Chương III - Bài 5: Khoảng cách

khoảng cách từ một điểm đến một đ ờng thẳng, đến một mặt phẳng 1.. Khoảng cách từ một điểm đến một đ ờng thẳng... Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳngCho điểm O và mp... đ ờng vuôn

§5 - TiÕt 40

i khoảng cách từ một điểm đến một đ ờng thẳng, đến

một mặt phẳng

1 Khoảng cách từ một điểm đến một đ ờng thẳng.

Cho điểm O và đ ờng thẳng a; H là hình chiếu vuông góc của O trên a

Khi đó:

OH = d (O, a) là khoảng cách từ điểm O đến đ ờng thẳng a

Ví dụ 1: Cho ABC, AH là đ ờng cao xuất phát từ đỉnh A

Hãy chỉ ra khoảng cách từ A đến BC ?Có nhận xét gì về AH và AC ?

N là điểm bất kỳ nằm trên đ ờng thẳng BC, có nhận xét gì về AH và AN?

A

N

Chú ý:

OH = d (O, a) ON

( N là điểm bất kỳ nằm trên a. )





O

H a

2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm O và mp ( ) H là hình chiếu vuông góc của O lên ( ).

Khi đó:

OH = d (O; ( )) : khoảng cách từ O đến mp ( )





Ví dụ 2: Cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC đôi một vuông

góc

1) Xác định khoảng cách: a) từ điểm A đến mp (OBC)

b) từ điểm B đến mp (OAC)

c) từ điểm C đến mp (OAB)

2) Có nhận xét gì về OA và AB ; OA và AI ?

O A

B

C

I

o

Chú ý:

OH = d (O,( )) OM

(M là điểm bất kỳ nằm trên mp ( ) )









O

H

M

ii Kho¶ng c¸ch gi÷a ® êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng song

1 Kho¶ng c¸ch gi÷a ® êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng song song

C©u hái : Cho ® êng th¼ng a vµ mp ( ) ; a // ( )

A; B lµ 2 ®iÓm bÊt kú thuéc ® êng th¼ng a.

H·y tÝnh d (A, ( )) ; d (B, ( )) vµ so s¸nh chóng?

Gi¶ sö M lµ ®iÓm bÊt kú thuéc mp( ), cã nhËn xÐt g× vÒ AM vµ d (A, ( )) ?







A’ B’

a

§Þnh nghÜa : ( sgk Trang 115 -116 )

Ký hiÖu : d(a, ( ))

Chó ý:

d (a, ( )) AM

A lµ ®iÓm bÊt kú thuéc a; M lµ ®iÓm bÊt kú thuéc mp ( )









2 Kho¶ng c¸ch gi÷a hai mÆt ph¼ng song song

C©u hái: Cho hai mp ph©n biÖt ( ); ( ) vµ ( ) // ( )

M lµ ®iÓm bÊt kú thuéc mp ( ); N lµ ®iÓm bÊt kú thuéc mp ( )

TÝnh : d (M, ( )); d (N, ( )) Cã nhËn xÐt g× vÒ chóng?









M

M’

§Þnh nghÜa: ( sgk Trang 116 )

Ký hiÖu: d (( ), ( ))

VËy d (( ), ( )) =











 d (M, ( ) ) víi M ( ) 

 

d (M’, ( ) ) víi M’ ( )

Chó ý:

d (( ), ( )) M M’

M bÊt kú ( ); M’ bÊt kú ( )











iii đ ờng vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đ ờng

thẳng chéo nhau

Bài toán: Cho tứ diện đều ABCD Gọi M, N lần l ợt là trung điểm của cạnh BC và AD

Chứng minh:

a) AD và BC chéo nhau; chỉ ra cặp đ ờng thẳng chéo nhau khác của tứ diện này

b) MN BC và MN AD 

Giải:

a)Vì AD và BC không đồng phẳng nên AD và BC

chéo nhau

Các cặp đ ờng thẳng chéo nhau khác của tứ diện này

là: + AB và CD

+ AC và BD

b) Vì ABCD là tứ diện đều nên ABC = DCB

Do đó AM = DM AMD cân tại M

Suy ra MN AD

Chứng minh t ơng tự ta có MN BC

A

B

C

D M

N









a) a và b chéo nhau

d cắt a, d cắt b

d vuông góc với cả a và b







 d là đ ờng vuông góc chung của a và b M

n

a

b

b) a và b chéo nhau; d là đ ờng vuông góc

chung của a và b.

