Tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên itô tuyến tính

Hệ phơng trình vi phân tuyến tính 1.2.1 đợc gọi là ổn định hoặc không ổn định theo Liapunov nếu tất cả các nghiệm của nó tơng ứng ổn định hoặc không ổn định theo Liapunov khi t .. Điều

Trờng Đại học vinh

  

-Trần thị anh chi

tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm hệ phơng trình

vi phân ngẫu nhiên ITÔ tuyến tính

Luận văn thạc sỹ toán học

Vinh - 2007

Bộ giáo dục và đào tạo

Trờng Đại học vinh

  

-TrÇn thÞ anh chi

tÝnh bÞ chÆn víi x¸c suÊt 1 cña c¸c nghiÖm hÖ ph¬ng tr×nh

vi ph©n ngÉu nhiªn IT¤ tuyÕn tÝnh

Chơng 2 Tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm hệ

phơng trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính 232.1 Tính ổn định nghiệm của hệ vi phân có trễ……… … 232.2 Tính bị chặn (giới nội) của nghiệm của hệ phơng trình

vi phân tất định……… … 272.3 Tính bị chặn với xác suất 1 của nghiệm hệ phơng trình

vi phân ngẫu nhiên……… 302.4 Tính bị chặn với xác suất 1 của nghiệm hệ phơng trình

vi phân không đa về đợc về dạng Cauchy……… 322.5 Tính bị chặn bình phơng trung bình của hệ phơng

trình vi phân ngẫu nhiên có trễ……… … 332.6 Tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm của hệ

phơng trình ngẫu nhiên Itô chứa tham số  ……… 35

Kết luận ……… ……… 38

Tài liệu tham khảo ……… ……… ……… . 39

Mở đầu

Nh ta đã biết mỗi hệ phơng trình vi phân (hoặc sai phân) ngẫu nhiên phản

ánh hoạt động của một hệ thống nào đó (hệ kỹ thuật, hệ kinh tế, hệ sinh thái, haymột hệ động lực …)

Tính bị chặn (giới nội) của các nghiệm của hệ phơng trình vi phân (hoặcsai phân) tất định hay ngẫu nhiên là một trong những tiêu chí quan trọng phản

Chơng II Là nội dung chính của Luận văn, trình bày về tính bị chặn với

xác suất 1 của các nghiệm hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên ITÔ tuyến tính

Luận văn đợc thực hiện tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn trực tiếpcủa PGS TS Phan Đức Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy

về sự tận tâm và nhiệt tình hớng dẫn đã dành cho tác giả trong suốt quá trình họctập và nghiên cứu

Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn VănQuảng, TS Nguyễn Trung Hoà, PGS TS Trần Xuân Sinh cùng các thầy cô giáotrong khoa Toán, khoa Đào tạo sau Đại học và các bạn trong lớp Cao học 13Toán đã thờng xuyên quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trongquá trình học tập và hoàn thành luận văn

Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới bạn bè, ngời thân đã độngviên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả hoàn thành khoá học

Vinh, tháng 12 năm 2007

Tác giả

Chơng I Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định của hệ

phơng trình vi phân tuyến tính

Lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính

ph-ơng trình vi phân Nó đợc ứng dụng ở nhiều lĩnh vực khác nhau nhất là trongkinh tế và khoa học kỹ thuật, trong sinh thái học và môi trờng học

Chơng này chỉ trình bày những nét rất cơ bản của lý thuyết ổn định vàcũng chỉ giới hạn ở khái niệm ổn định theo nghĩa Liapunov

1.1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định

Xét hệ phơng trình vi phân viết dới dạng ma trận - vectơ nh sau:

) , (X t F dt

dX

trong đó

T n

x x x

n X t f t X f t X f t X

F( , )  ( 1( , ), 2( , ), , ( , )) ,

T n

dt

dx dt

dx dt

dx dt

dX

) , , ,

( 1 2

 và t là một biến độc lập, (x1(t),x2(t), ,x n(t) làcác hàm cần tìm, các hàm f (j 1 , 2 , ,n) xác định trong miền

) , (

Định nghĩa 1.1.1 Nghiệm X X(t)(at  ) của hệ phơng trình vi

phân (1.1.1) đợc gọi là ổn định theo Liapunov khi t  nếu với mọi   0 và

) ( )

t X t

thì

Y(t)  X(t)   , t  t0 (1.1.3)

Nói cách khác, nghiệm X (t)ổn định theo Liapunov nếu các nghiệm Y (t)

khá gần với nó ở thời điểm ban đầu t0 bất kỳ sẽ hoàn toàn nằm trong ống  nhỏtùy ý đợc dựng quanh nghiệm X (t), với mọi t  t0.

