Tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm của hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên

Tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm của hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên 2.2.. Về tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm của hệ phơng trình 2.3.. Tính bị chặn với xác suất 1

bộ giáo dục và đào tạo

Trờng Đại học Vinh -

1.2 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính ……… ………… 81.3 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất……… 11

1.6 Phơng pháp hàm Liapunốp ………20

Chơng II Tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm của hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên

2.2 Về tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm của hệ phơng trình

2.3 Tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm hệ phơng trình sai phân

2.4 Tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm của hệ các phơng trình

Luận văn này đề cập đến việc nghiên cứu tính bị chặn với xác suất 1của các nghiệm của hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên

Tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm của hệ phơng trình vi phân

và sai phân ngẫu nhiên đã đợc nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm và

các kết quả đã có và bằng cách sử dụng phơng pháp hàm Liapunốp luận văn

đã đa ra một số điều kiện đủ để hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên bị chặnvới xác suất 1

TS Nguyễn Trung Hòa đã trực tiếp giảng dạy cũng nh tạo điều kiện cho tácgiả hoàn thành chong trình học Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy côgiáo trong Khoa Toán, Khoa Đào tạo sau Đại học và các bạn trong Lớp caohọc khoá 13 nói chung và Nhóm học viên cao học chuyên ngành Xác suất

và Thống kê Toán nói riêng đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả trong quátrình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn

Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạotỉnh Nghệ An, các thầy cô giáo trờng THPT Phạm Hồng Thái, các đồngnghiệp và bạn bè đã động viên giúp đỡ để tác giả hoàn thành khoá học

Cuối cùng tác giả xin ghi nhớ công lao to lớn của gia đình và ngời thân

đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả yên tâm học tập, nghiên cứu

thể tránh khỏi những thiếu sót, kính mong sự góp ý của quý thầy cô và cácbạn quan tâm về vấn đề này

Vinh, tháng 12 năm 2007

Tác giả

Chơng 1 Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định

của hệ phơng trình vi phân

Trong chơng này trình bày các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định

và một vài phơng pháp khảo sát tính ổn định của hệ phơng trình vi phân tất

định cần thiết để sử dụng trong chơng sau

1.1 bài toán cơ bản của lý thuyết ổn định

T n

có các đạo hàm riêng cấp một theo các biến y y1, , ,2 y liên tục n

1.1.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 1

Nghiệm Z Z t  , (a t    của hệ (1.2) đợc gọi là ổn định theo)

Liapunốp khi t   (gọi tắt là ổn định) nếu với mọi  0,t0a; tồntại   t0, sao cho mọi nghiệm Y Y t   thỏa mãn

theo Liapunốp nếu với  0,t0( ;a  nào đó và với mọi )  0 tồn tạinghiệm Y t   và thời điểm t1 t1   sao chot0

0 0

Y t  Z t  và Y t( )1  Z t( )1  

gọi là nghiệm tầm thờng (hay trạng thái cân bằng).

định nghĩa ở trên sẽ đơn giản hơn nh sau:

i) Z Z t   là nghiệm ổn định theo Liapunốp

ii) Với mọi t0a; , tồn tại   ( ) 0t0  sao cho mọi nghiệm Y t 

t0    thỏa mãn điều kiện t  Y t( )0  Z t( )0   thì

t Y t Z t

   

Định nghĩa 4’

i) Z t  là nghiệm ổn định theo Liapunốp  0

ii) Với mọi t0a; , tồn tại   0 sao cho Y t( )0   thì

t Y t

  Hình cầu S  xn Y  ( )t0  với t cố định đợc gọi là miền hút0

Định nghĩa 5

Giả sử hệ (1.2) xác định trong nửa không gian

t0 t   Y 

Nếu nghiệm Z Z t   ổn định tiệm cận khi t   và tất cả các

dy

y dt

y dt

Hệ vi phân tuyến tính (1.4) đợc gọi là ổn định (hay ổn định tiệm cận,

1.2.2 Các định lý

Định lý 1

Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (1.4) ổn định với số hạng

tự do bất kỳ F t là nghiệm tầm thờng   X t  0, t0   t , t0a; 

của hệ thuần nhất tơng ứng dX A t X( )

