Về tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 của hệ phương trình vi tích phân ngẫu nhiên

Chơng I Tính ổn định với xác suất 1 của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính.. 5 1.4 Tính ổn định với xác suất 1 của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính... Xuất ph

Chơng I Tính ổn định với xác suất 1 của hệ phơng trình vi

phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính

5

1.4 Tính ổn định với xác suất 1 của hệ phơng trình vi

phân ngẫu nhiên tuyến tính

0

1 ( ) )

0

1 ( ) )

Trong đó x(t) R n, A, A1, B ,B1 R nn

 -là các ma trận hằng W(t) là quátrình Wiener chuẩn một chiều

Sau đó nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ vi phân - tích phân ngẫu nhiên

đối với quá trình Wiener m-chiều:

0

1 ( ) )

t i

B

) ( )

( ) (    dwi (t) trong đó W(t) = (w1(t), ,wm(t))T là quá trình Wiener chuẩn véctơ có cácthành phần độc lập; A, A1, A2 , B, B1, B2 R nn

 - các ma trận hằng

Tiếp đến chúng tôi mở rộng việc nghiên cứu tính ổn định tiệm cận với xác suất

1 cho hệ vi phân - tích phân ngẫu nhiên dạng có tích phân bội :

dt d x A d x A t x A

0

3 2

1

'

' ) ( )

( )

dt d x B d x B t x B

0 0

3 0

2 1

'

' ) ( )

( )

trong đó A1, A2, A3, B1, B2, B3 R nn

 - các ma trận hằng W(t) là quá trìnhWiener tiêu chuẩn một chiều

Các phơng trình vi-tích phân dạng trên với các giả thiết thích hợp có thểxem nh mô hình toán học của các hệ động lực xuất hiện trong các hệ thống cơhọc, điện cơ học khi có mặt các tác động của các nhiễu tham số ngẫu nhiên.Chẳng hạn: các vật thể chuyển động trong các môi trờng chất khí, chất lỏng ở

đó thành phần tích phân xuất hiện liên quan đến tính không dừng của các lực đànhồi do có sự biến dạng của các thiết bị có liên quan

Xuất phát từ lý do đó chúng tôi nghiên cứu đề tài "Về tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 của hệ phơng trình vi - tích phân ngẫu nhiên".

Luận văn gồm có hai chơng

Chơng I Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định của hệ phơng trình

vi phân ngẫu nhiên Itô tuyến tính

Chơng II Tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 của hệ phơng trình vi tích

phân ngẫu nhiên

Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh, dới sự hớngdẫn khoa học của PGS TS Phan Đức Thành Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới thầy, ngời đã dành cho tôi nhiều thời gian, sự quan tâm nhiệttình hớng dẫn giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS TS NguyễnVăn Quảng, TS Nguyễn Trung Hoà, TS Trần Văn Sinh, các thầy cô giáo trong

tổ Xác suất Thống kê và toán ứng dụng, khoa Toán, khoa Sau đại học và các bạntrong lớp Cao học khoá XII Toán đã nhiệt tình giúp đỡ, góp ý cho tác giả trongquá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn

Nội dung chơng này giới thiệu sơ sở lý thuyết và các phơng pháp bài toán

ổn định Lyapunov Các tiêu chuẩn để một hệ là ổn định hoặc ổn định hoá cùng sựtơng quan giữa các bài toán ổn định và điều khiển sẽ đợc trình bày với các chứngminh và ví dụ minh hoạ

1.1 Bài toán ổn định Lyapunov.

Xét một hệ thống mô tả bởi phơng trình vi phân

x = f(t,x), t0 (1.1)

x(t0 ) = x 0

Trong đó x(t) R n là véctơ trạng thái của hệ f: R+ x Rn  Rn là hàmvéctơ cho trớc Giả thiết f(t,x) là hàm thoả mãn các điều kiện sao cho nghiệm củabài toán Cauchy hệ (1.1) với điều kiện ban đầu x(t0) = x0, t0  0 luôn cónghiệm Khi đó dạng tích phân của nghiệm đợc cho bởi công thức:

x(t)=x0+ 

t t

ds s x s f

0

)) ( , (

Định nghĩa 1.1.1 Nghiệm x(t) của hệ (1.1) gọi là ổn định nếu với mọi số  >0,

t0 0 sẽ tồn tại số  >0 (phụ thuộc vào  ,t0) sao cho bất kỳ nghiệm y(t), y(t0)

