XÁC SUẤT 1 BS

Tính được tần suất của hiện tượng 2..  Hiện tượng sinh con trai và con gái trong một lần sinh là hai hiện tượng đối lập nhau... Công thức nhân xác suất  Xác suất có điều kiện • PA/B:

GIẢNG VIÊN : VŨ THU HOÀI

BỘ MÔN TOÁN TIN

Mục tiêu

1. Tính được tần suất của hiện tượng

2. Trình bày được định nghĩa đồng khả năng và định

nghĩa thống kê của xác suất

3. Trình bày được các công thức nhân xác suất, cộng

xác suất, xác suất toàn phần và xác suất Bayes

4. Giải được một số bài toán xác suất trong y

I Khái niệm

 Phép thử: Là nhóm điều kiện có thể lặp đi lặp lại

nhiều lần trong cùng một điều kiện

I Khái niệm

DẤU HIỆU NGHIÊN CỨU

LƯỢNG

THAM SỐ THỐNG KÊ

CHẤT

TRỐNG

Φ

CHẮC CHẮN

Ω

NGẪU NHIÊN

NHÓM ĐẦY ĐỦ

ĐỐI LẬP

ĐỘC LẬP XUNG

KHẮC

I Khái niệm

 Hiện tượng xung khắc: A xung khắc với B nếu như

A và B không đồng thời xuất hiện Kí hiệu: Aᴖ B = ϕ

 Hiện tượng độc lập: A độc lập với B nếu A xuất hiện hay

không cũng không ảnh hưởng đến B và ngược lại

 Nhóm đầy đủ các hiện tượng:

nhóm đầy đủ các hiện tượng nếu: E , E , E

n 2

i

j i

i

E

n 1, : j i E

E

n 1, : i E

 Hiện tượng sinh con trai và con gái trong một lần sinh

là hai hiện tượng đối lập nhau

 Hiện tượng có bệnh hay không bệnh là hai hiện tượng đối lập nhau

B

A 

I Khái niệm

 Hiện tượng sinh con trai và con gái giữa các lần sinh là hai hiện tượng độc lập nhau

 Hiện tượng các nhóm máu O, A, B, AB lập thành

nhóm đầy đủ các hiện tượng

 Hiện tượng các nhóm máu O, A, B, AB đôi một xung khắc

I Khái niệm

 Tần suất: Thực hiện phép thử ɛ n lần độc lập, hiện tượng A xuất hiện m lần Ký hiệu ω(A) là tần suất xuất hiện hiện tượng A

1 n

m )

A (

II Định nghĩa xác suất

Khả năng xuất hiện hiện tượng A là xác xuất xuất hiện hiện tượng A, kí hiệu là P(A) = p, 0 ≤ p ≤ 1,

1 Định nghĩa đồng khả năng

 Giả sử có một bình cầu gồm n quả cầu giống nhau Trong n quả cầu có m quả có dấu Xáo trộn đều các quả cầu trong bình và lấy ngẫu nhiên ra 1 quả Gọi A là hiện tượng lấy được quả cầu có dấu

hợp thuận lợi cho A và tổng số trường hợp có thể xảy

ra

n

m )

A (

II Định nghĩa xác suất

A ( )

A (

n

) 1

( )

2 / ( t

III Công thức xác suất

P(Ω) = 1, P(ϕ) = 0

1 Công thức nhân xác suất

 Xác suất có điều kiện

• P(A/B): Xác suất xuất hiện hiện tượng A khi hiện tượng B đã xảy ra

• P(B/C): Xác suất xuất hiện hiện tượng B khi hiện tượng C đã xảy ra

• P(A/BC): Xác suất xuất hiện hiện tượng A khi hiện tượng B và

C đã xảy ra

III Công thức xác suất

 Nếu A, B, C là các hiện tượng không độc lập

P(A∩B) = P(AB) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B)

P(A ∩B ∩C) = P(A)P(B/A)P(C/AB)

= P(B)P(C/B)P(A/BC) =

 Nếu A, B, C là các hiện tượng độc lập

P(A∩B) = P(AB) = P(A) P(B)

P(A ∩B ∩C) = P(A)P(B)P(C)

III Công thức xác suất

2 Công thức cộng xác suất

 Nếu A, B, C là các hiện tượng ngẫu nhiên

P(A U B) = P(A)+ P(B) - P(AB)

P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(BC) – P(AC) + P(ABC)

 Nếu A, B, C là các hiện tượng xung khắc từng đôi

P(A U B) = P(A+B) = P(A)+ P(B)

P(A U B U C) =P(A+B+C) = P(A) + P(B) + P(C)

A và hai hiện tượng đối lập: = 1 – P(A) A P(A)

III Công thức xác suất

Ví dụ 1: Tại một địa phương có 5000 người, điều tra thấy

510 người bị sốt rét Trong số sốt rét có 15 người sốt rét ác tính Trong số sốt rét ác tính có 5 người chết