Chứng minh

+ Điều kiện cần

Giả sử hệ (1.4) ổn định với mọi F t , và   Z Z t   , t0    là mộtt 

t0    ổn định Điều đó có nghĩa là với mỗi t   0, tồn tại  0 sao chovới nghiệm bất kỳ Y Y t ( ) của (1.4) ta có

Y t  Z t  khi  Y t( )0  Z t( )0 Mặt khác do Y t , Z t là nghiệm của hệ (1.4) nên: 

  tồn tại  0 sao cho X t( )0  thì X t( )  

là một nghiệm bất kỳ của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất sao cho

X t  t  thì X t( )  khi  t t 0

và Y t là nghiệm bất kỳ của hệ đó thì từ bất đẳng thức   Y t( )0  Z t( )0  , tasuy ra

Hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.4) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi nghiệm tầm thờng X t  của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng  0

Hệ vi phân tuyến tính ổn định nếu một nghiệm nào đú của hệ ổn định

và không ổn định nếu một nghiệm nào đó của hệ không ổn định.

không phụ thuộc vào t 0

a s ds

   

1.3.tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất

Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất

( )

dY

A t Y

dt  (1.5)

Trong đó A t liên tục trong khoảng   ( ,a )

Định lý sau cho ta thấy rằng tính ổn định của hệ (1.5) tơng ứng với tínhgiới nội của tất cả các nghiệm của nó

nghiệm Y t( )X t Y t( ) ( )0 , trong đó X t là nghiệm cơ bản và  X t( )0  làE

ma trận đơn vị Vì X t bao gồm các hàm giới nội, tức là: X  M với t t ,0

0

( )( )

Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.5) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi

tất cả các nghiệm Y Y t   thỏa mãn điều kiện

đó đối với nghiệm Z t bất kỳ của hệ (1.5) ta có lim ( ) 0  t Z t

0

( )( )

nghiệm bất kỳ Y t ,   (t0   ta có t ) Y t  khi( ) 1 T t  

Vì trên đoạn hữu hạn t T hàm véc tơ liên tục 0,  Y t bị chặn với mọi 0

t t , nên nghiệm Y t bất kỳ bị chặn trên đoạn   t  Theo định lý 1.3.10, 

thì hệ (1.5) ổn định, ngoài ra nghiệm tầm thờng của nó ổn định tiệm cận Theo

định lý 2 mục 1.2.2 ta suy ra tính ổn định tiệm cận của hệ (1.5)

1.4 tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng

Xét hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng sau

Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.6) với ma trận hằng A ổn định khi

và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng j j( )A của A đều có phần thực không dơng tức là Re ( ) 0,j A   j1,2, ,n.

1.4.3 Định lý

tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng j j( )A của A đều có phần thực âm tức là Re ( ) 0,j A   j1, 2, , n.

dy

dt dz

dx

x y dt

dy

y z dt

dz

z x dt

dt dz

Gi¶ thiÕt F t Y kh¶ vi t¹i gèc  ,  Y 0 khai triÓn c¸c vÕ ph¶i cña hÖ

thì nghiệm tầm thờng Y 0 của hệ (1.7) và hệ (1.8) là ổn định tiệm cận.

Tức là trong trờng hợp này có thể nghiên cứu tính ổn định theo xấp xỉ thứ nhất.

Định lý 2 Nếu

i) Hệ phơng trình (1.7) á dừng theo xấp xỉ thứ nhất,

ii) R t Y thỏa mãn các điều kiện của định lý 1, , 

iii) Có ít nhất một nghiệm của phơng trình đặc trng det(A E) 0 có

sinsin

2

2 2

sinsin

2

Thay vào hệ đã cho ta đợc hệ

2

2 2

Nh vậy theo định lý 1 ta suy ra điểm (0; 0) của hệ đã cho ổn định tiệm cận

cứu tính ổn định của điểm cân bằng của hệ xấp xỉ thứ nhất

trong Z nếu 0 V V t X  ,   ( hoặc 0 V V t X  ,   ) với 0 t X, Z0.

