Hàm số đa thức bậc baI.Một số tính chất của hàm bậc ba 1... Đồ thị hàm số cắt trục hoành... Chú ý : Đờng thẳng d trong trờng hợp này cũng chính là tiếp tuyến của đồ thị hàm số.. Do đó c
Trang 1Hàm số đa thức bậc ba
I.Một số tính chất của hàm bậc ba
1 Hàm số có cực đại ,cực tiểu ⇔ ∆= b2 − 4ac>0
2 Hàm số đồng biến trên ℜ ⇔
≤∆
>
0
0
a
3 Hàm số nghịch biến trên ℜ ⇔
≤∆
<
0
0
a
4 Để tìm giá trị của điểm cực trị ( Đờng thẳng đi hai điểm cực trị) trong
tr-ờng hợp hoành độ cực trị là những số lẻ ,ta thực hiện phép chia đa thức y cho y’ ta đợc:
y=y’.g(x) +h(x)
ta có:
+Gọi (x o ; y0) là toạ độ điểm cực trịcủa đồ thi hàm số thì y’(x0)=0
+Do đó: y (x0)=y’(x0).g(x0) + h(x0) = h(x0)
Khi đó : Đờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thịhàm số có
dạng: y= h(x)
Thì đờng thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng:
1 2
1 1
2
1
y y
y y x x
x x
−
−
=
−
−
5 Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
Thật vậy, thực hiện phép tinh tiến đồ thị theo véc tơ OI
Với I là điểm uốn có toạ độ là:
+ + +
=
−
=
d cx bx ax y a
b x
0
2 0
3 0 0
0
3
Công thức đổi hệ trục toạ độ là
+
=
+
=
0
0
y Y y
x X x
Thay x,y vào phơng trình hàm số ta đợc:
Y+y =a(X +x ) +b(X +x ) 2 +c(X +x0) +d
0
3 0
Hàm số này là hàm lẻ nên đồ thị nhận điểm I(x o ; y0) làm điểm uốn
6.Tiếp tuyến tại điểm uốn:
Trang 2Tếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ nhất nếu a>0 vàlớn nhất nếu a<0 trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
Thật vậy, ta có y’= ax bx c a x b a ac a b
3
3 3
2 3
2 2
0 0
2 0
− +
= + +
* nếu a>0 thì K
a
b ac
NN
3
= đạt đợckhi x0 = −3b a
* nếu a>0 thì K
a
b ac
LN
3
= đạt đợckhi x
a
b
3
0 = −
Mà y’’=6ax +b=0 <=> x=−3b a nên x0 = −3b a chính là hoành độ điểm uốn
=> ĐPCM
7 Đồ thị hàm số cắt trục hoành.( Giao điểm của đồ thị với trục hoành)
*Bài toán1: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại3 điểm phân biệt(hoặc phơng trình ax3 + bx2 + cx + d = o có 3 nghiệm pb) , thông thờng ta
sử dụng các cách sau đây:
nghiệm của phơng trình: ax3 + bx2 + cx + d = o do đó:
Ta có ax3 + bx2 + cx + d = o (a≠ 0 )
<=> (x-α )( ax2 +ex+l)=0
<=>
= + +
=
=
0 )
(x ax2 ex l
g
(*) ycbt <= > pt (*) có 2 nghiệm pb x ≠α
<= >
≠
>
∆
0 )
(
0
*
α
g
Chú ý: Khi đó điểm A( α ; 0 )là mộtđiểm cố định của đồ thị hàm số.
Cách2.Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb
<=>
<
=
0 ) ( ).
(
0
'
2
1 y x
x
y
y
Có 2 nghiệm pb x1, x2
1
x
2
x
Trang 3* Bài toán2 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb có hoành độ
d-ơng( hoặc phơng trình ax3 + bx2 + cx + d = o có 3 nghiệm dơng pb)
Cách1(ph ơng pháp đại số) Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là
nghiệm của phơng trình: ax3 + bx2 + cx + d = o do đó:
Ta có ax3 + bx2 + cx + d = o (a≠ 0 )
<=> (x-α )( ax2 +ex+l)=0
<=>
= + +
=
>
=
0 )
(
0
ax x
g
(*) ycbt <= > pt (*) có 2 nghiệm dơng pb
x ≠α <=>
≠
>
>
>
∆
0 ) (
0 0 0
α
g
p
s
g
Cách2.Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb có hoành độ dơng
<=>
<
<
=
0 )
(
.