1 2

2 1

x dt dx

x dt dx

Dễ thấy hệ phơng trình có nghiệm tầm thờng (x1(t),x2(t)  ( 0 , 0 )và nghiệmtổng quát của hệ là

)), sin(

), cos(

( )) ( ), ( (y1 t y2 t  A t   A t 

trong đó Avà  là hằng số tuỳ ý Với t0  0, khi đó với mọi  chọn    ta

có, nếu

y t

y ( ), ( )) ( ( ), ( ))

Vậy nghiệm tầm thờng của hệ ổn định theo Liapunov

Nhận xét Trong trờng hợp đặc biệt, khi F( 0 ,t)  0, nghiệm tầm thờng(còn gọi là trạng thái cân bằng) X0(t)  0 (at  ) ổn định theo Liapunov nếu vớimọi   0và t0 (a,  ), tồn tại    (  ,t0)  0 sao cho bất đẳng thức

δ ) (t0 

Y

kéo theo

ε )

Y , t  t0

Định nghĩa 1.1.2 Nghiệm X(t)(at  ) của hệ phơng trình vi phân

(1.1.1) đợc gọi là ổn định đều nếu với mọi   0, tồn tại    (  )  0 sao cho tất cảcác nghiệm Y (t)của (1.1.1) thoả mãn





 ( ) )

(t0 Y t0X

Định nghĩa 1.1.3 Nghiệm X(t)(at  ) của hệ phơng trình vi phân

(1.1.1) đợc gọi là ổn định tiệm cận khi t  nếu

i) X (t) ổn định theo Liapunov;

ii) Với mọi t0 (a,  ) tồn tại    (t0)  0 sao cho mọi nghiệm

) )(

ii) Với mọi t0 (a,  ) tồn tại  (t0)  0 sao cho mọi nghiệm

) )(

(t t0 t  

Y thoả mãn điều kiện Y(t0)  Δ sẽ có tính chất

0 ) (

2 1

x x dt dx

x dt dx

Hệ phơng trình trên có nghiệm tầm thờng (x1(t),x2(t)  ( 0 , 0 ) Dễ thấy

) ) 1 ( , ( ))

(

),

(

(y1 t y2 t  te t t e t cũng là một nghiệm của hệ phơng trình này Khi đó

nghiệm tầm thờng của hệ không ổn định Thật vậy, với mọi  ta có

t

t y t y t x t x t t2e2 t 2e2

2 1 2

trong đó B(X,t) là hàm véctơ xác định trong miền T , liên tục theo t và có các

đạo hàm riêng cấp một theo x1,x2, ,x n liên tục

Định nghĩa 1.1.5 Nghiệm X(t)(at  ) của hệ phơng trình vi phân

(1.1.1) đợc gọi là ổn định với nhiễu B(X,t) nếu với mọi   0 và t0 (a,  ), tồn

tại    (  ,t0)  0 sao cho khi B(X,t)  δ thì tất cả các nghiệm Y (t) của hệ(1.1.5) thoả mãn điều kiện



 ( ) )

(t0 X t0Y

trong đó ma trận A (t) và hàm vectơ G (t) liên tục trong khoảng (a,  ) Hệ

ph-ơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất tph-ơng ứng của (1.2.1) là

A t X

dt

dX

) (

 . (1.2.2)

Định nghĩa 1.2.1 Hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.2.1) đợc gọi là ổn

định (hoặc không ổn định) theo Liapunov nếu tất cả các nghiệm của nó tơng ứng

ổn định (hoặc không ổn định) theo Liapunov khi t .

