ĐẶT VẤN ĐỀ Phương pháp toạ độ trong không gian là một trong những phương pháp hữu hiệu để giải bài toán hình học không gian.. Tuy nhiên để giải một bài toán bằng phương pháp toạ độ thì k
Trang 1I TÊN ĐỀ TÀI
KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN
II ĐẶT VẤN ĐỀ
Phương pháp toạ độ trong không gian là một trong những phương pháp hữu hiệu để giải bài toán hình học không gian Tuy nhiên để giải một bài toán bằng phương pháp toạ độ thì không phải đơn giản vì mỗi bài toán lại có những phương pháp khác nhau và phải có kỷ năng định hướng các bước giải, phải hệ thống các kiến thức một cách đầy đủ, khi đó chúng ta mới
có thể giải được bài toán
Chính vì thế đối với học sinh lớp 12 ban cơ bản các em thường bối rối
và cảm thấy khó khăn đối với những bài toán về phương pháp toạ độ Các
em không biết từ đâu và sử dụng phương pháp nào để giải
Hơn nữa, đây là năm đầu tiên sử dụng đại trà sách giáo khoa phân ban Đối với ban cơ bản, sách giáo khoa không cho nhiều công thức sử dụng
để tính khoảng cách như trước đây
Qua nhiều năm giảng dạy, tôi đã tổng hợp được một số dạng toán có thể giải bằng cách sử dụng kiến thức về khoảng cách Vì vậy, tôi chọn đề tài
“khoảng cách trong hình học không gian” để làm đề tài của mình với mong
muốn trang bị kiến thức, phương pháp giải một số dạng toán cho học sinh chuẩn bị cho các kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và thi vào các trường đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp Tôi hy vọng đây cũng là tài liệu bổ ích cho các đồng nghiệp sử dụng công việc giảng dạy của mình
III CƠ SỞ LÝ LUẬN
1 Khoảng cách giữa hai điểm
Cho hai điểm A x( A A A;y z; );B x( B B B;y z; ) Khoảng cách giữa hai
điểm A và B là độ dài đoạn AB được tính theo công thức:
AB= uuurAB = x B−x A + y B−y A + z B−z A
2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )α có phương trình
Ax +By + Cz + D = 0 và điểm M0(x0; y0; z0) Khoảng cách từ M0 đến mặt phẳng ( )α , ký hiệu là d M( 0 ,( )α ), được tính theo công thức:
Trang 2(P)
M
(P)
(Q)
M
N
( )
Ax By Cz D
d M
+ +
IV CƠ SỞ THỰC TIỄN
Mặc dù sách giáo khoa chỉ nêu 2 công thức tính khoảng cách đơn giản như vậy nhưng trong bài tập có nhiều bài về khoảng cách và vận dụng khoảng cách này để giải
Do đó trong tiết ôn tập cuối
năm, ta cần dành thời gian để
hệ thống lại các kiến thức liên
quan nhằm giúp học sinh
nắm được phương pháp để
làm toán
1 Khoảng cách giữa
đường thẳng và mặt
phẳng song song:
Cho đường thẳng a và
mặt phẳng (P) song song, ta có:
( )
( , ) ( ,( ) , )
2 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song, ta có:
( ) ( )
( ) ( ( ))
( )
( )
Ngoài ra, học sinh ban cơ bản còn đặt vấn đề tại sao không có công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, giữa hai đường thẳng trong không gian như trong chương trình nâng cao Và nếu không sử dụng công thức có sẵn như sách
Trang 3nâng cao thì liệu ta có giải quyết được bài toán khoảng cách như trên không?