0 ) ( ).
(
0
'
2 1
o
y
a
x y
x
y
y
* Bài toán3 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb có hoành độ âm
( Hoặc phơng trình ax3 + bx2 + cx + d = o có ba nghiệm âm pb)
Cách1(Ph ơng pháp đại số) Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là
nghiệm của phơng trình: ax3 + bx2 + cx + d = o do đó:
Ta có ax3 + bx2 + cx + d = o (a≠ 0 )
<=> (x-α )( ax2 +ex+l)=0
<=>
= + +
=
<
=
0 )
(
0 2
l ex ax x
g
(*) ycbt <= > pt (*) có 2 nghiệm âm pb
x ≠α <=>
≠
>
<
>
∆
0 ) (
0 0 0
α
g
p
s
g
Có 2 nghiệm pb x1 > 0 ,x2 > 0
y(cđ)
y(cđ)
1
x
2
x
y(0)
Trang 4Cách2 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb có hoành độ âm
<=>
<
<
=
0 )
(
.
0 ) ( ).
(
0
'
2 1
o
y
a
x y
x
y
y
Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu: “Tìm giá trị của tham số để phơng trình ax3 +
bx2 + cx + d = o (*)
1 Có 3 nghiệm phân biệt
2 Có 3 nghiệm dơng pb
3 Có 3 nghiệm âm pb
Thì ta có thể sử dụng phơng pháp hám số :
- Đa phơng trình (*) về dạng: f(x)= h(m)
- Lập bảng biến thiên của hàm số y=f(x) ( Trên khoảng (− ∞ ; +∞ )hoặc trên khoảng (o; +∞ ) hoặc trên khoảng ( −∞ ; 0 )) tuỳ theo yêu cầu của bài toán là 1, 2 hay3
- Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cần tìm của tham số
Bài toán4 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tai 3 điểm có hoành độ x1 ,x2 ,x3
cách đều nhau.(Lập thành cấp số cộng)
Cách1 (PP đại số)
*ĐK cần : Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình ax3 + bx2 + cx + d =
o (*)
Giả sử pt(*) có 3 nghiêm x1 ,x2 ,x3cách đều nhau ,khi đó ta có
−= + +
= +
a
b x x x
x x x
3 2 1
2 3
<=>
a
b
x
3
2 = −
Thay x b a
3
2 = − vào phơng trình (*) ta tìm đợc tham số?
*ĐK đủ: Thay giá trị của tham số vừa tìm đợc vào phơng trình (*) , giải pt(*)
tìm ra nghiểmồi kết luận
Có 2 nghiệm pb x1< 0 ,x2 < 0
Trang 5Cách2: Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm cáchđều nhau khi và chỉ khi điểm uốn
thuộc trục hoành( Vì điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị)
ta có x
a
b
3
0 = − là hoành độ điểm uốn
=>y(-a
b
3 )=0 => Giá trị của tham số
8 Với Đờng thẳng (d) đi qua điểm I(x1;y1)và có hệ số góc m tiếp xúc với
đồ thị hàm số y=f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (C)
- lập pt đờng thẳng (d): y=m(x-x1 ) +y1
- Đờng thẳng (d) tiếp xúc với ( C ) <= > hệ pt sau có nghiệm
= + +
+
−
= + +
+
m c bx ax
y x x m d cx bx
ax
2
3
) (
2
1 1
2 3
- Sử dụng pp thế để tìm ra hệ số góc m rồi thay vào phơng trình đờng
thẳng(d) ta đợc đờng thẳng cần tìm
Chú ý : Đờng thẳng (d) trong trờng hợp này cũng chính là tiếp tuyến của
đồ thị hàm số Do đó có thể sử dụng pp trên để giải bài toán “viết pt tiếp tuyến với ( C) đi qua điểm I(x1;y1) cho trớc