= y0của hệ thoả mãn y 0 x0 < thì sẽ nghiệm đúng bất đẳng thức

Định nghĩa 1.1.2 Nghiệm x(t) của hệ (1.1) gọi là ổn định tiệm cận nếu

nó là ổn định và có một số  >0 sao cho với y 0 x0 < thì:

limt y(t)  x(t) = 0

Nghĩa là, nghiệm x(t) là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và mọi nghiệmy(t) khác có giá trị ban đầu y0 gần với giá trị ban đầu x0 sẽ tiến tới gần x(t)khi t tiến tới vô cùng

định Do đó từ bây giờ ta xét hệ (1.1) với giả thiết hệ có nghiệm 0, tức là f(t,0)=0,

tR Ta nói::

- Hệ (1.1) là ổn định nếu với bất kỳ  >0,t0 

R sẽ tồn tại số   0 (phụthuộc vào  ,t0) sao cho bất kỳ nghiệm x(t) : x(t0) = x0 thoả mãn : x0 <

thì x (t) < với mọi tt0

- Hệ (1.1) là ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và có một số   0 saocho nếu x0 < thì

tlim x (t) = 0

Nếu số   0 trong các định nghĩa trên không phụ thuộc vào thời gian ban

đầu t0 thì tính ổn định (hay ổn định tiệm cận) đợc gọi là ổn định đều hay (ổn

là nghiệm 0 của hệ không những ổn định tiệm cận mà mọi nghiệm của nó tiến tới

0 nhanh với tốc độ theo hàm số mũ

Thí dụ:1 Xét phơng trình vi phân sau trong R

d a

0

) (  

Do đó dễ kiểm tra đợc rằng hệ là ổn định nếu

( )  ( 0) 

0

t d

a t t

d a

0 ) (   = -

1.2 Tính ổn định của các hệ tuyến tính

Xét hệ tuyến tính

x = A.x(t) t 0 (1.3)

trong đó A là (nn)-ma trận Nghiệm của hệ (2.1) xuất phát từ trạng thái ban

đầu x(t0) cho bởi

x(t) = x0eA (t t0) tt0

Định lý dới đây cho một tiêu chuẩn đầu tiên về tính ổn định của hệ (1.3),thờng gọi là tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov

Định lý 1 2.1 Hệ (1.3) là ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cả các giá

trị riêng của A là âm, tức là Re  0, với mọi   ( A).

Thí dụ Xét tính ổn định của hệ



2 2

1 1

2x

x

x x

0 1

Vậy giá trị riêng của A là =-1,-2 Hệ là ổn định tiệm cận

Định lý 1 2.2 Giả sử đa thức đặc trng mà phơng trình vi phân (1.3) đã cho là :

f(z) =z n +a1z n 1+ +a n

khi đó nếu định thức tất cả các ma trận con D k , k =1,2, ,n là dơng thì phần thực của tất cả các nghiệm của f(z) là âm, tức hệ đã cho là ổn định tiệm cận, trong đó:

det D1= a1 , det D2= det 

1 a

a a

.

a a

a

a a

a

a a

a a

0 0 0

1

1 2 4

2

1 2 5

3 1

4 9 1

0 1 2

=137 >0, det D3=

4 0 0 0

0 1 2 0

0 4 9 1

0 0 1 2

= 76 >0

VËy hÖ ®· cho lµ æn ®Þnh tiÖm cËn

TÝnh æn ®Þnh hÖ tuyÕn tÝnh dõng (1.3) cã quan hÖ t¬ng ®¬ng víi sù tån t¹inghiÖm cña mét ph¬ng tr×nh ma trËn, thêng gäi lµ ph¬ng tr×nh Lyapunov d¹ng

A'X+ XA =-Ỵ (LE)

Trong ®ã X,Y lµ c¸c ma trËn (nn) chiÒu vµ gäi lµ cÆp nghiÖm cña (LE).XÐt hÖ (1.3), tõ b©y giê ta sÏ nãi ma trËn A lµ æn ®Þnh nÕu phÇn thùc tÊt c¶ c¸cgi¸ trÞ riªng cña A lµ ©m Theo ®Þnh lý (2.1), ®iÒu nµy t¬ng ®¬ng hÖ (1.3) lµ æn

®Þnh tiÖm cËn

§Þnh lý 1 2.3 Ma trËn A lµ æn ®Þnh khi vµ chØ khi víi bÊt kú ma trËn Y ®èi xøng

x¸c ®Þnh d¬ng, ph¬ng tr×nh (LE) cã nghiÖm lµ ma trËn ®èi xøng x¸c ®Þnh d¬ng X.