Sau đây, tôi xin trình bày một số dạng toán cơ bản về Khoảng cách trong không gian
V NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
1 Vận dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
VD1: Bài 6/ 90(sgk – ban cơ bản)
Tính khoảng cách từ đường thẳng
3 2
1 2
= − +
∆ = − +
= − +
và mặt phẳng ( )α :
2x- 2y + z + 3 = 0
Giải: Đường thẳng ∆ đi qua M(-3; -1; -1), có vectơ chỉ phương
(2;3;2)
a=
ur
và mp( )α có VTPT nur= (2; 2;1) − Suy ra: a nur ur=0 và M không nằm trên ( )α nên ∆ và ( )α song
song
Do đó: ( ,( ) ) ( ,( ) ) 2( 3) 2( 1) 1 3 2
3
4 4 1
+ +
Bài tập tự rèn luyện:
Cho mp( )α : 3x – 2y – z + 5 = 0 và đường thẳng
:
x− y− z−
a) Chứng tỏ ∆/ /( )α
b) Tính khoảng cách giữa∆ và ( )α
Đáp số: 9
14
2. Vận dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
VD2: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-2; 4; 3) và mp (P) có
phương trình: (P): 2x – 3y + 6z + 19 = 0
Trang 4A'
D'
C' B'
D
C B
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (P) Tìm khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q)
Giải:
Mặt phẳng (Q) song song với (P) nên có VTPT là (2; -3; 6) và (Q) qua A(-2; 4; 3) Suy ra phương trình mp(Q):
2(x + 2) – 3(y – 4) + 6(z – 3) = 0⇔2x – 3y + 6z – 2 = 0
Ta có (P)//(Q) nên khoảng cách giữa (P) và (Q) là khoảng cách từ A đến (P) mà ( ,( ) ) 4 12 18 19 3
4 9 36
+ +
Vậy d((P), (Q)) = 3
VD3: Bài 10/81 sgk – ban cơ bản
Giải bài toán sau bằng phương pháp toạ độ:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1
a) Chứng minh (AB’D’)//(BC’D)
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên
Giải:
Chọn hệ trục toạ độ sao cho A(0; 0; 0), B(1; 0; 0); D(0; 1; 0), C(1; 1; 0), A’(0; 0; 1), B’(1; 0; 1), D’(0; 1; 1), C’(1; 1; 1).
' (1;0;1); ' (0;1;1); ' (0;1;1); ( 1;1;0)
Mặt phẳng (AB’D’) có VTPT uuuur uuuuurAB'∧AD' ( 1; 1;1)= − −
Mặt phẳng (BC’D) có VTPT BCuuuur uuuur'∧BD= − −( 1; 1;1)
Suy ra 2 mp(AB’D’) và (BC’D)
song song
b) Khi đó khoảng cách giữa hai mặt
phẳng trên chính là khoảng cách từ
A đến mp(BC’D’).
Ta viết phương trình mp(BC’D):
x + y – z – 1 = 0
( ,( ' ))
1 1 1 3
+ +
Vậy khoảng cách giữa hai mp trên
là 1
3
Bài tập tự rèn luyện:
Trang 5Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng lần lượt có phương trình:
x + 2y + 2z + 11 = 0 và x + 2y + 2z + 2 = 0
Đáp số: 3
3 Vận dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm, giữa điểm với mặt phẳng để viết phương trình mặt cầu
Nhắc lại một số công thức:
a) Mặt cầu nhận AB làm đường kính thì có tâm I là trung điểm
AB và bán kính r = ½ AB
b) Mặt cầu có tâm I và qua điểm A thì có bán kính r = IA
c) Mặt cầu có tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P) thì có bán kính bằng khoảng cách từ tâm I đến mp(P)
VD4: Bài 12b/101- sgk – ban cơ bản
Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2) Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCD)
Giải:
Viết được phương trình mp(BCD): x + 2y + 3z – 7 = 0 Mặt cầu tâm A tiếp xúc (BCD) có bán kính
( , ) 3 2( 2) 3.2 7 14
1 4 9
+ +
Phương trình mặt cầu: (x−3) (2+ +y 2) (2+ +z 2)2=14
Bài tập tự rèn luyện:
Bài 1:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ( d ) có phương trình
x 1 2t
y 2 t
z 3 t
= − +
= +
= − và mặt phẳng ( P ) có phương trình x – 2y + z + 3 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc ( d ), bán kính bằng 6, tiếp xúc với ( P )
Đáp số: (x−13) (2+ −y 9) (2+ +z 4)2=6
(x+11) (2+ +y 3) (2+ −z 8)2=6 Bài 2:
Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 2; 4) , B(-2; 2; 0), C(-5; 2; 0),
Trang 6D(-2; 1; 0).Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc mp (ABC).