9 Đồ thị hàm số y=f(x)= ax3 + bx2 + cx + d (C) tiếp xúc với đờng thẳng y=kx+m
Khi và chỉ khi hệ phơng trình sau có nghiệm:
= + +
+
= + +
+
k c bx ax
m kx d cx bx ax
2
3 2
2 3
10 Đặc biệt, Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành có thể sử dụng một trong
2 cách sau
Cách1 Đồ thị ( C ) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ phơng trình sau
có nghiệm :
=
=
0 '
0
y
y
( Vì phơng trình của trục hoành là y=0)
Cách2.( PP đại số) Hoành độ giao điểm là nghiệm của pt: ax3 + bx2 + cx + d
=0
<= >(x-
= + +
=
=
⇔
= +
+
(*) 0 )
0 )
l ex ax x g
x l ex
α
Ycbt <=> pt(*)có một nghiêm x=α hoặc có nghiệm kép x ≠α
Trang 6<= >
≠
=
∆
=
0 ) (
0
0 )
(
α
α
g
g
g
11 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm duy nhất ( phơng trình ax3 +
bx2 + cx + d =0)
Khi và chỉ khi hàm số đồng biến( Nghịch biến) trênℜ hoặc đồ thị hàm số có hai cực trị nằm về một phía đối với trục hoành
<= >
>
=
∀
≤
≥
0 ) ( ).
(
0 '
) 0 ' ( 0 '
2
1 y x x
y
y
x y
y
có hai nghiệm x1, x2 phân biệt
12 Đồ thị hàm số có cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành khi và chỉ khi y’=0 có hai nghiệmx1, x2 trái dấu <=> P<0
13 Đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành khi
và chỉ khi
có hai nghiệm x1, x2 phân biệt
II các bài tập th ờng gặp.
Bài 1.Cho hàm số: y = x3 – mx + 4 – m 1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 3
2.Tìm m để đồ thị có tiếp tuyến có hệ số góc bằng 8 tại điểm có hoành độ x =
2 Viết pt tiếp tuyến tại điểm đó
3.CMR: với mọi m đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định Tìm điểm đó
Bài 2.Cho hàm số: y = (x + a)3 + (x + b)3 – x
1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi a = 1, b = 2
2.Tìm a, b để hàm số có cực đại và cực tiểu
3.CMR: đồ thị hàm số cắt Ox tại đúng một điểm
>
=
0 )
(
).
(
0
'
2
1 y x
x
y
y
Trang 7Bài 3.Cho hàm số: y = 2x3 + 3(m – 1)x2 + 6(m – 2)x – 1 (Cm)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 2
2.Viết pt tiếp tuyến của (Cm) qua điểm A(0, -1)
3.Tìm m để (Cm) có CĐ, CT và đờng thẳng đi qua hai điểm đó song song với
đờng thẳng y = kx
Bài 4.Cho hàm số: y = x3 - 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x – 4m(m + 1) (Cm)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 1
2.CMR: (Cm) luôn đi qua một điểm cố định
3.Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dơng
Bài 5.Cho hàm số: y = x3 - (m + 1)x2 - (2m2 - 3m + 2)x + 2m(2m - 1) (Cm) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 0
2.Tìm điểm cố định của (Cm) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với Ox
3.Tìm m để (Cm) đồng biến trên [2 ; + ∞)
4.Tìm m để (Cm) tiếp xúc với đờng thẳng y = - 49x + 98
Bài 6.
