Bài giảng Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm (Ôn thi TN THPT)

Kiểm tra lại bằng cách xét dấu y’ hoặc dùng y”.. Qua việc thử lại cho ta cụ thể hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại x0... Lập bảng xét dấu của y’.

TN THPT

TÔ VĨNH HOÀI

Trường THPT Thủ Khoa Nghĩa – Châu Đốc

ĐẠO HÀM

I/- ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ Hàm số y = f(x) Hàm số hợp y = f(u) ; u = g(x)

( C )’ = 0 C: hằng số (x)’ =1

 

x

x

2

1





 

u

u u

2







2 1 1

x

x  















2

1

u

u u





















 x n  n x n 1

  u n  n u n 1.u





sinxcosx sinuu.cosu

cosx sinx cosu u.sinu

tan  12 1 tan2

cos

x



os

u u







cot  12

sin

x

x



sin

u u

u







 e x e x  e u u e u

 a x a x.lna  a u u a .lnu a

l xn  1

x



l un  u

u





 og  1

ln

a

x a

ln

u a





n n

x

n x 



n n

u u

n u 







II/- CÁC QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

Cho các hàm số u ; v ; w lần lượt có đạo hàm u’ ; v’ ; w’ Ta có :

1; ( u + v – w )’ = u’ + v’ – w’ 2; ( u.v)’ = u’v + uv’

Hệ quả : ( C.v )’ = C.v’ ( C : hằng số )

Mở rộng : ( uvw )’ = u’vw + uv’w + uvw’

3;  ' 2 '   0 















v v

uv v u

v

u

ÔN TẬP TAM THỨC BẬC HAI

1/- Dấu tam thức bậc 2

a;   0  af x    0 ,  x ( f(x) cùng dấu với a ,  x)

Chuyên

đề :1

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

TN THPT

2

       b

a ( f(x) cùng dấu với a , x 2

b a

  )

 

0

  







0

  x   

0

 

x

 

2

b a

 

f(x) Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a

0

 

x   x 1 x 2 

f(x) Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

2/- Chú ý :

Cho tam thức bậc hai : f x ( )  ax2 bx c   a  0 

0 ( ) 0

0

a

a f x  x   

 



( ) 0 0

0

a

b f x  x   

 



0 ( ) 0

0

a

c f x  x   

 



( ) 0

0

a

d f x  x   

 



3 Dấu các nghiệm số

f x ax( ) 2bx c có 2 nghiệm x x1; 2 x1x2

0

0

P

 



 







0

0

0 0

P P

 

 







 



Lưu ý

1. Phương trình ax2 bx c   0

c

  

b; Pt có 1 nghiệm kép















0

0

a

c; Pt có 2 nghiệm phân biệt















0

0

a

2 Phương trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 khi biết 1 nghiệm x = x 0

Phương pháp ( Chia 2 vế của phương trình cho x – x0 )

Ta có ax 3 + bx 2 + cx + d = 0  ( x – x 0 )( Ax 2 + Bx + C ) = 0 (1)

 



















2 0

0 2

0

C Bx

Ax

x

x

Số nghiệm của (1) = Số nghiệm của (2) + 1

Đặt g(x) = Ax 2 + Bx + C

Tính :  = B2 – 4AC và g(x 0 ) = Ax 0 + Bx 0 +C

TN THPT

 Pt có 1 nghiệm





























0 ) ( 0 0

0

x g

 Pt có 2 nghiệm









































0 ) ( 0

0 ) ( 0

0

0

x g

x g

 Phương trình có 3 nghiệm phân biệt















0 ) (

0

0

x g

Cách tìm x 0

 a + b + c + d = 0 Phương trình có nghiệm x 0 = 1

 a – b + c – d = 0 Phương trình có nghiệm x 0 = –1

 x 0 là nghiệm nguyên của phương trình thì x 0 là ước số của d

A/- TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Lí thuyết Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trong (a ; b) ;  x   a ; b 

 y   Hàm số đồng biến trong ( a ; b ) 0

 y   Hàm số nghịch biến trong ( a ; b ) 0

 Hoặc y   0  Hàm số đồng biến trong ( a ; b )

 y   0  Hàm số nghịch biến trong ( a ; b ) (Dấu “=” xảy ra tại một số hữu hạn điểm)

x

y’

y

Vấn đề 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

Phương pháp Để tìm khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x)

