Tính α ổn định mũ với xác suất 1 của một lớp hệ vi phân ngẫu nhiên có nhiều trễ

Hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.6 được gọi là ổn định hoặc không ổn định theo Liapunov nếu tất cả các nghiệm của nó tương ứng ổn định hoặc không ổn định theo Liapunov khi t → ∞... H

MỤC LỤC

Lời nói đầu 1

1 Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết ổn định của hệ phương trình vi

1.1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định 3 1.2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính 7 1.3 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 12 1.4 Tính ổn định theo xấp xỉ thứ nhất 18 1.5 Phương pháp hàm Liapunov 19

2 Về tính α - ổn định mũ với xác suất 1 của một lớp hệ vi phân ngẫu

2.1 Về tính α - ổn định mũ với xác suất 1 của một lớp hệ vi phân ngẫu nhiên tuyến tính có nhiều trễ 22 2.2 Về tính α- ổn định mũ với xác suất 1 của một lớp hệ vi phân ngẫu nhiên nửa tuyến tính có nhiều trễ 27

Kết luận 31

Tài liệu tham khảo 32

LỜI NÓI ĐẦU

Trong thực tiễn nhiều bài toán đề cập đến các vấn đề kĩ thuật, kinh

tế thường liên quan đến các hệ động lực mô tả bởi các phương trình

vi phân hay sai phân ngẫu nhiên

ổn định là một trong những tính chất quan trọng của lí thuyết địnhtính các hệ động lực và được sử dụng nhiều trong các lĩnh vực cơ học,vật lý toán, kỹ thuật, kinh tế

Việc nghiên cứu bài toán ổn định hệ thống ngày nay đã trở thànhmột hướng nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyết phương trình viphân, lý thuyết hệ thống và ứng dụng Vì lí do đó chúng tôi chọn đề tài

"Tính α - ổn định mũ với xác suất 1 của một lớp hệ vi phân ngẫu nhiên

có nhiều trễ"

Luận văn này đề cập đến việc nghiên cứu tính α− ổn định mũ vớixác suất 1 của một lớp hệ phương trình ngẫu nhiên

Luận văn gồm có hai chương:

• Chương 1 Trình bày một số kiến thức cơ bản

• Chương 2 Trình bày về tính α− ổn định mũ với xác suất 1 củamột lớp hệ vi phân ngẫu nhiên có nhiều trễ

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh và hoàn thành dưới

sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Phan Đức Thành Tác giả xin bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy về sự tận tâm và nhiệt tình hướng dẫn

đã dành cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn VănQuảng, PGS TS Trần Xuân Sinh, TS Nguyễn Trung Hoà cùng các thầy,

cô giáo trong khoa Toán, khoa đào tạo sau Đại học và các bạn trong lớpcao học 15 Toán đã thường xuyên quan tâm và tạo điều kiện thuận lợigiúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới bạn bè, người thân đãđộng viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả hoàn thànhkhoá học

Vinh, tháng 12 năm 2009

Tác giả

Chương này chỉ trình bày những nét rất cơ bản của lý thuyết ổn định

và cũng chỉ giới hạn ở khái niệm ổn định theo nghĩa Liapunov

1.1 Các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn địnhCác khái niệm trong chương này chúng tôi trình bày theo [1]

Xét hệ phương trình vi phân viết dưới dạng ma trận - vectơ như sau:

T = Dx × Ia+, Ia+ = (a, +∞)

Với Dx là tập mở thuộc Rn và a là một số có thể bằng - ∞, sau này

để tiện trong cách trình bày ta viết ∞ thay cho +∞ (nếu không có gìnhầm lẫn)

ở đây ta luôn giả thiết các hàm fj (j = 1, 2, , n) xác định trongmiền T, liên tục theo t và có các đạo hàm riêng cấp một theo các biến

x1, x2, , xn liên tục; T là phép chuyển vị

1.1.1 Định nghĩa Nghiệm X = X(t) (a < t < ∞)) của hệ phương trình

vi phân (1.1) được gọi là ổn định theo Liapunov khi t → ∞ (gọi tắt là

ổn định) nếu với mọi ε > 0 và t0 ∈ (a, ∞) tồn tại δ = δ (ε, t0) > 0 saocho nếu tất cả các nghiệm Y(t) của hệ (1.1) thoả mãn điều kiện

Dễ thấy hệ phương trình có nghiệm tầm thường (x1(t), x2(t)) ≡ (0, 0)

và nghiệm tổng quát của hệ là

Vậy nghiệm tầm thường của hệ ổn định.

