>
Trang 16Vậy MinQ = - l1 khi x = 0
Bài 60: Cho biểu thức p=| &** * _ (1-4)
vxi-1 Vx-1 x+vx +1
a) Rut gon P
b) Tìm các giá trị nguyên của x dé P nhận giá trị nguyên dương
Xxjx+26/x-19 2/x x-3 Bài 61: Cho biểu thức P= _ +
a) Rút gọn P
b) Tinh gid tri cua P khi x=7-4V3
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
2, B+vx)2tvx_ 2-vex _ 4x)
2-jx x-2Vx 2-jx 2+jx x-4
Bài 62: Cho biểu thức P=(
a) Rút gọn:P
x-3
b) Cho 12 =-11 Hãy tính giá trị của P
Bai 63: Cho biểu thức: P= a 0 pre mae (et 3Vx41 9x-1 - + :}1- 3Vx +1
a) Rut gon P
b) Tinh giá trị của P khi x = 64275
_ 6
c) Tìm x khi P = 5°
Hướng dẫn :
x+4lx
a) Rut gon P= 3/x~—1
b)x=6+2V5=> vx = 7541
314155
Sau đó thay x vào P tính được: P = — A1 7
C) P= 5 © XỊ C4; X¿ạ= 25°
16
Trang 17Bài 64: Cho biểu thức P = Sứ St Íz——) va+1, va —1 a-Ala_ a+Aa Va\Va-1 Va+1
a) Rut gon P
b) Với giá trỊ nào của a thì P =7
c) Với giá trị nào cua a thi P >6
Bài 56: Cho biểu thức: An: án ẻ| a-Va
l—-a l-ava “Wa -1 a) Rut gon biéu thức A
b) Tính a biết 4=
c) Chứng minh A > 2/3
° 2 2 3
Bai 65: Cho biéu thie M = | —4- +—* — |.| 7 —-
a+b b’-a’ a+b qa'+bˆ+2ab
a) Rút gọn M
b) Tính giá trị của biêu thức M khi a = 1 + 42 ;b=1- 42
c) Tìm các giá trị của a và b khi T~5 và M=]
ĐS:M= _#?? a(b—a)
Bài66: Cho bigu thire P= { 2*?_-_1 = với x>0 (2 Vx+1) 3 ( x20)
a) Rut gon P
b) Tìm các gia tri cua x dP =<
c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P
HD:
4a/x
3(x-vx +1]
b) x= HH
c) Cốch 1: Với x>0 thì vx > 0 và 3(x—xx+1)> 0 nên P > 0 Min P = 0 khi x = 0
a) P= (với x>0)
17
Trang 18
Với x>0 ””3x- vs] mm Vị dr+=>2 nên P <3
vx
Vay MaxP = = Khix=1
Cn A(x-z+l)-A(x-2/x+l) @ 4(Ve-1) 4
Coch 2: P= 3(x-Jz+1) "3 73z-+]3
18