 Tìm tập xác định D

 Tìm y’ Tìm các giá trị x D i mà tại các điểm đó y = 0 hoặc không xác định

 Lập bảng xét dấu của y’

 Căn cứ dấu của y’ để kết luận

Ví dụ Tìm khoảng đơn điệu của hàm số :

1; y = x 3 – 3x 2 + 2

Giải : Tập xác định D = 

Đạo hàm y’ = 3x2 – 6x











x

Bảng biến thiên

x   0 2 

y’ + 0 – 0 +

y

Vậy hàm số đồng biến trong    ; 0   ; 2 ;   , nghịch biến trong (0;2)

2; y =

1

2 2

2







x

x

x

Tập xác định D =  \    1

TN THPT

Đạo hàm y’ =

2

2

























x x

x x y

x

x x

Bảng biến thiên

x   -2 -1 0 

y’ + 0 – – 0 +

y

Vậy hàm số : Đồng biến trong    ;  2   ; 0 ;    Nghịch biến trong   2 ;  1   ;  1 ; 0  Vấn đề 2 Tìm m để hàm số đơn điệu trong tập X Phương pháp  Hàm số đồng biến trong X  y   0  x  X  Hàm số nghịch biến trong X  y   0  x  X  Riêng hàm số nhất biến y = d cx b ax   không có dấu “=” Ví dụ Cho hàm số y = 3 3 1 x  - mx2 + (m –2 )x + 2 Tìm m để hàm số nghịch biến trên tập xác định

Giải : Tập xác định D = 

Đạo hàm y’= -x2 – 2mx + m – 2 Hàm số nghịch biến trên tập xác định  y ' 0     x 1 2 0 2 2           m m m (Vì a = – 1 < 0 ) B/- CỰC TRỊ Vấn đề 1: Tìm cực trị của hàm số y = f(x) Qui tắc 1 ( Dùng y’ ) a; Tìm tập xác định D b; Tìm y’  Cho y’ = 0 tìm nghiệm x0 ( hay điểm x0Dmà y x 0 không tồn tại)  Lập bảng xét dấu của y’  Căn cứ bảng xét dấu của y’ nếu khi x đi qua x0 mà : + y’ đổi dấu từ ( + ) sang (–) thì hàm số đạt cực đại tại x0 ; yCĐ = y0 = f(x0) + y’ đổi dấu từ (–) sang ( + ) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 ; yCT = y0 = f(x0) x xo x1

y’ + – – +

y y0

CĐ CT

Qui tắc 2 ( Dùng y”) a; Tìm tập xác định D b; Tìm y’ Cho y’ = 0 tìm nghiệm x0 ; x1 ; …

c ; Tìm y” Tính y”(x0) Nếu :

 y”(x0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0

 y”(x1) > 0 thì hàm số đat cực tiểu tại x1

Lưu ý :

 Nếu y”(x 0 ) = 0 hay tại x 0 mà y’(x 0 ) không tồn tại thì không dùng được qui tắc 2

 Hàm số y =

1 1

2

b x a

c bx ax







đạt cực trị tại x0 Có y0 =

1 0 2

a

b

ax 

TN THPT

 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực trị tại x0 khi tính y0 gặp khó khăn ta chia y cho y’ được thương P(x) và số dư px + q

Ta có y = y’.P(x) + px + q

nên y0 = y’(x0).P(x0) + px0 + q = px0 + q (vì x0 là nghiệm của y’ = 0)

Ví dụ Tìm cực trị của hàm số :