Nhận xét Trong trường hợp đặc biệt, khi F(0, t) ≡ 0, nghiệm tầmthường (còn gọi là trạng thái cân bằng) X0(t) ≡ 0 (a < t < ∞) ổn địnhnếu với mọi ε > 0 và t0 ∈ (a, ∞) tồn tại δ = δ(ε, t0) > 0 sao cho bấtđẳng thức

kY (t0)k < δkéo theo

kY (t)k < ε, ∀t ≥ t0

1.1.2 Định nghĩa Nghiệm X(t) (a < t < ∞) của hệ phương trình viphân (1.1) được gọi là ổn định đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ = δ(ε)sao cho tất cả các nghiệm Y(t) của (1.1) thoả mãn

kX(t0) − Y (t0)k < δ

kéo theo

kX(t) − Y (t)k < εvới bất kỳ t0 ∈ (a, ∞)

1.1.3 Định nghĩa Nghiệm X(t) (a < t < ∞) của hệ phương trình viphân (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận khi t → ∞ nếu

i) Nó ổn định;

ii) Với mọi t0 ∈ (a, ∞) tồn tại ∆ = ∆(t0) > 0 sao cho mọi nghiệm Y(t)(t0 ≤ t < ∞) thoả mãn điều kiện kY (t0) − X(t0)k < ∆ sẽ có tínhchất

trình là (y1(t), y2(t)) = (ae−2t, be−3t) Với mọi ε ta chọn δ = ε, khi đónếu

Vậy nghiệm của hệ ổn định tiệm cận

Nhận xét Nghiệm tầm thường X0(t) ≡ 0 (trường hợp F(0, t) ≡ 0)của hệ phương trình vi phân (1.1) ổn định tiệm cận, nếu:

i) X0(t) ≡ 0 ổn định;

ii) Với mọi t0 ∈ (a, ∞) tồn tại ∆(t0) > 0 sao cho mọi nghiệm Y(t)(t0 ≤ t < ∞) thoả mãn điều kiện kY (t0)k < ∆ sẽ có tính chấtlim

Nghiệm X(t) (a < t < ∞) được gọi là ổn định tiệm cận toàn cục nếunghiệm X(t) ổn định tiệm cận khi t → ∞và tất cả các nghiệm Y(t)(t0 ≤ t < ∞, t0 > a) đều có tính chất (1.4).

Bây giờ ta xét hệ phương trình vi phân có nhiễu

dX

trong đó B(X, t) là hàm véctơ xác định trong miền T, liên tục theo t và

có các đạo hàm riêng cấp một theo x1, x2, , xn liên tục

1.1.5 Định nghĩa Nghiệm X(t) (a < t <∞) của hệ phương trình viphân (1.1) được gọi là ổn định với nhiễu B(X, t) nếu với mọi ε > 0 và

t0 ∈ (a, ∞) tồn tại δ = δ(ε, t0) > 0 sao cho kB(X, t)k < δ khi thì tất cảcác nghiệm Y(t) của hệ (1.5) thoả mãn điều kiện

trong đó ma trận A(t) và hàm vectơ G(t) liên tục trong khoảng (a, ∞)

Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng là:

dX

1.2.1 Định nghĩa Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.6) được gọi là

ổn định (hoặc không ổn định) theo Liapunov nếu tất cả các nghiệm của

nó tương ứng ổn định (hoặc không ổn định) theo Liapunov khi t → ∞

1.2.2 Định nghĩa i) Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.6) đượcgọi là ổn định tiệm cận nếu mọi nghiệm của nó ổn định tiệm cậnkhi t → ∞.