d cắt a tại M, d cắt b tại N

 MN = d (a, b)

2 Cách tìm đ ờng vuông góc chung của hai đ ờng thẳng chéo nhau

Bài toán: Cho a và b là hai đ ờng thẳng chéo nhau Tìm đ ờng vuông

góc chung của a và b

a’

a

b

a’

N

M



Giải * Xác định đ ợc mp( ) chứa b và song song với a

• Tìm giao điểm N của và b ( là hình chiếu vuông góc

của a trên mp( ))

• d ng d qua N và vuông góc với mp( )

* Xác định đ ợc mp( ) chứa a và

•Tìm giao điểm M của d và a

* Kết luận : d là đ ờng vuông góc chung của a và b

d

định nghĩa: (sgk Trang 117 )

3 Nhận xét

a; b là hai đ ờng thẳng chéo nhau Khi đó:

a)d(a, b) = d(a, ( )) ; (( ) là mp chứa b và song song với a)

= d(b, ( )) ; (( ) là mp chứa a và song song với b)

b) d(a, b) = d(( ), ( ))

ở đó ( ) là mp chứa a; ( ) chứa b; ( ) // ( )



a

b

M

N

Chú ý: a và b chéo nhau thì:

d ( a, b ) AB

A là điểm bất kỳ nằm trên a; B là điểm bất kỳ nằm

trên b









 









Ví dụ: cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hìmh vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với mp (ABCD); SA = a tính khoảng cách giữa hai đ ờng thẳng chéo nhau SC và BD

Chứng minh:

Gọi O là tâm tâm của hình vuông ABCD

Trong mp(SAC) dựng OH SC

Ta có: BD AC và BD SA nên BD (SAC),

suy ra BD OH Lại có OH SC

Vậy OH là đoạn vuông góc chung của SC và BD

Tính OH:

Hai tam giác vuông SAC và OHC đồng dạng (g g) nên:

Ta có: SA = a, OC = , SC = = =

Do đó:

OH =

Vậy khoảng cách giữa hai đ ờng thẳng chéo nhau SC và BD là OH =



S

C D

O

H

O

SC

OC SA OH C

OC

OH SC

sin  





2

2

6

6 3

2

2

a a

a a



6

6

a







Trắc nghiệm khách quan

Nhóm II

Câu II: Cho H d , K , HK d, HK

Hãy điền đúng sai vào các ô trống sau đây:

(a) KH là khoảng cấch giữa d và (b) KH là khoảng cấch từ K đến d (c) KH là khoảng cấch từ H đến (d) Cả 3 khẳng định trên đều sai

Nhóm I Câu I:Cho H d, MH d, d thuộc mp ( )

Hãy điền đúng sai vào các ô trống sau đây:

(a) MH là khoảng cách từ M đến ( )

(b) MH vuông góc với mọi đ ờng thẳng thuộc ( )

(c) Góc giữa MH và ( ) bằng

(d) Cả 3 khẳng định trên đều sai

Nhóm III

Câu III: cho MH là khoảng cách giữa 2 mp song song

( ), ( )

Hãy điền đúng sai vào các ô trống sau đây:

(a) MH KN, K ( ), N ( )

(b) MH KN, K ( ), N ( )

(c) MH là khoảng cách từ M đến d thuộc ( )

(d) Cả 3 khẳng định trên đều sai

Nhóm IV

Câu IV: cho MH là khoảng cách giữa hai đ ờng

thẳng chéo nhau a và b Hãy điền đúng sai vào các ô trống sau đây:

(a) MH KN, K a , N b (b) MH KN, K a , N b (c) MH là khoảng cách từ M đến a (d) Cả 3 khẳng định trên đều sai



d’

d’

0

90























































Tr¶ lêi

• Nhãm 1 : (a) S ; (b) S ; (c) S ; (d) §

• Nhãm II : (a) § ; (b) § ; (c) § ; (d) S

Chóc c¸c em häc tèt