1; y = f(x) =

1

2 2







x

x x

Tập xác định D =  \   1 Đạo hàm y’ =  2 2 1 3 2    x x x y’ = 0                   7 1 3 1 0 3 2 2 1 2 1 2 y y x x x x  Bảng biến thiên x   –1 1 3 

y’ + 0 – – 0 +

y –1

CĐ

CT  Vậy hàm số : Đạt cực đại tại x = – 1 ; yCĐ = – 1 , Đạt cực tiểu tại x = 3 ; yC T = 7 2; y = f(x) = x + 2cosx Tập xác định D = 

Đạo hàm y’ = f’(x) = 1 – 2sinx ; f”(x) = – 2 cosx y’ = 0 k Z k x k x x x                      2 6 5 2 6 2 1 sin 0 sin 2 1 2 1

Ta có    1 f x =  3 < 0  Hàm số đạt cực đại tại 2 ; 2 3 6    k yCD x      2 f x = 3 > 0  Hàm số đạt cực tiểu tại x =  2  6 5 k  ;yCT   2 3 Vấn đề 2 : Tìm tham số để hàm số đạt cực trị tại x0 Phương pháp Hàm số đạt cực trị tại x0 khi y’(x0) = 0 hoặc không tồn tại từ điều kiện này suy ra giá trị của tham số Kiểm tra lại bằng cách xét dấu y’ hoặc dùng y” Qua việc thử lại cho ta cụ thể hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại x0  Nếu đồ thị hàm số có điểm cực trị M(x0 ; y0) thì thêm y0 = f(x0)  Trong vài trường hợp cụ thể ta có thể sử dụng 1;     0 0 ' 0 " 0 f x f x       Hs đạt cực trị tại x0 , 2;     0 0 ' 0 " 0 f x f x       Hs đạt cực đại tại x0

3;  

 

0

0

" 0

f x

f x









  Hàm số đạt cực tiểu tại x0

Nếu f”(x 0 ) = 0 không kết luận mà phải xét dấu y’

Ví dụ Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 + mx – 3 Tìm m để hàm số :

a; Đạt cực trị tại x = 1 b; Đạt cực đại tại x = 0

GIẢI : Tập xác định D =  Đạo hàm y’ = f’(x) = 3x2 – 4x + m

a; Hàm số đạt cực trị tại x = 1 khi f’(1) = 0  3 – 4 + m = 0  m   1

TN THPT

Khi m = –1 ta có y’ = 3x2 – 4x + 1

x   1/3 1 

y’ + 0 – 0 +

y CĐ CT

Vậy khi m = – 1 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

Vấn đề 3 : Tìm tham số để hàm số có cực trị

Phương pháp Tìm tập xác định D và y’ = f’(x)

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có nghiệm x0 (hoặc ykhông tồn tại tại x0D) và y’ đổi dấu khi x

đi qua x0 Phương trình y’ = 0 có bao nhiêu nghiệm và y’ đổi dấu khi x qua các nghiệm đó thì hàm số có bấy nhiêu cực trị

Ví dụ Cho hàm số y =

1

1 2









x

m x x

Tìm m để : 1; Hàm số có cực trị 2; Hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu

GIẢI : 1; Tập xác định D =  \    1

Đạo hàm : y’ =

 2

2 1

2 2









x

m x x

Hàm số có cực trị  y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó 2 2 2 0









nghiệm phân biệt    1  m  2  0  m   3

2; Khi m > -3 hàm số có 2 giá trị cực trị y1 = 2x1 – 1 ; y2 = 2x2 – 1

y1 ; y2 cùng dấu  y1.y2 > 0   2 x1 1  2 x2 1   0  4 x1 x2 2  x1 x2   1  0 (*)

Vì x1 ; x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2x – m – 2 = 0 nên ta có

(*)

4

3 0

1 4 ) 2 (

4

3

3   



Vậy hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu khi

4

3

3   

C/- ĐIỂM UỐN

Lí thuyết

Đồ thị hàm số có điểm uốn tại x0  f”(x) đổi dấu khi x đi qua x0

D /- GIÁ TRỊ LỚN NHẤT , NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 1; Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trong ( a;b ) nếu:

   







thì max ; 

a b y = M



















)

; ( )

(

:

0

b a x m

x

f

m x f b

a

x

thì min ; 

a b y = m

2; Cách tìm

a; Tìm miền giá trị của hàm số từ đó suy ra max y , min y

b; Dùng đạo hàm

 Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trong ( a;b )

Phương pháp

Tìm y’ Tìm lim f(x) lim f(x)

b x a





 Lập bảng xét dấu của y’ Căn cứ bảng xét dấu để kết luận

 Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trong [ a;b ]

Phương pháp

Tìm y’ Cho y’ = 0 tìm nghiệm x 0 , x 1…  a; b 

TN THPT

Tính f(a), f(b), f(x 0 ), f(x 1 ),……

;ax

a b

m y

 

  là giá trị lớn nhất trong các giá trị trên

;in

a b

m y

 

  là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị trên

E/- TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ

Lý thuyết :

Trong hệ trục Oxy cho  C y: f x( ) và I a b ;  Tịnh tiến hệ Oxy theo OI được hệ trục IXY theo cơng thức x X a

y Y b

  



 



thì trong hệ trục IXY ta cĩ  C : Y g X ( ) f X a b  

1; Đồ thị (C) cĩ tâm đối xứng I(a;b)

Bằng phương pháp đổi hệ trục Oxy về hệ trục IXY theo cơng thức :















b

Y

y

a

X

x

biến đổi y = f(x) thành Y = g(X) và chứng minh Y = g(X) là hàm số lẻ ( F(–X) = – F(X) )

2; Đồ thị (C) cĩ trục đối xứng    : x = a

   cắt trục hồnh tại điểm I(a; 0) Bằng phương pháp đổi hệ trục Oxy về hệ trục IXY theo cơng thức :













Y

y

a

X

x

biến đổi y = f(x) thành Y = g(X) và chứng minh Y = g(X) là hàm số chẵn

( Với I(a;0) ) ( g(– X) = g(X) )

F/- TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ I/- Tiệm cận đứng

Cách tìm Tìm tập xác định D

1 Nếu D =  \ x0;x1;  Tìm

x a

hoặc f x thì x a là pt tiệm cận đứng







 

1

lim

 thì x = x1 khơng phải là phương trình tiệm cận đứng

2 Nếu D = ( a ; b ) tìm f x f x

b x a

Ví dụ: y =

3 2

6 2

2









x x

x x

 Tập xác định D =  \   3 ; 1 





2

2

1 4

2 3

x



  khơng phải là phương trình tiệm cận đứng

II/- Tiệm cận ngang

Cách tìm Tập xác định D

 Nếu D khơng chứa  thì khơng cĩ tiệm cận ngang

 Nếu lim ( ) lim ( )

 Nếu lim  

    đồ thị khơng cĩ tiệm cận ngang

TN THPT

III/- Tiệm cận xiên

Định nghĩa y = ax + b là phương trình tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x)

x f x ax b

 

      hay a =  

 

f x

x

 Nếu phân tích được y = ax + b + P(x) mà lim ( ) 0

   thì

y = ax + b là phương trình tiệm cận xiên

 Đặc biệt với đồ thị hàm số y = ax dx bx e c







2

chia tử số cho mẫu số được thương ( gần đúng )

mx + n và số dư p y mx n dx p e











x

dx e

IV-/ Đồ thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối

Phương pháp Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), từ đồ thị (C) suy ra :

1; (C1) : y = f  x = ( ) 0

f x khi x

f x khi x





nên ta có (C1) :

 Giữ phần đồ thị (C) với x  0

 Bỏ phần đồ thị (C) với x < 0

 Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị (C) với x  0

2; (C2) : y = f (x ) =











 0 ) ( )

(

0 ) ( )

(

x f khi x f

x f khi x f

nên ta có (C2) :

 Giữ phần đồ thị (C) với f(x)  0

 Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị (C) với f(x) < 0

 Bỏ phần đồ thị (C) với f(x) < 0

3; (C3) : y = f(x) =

) (

) (

x Q

x P

=



















0 ) ( )

(

) (

0 ) ( )

(

) (

x Q khi x Q

x P

x Q khi x Q

x P

nên ta có (C3):

