on thi lop 10: Ung dung GTNN GTLN vao bai toan rut gon

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi... Đạt giá trị nhỏ nhất.. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.. Tìm GTLN,GTNN bằng phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Buanhiacô

Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: GTLN - GTNN

Chuyên đề:

Một số phơng pháp tìm gtln - gtnn

I Phơng pháp tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bằng cách đa về dạng A x ≥0 hoặc A x ≤ 0

a, Cơ sở lý luận

- Trong tập hợp các số (nguyên , hữu tỷ , số thực) không âm thì số 0 có giá trị nhỏ nhất

- Trong tập hợp các số (nguyên , hữu tỷ , số thực) âm thì số 0 có giá trị lớn nhất

- Từ đó ta có kết luận : Nếu M = Ax / Ax ≥0 thì GTNN của Ax = 0

Nếu M = Ax / Ax ≤0 thì GT LN của Ax = 0

b, Các ví dụ

Ví dụ 1:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Ax = 2x2 – 8x +1 với x là số thực bất kỳ

Lời giải : Ta có Ax = 2x2 – 8x +1 = 2( x- 2 )2 – 7 Ta có với mọi x thì

(x- 2 )2 ≥0 Nên ta có 2( x- 2 )2 – 7 ≥-7

Vậy Ax đạt giá trị nhỏ nhất bằng -7 khi x=2

Ví dụ 2:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Mx = - 5x2 – 4x + 1 với x là số thực bất kỳ

Lời giải: Ta có Mx = - 5x2 – 4x + 1 = -5 ( x +

5

2 )2 +

5 9

Với mọi giá trị của x ta luôn có : -5 ( x +

5

2 )2 ≤0 Vậy Mx ≤

5

9 (dấu = xảy ra khi x =

-5

2

Ta có GTLN của Mx =

5

9 với x =

-5

2

II Phơng pháp giải các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách đa

về dạng 2 ≥ 0

k

Ax hoặc 2 ≤ 0

k

Ax

Ví dụ 3:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Ax =

x

x x

3

16 15

2 + + Vói x là các số thực dơng

Lời giải: Ta có Ax =

x

x x

3

16 15

3

23 3

) 4

+

−

x

3

23 3

) 4

+

−

x

3

23

3

23 với x= 4

Ví dụ 4:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Mx=

3 2

10 6 3

2

2

+ +

+ +

x x

x

Lời giải:Ta có Mx=

3 2

10 6 3

2

2

+ +

+ +

x x

x

2 ) 1 (

1

2 + +

2 ) 1 (

1

2 + +

2

1 nên ta có

Mx = 3 +

2 ) 1 (

1

2 + +

x ≤ 3 + 0,5 = 3,5 Vậy GTLN Mx = 3,5 với (x+1)2 = 0 hay x= -1

Ví dụ 5:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: GTLN - GTNN

Fx,y =

2 2

1 ) (

2 4 4 2

2 2 2

+ + +

+

− +

x y y x

x y y

Lời giải:Ta có Fx,y =

2 2

1 ) (

2 4 4 2

2 2 2

+ + +

+

− +

x y y x

x y y

) 2 )(

1 (

1

2 4

4

+ +

+

x y

y vì y4 +1 ≠ 0 với mọi giá trị của x

nên ta chia cả tử và mẫu cho y4 +1 ta đợc : Fx,y =

2

1

2 +

x vì x2 ≥0 với mọi x nên x2 + 2 ≥2 với mọi x ,và do đó ta có Fx,y =

2

1

2 +

2 1

Vậy Fx,y dật GTLN =

2

1 với x=0, y lấy giá trị tuỳ ý

III Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi.

1.Bất đẳng thức Côsi : Với các số dơng a,b, c ta có:

a + b ≥2 ab đạt đợc dấu = khi a=b

a + b+ c ≥3 abc đạt đợc dấu = khi a=b = c

2 Các ví dụ :

Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Ax =

x

x 2

8 2 + với x > 0.