§èi víi c¸c hÖ tuyÕn tÝnh kh«ng dõng

x(t)=Ăt).x(t), t0 (1.4)th× viÖc nghiªn cøu tÝnh æn ®Þnh gÆp khã kh¨n h¬n v× nghiÖm c¬ b¶n cña bµi to¸nCauchy lóc ®ã kh«ng t×m ®îc d¹ng hiÓn qua ma trËn A mµ ph¶i qua ma trËn c¬b¶n (t,s) cña hÖ Ta ®· biÕt r»ng hÖ (1.4) cã nghiÖm x(t)= (t,t0)x0, trong

®ã (t,s) lµ ma trËn nghiÖm c¬ b¶n cña hÖ NÕu Ặ) lµ h»ng sè th× hiÓn nhiªn ta

cã

(t,s)=eA (t s).

và khi đó có thể nghiên cứu phổ của A để tìm điều kiện ổn định Trong mục này

ta xét một số tiêu chuẩn ổn định cho hệ hầu nh hằng số

Định lý 1.2.4 Xét hệ (1.4) trong đó A(t)=A+C(t) Giả sử A là ma trận ổn định và

1 2

1 5 1

, cos 4

1 3 1

2 2

1 2

2 1

1

t x

x x

t x

1

0 3

cos 4

2

1 4

1 ) (t  a

C , nên hệ là ổn định tiệm cận

Định lý 1.2.5 Xét hệ (1.4) trong đó A(t) là ma trận liên tục theo t Giả sử tồn

tại các số M >0,   0 , k >0 sao cho :

i) e A(s).t Ke  t , t, s 0 ii) 

R t

1.3 Vi phân Itô của hàm Lyapunov.

Định nghĩa 1.3.1 Quá trình W=(Wt , t 0) xác định trên không gian xác suất (

iv) Với hầu hết  các quỹ đạo Wt () là hàm liên tục.

Định lý 1.3.2 Cho X=(X t ) là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân

dX t = A(t,X t ) + B(t, X t )dW t

trong đó (W t ) là quá trình Wiener một chiều.

giả sử y = g(t,x) là hàm một lần khả vi liên tục theo biến t 0, hai lần khả vi liên tục theo xR Khi đó quá trình ngẫu nhiên Y t = g(t,X t ) có vi phân Itô đợc tính theo công thức sau đây:

x

g dX

x

g dt t

x , , ) , 2

Ta có : Hx =

T n

j

n

j nj j j

j n

j j j

x h x

h x h

 (x, Hx) = x1 j

n

x h



 1 2 + + xn j

n

j nj x h

j ij

x x

1 ,

dx Hx

x dt

d dt

dx(t) = A x(t)dt + B( )x(t)dw(t) (2)

đợc nảy sinh từ (1), trong đó x(t), x(t) là các vectơ n- chiều có x(t0)= x (t0);A,B( ) là các ma trận hằng cỡ nn;  là tham số và B(0) = 0; W(t) là quá trìnhWiener tiêu chuẩn

Ta giả thiết hệ (1) ổn định tiệm cận theo Lyapunov (Tức Re  (A)<0 )

Định nghĩa 1.4.1 Ma trận A đợc gọi là chính quy ( không suy biến ) nếu

det(A- E ) không đồng nhất bằng không theo 

Từ đó suy ra điều kiện đủ để ma trận A chính quy là det A  0 Vì thế saunày ta luôn giả thiết det A  0

Định nghĩa 1.4.2 Nghiệm ổn định với xác suất 1 x (t)=0 của hệ (2) đựoc gọi

là ổn định theo Lyapunov với xác suất 1 nếu tồn tại  >0 sao cho xác suất có

điều kiện của biến cố : lim ( )

0

t x Sup

t T t T

Tlim ( ) 0 ( 0 ) 0; 0

=1

Định nghĩa 1.4.3 Ma trận A đựoc gọi là Hurwitz (hay ổn định ) nếu phần thực

của tất cả các giá trị riêng của nó đều âm

Mệnh đề 1.4.4 Nếu ma trận A Hurwitz thì tồn tại ma trận xác định dơng,

đối xứng H0 cỡ n  thoả mãn phơng trình ma trận Sylvester: n

) (

0





>0

do đó H0 xác định dơng.

Vậy tồn tại ma trận H0 thoả mãn mệnh đề Hơn nữa H0 là ma trận duynhất thoả mãn là nghiệm của (3) Thật vậy: Giả sử tồn tại H1 cũng là ma trậnxác định dơng đối xứng thoả mãn là nghiệm của phong trình (3) Khi đó ta có:

Mệnh đề 1.4.5 Điều kiện cần và đủ để ma trận A Hurwitz là tồn tại ma trận H

xác định dơng đối xứng thoả mãn phơng trình ma trận Sylvester:

A T H + HA = -I (4)

với I là ma trận đơn vị.