 Giữ phần đồ thị (C) với Q(x) > 0

 Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị (C) với Q(x) < 0

 Bỏ phần đồ thị (C) với Q(x) < 0

4; (C4) : y = f(x) = P ( x ) Q ( x ) hay y = f(x) =

) (

) (

x Q

x P

Vì y =











 0 ) ( )

(

0 ) ( )

(

x P khi x f

x P khi x

f

nên ta có (C4) :

 Giữ phần đồ thị (C) với P(x)  0

 Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị (C) với P(x) < 0

 Bỏ phần đồ thị (C) với P(x) < 0

CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG ( C ) : y = f(x)

Lí thuyết

 P trình tiếp tuyến của ( C ) tại M(x0 ; y0) : y – y0 = f’(x0)(x – x0)

 ( C ) : y = f(x) và ( D ) : y = g(x) tiếp xúc với nhau    

   

















x g x f

x g x f

có nghiệm ( nghiệm của hệ phương trình là hoành độ tiếp điểm )

Vấn đề 1 : Lập phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại M(x y0; 0) Phương pháp : Áp dụng công thức y – y0 = f’(x0)( x – x0 )

TN THPT

 Nếu chưa cho y0 thì tính y0 = f(x0) (giao của (C ) và trục tung là chox 0 0)

 Nếu chưa cho x0 thì x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0 (giao của (C ) và trục hoành là choy 0 0)

Ví dụ: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số :

(C ) : y = f(x) = x3 – 3x + 2 tại:

a; Điểm M có hoành độ xM = 0 b; Giao điểm của ( C ) với trục hoành

Giải :a; xM = 0  yM = 2  M  0 ; 2  y’ = f’(x) = 3x2 – 3  f’(0) = – 3

Vậy phương trình tiếp tuyến : y – 2 = –3( x – 0 )  y = – 3x + 2

b; Phương trình trục Ox : y = 0

Ta có x3 – 3x + 2 = 0  1  2 2 0 1 2



















 x = 1 phương trình tiếp tuyến y = f’(1)(x – 1)  y  0

 x = – 2 phương trình tiếp tuyến y = f’(– 2)(x + 2)  y  9 ( x  2 )  y  9 x  18

Vấn đề 2 Lập phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước Phương pháp

Cách 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm

Tiếp tuyến có hệ số góc k f x0 k

Giải phương trình tìm x0D y0f x0

Phương trình tiếp tuyến y – y 0 = k( x – x 0 )

Cách 2 : Gọi (d) : y = kx + b là tiếp tuyến của ( C )    















2

1

b kx x f

k x f

có nghiệm

Giải (1) tìm x thế vào (2) tìm b

Lưu ý Cho (d) : y = a.x + b nếu :

 (d1) song song với (d) thì (d1) có hệ số góc k = a

 (d2) vuông góc với (d) thì (d1) có hệ số góc k =

a

1

 (hay a.k = – 1 )

Ví dụ

Cho ( C ) : y = f(x) = x3 – 2x + 2 Lập phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết

1; Tiếp tuyến song song với (d) : y = x + 1

2; Tiếp tuyến vuông góc với (d)

GIẢI

1; Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm

Tiếp tuyến song song với (d) nên có hệ số góc k = 1  f    x0  1  3 x02  2  1  x0  1

 x0 = 1  y0 = 1 Phương trình tiếp tuyến : y = x

 x0 = – 1  y0 = 3 Phương trình tiếp tuyến : y = x + 4

2; Vì tiếp tuyến vuông góc với (d) nên có hệ số góc k = – 1

Gọi (d1) : y = – x + b là tiếp tuyến của ( C )  

 



























2 2

2

1 1 2 3

3 2

b x x

x

x

có nghiệm

 

3

3 1

2

3













Từ (2) với x =

9

3 2 2 3

3







Phương trình tiếp tuyến y = – x + 2

9

3 2



Vấn đề 3 : Lập phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A(x y1; 1) Phương pháp

Cách 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm.Tính y0 = f(x0) và f’(x0) theo x0 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là