Lời giải:Ta có Ax =

x

x 2

8 2 + = 8x +

x

2 Ta thấy 8x và

x

2 là hai đại lợng lấy giá trị dơng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng là 8x và

x

2 ta có:

8x +

x

2

8 16 2

2 8

≥

x

x

2 = > x =

2

1

Vậy GTNN Ax = 8 với x =

2

1

Ví dụ 7 :

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bx = 16x3 - x6 với x thuộc tập hợp các số thực dơng

Lời giải: Trớc hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng đợc bất đẳng thức Côsi ta có

Bx = 16x3 - x6 = x3(16- x3) Ta có x3 > 0 , còn 16 – x3 > 0 khi 16 > x3 hay x < 3 16(*)

ta thấy x3 và 16 – x3 là hai đại lợng dơng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng x3

và 16- x3 ta có 2 x3(16−x3) ≤ x3 +16−x3 =16 suy ra x3( 16 – x3) ≤ 64 dấu = xẩy ra khi

x3 = 16- x3 => x = 2 (Thoả mãn *) GTLN của Bx = 64 , với x=2

IV Giải các bài toán cực trị đại số bằng phơng pháp đặt ẩn phụ :

Ví dụ 8 :

Với giá trị nào của x thì biểu thức

Px =

5 2

356 80

56 16

4

2

2 3

4

+ +

+ + +

+

x x

x x

x

Lời giải: Ta có : Px =

5 2

356 80

56 16

4

2

2 3

4

+ +

+ + +

+

x x

x x

x

5 2

256

Vì x2 + 2x +5 = (x+1)2 +4 > 0 (*) nên Px luôn xác định với mọi x ta đặt

Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: GTLN - GTNN

y = x2 + 2x + + 5 , ta có Px = 4y +

y

256

với y > 0 , ta thấy 4y và

y

256

là hai đại lợng luôn dơng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng 4y và

y

256 ta có :

4y +

y

256

64 16 2 2

256 4

≥

y

y

256

=> y = 8 hoặc y = -8

từ đó tính đợc x= -3 hoặc x=1 Vậy với x=-3 hoặc x=1 thì GTNN của Px = 64

Ví dụ 9 :

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

Qx = (x2- 2x + 2)(4x- 2x2+ 2) với x thuộc tập hợp các số thực

Lời giải: Đặt x2- 2x +2 = y ta có 4x – 2x2 + 2 = -y +6 Vậy Qx = y ( 6- 2y)

Ta có 2Qx = 2y(6-2y) , ta thấy x2- 2x+2 = (x- 1)2 +1 >0 => y >0 => 6-2y > 0 khi y<3 Vậy 2y và 6-2y là hai số dơng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng 2y và 6-2y ta

có : 2y + 6-2y ≥ 2 2y( 6 − 2y) => 3 ≥ 2y( 6 − 2y) => 9 ≥ 2 Qx dấu = xẩy ra khi

2y = 6- 2y => y = 1,5 thay vào ta có x2- 2x +2 = 1,5 => x = 1+

2

2 hoặc x= 1

-2

2 Vậy

GTLN của Qx = 4,5 với x = 1+

2

2 hoặc x= 1

-2

2

Ví dụ 10 :

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

Hx = (8 + x2 + x )(20 – x2 –x) với x là các số thực tuỳ ý

Lời giải: Ta có : * 8+ x2 + x =( x+

2

1)2 +

4

31 >0 với mọi giá trị của x

*20 – x2 –x > 0 khi -5 < x < 4

Nh vậy Hx = (8 + x2 + x )(20 – x2 –x) >0 khi -5 < x <4 Từ đó suy ra Hx có giá trị lớn nhất thì GTLN đó chỉ đạt ở trong khoảng xác định (-5 ; 4)

Với -5 <x <4 ta có 8+ x2 + x và 20 – x2 –x luôn dơng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai đại lợng dơng 8+ x2 + x và 20 – x2 –x ta có :

(8+ x2 + x )+( 20 – x2 –x) ≥2 (8+x2 +x)(20−x2 −x)