Đáp số: (x+2) (2+ −y 1)2+z2=1
4 Vận dụng khoảng cách để xét vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Nhắc lại một số công thức:
Cho mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R và mp(P)
Để xét vị trí tương đối của (S) và (P), ta tính khoảng cách từ I đến (P) và so sánh với bán kính R
a) Nếu d I P( ,( ) ) >Rthì mặt cầu (S) và mp(P) không có điểm
chung
b) Nếu d I P( ,( ) ) =R thì mặt cầu (S) và mp(P) có duy nhất 1 điểm
chung Trường hợp này, ta nói (S) và (P) tiếp xúc
c) Nếu d I P( ,( ) ) <R thì mặt cầu (S) và mp(P) cắt nhau theo 1
đường tròn (C) có tâm là hình chiếu của I lên (P) và bán kính
( )
( , )
2 2 I P
r= R −d
VD5: Bài 5/ 92- sgk ban cơ bản
(x−3) (2+ +y 2) (2+ −z 1)2=100 và mặt phẳng ( )α có phương
trình 2x – 2y – z + 9 = 0 Mặt phẳng ( )α cắt mặt cầu (S) theo một
đường tròn (C) Hãy xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn (C)
Giải: Mặt cầu (S) có tâm I(3; -2; 1) và bán kính R= 10
Tính ( ,( ) ) 2.3 2( 2) 1.1 9 6 10
4 4 1
d I α = − − − + = <
+ + , suy ra ( )α cắt (S)
theo một đường tròn có tâm J là hình chiếu của I lên( )α .
Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với ( )α có phương trình
tham số:
3 2
2 2 1
= +
= − −
= −
Trang 7
Khi đó J là giao điểm của d và ( )α nên ta có toạ độ của J là
nghiệm của hệ:
3 2
2 2 1
= +
= − −
= −
− − + =
Giải tìm được J(-1; 2; 3) và bán kính
( )
Vậy đường tròn (C) có tâm J(-1; 2; 3) và bán kính r = 8
Bài tập tự rèn luyện: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng(P) có
phương trình: 2x + 2y + z – m2 – 3m = 0 và mặt cầu (S):
(x−1) (2+ +y 1) (2+ −z 1)2=9 Tìm m để (P) tiếp xúc mặt cầu Hướng dẫn : dùng điều kiện tiếp xúc
Đáp số: m = - 5 hoặc m = 2
5 Vận dụng khoảng cách để viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu
Nhắc lại một số công thức:
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)⇔d I P( ,( ) ) =R
VD6: (Bài 8/93- sgk ban cơ bản)
Viết phương trình mặt phẳng ( )α tiếp xúc với mặt cầu
(S): x2 + y2 + z2 – 10x + 2y + 26z + 170 = 0
và song song với hai đường thẳng
Giải:
Đường thẳng d và d’ lần lượt có VTCP là: uur=(2; 3;2); ' (3; 2;0)− uuur= −
Mặt phẳng ( )α song song với d và d’ nên có vectơ pháp tuyến là:
' 4;6;5
n u u= ∧ =uur
ur ur
Phương trình ( )α có dạng: 4x + 6y + 5z + D = 0
Mặt cầu (S) có tâm I(5; -1; -13) và bán kính R = 5
Ta có ( )α tiếp xúc với mặt cầu (S)
Trang 8( )
( )
4.5 6( 1) 5( 13)
5
16 36 25
51 5 77
51 5 77
,
D
D D
d I α =R
=
⇔ = ±
⇔
⇔
Vậy có 2 mặt phẳng ( )α thoả yêu cầu là 4 x+6y+ ±5z 5 77 0=
VD7: (Bài 9/100- sgk ban cơ bản)
Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1)
a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D
b) Viết phương trình mặt phẳng ( )α tiếp xúc với mặt cầu (S) và
song song với mp(ABD)
Giải :
a) Phương trình mặt cầu (S) có dạng:
x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 Mặt cầu qua A, B, C, D nên ta có hệ phương trình:
Giải hệ ta được: 3 ; 3; 1; 7
2
a= − b= − c= − d=
Suy ra, phương trình mặt cầu (S)
x 2 + y 2 + z 2 –3x – 6y – 2z + 7 =0 b) uuurAB= −( 1;0;0 ,) uuurAD=(0; 2;0 − )
Mp( )α song song với mp(ABD) nên ( )α có VTPT
(0;0; 2) 2 0;0;1( )
r uuur uuur
Khi đó phương trình mặt phẳng ( )α có dạng: z + D = 0
Mặt cầu (S) có tâm 3;3;1 , 21
Ta có ( )α tiếp xúc với mặt cầu (S)⇔d I( ,( )α =) R
21 1
2
21 1 2
D D
⇔ + =
Trang 9Vậy có 2 phương trình mặt phẳng ( )α thoả yêu cầu 21 1 0
2
Bài tập tự rèn luyện:
Bài 1:
Cho mặt cầu (S): (x−1) (2+ −y 1)2+z2=11
Viết phương trình mặt phẳng ( )α tiếp xúc với mặt cầu (S) và song
song với hai đường thẳng 1: 1 1; 2: 1
Đáp số: 3x – y – z – 15 = 0; 3x – y –z + 7 = 0 Bài 2:
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng ( P) lần lượt
có phương trình x2 + y2 +z2 - 2x + 2y +4z - 3 = 0 ; x – y – 2z + 1 = 0 Viết phương trình mặt phẳng ( )α tiếp xúc với mặt cầu (S) và song
song với mp (P)
6. Vận dụng khoảng cách để tính chiều cao của hình chóp, diện tích, thể tích
Nhắc lại công thức :
a) Chiều cao của hình chóp chính là khoảng cách từ đỉnh đến đáy của hình chóp
b) V =13S day h
VD8: Bài 1c/91 sgk – ban cơ bản
Cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD
Giải: Viết được phương trình mp(BCD): x – 2y – 2z + 2 = 0
Độ dài đường cao AH của hình chóp chính là khảong cách từ A đến mp(BCD), ta có:
( , ) 1 6.0 2.0 2 1
1 4 4
+ +
VD9: Bài 3b/92 sgk – ban cơ bản
Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4;0)
Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD
Giải :
Ta viết được phương trình của mặt phẳng (BCD) là:
8x – 3y – 2z + 4 = 0 Khi đó ( ,( ) ) 8( 2) 3.6 2.3 4 36
77
64 9 4
+ +
Trang 10B
C
D
H
d
A
H
VD10: Bài 8d / 100 sgk – ban cơ bản
Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4; -1; 1), D(3; 0; 3) Tính thể tích
tứ diện ABCD
Giải:
Viết được phương trình mp(ABC)
:x – y – 2z – 3 = 0
Công thức tính thể tích tứ diện:
1 3
V = S day h Chọn mặt đáy là tam giác ABC Khi
V = S∆
Để ý thấy tam giác ABC vuông tại A,
tính khoảng cách từ D đến (ABC)
bằng 6
Suy ra: .1 21 14 6 7
2
1 3
Ngoài ra, đối với những học sinh khá ta có thể bổ sung thêm hai dạng toán
dưới đây- cho các học sinh ban cơ bản thích tìm hiểu thêm và bổ sung thêm
kiến thức để thi vào các trường đại học, cao đẳng
7 Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Hướng dẫn cho học sinh phát hiện ra cách tính khoảng cách từ điểm
A(xA; yA; zA) đến đường thẳng
0
0
x x at
z z ct
Bước 1:Viết phương trình mp(P) chứa A và vuông góc với d
Bước 2: Tìm giao điểm H của d và (P)
Bước 3: Tính d(A,d) = AH
VD11: Cho điểm M(2;0;1) và đường thẳng
1
2
= +
=
= +
Trang 11A
H
M
Gọi H là hình chiếu của M lên d Tìm toạ độ H Tính khoảng cách từ M đến d
Giải:
Gọi ( )α là mặt phẳng qua M và vuông góc với đường thẳng d Khi đó ( )α
nhận VTCP của d làm VTPT nên ( )α có phương trình:
1(x – 2) + 2(y – 0) + 1(z – 1) = 0
⇔x + 2y + z – 3 = 0.