ii) Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.6) được gọi là ổn định đềunếu mọi nghiệm của nó ổn định đều t → ∞

1.2.3 Định lý Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.6) ổn định khi

và chỉ khi nghiệm tầm thường của hệ phương trình vi phân tuyến tínhthuần nhất tương ứng (1.7) ổn định theo Liapunov

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử hệ phương trình vi phân tuyếntính (1.6) ổn định; X(t) (t0 < t < ∞) là một nghiệm bất kỳ của hệphương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.7) Khi đó tồn tại hainghiệm X1(t), X2(t) của hệ (1.6) sao cho

X(t) = X1(t) − X2(t)

Do hệ (1.6) ổn định nên nghiệm X1(t) của nó ổn định khi t → ∞ Do

đó với mọi ε > 0 và t0 ∈ (a, ∞)tồn tại δ > 0 sao cho

kX1(t0) − X2(t0)k < δ

kéo theo

kX1(t) − X2(t)k < ε, ∀t ≥ t0.Điều này tương đương với

kX(t0)k < δ

kéo theo

kX(t)k < ε, ∀t ≥ t0;hay nghiệm tầm thường Y(t) ≡ 0 của hệ (1.7) ổn định

Điều kiện đủ Giả sử nghiệm tầm thường Y(t) ≡ 0 của hệ phươngtrình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.7) ổn định ; X(t), Y(t) là hai

nghiệm bất kỳ của hệ phương trình tuyến tính không thuần nhất (1.6).Khi đó, ta đặt

X(t) = X (t) − Y (t)thì X(t) là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (1.7).Mặt khác, do nghiệm tầm thường của hệ (1.7) ổn định , nên với mọi

ε > 0, t0 ∈ (a, ∞) tồn tại δ > 0 sao cho

hệ (1.6) ổn định

Hệ quả Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.6) ổn định (không ổnđịnh) theo Liapunov nếu có một nghiệm bất kỳ của nó ổn định (tươngứng không ổn định) theo Liapunov

Chứng minh • Giả sử X(t) là một nghiệm ổn định của hệ phương trình

vi phân tuyến tính (1.6) và Y(t) là nghiệm bất kỳ của hệ phương trình

vi phân thuần nhất tương ứng (1.7) Khi đó:

Z(t) = X(t) − Y (t)

cũng là một nghiệm của hệ (1.7)

Do nghiệm X(t) của hệ (1.6) ổn định , nên suy ra với mọi ε > 0,

t0 ∈ (a, ∞) tồn tại δ > 0 sao cho

kX(t0) − Z(t0)k = kY (t0)k < δ

kéo theo

kX(t) − Z(t)k = kY (t)k < ε, ∀t ≥ t0;hay nghiệm tầm thường của (1.6) ổn định tiệm cận Theo Định lý1.2.3 thì hệ (1.6) ổn định

• Giả sử hệ phương trình tuyến tính (1.6) có nghiệm X(t) không ổnđịnh Khi đó sẽ có ε, t0, nào đó sao cho với mọi δ > t0 tồn tại hàm Y (t)

là nghiệm của hệ phương trình (1.6) và số tδ > 0 sao cho

1.2.4 Định lý i) Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.6) ổn địnhtiệm cận khi và chỉ khi nghiệm tầm thường của hệ phương trình viphân tuyến tính thuần nhất tương ứng (1.7) ổn định tiệm cận khi

t → ∞

ii) Hệ phương trình vi phân tuyến tính(1.7) ổn định đều khi và chỉ khinghiệm tầm thường của hệ phương trình vi phân tuyến tính thuầnnhất tương ứng (1.7) ổn định đều khi t → ∞