Chứng minh

* Điều kiện cần: Suy từ 3.4

* Điều kiện đủ: Giả sử tồn tại ma trận H xác định dơng, đối xứng cỡ nn

Định lý 1.4.7 Giả sử ma trận A-Hurwitz khi đó nghiệm không của hệ (2) ổn

định tiệm cận với xác 1 nếu ma trận: A T H0 + H0A + B T H0B (Hoặc ma trận B T H0B - G) xác định âm, trong đó H0 thoả mãn phơng trình Sylvester: A

T H0 + H0A = - G Với G là ma trận xác định dơng, đối xứng tuỳ ý, (có thể G

d V(x ) = d ((x )T.H0. x )

= d (x )T.H0 x + (x )T.H0.d x + (x )T.BT.H0.B x dt = ((x )TATdt + (x )T.BT.dw) H0 x + (x )T.H0.(Axdt + Bx)dw + (x )T.BT.H0.B x dt

= (x )T.(ATH0 + H0A + BTH0B) x dt + (x )T (BTH0 + H0B) x dw  E

Giả sử ma trận A Huzwitz Khi đó điều kiện đủ để nghiệm không của hệ (z)

ổn định tiệm cận với xác suất 1 là tồn tại ma trận xác định dơng H thoả mãn

ATH + HA + BTHB = -G

Trong đó G là ma trận đối xứng, xác định dơng, chọn tuỳ ý

Khi đó ta lấy hàm Lyapunov là dạng toàn phơng: V(x ) = (x )T H x

Định lý 1.4.9 Giả sử ma trận A - Huzwitz và ma trận B không suy biến Khi đó

điều kiện đủ của tính ổn định tiệm cận với xác suất 1 của nghiệm không của hệ (2) là tính xác định âm của ma trận H 0 - E Trong đó H 0 thoả mãn phơng trình Sylveste A T H 0 + H 0 A = -B T B.

Do đó hàm Lyapunov dạng toàn phơng

V(x ) = (x )T H0 x (*)xác định dơng

= xT(-BTB + BTH0B)x = xTBT(H0 - E)BxVì H0- E xác định âm nên BT(H0 - E)B xác định âm Từ đó suy ra

Định lý 1.4.10

Giả sử ma trận A Huzwitz, ma trận B không suy biến Khi đó điều kiện cần

và đủ để nghiệm không của hệ (2) ổn định tiệm cận với xác suất 1 là vết H 0  1.

Trong đó: H 0 thoả mãn phơng trình Sylvester A T H 0 + H 0 A = -B T B

Chứng minh

Để chứng minh định lý ta cần chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề: Giả sử H 0 là ma trận xác định dơng Khi đó điều kiện cần và đủ để ma trận H 0 - E xác định âm là tất cả các giá trị riêng của của ma trận H 0 nhỏ hơn 1.

n

n n

h h

h

h h

h

h h

2 22

21

1 12

j

1

 = C1

Mà C1 = 



n i

Vậy hệ (2) ổn định tiệm cận với xác suất 1

Thí dụ Xác định miền ổn định tiệm cận của hệ

z y x dt dy

y x dt dx

1

0 1

Từ đó hệ (*) ổn định tiệm cận nếu 1-2 >0, hoặc  <

Về Tính ổn định TIệM CậN với xác suất 1 của hệ phơng trình vi -TíCH phân ngẫu nhiên.

0

1 ( ) )

(   dt (1) x(t) R n; A,A1 R nn

 - các ma trận hằng

Chú ý rằng: d

t d x

0

) (   =x(t)dt

t x

0

) (

) (

t x

0

) (

) (



 dt (2)

Đặt y(t)= 

t d x

0

) (   ; z(t)= x(t),y(t)T ; A = 

) (

t y

t x

) (

t y

t x

) (

t y

t x





dw(t)hay gọn hơn

V(x (t), y (t)) xác định, liên tục và khả vi trong miền :

-< xi <+ ; -< yi<+ ( i=1 ,n) của không gian R n vớiV(0,0)=0

E

A A

0

A A

) (

t y

t x

0

A A





= e T t z T G e t z dt

) (

) (

0

A A

A A

Nếu đối với phơng trình vi phân ngẫu nhiên (4) tồn tại hàm xác định dơng

V(x (t), y (t)) sao cho kỳ vọng của đạo hàm toàn phần

dt

dV

lấy dọc theo nghiệm của hệ là âm thì hệ đã cho ổn định tiệm cận với xác suất 1.