Ta có H là hình chiếu của M lên d nên H (1+t; 2t; 2+t) và H∈( )α
Thay toạ độ H vào phương trình ( )α : 1+ t + 4t + 2 + t – 3 = 0
Tìm được t = 0 Suy ra H(1; 0; 2)
Ta thấy khoảng cách từ M đến d chính là đoạn MH.
Vậy d M d( , ) =MH = (1 2− ) (2+ −0 0) (2+ −2 1)2 = 2
Bài tập tự rèn luyện:
Tính khoảng cách từ M (1; 2; 1) đến d
2
:
x+ = y− = z+
− Đáp số: 5 5
3
8 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cần lưu ý với học sinh khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau bằng khoảng cách giữa đường thẳng a với mp(P) đi qua b và song song với a ( đã học ở chương trình 11) Từ đó giúp học sinh hình thành phương pháp tính
Bước 1: Viết phương trình mặt
phẳng (P) qua b và song song với
a
Bước 2: lấy M trên a, và ta tính
( , ) ,( ) ,( )
d a b =d a P =d M P
VD12:
Trong không gian Oxyz, cho tứ diện
ABCD với A(1; 0; -3), B(2; 0: -4),
C(2; 1; 0) và D(4; 5 ; -4) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và CD
Giải:
Ta có uuurAB=(1;0; 1 ;− ) CDuuuur=(2;4; 4− )
Gọi ( )α là mặt phẳng chứa CD và song song AB Khi đó ( )α có VTPT là
(4;2;4) 2 2;1;2( )
n AB CD=uuur uuuur∧ = =
ur
và qua C(2;1;0).
Ta viết được phương trình mp( )α : 2x + y + 2z – 5 = 0
Trang 12Khi đó khoảng cách giữa AB và CD chính là khoảng cách giữa AB và ( )α
hay khoảng cách từ A đến mp ( )α .
( ,( )) 2.1 1.0 2( 3) 5 1
3
4 1 4
+ +
Vậy ( , ) 1
3
d AB CD =
Bài tập tự rèn luyện:
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
1 2
1
z
= +
∆ = − −
2
3
= −
= + Đáp số: 6
2
VI KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Đây là năm đầu tiên sử dụng đại trà sách giáo khoa phân ban, nên tôi chỉ mới áp dụng lần đầu phương pháp này để củng cố kiến thức cuối năm cho học sinh hai lớp 12C8 và 12C9 trường THPT BC Nguyễn Trãi một cách
có hệ thống Qua đó, tôi thấy, đối với học sinh khá, có thể tự hệ thống lại phương pháp giải toán một cách khoa học và tự hình thành lại bài giải khi gặp lại bài toán tương tự Đối với học sinh yếu thì khả năng này chậm hơn Tuy nhiên học sinh cũng xác định được hướng giải quyết bài toán Tôi sẽ tiếp tục sử dụng phương pháp này vào năm học tới để ôn tập cho học sinh
VII KẾT LUẬN
“Khoảng cách trong hình học không gian”, tuy đơn giản về lý thuyết nhưng chúng ta có thể nhìn nó dưới nhiều góc độ khác nhau để có thể áp dụng giải được nhiều bài toán khác nhau
Vì thời gian không nhiều và năng lực còn hạn chế nên tôi chỉ mới đề cập một số áp dụng khoảng cách trong một số bài toán hinh học không gian Tôi
sẽ nghiên cứu tiếp các đề tài khác về phương pháp toạ độ trong thời gian tiếp theo
Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các đồng nghiệp
VIII ĐỀ NGHỊ
Với thời lượng giờ chính khoá thì không thể đủ thời gian củng cố kiến thức cho học sinh Để có thể ôn tập cho học sinh từng dạng toán cụ thể, một phần là nhờ vào tiết tự chọn trong phân phối chương trình và hơn nữa là