Chứng minh i) Điều kiện cần Giả sử mọi nghiệm của hệ phươngtrình vi phân tuyến tính (1.6) ổn định tiệm cận Khi đó theo Định

lý 1.2.3, ta có nghiệm tầm thường của hệ thuần nhất tương ứng ổnđịnh Do đó để chứng minh nghiệm tầm thường của hệ (1.7) ổnđịnh tiệm cận ta chỉ cần chứng minh nó thoả mãn ii) trong nhậnxét sau định nghĩa 1.1.3

Gọi X(t) là một nghiệm bất kỳ của hệ phương trình (1.7), khi đó sẽ

có hai nghiệm X1(t), X2(t) của hệ phương trình vi phân tuyến tính

(1.6) thoả mãn

X(t) = X1(t) − X2(t)

Do hệ phương trình vi phân (1.6) ổn định tiệm cận, nên với mọi

ε > 0, t0 ∈ (a, ∞) tồn tại ∆(t0) sao cho nếu

X(t) = X(t) − Y (t)Khi đó X(t) là nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến thuầnnhất (1.7) Mặt khác, do nghiệm tầm thường của phương trình (1.7)

ổn định tiệm cận nên với mọi ε > 0, t0 ∈ (a, ∞) tồn tại ∆ > 0 saocho khi

X(t) < ∆

ii) Hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.6) ổn định đều khi và chỉ khi

hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng (1.7) ổnđịnh đều

1.3 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến

Khi đó mỗi nghiệm X(t) (t0 ≤ t < ∞) của hệ đều có thể biểu diễn đượcdưới dạng

X (t) = ˆX(t).X (t0) Định lý 1.3.1 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.8) ổnđịnh theo Liapunov khi và chỉ khi mọi nghiệm X(t) (t0 ≤ t < ∞) của hệđều bị chặn trên khoảng [t0, ∞)

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử hệ phương trình vi phân tuyếntính thuần nhất (1.8) ổn định , ta sẽ chứng minh mọi nghiệm của hệphương trình (1.8) đều bị chặn trên khoảng [t0, ∞) Giả sử ngược lại,tồn tại nghiệm X(t) của hệ không bị chặn trên khoảng [t0, ∞), tất nhiênX(t0) 6= 0 Ta cố định hai số dương ε > 0 và δ > 0 và xét nghiệm

Điều kiện đủ Giả sử mọi nghiệm của hệ (1.8) phương trình đều giớinội trên khoảng [t0, ∞) ⊂ (a, ∞) Xét ma trận nghiệm cơ bản chuẩn hoácủa hệ phương trình (1.8) ˆX(t), trong đó ˆX(t0) = E (E là ma trận đơn

vị cấp n) Theo giả thiết X(t) giới nội, nghĩa là tồn tại số dương M (t0)sao cho

ˆX(t) ≤ Mvới mọi t ∈ [t0, ∞)

Gọi X(t) là một nghiệm bất kỳ của hệ phương trình vi phân tuyếntính thuần nhất, khi đó ta luôn có thể biểu diễn X(t) được dưới dạngtích

Vậy nghiệm tầm thường X0(t) ≡ 0 của hệ ổn định, do đó theo Định

lý 1.2.3 hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.8) ổn địnhtheo Liapunov

Định lý trên cho thấy rằng tính ổn định của hệ (1.8) tương đương vớitính giới nội của tất cả các nghiệm của nó

Hệ quả Hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất ổnđịnh theo Liapunov thì tất cả các nghiệm của nó hoặc đồng thời bị chặnhoặc đồng thời không bị chặn

Chứng minh Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính bất kỳ

Giả sử hệ phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất (1.9)

ổn định theo Liapunov Khi đó theo Định lý 1.2.3 và Hệ quả của Định

lý 1.2.3 thì hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (1.10) ổn định Giả

sử hệ phương trình (1.9) có nghiệm X(t) (t0 ≤ t < ∞) không bị chặntrên khoảng [t0, ∞) và nghiệm Y(t) (t0 ≤ t < ∞) bị chặn trên khoảng[t0, ∞) Đặt

X(t) = X(t) − Y (t)

Khi đó X(t) là nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.10).Lại do hệ phương trình (1.10) ổn định, nên theo Định lý 1.3 thì tất cảcác nghiệm Z(t), (t0 ≤ t < ∞) của nó bị chặn trên khoảng [t0, ∞).