Gọi: S là hiện tượng sốt rét

T là hiện tượng sốt rét thường

A là hiện tượng sốt rét ác tính

C là hiện tượng chết

III Công thức xác suất

1 Tỉ lệ sốt rét thường

P(T)=(510 – 15)/5000=0.099

2 Tìm tỉ lệ chết của sốt rét ác tính P(C/A)=5/15 = 0.333

III Công thức xác suất

Ví dụ 2: Xác suất sinh con gái bằng 0.486

1 Tìm xác suất sinh bằng được con trai ở lần thứ 3

2 Tìm xác suất sinh được 3 con đều là gái

3 Tìm xác suất sinh được 3 con có ít nhất 1 con trai

Gọi Ti là hiện tượng sinh được con trai ở lần thứ i

Gi là hiện tượng sinh được con gái ở lần thứ i

A là hiện tượng sinh bằng được con trai ở lần thứ 3

B là hiện tượng sinh được 3 con đều là gái

C là hiện tượng sinh được 3 con có ít nhất 1 con trai

III Công thức xác suất

Ví dụ 3: Một bác sỹ có khả năng xác định đúng triệu

chứng với xác suất 0.8 Khả năng chẩn đoán đúng bệnh với điều kiện đã xác định đúng triệu chứng bằng 0.75 Khi điều trị mặc dù đã xác định đúng triệu chứng và chẩn đoán đúng bệnh thì khả năng khỏi bằng 0.85 Tìm xác suất khỏi của người bệnh khi khám và điều trị bác sỹ trên

0.1210.514

486

0)

T(P)G(P)G(P)

TGG(P)

A

(

115

0486

.0)

G(P)G(P)G(P)

GGG(P)

B

(

885

0115

.01

)B(P1

)C

(

III Công thức xác suất

Gọi T là hiện tượng xác định đúng triệu chứng

B là hiện tượng chẩn đoán đúng bệnh

K là hiện tượng khỏi

P(K) = P(TBK)=P(T)P(B/T)P(K/TB)= 0.8 0.75 0.85

III Công thức xác suất

3 Công thức xác suất toàn phần

Giả sử A là hiện tượng ngẫu nhiên

nhóm đầy đủ các hiện tượng E1,E2, En

i i

n

1 i

i n

1 i

i

n

1 i

i n

1 i

i

) E / A ( P ) E ( P )

A ( P

) E A

( P E

A P

) A ( P

E A

E A

A A

III Công thức xác suất

P(A) = P(AĐ) + P(AS)

P(B) = P(BĐ) + P(BS)

)BA(P)

AB(

P)

A

(

)BA(P)

BA(P)

B

(

III Công thức xác suất

4 Công thức Bayes

) A ( P

) E / A ( P ) E (

P )

A / E (

P

) E / A ( P ) E ( P )

A / E ( P ) A ( P )

E A

(

P

i

i i

i i

i i

A / E ( P

n

1 i





) B / A ( P 1

) B / A (

Công thức Bayes

IV Một số ví dụ

Ví dụ 1: Điều trị tương ứng phương pháp 1, 2, 3 cho 6000,

2000, 2000 bệnh nhân Xác suất khỏi của các phương pháp tương ứng là 0.9, 0.85, 0.95

1 Tìm xác suất khỏi của 3 phương pháp khi điều trị riêng rẽ

từng phương pháp cho bệnh nhân

2 Điều trị 1 trong 3 phương pháp cho bệnh nhân đã khỏi,

tìm tỉ lệ điều trị của từng phương pháp

3 Tìm xác suất khỏi khi điều trị phối hợp 3 phương pháp

cho bệnh nhân

IV Một số ví dụ

1 Cách 1:

Số người khỏi khi điều trị bởi PP1: 6000*0.9= 5400

Số người khỏi khi điều trị bởi PP2: 2000*0.85= 1700

Số người khỏi khi điều trị bởi PP3: 2000*0.95= 1900 Tổng số người khỏi khi điều trị riêng rẽ 3 PP: 9000