 14 ≥ ( 8 +x2 +x)( 20 −x2 −x) => 196 ≥ (8 + x2 + x )(20 – x2 –x) Dấu = xẩy ra khi 8+ x2 + x =20 – x2 –x => x= 2 hoặc x= -3

Hay Hx ≤ 196 Vậy GTLN của Hx = 196 ,với x=2 hoặc x = -3

V Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức chứa nhiều đại lợng

Ví dụ 11 :

Tìm giá trị của m, p sao cho A = m2 – 4mp + 5p2 + 10m – 22p + 28 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Lời giải:

Ta có A = m2 – 4mp + 5p2 + 10m – 22p + 28 = ( m – 2p)2 + ( p – 1)2+27 + 10(m – 2p)

Đặt X = m-2p ta có A = X2 + 10 X +( p-1)2 + 27 = (X+5) 2 + (p-1)2+ 2

Ta thấy (X+5) 2 ≥0 ; (p-1)2 ≥0 với mọi m, p do đó A đạt GTNN khi X+ 5=0 và p-1=0 Giải hệ điều kiện trên ta đợc p= 1 , m= -3 Vậy GTNN của A = 2 với p= 1, m=-3

Ví dụ 12 :

Tìm giá trị của x, y sao cho F = x2 + 26y2 – 10xy +14x – 76y + 59 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Lời giải:

Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: GTLN - GTNN

Dấu = xẩy ra khi Z+7=0 và y-3 = 0 giả hệ điều kiện trên ta đợc x=8 y= 3 Vậy GTNN của

F = 1 với x=8, y=3

Ví dụ 13 :

Tìm giá trị của x, y,z sao cho P = 19x2 +54y2 +16z2 -16xz – 24yz +36xy +5 Đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Lời giải:

Ta có P = 19x2 +54y2 +16z2 -16xz – 24yz +36xy +5 = ( 9x2+ 36xy + 36y2) + (18y2- 24yz +8z2) + (8x2 – 16xz + 8z2) + 2x2 + 5 hay

P = 9(x+2y)2 + 2(3y – 2z)2 + 8(x- z )2 + 2x2 + 5 Ta thấy (x+2y)2 ≥ 0 ;

(3y – 2z)2 ≥ 0; (x- z )2 ≥ 0; 2x2 ≥ 0 với mọi giá trị của x, y, z

Vậy GTNN của P = 5 đạt đợc khi x+2y = 0 và 3y- 2z =0 và x- z =0 và x=0 Giải hệ phơng trình trên ta đợc x= y =z = 0

VI Tìm GTLN,GTNN bằng phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Buanhiacôpski.

*Bất đẳng thức Buanhiacôpski.

( a1b1 + a2b2 + .anbn)2 ≤ (a1 + a2 + +an )(b1 + b2 bn )

Dấu bằng xẩy ra khi

n

n

b

a b

a b

a

=

=

=

2

2 1 1

*Các ví dụ :

Ví dụ 14 : Tìm các giá trị của x,y,z để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất

P = x2 + y2 +z2 Tìm giá trị nhỏ nhất đó biết : x+y+z = 1995

Lời giải:

áp dụng bất đẳng thức Buanhiacốpki cho bộ ba số : 1, 1, 1 và x, y, z ta có :

(x.1 + y.1 + z.1)2 ≤ (1 + 1+ 1)(x2 + y2 + z2)

Hay : ( x + y +z )2 ≤ 3.(x2 + y2 + z2 ) Từ đó ta có :

P = x2 + y2 + z2 ≥

3

1995 3

)

= + +y z

Vậy GTNN của P =

3

1995 2 dấu = xẩy ra khi x =y =z kết hợp với giả thiết x + y +z =

1995 Ta có x= y =z =665

Ví dụ 14 :

Cho biểu thức Q = 2x+ 4y+ 5 z Trong đó x,y,z là các đại lợng thoả mãn điều kiện

x2 + y2 + z2 = 169.Tìm GTLN của Q

Lời giải:

áp dụng bất đẳng thức Buanhiacốpki cho bộ ba số : 2, 4, 5 và x, y, z ta có :

(2x + 4y + 5z)2 ≤{ 22 + 42 + ( 5)2}( x2 + y2 + z2)

Hay Q2 ≤{ 22 + 42 + ( 5)2}( x2 + y2 + z2) vì x2 + y2 + z2 = 169 nên Q2 ≤ 25.169

Vậy GTLN của Q= 65 , dấu = xẩy ra khi

5 4 2

z y

x = = và x2 + y2 + z2 = 169 từ đó tìm đợc x =

5

26

;

5

5

52

; 5

52 − z =

5

5 13

; 5

5 13

−

VII Các bài tập áp dụng :

Bài 1: Cho biểu thức : Q =

5 4 4

3

Bài 2: Biểu thức : P =

2

1 2

2 +

+

x

x có giá trị lớn nhất không ? Hãy chứng tỏ khẳng định của mình

Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: GTLN - GTNN

Bài 3: Cho biểu thức : A =

1 2

1

2

2

+ +

+ +

x x

x

Bài 4: Cho biểu thức : B=

12 6

14 6

2

2

+

−

+

−

x x

x

Bài 5: Cho biểu thức: F =

x

x x

3

16 15

Bài 6: Cho biểu thức: A =

4

2

1 x

x

Bài 7: Cho biểu thức: Y =

x

x

x 2 )( 8 )

Bài 8: Cho biểu thức: Y =

1

1 2

2 2 3

−

−

− +

x

x x

VIII Hớng dẫn giải và đáp số :

Bài 1:Ta có : Q =

4

3 4 ) 1 2 (

3

+

−

4

3 , với x= 0,5

Bài 2: Ta có P = 1 -

2

) 1 (

2

2

+

−

x

2

) 1 (

2

2

+

−

x

khi x=1

Bài 3:Ta có : A= 1 -

2 1

1

+ +

x

2 1

1

+ +

x

x+

x

1 + 2 phải đạt GTNN Mà x> 0 nên

x

1> 0 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng x

và

x

1 ta có : x +

x

1

x

x.1 2

x =

x

1 => x= 1; x = -1 (Loại )

Vậy GTNN của A = 1 -

4

3 4

1 = , với x= 1

Bài 4: Ta có : B=

12 6

14 6

2

2

+

−

+

−

x x

x

3 ) 3 (

2

2 +

−

3 ) 3 (

2

2 +

−

đạt giá trị lớn nhất , và do đó (x-3)2 + 3 phải đạt giá trị nhỏ nhất

Ta có (x- 3)2 + 3 ≥ 3 với mọi x Vậy GTLN của B =

3

5 , với x = 3

Bài 5: Ta có F =

x

x x

3

16 15

3

16

x

Nên

3

x > 0;

x

3

16 > 0 áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :

3

x +

x

3

16

x

x

3

16 3 2

3

8; Dấu = xẩy

ra khi x = 4 Vậy GTNN của F = 5 +

3

8 =

3

23 ; với x = 4

Chuyên đề ôn thi vào lớp 10: GTLN - GTNN

Bài 6: Ta có : A =

4

2

1 x

x

1

1

x

1

x + x2 nhỏ nhất , ta thấy x2 và 12

x là hai số dơng nên theo bất đẳng thức Côsi ta có:

x2 + 12

2

x x

≥ = 2 Dấu = xẩy ra khi x4 = 1 => x= 1; x = -1

Vậy GTLN của A =

2

1 , với x= 1; x = -1

Bài 7: Ta có : Y =

x

x

x 2 )( 8 )

x

16 + 10

x

x.16 2

( Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng x và

x

16) Dấu = xẩy ra khi x = 4

Vậy GTNN của Y = 18; với x = 4

Bài 8: Ta có : Y =

1

1 2

2 2 3

−

−

− +

x

x x

2

3 )2 -

4

5 4

5

−

≥ Dấu = xẩy ra khi x = -

2

3 Vậy GTNN của Y =

-4

5 ; với x = -

2

3