Do đó tồn tại hằng số M sao cho

Định lý 1.3.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất ổnđịnh tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm của nó dần tới 0 khi

t → ∞

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử hệ phương trình vi phân tuyếntính thuần nhất (1.8) ổn định tiệm cận khi t → ∞ Từ đó suy ra nghiệmtầm thường X0(t) ≡ 0 ổn định tiệm cận Do đó đối với mỗi nghiệm X(t)của hệ phương trình (1.8) tồn tại số dương ∆ sao cho

lim

khi

kX(t0)k < ∆trong đó t0 tuỳ ý thuộc khoảng (a, ∞)

Gọi Y(t) là một nghiệm bất kỳ của hệ phương trình (1.8), với điềukiện ban đầu Y0 = Y (t0) 6= 0 Đặt

Z(t) = Y (t)

kY0k ·

∆2

khi đó ta có Z(t) là một nghiệm của hệ phương trình (1.8) và

Gọi X(t) (t0 ≤ t < ∞) là nghiệm bất kỳ của hệ phương trình (1.8) Khi

đó tồn tại hằng số c ≥ t0 sao cho

kX(t)k < 1, với ∀t ∈ (c, ∞)

Vì trên đoạn [t0, c] hàm vectơ X(t) liên tục nên bị chặn, do đó nghiệmX(t) bị chặn trên toàn bộ tập[t0, ∞) = [t0, c] ∪ (c, ∞) Từ đó theo Định

lý 1.3.2 hệ phương trình (1.8) ổn định, suy ra nghiệm tầm thường của

hệ phương trình (1.8) ổn định Kết hợp với (1.14) ta có nghiệm tầmthường của hệ ổn định tiệm cận áp dụng Định lý 1.2.4 suy ra hệ phươngtrình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.8) ổn định tiệm cận

1.3.2 Tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tínhthuần nhất với hệ số hằng số

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

dX

trong đó ma trận hệ số A = [ aij] là ma trận vuông cấp n, với các phần

tử aij là hằng số

Trước khi đi vào các định lý chính của phần này chúng ta đưa ra kháiniệm đại số sau đây:

Định nghĩa 1.3.1 Ma trận vuông A được gọi là ma trận ổn định(hay là ma trận Hurwitz ) nếu tất cả các giá trị riêng của nó đều có phầnthực âm

det(A1 − λE) = (i − 2 − λ)(3i − 3 − λ)(−2 − λ)

nên ma trận A1 có các giá trị riêng là

det(A2 − λE) = (1 − λ)(2i − λ)(−λ)

nên ma trận A2 có một giá trị riêng là λ0 = 0 do đó Re(λ0) = 0

Vậy ma trận A2 không ổn định

Định lý 1.3.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với

hệ số hằng (1.15) ổn định theo Liapunov khi và chỉ khi tất cả các giá trịriêng λjcủa ma trận A đều có phần thực không dương

Định lý 1.3.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với

hệ số hằng (1.15) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi ma trận A ổn định.Chứng minh định lý 1.3.3 và định lý 1.3.4

Phương trình dX

dt = AX (với X(0) = E) có nghiệm X = e

At

Đổi biến X = TY, (T không suy biến) khi đó Y thoả mãn phươngtrình

Khai triển Taylor vế phải của (1.16) theo X tại lân cận gốc toạ độ tađược:

được gọi là hệ phương trình xấp xỉ thứ nhất đối với (1.16)

Định nghĩa 1.4.1 Hệ vi phân (1.18) được gọi là dừng theo xấp xỉthứ nhất nếu ma trận A là ma trận các hằng số