XS khỏi của 3 PP khi điều tri riêng rẽ: 9000/10000 =0.9

2 Cách 2:

Gọi Ei là hiện tượng điều trị bởi PP thứ i, i: 1, 2, 3

Gọi K là hiện tượng khỏi khi điều trị riêng rẽ

IV Một số ví dụ

P(E1) = 0.6, P(E2) = 0.2, P(E3) = 0.2

P(K/E1) = 0.9, P(K/E2) = 0.85, P(K/E3) = 0.95

P(K)= P(E1) P(K/E1)+ P(E2) P(K/E2)+ P(E3) P(K/E3) P(K)=0.6*0.9 + 0.2*0.85 + 0.2*0.95 = 0.9

2 Cách 1:

Số người khỏi của 3 PP là 9000 bệnh nhân

Tỉ lệ của PP1 trong số khỏi là: 5400/9000 = 0.6

Tỉ lệ của PP2 trong số khỏi là: 1700/9000 = 0.189

Tỉ lệ của PP3 trong số khỏi là: 1900/9000 = 0.211

IV Một số ví dụ

Cách 2

 P(E1 /K) = P(E1) P(K/E1)/P(K) = 0.6*0.9/0.9 = 0.6

 P(E2 /K) = P(E2) P(K/E2)/P(K) = 0.2*0.85/0.9 = 0.189

 P(E3 /K) = P(E3) P(K/E3)/P(K) = 0.2*0.95/0.9 = 0.211

3 Gọi p là xác suất khỏi khi điều trị phối hợp 3 phương pháp cho bệnh nhân

pi là xác suất khỏi khi điều trị phương pháp thứ i

p= 1 – 0.1*0.15*0.05 = 0.99925

3 2

p 1

IV Một số ví dụ

Ví dụ 2: Một lớp gồm 3 tổ Tổ 1 gồm 20 nữ, tổ 2 gồm 10

nữ và 10 nam, tổ 3 có 20 nam Chọn ngẫu nhiên ra 1 tổ,

từ đó chọn ngẫu nhiên ra 1 người

1. Tìm xác suất sao cho người được chọn ra là nữ

2. Biết rằng người được chọn ra là nữ, tìm xác suất sao

cho người đó ở tổ 1

1 Gọi Ei : Tổ thứ i, i: 1, 2, 3

A: Nữ

P(E1) = P(E2) = P(E3) = 1/3

P(A/E1) = 1, P(A/E2) = 10/20 = 0.5, P(A/E3) = 0

P(A)= P(E1) P(A/E1)+ P(E2) P(A/E2)+ P(E3) P(A/E3)

P(A) = 1/3 + 1/3*0.5 + 0 = 0.5

2 P(E1 /A) = P(E1) P(A/E1)/P(A) = (1/3*1)/0.5 = 2/3 = 0.67

IV Một số ví dụ

Ví dụ 3: Tỉ lệ hút thuốc lá ở một vùng là 0.3 Biết rằng tỉ

lệ người bị viêm họng trong số người hút thuốc lá là 60%, còn trong số người không hút thuốc lá là 30% Khám ngẫu nhiên một người thì thấy người đó bị viêm họng Tìm xác suất người đó hút thuốc lá Nếu người đó không bị viêm họng thì xác suất để người đó hút thuốc

lá bằng bao nhiêu?

P =0.3

)B/A(

P ?

) A / B ( P ) A ( P )

A / B ( P ) A ( P )

B

(

197

0 61

0 / 4 0

* 3 0 )

B ( P / ) A / B ( P ) A ( P )

V Bài tập

Bài 1: Một phòng điều trị cho 3 bệnh nhân nặng A, B, C Trong 1 giờ xác suất để bệnh nhân A, B, C cấp cứu tương ứng là 0.4, 0.5, 0.6

 Trong 1 giờ có 1 bệnh nhân cần cấp cứu, tìm xác suất sao cho đó không phải là bệnh nhân A cấp cứu

 Tìm xác suất sao cho trong 1 giờ có ít nhất 1 bệnh nhân không cần cấp cứu

Bài 2: Ba người cùng đến khám bệnh, người thứ i nghi bệnh Bi (i = 1, 2, 3) Tỉ lệ bị bệnh B1, B2 tương ứng bằng 0.02, 0.03 Biết xác suất khi khám cho 3 người có 1 người bị bệnh là 0.057818 Ba người cùng khám thấy 1 người không bị bệnh, tìm xác suất sao cho người thứ 3 không bị bệnh

 Bài 4: Tỉ lệ bị bệnh về phổi tại xã A là 7.5%, trong số

những người bị bệnh về phổi có 1 số bị lao phổi Biết tỉ lệ

bị bệnh về phổi mà không lao phổi là 6% Tìm tỉ lệ lao

phổi trong số những người bị bệnh về phổi

V Bài tập

Bài 5: Tại tuyến 1 chẩn đoán đúng được 50% bệnh nhân đến khám, trong đó điều trị khỏi 90% Số chẩn đoán sai lên tuyến 2 chẩn đoán đúng 80% trong đó điều trị khỏi 94% Số chữa không khỏi ở tuyến 1 cũng lên tuyến 2, chẩn đoán đúng 100% trong đó điều trị khỏi 95% Tìm xác suất khỏi sau 2 tuyến

V Bài giải

 Bài 4: B: bệnh về phổi, A: lao phổi

 P(B)= 0.075, P(BᾹ) = 0.06 Tìm P(A/B)

 P(BᾹ) = P(B)P(Ᾱ/B)=0.06 → P(Ᾱ/B)= 0.8 → P(A/B) = 0.2

Khỏi 95%

Không khỏi 5%

S 50%

Đ 80%

Khỏi 94%

Không khỏi 6%

S 20%