Định nghĩa 2

Hàm V V t X  ,  đợc gọi là xác định dơng trong Z nếu tồn tại hàm0

 sao cho V t X( , )( ) 0X  với X  và 0 V t( ,0)(0) 0

Tơng tự, hàm V V t X  ,  đợc gọi là xác định âm trong Z nếu tồn tại một0

hàm ( )X sao cho V t X( , )( ) 0X  với X  và 0 V t( ,0)(0) 0

Hàm xác định dơng hoặc xác định âm đợc gọi là hàm có dấu xác định.

trong đó F t X liên tục theo  ,  t và có đạo hàm riêng liên tục theo x x1, , ,2 x n

trong một miền T, T a t  , X H , F t( ,0) 0 , có nghiệm tầmthờng X 0

Định lý 1

Nếu đối với hệ (1.9) tồn tại một hàm xác định dơng V t X và có đạo  , 

hàm dọc theo nghiệm của hệ dV 0

Định lý 2

Giả sử đối với hệ (1.9) tồn tại một hàm xác định dơng V t X và có , 

giới hạn vô cùng bé bậc cao khi X  0 và V t X có đạo hàm dọc theo , 

Chơng 2 tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm của hệ sai phân ngẫu nhiên

Chơng này nghiên cứu tính bị chặn (giới nội) với xác suất 1 của cácnghiệm của hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên tuyến tính trong lân cận trạng

Đối với các hệ vi phân tuyến tính, tính bị chặn tơng đơng với tính ổn

định nghiệm, do đó để trình bày tính bị chặn của nghiệm ta cần đến các kếtquả về tính ổn định nghiệm

2.1 Tính ổn định nghiệm của hệ phơng trình sai phân

Ta xét hệ phơng trình sai phân viết dới dạng véc tơ - ma trận

 , (k = 0,1,2, ) của hệ (2.2) đợc gọi là ổn định tiệm

cận theo Liapunốp với xác suất 1 nếu nó ổn định theo định nghĩa 1 và ngoài ra

trị riêng i( )A thỏa mãn điều kiện i( ) 1A  (i = 1,2, ,n).

Định nghĩa 4

Nghiệm x k  0, k 1,2, 

xỏc suất 1 nếu tồn tại C 0, và  0 sao cho từ điều kiện x0  suy ra

phơng trung bình nếu tồn tại C 0, và  0 sao cho từ điều kiện x0  suy

ra đối với mọi nghiệm x k 

Giả sử A có n giá trị riêng phân biệt  1, , ,2  Khi đó theo kết quản.

 , ta xem V 0  0Gia số bậc nhất của hàm V x k( ( ))

dọc theo các nghiệm của hệ (2.2) là

Sử dụng 2 mệnh đề cơ bản trên, ngời ta đã thiết lập đợc các điều kiện

đại số của tính ổn định tiệm cận trong 2 trờng hợp:

Định lý 1 (tiêu chuẩn ổn định)

Giả sử ma trận A hội tụ Khi đó điều kiện cần và đủ để nghiệm x 0

của hệ (2.2) ổn định tiệm cận với xác suất 1 là tồn tại nghiệm xác định dơng

H của phơng trình đại số Sylvester

định tiệm cận với xác suất 1

Hệ quả 1 (Điều kiện đủ của tính ổn định)

Giả sử ma trận A hội tụ Khi đó nghiệm x 0 của hệ (2.2) ổn định tiệm cận với xác suất 1 nếu ma trận A H A H T 0  0 B H B T 0 xác định âm (hoặc là ma trận B H B G T 0  xác định âm).

T

Các điều kiện đủ của tính ổn định tiệm cận trong hệ quả 1 có thể đơn

giản hơn nhiều nếu ta giả thiết rằng ma trận B không suy biến.