Định nghĩa 1.2.2 i) Hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.2.1) đợc gọi là

ổn định tiệm cận nếu mọi nghiệm của nó ổn định tiệm cận khi t .

ii) Hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.2.1) đợc gọi là

ổn định đều nếu mọi nghiệm của nó ổn định đều khi t .

(t t0 t  

X là một nghiệm bất kỳ của hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuầnnhất (1.2.2) Khi đó tồn tại hai nghiệm X1(t),X2(t) của hệ (1.2.1) sao cho

) ( ) ( ) (t X1 t X2 t

Do hệ (1.2.1) ổn định theo Liapunov nên nghiệm X1(t) của nó ổn địnhtheo Liapunov khi t  Do đó với mọi   0 và t  (a,  ), tồn tại   0 sao cho

δ ) ( ) ( 0 2 0

X

kéo theo

ε ) ( )

suy ra

ε )

X , t  t0 ;hay nghiệm tầm thờng Y(t)  0 của hệ (1.2.2) ổn định theo Liapunov

Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm tầm thờng Y(t)  0 của hệ phơng trình viphân tuyến tính thuần nhất (1.2.2) ổn định theo Liapunov; X1(t),X2(t) là hainghiệm bất kỳ của hệ phơng trình tuyến tính không thuần nhất (1.2.1) Khi đó, ta

đặt

) ( ) ( )

thì X (t) là nghiệm của hệ phơng trình tuyến tính thuần nhất (1.2.2) Mặt khác,

do nghiệm tầm thờng của hệ (1.2.2) ổn định theo Liapunov, nên với mọi   0 và

X , t  t0

khi

δ ) (t0 

(t0 Y t0X

kéo theo

, ε ) ( )

X t  t0 ;hay nghiệm X (t) của hệ (1.2.1) ổn định theo Liapunov Do X (t) là nghiệm bất

kỳ nên hệ (1.2.1) ổn định theo Liapunov

) ( ) ( ) (t X t Y t

do đó

0

, ε ) ( ) ( )

X

và

ε ) ( ) (tδ  Y tδ 

Mặt khác, ta lại có hiệu X(t)  Y(t) là một nghiệm của hệ phơng trình

(1.2.2) nên suy ra nghiệm tầm thờng của hệ phơng trình (1.2.2) không ổn địnhtheo Liapunov áp dụng định lý 1.2.1 ta có hệ phơng trình vi phân (1.2.1) không

ổn định theo Liapunov

Định lý 1.2.2 i) Hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.2.1) ổn định tiệm

cận khi và chỉ khi nghiệm tầm thờng của hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (1.2.2) ổn định tiệm cận khi t .

ii) Hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.2.2) ổn định đều khi

và chỉ khi nghiệm tầm thờng của hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất

t-ơng ứng (1.2.2) ổn định đều khi t .

Chứng minh i) Điều kiện cần: Giả sử mọi nghiệm của hệ phơng trình vi

phân tuyến tính (1.2.1) ổn định tiệm cận Khi đó theo định lý 1.2.1, ta có nghiệmtầm thờng của hệ thuần nhất tơng ứng ổn định theo Liapunov Do đó để chứngminh nghiệm tầm thờng của hệ (1.2.2) ổn định tiệm cận ta chỉ cần chứng minh

nó thoả mãn ii) trong nhận xét sau định nghĩa 1.1.3

Gọi X (t) là một nghiệm bất kỳ của hệ phơng trình (1.2.2), khi đó sẽ cóhai nghiệm X1(t),X2(t) của hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.2.1) thoả mãn

) ( ) ( ) (t X1 t X2 t

theo Liapunov Do đó để chứng minh nó ổn định tiệm cận ta chỉ cần chứng minh

nó thoả mãn ii) trong Định nghĩa 1.1.3 Thật vậy, với mọi nghiệm Y (t) của hệphơng trình (1.2.1), đặt

X(t) X(t)  Y(t).

