Nguyên lý quy nạp toán học Môn cơ sở số học

Nguyên lí quy nạp: Giả sử M là một bộ phận của tập hợp số tự nhiên N và thỏa mãn hai điều kiện sau: 1 2 Khi đó ta có II.. Phép chứng minh quy nạp: Để chứng minh một mệnh đề Pn là đúng vớ

NGUYÊN LÍ QUY NẠP

I. Nguyên lí quy nạp:

Giả sử M là một bộ phận của tập hợp số tự nhiên N và thỏa mãn hai điều kiện sau: 1)

2)

Khi đó ta có

II. Phép chứng minh bằng quy nạp:

1. Định lí:

Giả sử hàm mệnh đề P(n) với biến tự nhiên n, thỏa mãn điều kiện:

1) P(0) đúng:

2) Nếu P(n) đúng thì P(n’) đúng

Khi đó P(n) đúng với mọi số tự nhiên

2. Phép chứng minh quy nạp:

Để chứng minh một mệnh đề P(n) là đúng với mọi n N*, ta thường dùng phương pháp quy nạp toán học, được tiến hành theo hai bước như sau:

Bước cơ sở: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với

Bước quy nạp: Chứng minh mệnh đề P(n) => P(n’).

Để chứng minh mệnh đề kéo theo này, ta giả thiết mệnh đề P(n) đúng với một số tự nhiên bất kì n = k, (k ≥ 1) (ta gọi là giả thiết quy nạp) và chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k’ (k’= k+1)

3. Một số dạng khác của phép chứng minh quy nạp:

a. Với , khi đó:

Bước cơ sở: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với

Bước quy nạp: Ta giả sử P(n) đúng với và chứng minh P(k’) đúng.

Ví dụ 1: Với chứng minh rằng:

2 2 2 ( 1)(2 1)

1 2

6

(1) Với n=1, ta có:

2 1(1 1)(2 1) 1

6

=

Vậy

2 2 2 ( 1)(2 1)

1 2

6

đúng với n=1

Giả sử (1) đúng với , tức là:

2 2 2 ( 1)(2 1)

1 2

6

Ta chứng minh (1) đúng với

2 2 2 2 ( 1)(2 1) 2

6

2

Vậy

2 2 2 ( 1)(2 1)

1 2

6

đúng với

b. Trong một số bài toán phức tạp, ta phải chứng minh quy nạp theo các bước sau:

Bước cơ sở: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=0.

Bước quy nạp: Chứng minh mệnh đề

III. Bài tập:

∗ Cách giải: Để chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n a≥ , người ta thường dùng phương pháp chứng minh qui nạp toán học Phương pháp này được tiến hành theo ba bước như sau:

− Bước 1: Chứng minh P(n) là đúng

− Bước 2: Giả sử P(k) là đúng với số tự nhiên tùy ý , ta chứng minh P(k+1) là đúng

− Bước 3: Kết luận P(n) là đúng với mọi số tự nhiên

Dạng I Chứng minh đẳng thức

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi ta có:

(2) Hướng dẫn giải:

Xét với n=1, ta có: VT =1; VP = =1⇒ VT=VP

Vậy (2) đúng với n=1

Giả sử (2) đúng với n=k (k ≥1), khi đó ta có:

(2*) (giả thiết quy nạp)

Phải chứng minh (2) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh: (2**)

Ta có: VT(2**)

=

(theo (2*))

= VP(2**) Vậy (2) đúng với n=k+1

Vậy với mọi ta có:

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi ta có:

(3) Hướng dẫn giải:

Xét với n=1, ta có: VT ; VP ⇒VT= VP

Vậy (3) đúng với n=1

Giả sử (3) đúng với n=k (k≥1), khi đó ta có:

(3*) (giả thiết quy nạp)

Phải chứng minh (3) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh: (3**)

Ta có: VT(3**) =

= (theo(3*))

= VP(3**) Vậy (3) đúng với n=k+1

Vậy với mọi ta có:

Bài tập tự luyện: Chứng minh rằng với mọi ta có:

a

b

d

Dạng II Chứng minh bất đẳng thức

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta luôn có (3) Giải

Với , ta có VT =8; VP=7, nên (3) đúng với

Giả sử (3) đúng với n=k, tức là ,

Ta chứng minh (3) đúng với n=k+1 tức là phải chứng minh

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có

Vậy (3) đúng với mọi số nguyên

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta luôn có (4)

Giải

Với n=2, ta có VT =9; VP=7 , nên (4) đúng với n=2

Giả sử (4) đúng với n=k, tức là

Ta chứng minh (4) đúng với n=k+1 tức là phải chứng minh

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

Vậy (4) đúng với mọi số nguyên

Bài tập tương tự

a. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta luôn có:

b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta luôn có:

c. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta luôn có:

Dạng III Chứng minh sự chia hết

Bài 5: Cho n là một số nguyên dương, chứng minh rằng:

(1)

Hướng dẫn giải:

Xét với n=1 ta có: A = 9 ⋮ 3 Vậy (1) đúng với n=1

Giả sử (1) đúng với n=k, tức là : (2) (giả thiết quy nạp)

Phải chứng minh (1) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh

Ta có:

(ở bước tiếp theo phải làm xuất hiện giả thiết quy nạp)

Vì theo (2) (giả thiết quy nạp) nên

(hiển nhiên) Vậy (1) đúng với n=k+1

Kết luận: Vậy với n là một số nguyên dương.

Bài 6: Cho n là một số nguyên dương, chứng minh rằng: (1)

Hướng dẫn giải:

Xét với n=1 ta có: Vậy (1) đúng với n=1

Giả sử (1) đúng với n=k, tức là: (2) (giả thiết quy nạp)

Phải chứng minh (1) đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh

Ta có:

(ở bước tiếp theo phải làm xuất hiện giả thiết quy nạp)

Vì theo (2) (giả thiết quy nạp) nên: ⋮ 9

9(5k−2) ⋮ 9 (hiển nhiên) Vậy (1) đúng với n=k+1

Vậy với n là một số nguyên dương

Bài tập tự luyện: Cho n là một số nguyên dương, chứng minh rằng:

a

b

c

d.