2.3 Các định lý về tính ổn định của hệ phơng trình vi-tích phân ngẫu nhiên 2.3.1 Định lý (điều kiện đủ của tính ổn định )

Giả sử ma trận khối A ổn định (Hurwitz) Khi đó điều kiện đủ để các nghiệm của hệ (4) ổn định tiệm cận với xác suất 1 là ma trận:

T n n

O

B B

Khi đó ta có :

E

) ( ) (

)) ( (

t Z t Z

dt

t z dV



 = z(t)T (

T n n n

E

A A

O

B B

) ( ) (

)) ( (

t Z t Z

dt

t z dV



T n n n

E

A A

2.3.2 Định lý (Tiêu chuẩn ổn định tiệm cận)

Giả sử ma trận khối A - Hurwitz, khi đó điều kiện đủ để các nghiệm của

hệ (4) ổn định tiệm cận với xác suất 1 là tồn tại nghiệm xác định dơng H của

ph-ơng trình đại số ma trận Sylvester

T n

O

B B

trong đó G là ma trận xác định dơng đối xứng tuỳ ý chọn có cỡ tơng ứng Đặc biệt G có thể lấy là ma trận đơn vị G=E2 n 2 n

Chứng minh

* Điều kiện cần: Suy từ 2.2.1

* Điều kiện đủ: Giả sử tồn tại ma trận H xác định dơng, đối xứng cỡ 2n 2n thoảmãn:

T n

O

B B





thì V có giới hạn vô cùng bé bậccao khi z 0

Mặt khác:

) ( ) (

)) ( (

t Z t Z

dt t z dV



 = z(t)T (

T n n n

E

A A

O

B B

Giả sử ma trận A -Huzwitz, ma trận B không suy biến Khi đó điều kiện

đủ để nghiệm không của hệ (4) ổn định tiệm cận với xác suất 1 là vết H 0  1.

Trong đó: H 0 thoả mãn phơng trình Sylvester: A T H 0 + H 0 A = -B T B

Chứng minh

Để chứng minh định lý ta cần chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề: Giả sử H 0 là ma trận xác định dơng Khi đó điều kiện cần và đủ để ma trận H 0 - E xác định âm là tất cả các giá trị riêng của của ma trận H 0 nhỏ hơn 1.

n n

h h

h

h h

h

h h

2 22

21

1 12

Vậy hệ (4) ổn định tiệm cận với xác suất 1

2.4 Tính ổn định đối với hệ vi - tích phân có quá trình Wiener Vectơ.

0

1 ( ) ( ) )

( ) (       dwk(t) (8)

Với to, x (o) = x0; W(t) = (w1(t), ,wm(t))T là quá trình Wiener véctơchuẩn

Trong trờng hợp này ta có kết quả sau

2.4.1 Định lý (Điều kiện đủ của tính ổn định tiệm cận)

k k

O O

B B

k k

O O

k k

O E

ổn định, khi đó điều kiện đủ để các nghiệm của

hệ (8) ổn định tiệm cận với xác suất 1 là tồn tại ma trận xác định dơng, đối xứng

H thoả mãn phơng trình

T n n

k k

O O

B B

k k

O E

B

=- G

2.5 Tính ổn định của hệ vi-tích phân ngẫu nhiên chứa các tích phân bội.

Xét hệ vi-tích phân ngẫu nhiên chứa các tích phân bội dạng:

dt d x A d x A t x

A

0

3 2

1

'

' ) ( )

( )

dt d x B d x B t x B

0 0

3 0

2 1

'

' ) ( )

( )

trong đó A1,A2, A3, B1,B2,B3 R nn

 - các ma trận hằng W(t) là quá trình Wienertiêu chuẩn một chiều

0 0

'

t d d x

n n n n n n

E O

O

O E

O

A A

) (

) (

t z

t y

t x

n n n n n n

O O

O

O O

O

B B

) (

) (

t z

t y

t x

2.5.1 Định lý (Điều kiện đủ của tính ổn định tiệm cận)

n n n n n n

E O

O

O E

O

A A

ổn định khi đó các nghiệm của hệ (9) ổn

định tiệm cận với xác suất 1 nếu ma trận sau xác định âm

T

n n n

n

n

n

n n n

n

n

n

E O

O

O E

O

A A

n n n n n n

E O

O

O E

O

A A

+

T

n n n n n n

n n n n n n

O O

O

O O

O

B B

n n n n n n

O O

O

O O

O

B B

n n n n n n

E O

O

O E

O

A A

n n n n n n

O O

O

O O

O

B B