: y – y 0 = f’(x 0 )( x – x 0 ) (1) Vì tiếp tuyến đi qua A(x y1; 1) nên y 1 – y 0 = f’(x 0 )( x 1 – x 0 ) giải phương trình

tìm x0 thay vào (1)

Cách 2 : Gọi (d) là đường thẳng đi qua A có hệ số góc k

TN THPT

Ta có :(d) : y – y 1 = k( x – x 1 ) (1) là tiếp tuyến của (C)    



















2

1

1

x x k x f

k x f

có nghiệm Thế k từ (1) vào (2) giải tìm x thế vào (1) tìm k và thay vào phương trình (1)

Ví dụ Lập phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) = x 3 – 3x + 2 biết rằng tiếp tuyến đi qua A(2 ; –4 )

Cách 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm

Ta có y 0 = x 0 – 3x 0 +2 và f’(x 0 ) = 3x 0 – 3

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là

y – (x 0 – 3x 0 + 2) = (3x 0 – 3)( x – x 0 )  y   3 x02 3  x  2 x03 2 (1)

Vì tiếp tuyến đi qua A(2;– 4) , nên

– 4 = (3x 0 – 3).2 – 2x 0 + 2  x03 3 x02 0  x0 0  x0  3

 x 0 = 0 phương trình tiếp tuyến là y = – 3x + 2

 x 0 = 3 phương trình tiếp tuyến là y = 24x – 52

Cách 2 : Gọi (d) là đường thẳng qua A và có hệ số góc k

Phương trình (d) : y = k(x – 2) – 4

(d) là tiếp tuyến của (C)  

   

























2 4 2 2

3

1 3

3

3

2

x k x x

k x

có nghiệm

Từ (1) và (2) ta có x 3 – 3x + 2 = (3x 2 – 3) (x – 2) – 4

3 0

0

3 2

3













 x = 0  k   3 Phương trình tiếp tuyến là y = – 3x + 2

 x = 3  k  24  phương trình tiếp tuyến là y = 24x – 52

Vấn đề 4 :Sự tiếp xúc giữa hai đường Phương pháp :

Áp dụng (C) và (D) tiếp xúc với nhau













) ( ) (

) ( ' ) ( '

x g x f

x g x f

có nghiệm

Từ đó suy ra giá trị tham số

Ví dụ: Cho (C) : y = f(x) = x 4 – x 2 + 1 và (D) : y = g(x) = x 2 + m

Tìm để (C) và (D) tiếp xúc với nhau

GIẢI :

(C) và (D) tiếp xúc với nhau

 



































2 1

) 1 ( 2 2 4 )

( ) (

) ( ' ) ( '

2 2

4

3

m x x

x

x x x x

g x f

x g x f

có nghiệm















 x = 0 từ (2) ta có m = 1

 x =  1 từ (2) ta có m = 0

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐƯỜNG

Phương pháp Cho 2 đường ( C ) : y = f(x) và ( D ) : y = g(x)

Hoành độ giao điểm của 2 đường là nghiệm của ptrình f(x)= g(x) (1 )

Phương trình ( 1 ) có bao nhiêu nghiệm thì ( C ) và ( D ) có bấy nhiêu điểm chung Muốn tìm giao điểm ta

thay nghiệm của ( 1 ) vào y = f(x) hay y =g(x)

Ví dụ Cho (C) : y = f(x) = 4x 3 – 3x + 1 và (d) : y = g(x) = m(x – 1) + 2.Biện luận theo m số giao điểm của

(C) và (d)

GIẢI : Hoành độ giao điểm của 2 đường là nghiệm của phương trình

4x 3 – 3x + 1 = m(x – 1) + 2  (x – 1)(4x 2 + 4x + 1 – m) = 0 (1)

 





















2 0 1

4 4

0 1

x

x

Đặt h(x) = 4x 2 + 4x + 1 – m

Tính = 4 – 4(1 – m) = 4m và h(1) = 9 – m

x   0 9 

 – 0 + +

Số điểm

chung 1 2 3 2 3