Khi đó X (t) là nghiệm của hệ phơng trình vi phân tuyến thuần nhất(1.2.2) Mặt khác, do nghiệm tầm thờng của phơng trình (1.2.2) ổn định tiệm cậnnên với mọi   0, t0 (a,  ) tồn tại   0sao cho khi

Δ ) (t 

ii) Chứng minh hoàn toàn tơng tự i)

Hệ quả i) Hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.2.1) ổn định tiệm cận khi

và chỉ khi hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (1.2.2) ổn định tiệm cận.

ii) Hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.2.1) ổn định đều khi và chỉ

khi hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng (1.2.2) ổn định đều.

1.3 Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất 1.3.1 Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất tổng quát

Xét hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất

X t A dt

dX

) (

 , (1.3.1)

trong đó hàm A (t) liên tục trong khoảng (a,  );X (t) là các hàm cần tìm Giả

sử X ˆ t( ) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ phơng trình (1.3.1) Khi đó mỗinghiệm X (t) (t0 t   )của hệ đều có thể biểu diễn đợc dới dạng

) ( ) ( ˆ ) (t X t X t0

Định lý 1.3.1 Hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.3.1) ổn

định theo Liapunov khi và chỉ khi mọi nghiệm X (t) (t0 t  ) của hệ đều bị chặn trên khoảng [t0,  )

Chứng minh.

Điều kiện cần: Giả sử hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.3.1)

ổn định theo Liapunov, ta sẽ chứng minh mọi nghiệm của hệ phơng trình (1.3.1)

đều bị chặn trên khoảng [t0,  ) Giả sử ngợc lại, tồn tại nghiệm X (t) của hệkhông bị chặn trên khoảng [t0,  ), tất nhiên X(t0)  0 Ta cố định hai số dơng

) ( )

(

0

t X

t X t

Rõ ràng Y (t) là một nghiệm của hệ phơng trình (1.3.1) và

δ 2

δ ) (t0  

Do X (t) không bị chặn với mọi t  t0, nên với t1 [t0,  ) nào đó, ta có

ε 2

δ ) (

) ( )

t X t

Nh vậy, nghiệm tầm thờng X0(t)  0 của hệ phơng trình vi phân tuyến tínhthuần nhất (1.3.1) không ổn định theo Liapunov, nên hệ phơng trình (1.3.1)không ổn định theo Liapunov; điều này trái với giả thiết Vậy tất cả các nghiệmcủa hệ đều bị chặn trên khoảng [t0,  )

Điều kiện đủ: Giả sử mọi nghiệm của hệ (1.3.1) phơng trình đều giới nộitrên khoảng [t0,  )  (a,  ) Xét ma trận nghiệm cơ bản chuẩn hoá của hệ phơng

trình (1.3.1) X ˆ t( ), trong đó Xˆ(t0) E (E là ma trận đơn vị cấp n) Theo giảthiết X (t) giới nội, nghĩa là tồn tại số dơng M(t0) sao cho

M t

Xˆ( ) với mọi t [t0,  ).

X

khi

δ ε ) (0  

M t

Vậy nghiệm tầm thờng X0(t)  0 của hệ ổn định theo Liapunov, do đótheo định lý 1.2.1 hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.3.1) ổn địnhtheo Liapunov

Định lý trên cho thấy rằng tính ổn định của hệ (1.3.1) tơng đơng với tínhgiới nội của tất cả các nghiệm của nó

Hệ quả Hệ phơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất ổn định theo

Liapunov thì tất cả các nghiệm của nó hoặc đồng thời bị chặn hoặc đồng thời không bị chặn

Chứng minh Xét hệ phơng trình vi phân tuyến tính bất kỳ

( ) A(t)X(t) G(t)

dt

t dX

trình (1.3.2) có nghiệm X (t) (t0t  ) không bị chặn trên khoảng [t0,  ) vànghiệm Y (t) (t0t  ) bị chặn trên khoảng [t0,  ) Đặt

) ( ) ( )

Khi đó X (t)là nghiệm của hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.3.3) Lại

do hệ phơng trình (1.3.3) ổn định theo Liapunov, nên theo định lý 1.3.1 thì tất cảcác nghiệm Z (t), (t0 t   ) của nó bị chặn trên khoảng [t0,  ) Do đó tồn tạihằng số M sao cho

X(t) M, t [t0 ,  ) (1.3.4)Mặt khác ta lại có

) ( )

( ) ( )

( )

)

,

[t0  Vậy ta có điều cần chứng minh

Định lý 1.3.2 Hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất ổn định tiệm

cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm của nó dần tới 0 khi t 

Chứng minh.