Hệ quả 2 (Điều kiện đủ của tính ổn định tiệm cận)

Giả sử ma trận A hội tụ và ma trận B không suy biến Khi đó điều kiện

đủ để nghiệm x 0 của hệ (2.2) ổn định tiệm cận với xác suất 1 là ma trận

2 2

2 3

a a

thời trả lời vấn đề về tính bị chặn của các nghiệm với xác suất 1

Mệnh đề sau đây cho ta tiêu chuẩn đại số về tính bị chặn của nghiệm

2.2.1 Định lý (Tiêu chuẩn về tính bị chặn)

Giả sử ma trận A hội tụ khi đó nghiệm x k( )

của hệ phơng trình (2.3) với xác suất 1 hoặc nằm trên ellipsoid  hoặc nằm trong  khi và chỉ khi

thỏa mãn các điều kiện

00,

với điều kiện ban đầu đặt trong miền x Q x0T 0  C

Dấu đẳng thức trong hệ thức ma trận thứ nhất tơng ứng với trờng hợp nghiệm nằm trên ellipsoid.

Dễ nhận thấy rằng H 0 chỉ khi   nghiệm 1 H thỏa mãn phơng trình0

0,583

Chùm ma trận A D đợc gọi là hội tụ (hay ổn định Schur) nếu



Nh ta đã biết chùm ma trận A D hội tụ thì hệ sai phân tất định ổn

định tiệm cận theo Liapunốp hơn nữa ta có các mệnh đề sau

2.3.2 Bổ đề

Nếu chùm ma trận A D hội tụ thì tồn tại ma trận xác định dơng

đối xứng duy nhất là nghiệm của phơng trình Liapunốp rời rạc.

A HA D HD G .

Trong đó G là ma trận xác định dơng đối xứng tùy ý.

Mệnh đề sau thiết lập điều kiện của tính bị chặn với xác suất 1 củanghiệm của hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên

2.3.3 Định lý

Giả sử chùm ma trận A D hội tụ Khi đó các nghiệm x k( ), k = 0,

1, 2, của hệ (2.5) với xác suất 1 nằm trên ellípoid  hoặc nằm trong ellipsoid  với

Điều đó tơng đơng với tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm.

2.4 tính bị chặn với xác suất 1 của các nghiệm của hệ các phơng trình sai phân ngẫu nhiên

Trong phần này ta sẽ xét tính bị chặn với xác suất 1 của nghiệm đối với

Định lý

Giả sử chùm ma trận A E hội tụ (tứclà A  ) Khi đó các nghiệm1

 hoặc nằm trong ellipsoid  khi và chỉ khi thoả mãn các hệ thức

Kết luận

Luận văn đã thu đợc các kết quả chủ yếu sau đây:

1.Những vấn đề luận văn đã trình bày

1.1 Bài toán cơ bản của lý thuyết ổn định

1.2.Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính

1.3 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất

1.4 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng

1.5 Tính ổn định theo xấp xỉ thứ nhất

1.6 Phơng pháp hàm Liapunốp để nghiên cứu tính ổn định

2.3 Phát biểu tiêu chuẩn về tính bị chặn với xác suất 1 của hệ các

ph-ơng trình sai phân ngẫu nhiên

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2000) Cơ sở phơng trình vi phân và lý

thuyết ổn định Nhà xuất bản Giáo Dục.

[2] Vò Ngäc Ph¸t (2001) NhËp m«n lý thuyÕt ®iÒu khiÓn häc to¸n häc Nhµ

xuÊt b¶n §¹i häc Quèc Gia Hµ Néi

[3] D.G.Korenevskij.(1992) Stability Critetria for Solutions of Systems of

Linear Deterministic or Stochastic Delay Differential Equations wih Continuous Times Norr Vol.70.N3.

[4] D.G.Korenevskii (1986) Coefficient critetria and sufficient conditions

for asymptotic stability with probability one of linear systems of Ito Stochastic diferetial equations, Soviet Math Dokl.Vol.290.N.8.

[5] D.G.Korenevskii (1987) Matrix oriterion and matrix suffecient

conditrons for asymytotic stability and boundedness with probability one of solutions of linear stoch diffenerce equations Soviet Math.

Dokla Vol.34 N.2

[6] D.G.Korenevskii (2002) On the impossibility of Sobitions of a- system

of linear deterministic diffenerce equations, Ukraina Math, Jourual

Vol54 N.2