1.Khảo sát và vẽ đồ thị y = x3 + 3x2 + 3x + 5
2.CMR: không tồn tại hai điểm nào đó trên đồ thị mà tiếp tuyến tại hai điểm
đó vuông góc với nhau
3.Tìm k để trên đồ thị có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến của đồ thị tại đó vuông góc với y = kx
Bài 7.Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1 (Cm)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 3
2.CMR: (Cm) cắt y = x3 + 2x2 + 7 tại hai điểm A, B phân biệt Tìm quỹ tích trung điểm I của AB
3.Tìm m để (Cm) cắt y = 1 tại C(0; 1), D, E phân biệt và tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau
Bài 8.Cho hàm số: y = x3 - 3x2 + 2 (C)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị
2.Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A(1, -1)
3.Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình: x (x – 3)2 = m
Bài 9.Cho hàm số: y = x3 + (m - 1)x2 – (2m + 1)x - 2 (Cm)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 1
2.Tìm m để (Cm) tiếp xúc với Ox
3.Tìm m để (Cm) đạt cực trị tại các điểm có hoành độ x1, x2 thoả mãn
2
2
2
2
1 +x =
x
Bài 10.Cho hàm số: y = mx3 - 3mx2 + (2m + 1)x + 3 - m (Cm)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 4
2.Tìm m để (Cm) có cực đại và cực tiểu Chứng minh rằng khi đó đờng thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị (Cm) luôn đi qua một điểm cố định
Trang 8Bài 11.Cho hàm số: y = 31x3 - 2x2 + 3x + 1 (C)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị
2.Chứng minh A(2;
3
5
) là tâm đối xứng của đồ thị 3.Tìm điểm trên (C) có hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó nhỏ nhất
4.Lập phơng trình tiếp tuyến của (C) song song với đờng thẳng y = 3x – 1
Bài 12.Cho hàm số: y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x - 1 (Cm)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m = 2
2.Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) biết chúng đi qua A(0, -1) 3.Tìm m để (Cm) có 2 cực trị và đờng thẳng đi qua hai điểm đó vuông góc với
đờng thẳng y = x
Bài 13.Cho hàm số: y = x3 - 3x2 – 9x + m (Cm)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 0
2.Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng
Bài 14.Cho hàm số: y = 31x3 - 2x2 + 3x (C)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị
2.Qua A( ;34
9
4
) kể đợc mấy tiếp tuyến với đồ thị hàm số Viết các phơng trình tiếp tuyến đó
3.CMR: không có tiếp tuyến nào khác của đồ thị hàm số song song với tiếp tuyến đi qua B(2; 32 ) của đồ thị hàm số
Bài 15.Cho hàm số: y = m3−1x3 + mx2 + (3m – 2)x (C)
1.Tìm m để hàm số:
a.Đồng biến
b.Cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
2 Khảo sát và vẽ đồ thị khi m =
2
3
và suy ra đồ thị y =
6
1
x3 +
2
3
x2 +
2
5
x
Bài 16.Cho hàm số: y = x3 + mx2 + 7x + 3 (Cm)
1.Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm CĐ, CT
2 Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 5
3.Tìm m để đồ thị hàm số có một cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ
Bài 17.Cho hàm số: y = f(x) = x3 + x - 1 (C)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị
2 Giả sử f(x0) = 0 Chứng minh 2
0
x - x0 < 0 3.Từ đồ thị (C) hãy vẽ đồ thị y = x3 +x − 1
Bài 18.Cho hàm số: y = x3 - mx2 + mx + 2m - 3 (Cm)
1.Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 1
Trang 92 Tìm m để hàm số có hai cực trị và hai điểm đó nằm về 2 phía của đờng thẳng x – 3 = 0
3.CMR: đồ thị hàm số luôn đi qua hai điểm cố định Viết pt đờng thẳng (d) đi qua hai điểm cố định đó và tìm m để (Cm) tiếp xúc với (d)
Bài 19.Cho hàm số: y = x3 - 3mx2 + (m – 1)x + 2 (Cm)
1.Chứng minh hàm số luôn có cực trị
2 Tìm m để hàm số có hai cực tiểu tại x = 2 Khảo sát và vẽ đồ thị với m tìm
đợc
3.Biện luân theo k số nghiệm của phơng trình: x 2 – 2x – 2 = x k−1
Bài 20.Cho hàm số: y = mx3 – (m – 1)x2 – (2 + m)x + m - 1 (Cm) 1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C1) khi m = 1
2 Tìm trên đờng thẳng y = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ đợc 2 tiếp tuyến
đến đồ thị (C1)
3.Tìm các điểm mà đồ thị (Cm) đi qua với mọi m