Điều kiện cần: Giả sử hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.3.1)

ổn định tiệm cận khi t  Từ đó suy ra nghiệm tầm thờng X0(t)  0 ổn địnhtiệm cận Do đó đối với mỗi nghiệm X (t) của hệ phơng trình (1.3.1) tồn tại số

dơng  sao cho

lim ( )  0

t (1.3.6)khi

X(t0)  ,

trong đó t tuỳ ý thuộc khoảng (a,  ).

Gọi Y (t) là một nghiệm bất kỳ của hệ phơng trình (1.3.1), với điều kiệnban đầu Y0 Y(t0)  0 Đặt

2

) ( ) (

khi đó ta có Z (t) là một nghiệm của hệ phơng trình (1.3.1) và

Δ 2 1 ) ( ) ( Y0

t Z t

Δ )

(t Z

cho nên Z (t) thoả mãn điều kiện (1.3.6.) Do đó ta suy ra

Δ 2 1 ) ( lim )

1.3.2 hệ phơng trình (1.3.1) ổn định theo Liapunov, suy ra nghiệm tầm thờng của

hệ phơng trình (1.3.1) ổn định theo Liapunov Kết hợp với (1.3.7) ta có nghiệmtầm thờng của hệ ổn định tiệm cận áp dụng định lý 1.2.2 suy ra hệ phơng trình

vi phân tuyến tính thuần nhất (1.3.1) ổn định tiệm cận

1.3.2 Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng số

Xét hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất

AX dt

dX

 , (1.3.8)

trong đó ma trận hệ số A [a ij] là ma trận vuông cấp n, với các phần tử a ij làhằng số

Trớc khi đi vào các định lý chính của phần này chúng ta đa ra khái niệm

đại số sau đây:

Định nghĩa 1.3.1 Ma trận vuông A đợc gọi là ma trận ổn định (hay là ma

trận Hurwitz) nếu tất cả các giá trị riêng của nó đều có phần thực âm

0

0 3 3 0

7 6 2

0 2

5 3 1

Định lý 1.3.3 Hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số

hằng (1.3.8) ổn định theo Liapunov khi và chỉ khi tất cả các giá trị riêng j của

ma trận A đều có phần thực không dơng

Định lý 1.3.4 Hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số

hằng (1.3.8) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi ma trận A ổn định

1.4.Tính ổn định theo xấp xỉ thứ nhất

đợc gọi là hệ phơng trình xấp xỉ thứ nhất đối với (4.1)

Định nghĩa 1.4.1 Hệ vi phân (4.3) đợc gọi là dừng theo xấp xỉ thứ nhất

3

3 2

4 2 1

2

2 2

1 1

x x x

dt dx

x x

x dt

dx

Dễ thấy điểm ( 0 , 0 ) là điểm cân bằng và

det(AE) 1 2  0

Định nghĩa 1.5.1 Hàm V ( X t, ) đợc gọi là hàm có dấu không đổi (dấu

d-ơng hoặc dấu âm) trong miền Z0 nếu V(t,X)  0 (hoặc V(t,X)  0)

Định nghĩa 1.5.2 Hàm V ( X t, ) đợc gọi là hàm xác định dơng trong

miền Z0 nếu tồn tại hàm W ( X) sao cho V(t,X) W(X)  0 với X 0 và

0 ) 0

W sao cho V(t,X) W(X)  0 với X 0 và V(t, 0 ) W( 0 )  0.

Định nghĩa 1.5.3 Hàm V ( X t, ) đợc gọi là hàm có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi X  0 nếu với mọi   0 tồn tại    (  )  0 sao cho

Định lý 1.5.4 Nếu đối với hệ (5) tồn tại một hàm xác định dơng V ( X t, )

và có đạo hàm theo t xác định âm thì nghiệm tầm thờng X  0 của hệ đã cho ổn

V có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi X  0 và có đạo hàm theo t xác định

âm Khi đó nghiệm tầm thờng X  0 của hệ đã cho ổn định tiệm cận.