Định lý 1.4.2 Nếu hệ vi phân (1.18) dừng theo xấp xỉ thứ nhất và R

bị chặn theo t, đồng thời tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng{A − λE} = 0 đều có phần thực âm thì nghiệm tầm thường x ≡ 0 của

hệ (1.17) và (1.18) ổn định tiệm cận

Định lý 1.4.3 Nếu hệ vi phân (1.18) dừng theo xấp xỉ thứ nhất

và R bị chặn theo t nhưng tồn tại nghiệm của phương trình đặc trưng{A − λE} = 0 có phần thực dương thì nghiệm x ≡ 0 không ổn định

−1 − λ3

2

−2 − λ

1

−4



có ∆1 = 3 và ∆2 = −12 < 0 Do vậy (0,0)không ổn định

1.5 Phương pháp hàm Liapunov

Xét hàm số V = V(t,X) liên tục theo t và theo x1, , xn trong miền

Z0, trong đó

Z0= {a < t < +∞, kXk < h}

Đầu tiên, chúng tôi đưa ra các khái niệm cơ bản về các hàm có dấuxác định và hàm có dấu không đổi.

Định nghĩa 1.5.1 Hàm V(t,X) được gọi là hàm có dấu không đổi(dấu dương hoặc dấu âm) trong miền Z0 nếu V(t,X) ≥ 0 (hoặc

V(t,X) ≤ 0)

Định nghĩa 1.5.2 Hàm V(t,X) được gọi là hàm xác định dươngtrong miền Z0 nếu tồn tại hàm W(X) sao cho V(t,X) ≥ W(X) > 0 vớikXk 6= 0 và

V(t,0) = W(0) = 0

Hàm V(t,X) được gọi là hàm xác định âm trong miền Z0 nếu tồn tạihàm W(X) sao cho V(t,X) ≤ W(X) < 0 với kXk 6= 0 và V(t,0) = W(0)

= 0

Định nghĩa 1.5.3 Hàm V(t,X) được gọi là hàm có giới hạn vô cùng

bé bậc cao khi X → 0 nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho

|V (t, X)| < ε khi ||X|| < δ và t ≥ t0

Xét hệ phương trình vi phân như sau

dX

dt = F (t, X) thoả mãn F (t, 0) ≡ 0 (1.19)Định lý 1.5.4 Nếu đối với hệ (1.19) tồn tại một hàm xác định dươngV(t,X) và có đạo hàm theo t xác định âm thì nghiệm tầm thường X ≡ 0của hệ đã cho ổn định

Định lý 1.5.5 Giả sử đối với hệ (1.19) tồn tại một hàm xác địnhdương V(t,X) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi X → 0 và có đạo hàmtheo t xác định âm Khi đó nghiệm tầm thường X ≡ 0 của hệ đã cho ổnđịnh tiệm cận

Định lý 1.5.6 Nếu hệ dX

dt = F (X) xác định hàm V(X) > 0 vàdV

dt ≤ 0 thì nghiệm tầm thường X ≡ 0 của hệ ổn định

Định lý 1.5.7 Nếu hệ dX

dt = F (X) xác định hàm V(X) > 0 vàdV

dt < 0 thì nghiệm tầm thường X ≡ 0 của hệ ổn định tiệm cận.

Xét hệ phương trình dX

dt = AX với X(0) = I (I là ma trận đơn vị) và

A là ma trận hằng Khi đó, chúng ta có Định lý sau

Định lý 1. 5.5 Giả sử hệ (1. 19) tồn hàm xác địnhdương V(t,X) có giới hạn vô bé bậc cao X → có đạo hàmtheo t xác định âm Khi nghiệm tầm thường X ≡ hệ cho ổn? ?ịnh tiệm...

Xét hệ phương trình vi phân sau

dX

dt = F (t, X) thoả mãn F (t, 0) ≡ 0 (1. 19)Định lý 1. 5.4 Nếu hệ (1. 19) tồn hàm xác định dươngV(t,X) có đạo hàm theo t xác định. .. tiệm cận

Định lý 1. 5.6 Nếu hệ dX

dt = F (X) xác định hàm V(X) > vàdV

dt ≤ nghiệm tầm thường X ≡ hệ ổn định

Định lý 1. 5.7 Nếu hệ dX